体积上张量场场论-07-曲线上标架.pdf
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曲线上标架 复旦大学 力学与工程科学系 麟 谢锡麟 谢 锡 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲线与曲线的弧长 单参数向量值映照即可称为曲线, 如果在物理区域引入曲线坐标系, 则一般先定义参数区域 上的曲线, 即 稿 x1 (t) . m . C x : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ x(t) = . ∈R . xm (t) 讲 再定义物理区域中的曲线 析 X 1 (x(t)) .. ∈ Rm . C X : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ X(t) = X(x(t)) = . m X (x(t)) 坐标对参数的变化率为 量 分 X(t + ∆t) − X(t) dX (x) , lim = DX(x)ẋ(t) ∆t→0 dt ∆t 物理域中, 曲线的弧长可以表示为 ∫ β S= α dX dt. (t) dt Rm 张 2 ( ) dX 在一般曲线坐标系下, 将有 = ẋi (t)g i (x(t)), ẋj (t)g j (x(t)) Rm = gij (x)ẋi (t)ẋj (t). 所 (t) dt Rm 以在一般曲线坐标系下, 弧长公式可以表示为 ∫ β√ gij (x(t))ẋi (t)ẋj (t)dt, S= α ( ) 此处 gij (x) = g i (x), g j (x) Rm 为度量张量的协变分量. 1.2 以弧长为参数的 Frenet 标架及其运动方程 引理 1.1. 如果向量 A(t) 的模保持不变, 则有 Ȧ(t)⊥A(t). 1 曲线上标架 谢锡麟 d|A(t)|2Rm = 0, 所以有 dt ) ( d dA 2 |A(t)|Rm = 2 (t), A(t) = 0, dt dt Rm ( ) 所以 Ȧ(t), A(t) m = 0, 即 Ȧ(t) ⊥ A(t). R 麟 证明 向量 A(t) 的模保持不变, 即有 Frenet 标架是定义在 R3 空间中的曲线上的标架, 此时将曲线上点的坐标记作 r 以示区分. 在本章中, 若无特殊说明, 使用 ṙ 表示 谢 锡 在定义了曲线的弧长之后, 曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值, 即 ∫ t dr s(t) = (ξ) dξ. α dξ R3 dr dr , 而使用 r ′ 表示 . 首先, 有 dt ds 稿 ds dr (t) = (t) = |ṙ(t)|R3 , dt dt R3 令 τ (s) = r ′ (s), dr dt ṙ(t) dr (s) = = , 所以 |τ (s)|R3 = 1. ds dt ds |ṙ(t)|R3 根据引理1.1, 可得 τ ′ (s)⊥τ (s). 于是令 讲 称为切向量. 它满足 τ (s) = 析 n(s) = τ ′ (s) r ′′ (s) = , |τ ′ (s)|R3 |r ′′ (s)|R3 称为主法向量. 显然 |n(s)|R3 = 1. 量 分 令 b(s) = τ (s) × n(s) = r ′ (s) × r ′′ (s) , |r ′′ (s)|R3 称为副法向量. 显然有 |b(s)|R3 = 1, 而且 b(s)⊥τ (s), b(s)⊥n(s). 综上, 曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame)： 张 1. 切向量：τ (s) = r ′ (s); 2. 主法向量：n(s) = r ′′ (s) ; |r ′′ (s)|R3 3. 副法向量：b(s) = r ′ (s) × r ′′ (s) . |r ′′ (s)|R3 显然, Frenet 标架 (见图1) 是一个正交规范标架. 藉此, 在曲线上运动的质点, 当其运动到某 点时, 定义在其上的向量 (如速度、加速度等) 都可以基于当地的 Frenet 标架展开, 亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合. 以此, 可作为进一步的解析基础. 由于 Frenet 标架是局部的, 一般沿着曲线而变化, 因此需要研究局部标架随曲线弧长的变 化率. 为此, 先引入以下的定理. 2 曲线上标架 麟 楫 樅蹩 b 閲 最 蹩 n 谢 锡 姿 谢锡麟 挨 τ 嫻最蹩 稿 最楫 楫 Figure 1: Frenet 标架示意 讲 定理 1.2 (标架运动方程). 正交规范标架 {ω 1 (t), ω 2 (t), ω 3 (t)} 随变量 t 而变化, 其变化率 ( ) 可以通过系数矩阵 Ωij 来表示： Ω11 Ω12 Ω13 析 ( ) ( ) ω̇ 1 (t) ω̇ 2 (t) ω̇ 3 (t) = ω 1 (t) ω 2 (t) ω 3 (t) Ω Ω Ω 22 23 . 21 Ω31 Ω32 Ω33 量 分 ( ) 上述方程称为标架运动方程, Ωij 是反对称矩阵, 亦即 Ωij = −Ωji . 证明 由于 ω̇ i = 3 ∑ Ωpi ω p , ω̇ j = p=1 3 ∑ Ωqj ω q , q=1 张 则 dω j d(ω i · ω j ) dω i = · ωj + ωi · dt dt dt 3 3 3 3 ∑ ∑ ∑ ∑ = Ωpi ω p · ω j + Ωqj ω q · ω i = Ωpi δpj + Ωqj δqi p=1 q=1 p=1 q=1 = Ωji + Ωij = 0. 基于上述定理, Frenet 标架的标架运动方程可以表示为 0 ( ) ( ) τ ′ (s) n′ (s) b′ (s) = τ (s) n(s) b(s) Ω12 Ω13 3 −Ω12 −Ω13 0 −Ω23 . Ω23 0 曲线上标架 谢锡麟 因为 τ ′ (s) = r ′′ (s) = |r ′′ (s)|R3 n(s), 所以有 Ω12 = |r ′′ (s)|R3 , Ω13 = 0. b′ (s) = −σ(s)n(s), 麟 令 κ(s) = |r ′′ (s)|R3 称为曲线该点处的曲率. 再引入挠率满足 [r ′ (s), r ′′ (s), r ′′′ (s)]R3 . |r ′′ (s)|2R3 讲 = 稿 谢 锡 因此有 Ω23 = σ(s). 挠率 σ(s) 可以表示为 ( ( ′ ) ) ( ′ ) d r (s) × r ′′ (s) r ′′ (s) σ(s) = − b (s), n(s) R3 = − , ′′ ds |r ′′ (s)|R3 |r (s)|R3 R3 ( ′′ ) ( ′ ) 1 1 = − ′′ r (s) × r ′′ (s), r ′′ (s) R3 − ′′ r (s) × r ′′′ (s), r ′′ (s) R3 2 2 |r (s)|R3 |r (s)|R3 ( ′ ) 1 d ′′ ′′ ′′ + ′′ |r (s)| 3 r (s) × r (s), r (s) R R3 |r (s)|3R3 ds ( ′ ) 1 ′′′ ′′ = − ′′ r (s) × r (s), r (s) R3 |r (s)|2R3 析 综上, 以弧长为参数的 Frenet 标架的运动方程可以表示为 0 −κ(s) 0 ( ) ( ) ′ ′ ′ , τ (s) n (s) b (s) = τ (s) n(s) b(s) κ(s) 0 −σ(s) 0 σ(s) 0 量 分 式中曲率 κ(s) = |r ′′ (s)|R3 , 挠率 σ(s) = 1.3 [r ′ (s), r ′′ (s), r ′′′ (s)]R3 . |r ′′ (s)|2R3 一般形式的 Frenet 标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为 r̂(t) = r(s(t)), 在不引起混淆的情况下, 可以简单地将 r̂(t) 记作 r(t). 张 在这种情况下, 切向量可以表示为 τ (t) = τ (s(t)) = r ′ (s(t)) = dr dt ṙ(t) (t) (s) = , dt ds |ṙ(t)|R3 r ′′ (s) , 因此首先计算 |r ′′ (s)|R3 ( ) dτ dt d ṙ(t) 1 r̈(t) ṙ(t) d ′′ r (s(t)) = (t) (s) = = − |ṙ(t)|R3 . dt ds dt |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|2R3 |ṙ(t)|3R3 dt 主法向量 n(s) = 将式 |ṙ(t)|2R3 = (ṙ(t), ṙ(t))R3 的两端求对 t 的导数得 2|ṙ(t)|R3 d |ṙ(t)|R3 = 2 (r̈(t), ṙ(t))R3 , dt 4 曲线上标架 所以有 谢锡麟 d 1 |ṙ(t)|R3 = (r̈(t), ṙ(t))R3 , dt |ṙ(t)|R3 (r̈(t), ṙ(t))R3 r̈(t) − ṙ(t) 2 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|4R3 ) ] [ ( ṙ(t) 1 ṙ(t) . = r̈(t) − r̈(t), |ṙ(t)|R3 R3 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|2R3 r ′′ (s(t)) = 谢 锡 根据内蕴正交分解, 对于向量 T , 有 麟 此时 T = (T , e)R3 e − e × (e × T ). 令 T = r̈(t), e = ṙ(t) 可得 |ṙ(t)|R3 1 ṙ(t) r (s(t)) = − × 2 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|R3 因此主法向量为 r ′′ (s(t)) ṙ(t) × (ṙ(t) × r̈(t)) ṙ(t) × (ṙ(t) × r̈(t)) =− =− . ′′ |r (s(t))|R3 |ṙ(t) × (ṙ(t) × r̈(t))|R3 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t) × r̈(t)|R3 此时曲率可以表示为 |ṙ(t) × r̈(t)|R3 |ṙ(t) × (ṙ(t) × r̈(t))|R3 = . 4 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|3R3 析 κ(t) = |r ′′ (s(t))|R3 = 副法向量即为 ) ṙ(t) ṙ(t) × (ṙ(t) × r̈(t)) × r̈(t) = − . |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|4R3 讲 n(t) = ( 稿 ′′ b(t) = τ (t) × n(t) 量 分 [ ( ) ] ṙ(t) 1 ṙ(t) ṙ(t) ṙ(t) × r̈(t) = r̈(t) − r̈(t), . × = 2 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|R3 R3 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|3R3 张 挠率为 ( ) ( ) d db dt σ(t) = − b(s(t)), n(t) =− (t) (s), n(t) ds dt ds R3 R3 ) ( d ṙ(t) × r̈(t) ṙ(t) × (ṙ(t) × r̈(t)) 1 ,− =− |ṙ(t)|R3 dt |ṙ(t) × r̈(t)|R3 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t) × r̈(t)|R3 R3 ( ) ... ṙ(t) × r (t) ṙ(t) × (ṙ(t) × r̈(t)) = , |ṙ(t)|R3 |ṙ(t) × r̈(t)|R3 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t) × r̈(t)|R3 R3 ( ( )) 1 ṙ(t) ṙ(t) ... = ṙ(t) × r (t), × × r̈(t) |ṙ(t)|R3 |ṙ(t)|R3 |ṙ(t) × r̈(t)|2R3 R3 ( ( ) ) 1 ṙ(t) ṙ(t) ... = ṙ(t) × r (t), −r̈(t) + r̈(t), |ṙ(t)|R3 R3 |ṙ(t)|R3 R3 |ṙ(t) × r̈(t)|2R3 ... [ṙ(t), r̈(t), r (t)] 1 ... (ṙ(t) × r (t), r̈(t))R3 = , =− |ṙ(t) × r̈(t)|2R3 |ṙ(t) × r̈(t)|2R3 式中倒数第二行使用了向量的内蕴正交分解. 综上所述, 一般形式的 Frenet 标架可以表示为 5 曲线上标架 ṙ(t) ; |ṙ(t)|R3 2. 主法向量：n(t) = − 3. 副法向量：b(t) = ṙ(t) × (ṙ(t) × r̈(t)) ; |ṙ(t)|R3 |ṙ(t) × r̈(t)|R3 ṙ(t) × r̈(t) . |ṙ(t)|3R3 麟 1. 切向量：τ (t) = 谢锡麟 0 1.4 |ṙ(t)|R3 σ(t) 0 ... |ṙ(t) × r̈(t)|R3 [ṙ(t), r̈(t), r (t)] , 挠率 σ(t) = . |ṙ(t)|3R3 |ṙ(t) × r̈(t)|2R3 曲线局部参数化 讲 考虑以弧长为参数表示的曲线方程 稿 式中曲率 κ(t) = 谢 锡 其运动方程为 ( ) ( ) ds ′ ′ ′ (t) τ̇ (t) ṅ(t) ḃ(t) = τ (s) n (s) b (s) dt 0 −| ṙ(t)| κ(t) 0 3 R ( ) = τ (t) n(t) b(t) |ṙ(t)|R3 κ(t) 0 −|ṙ(t)|R3 σ(t) , [0, L] ∋ s 7→ r(s) ∈ R3 , 按单参数向量值映照的无限小增量公式有 张 量 分 析 ... r (s0 ) 3 r̈(s0 ) 2 h + h + o(h3 ) ∈ R3 r(s0 + h) = r(s0 ) + ṙ(s0 )h + 2! 3! 1[ κ(s0 ) 2 h n(s0 ) + − κ2 (s0 )τ (s0 ) + κ̇(s0 )n(s0 ) = r(s0 ) + hτ (s0 ) + 2 6 ] + κ(s0 )σ(s0 )b(s0 ) h3 + o(h3 ) [ ] [ ] κ2 (s0 ) κ(s0 ) 2 κ̇(s0 ) 3 = r(s0 ) + h − τ (s0 ) + h + h n(s0 ) 6 2 6 κ(s0 )σ(s0 ) 3 + h b(s0 ) + o(h3 ) 6 [ ] [ ] κ(s0 ) 2 2 2 = r(s0 ) + h + o(h ) τ (s0 ) + h + o(h ) n(s0 ) 2 κ(s0 )σ(s0 ) 3 + h b(s0 ) + o(h3 ). 6 引入局部意义下的密切平面 (由 τ 同 n(s0 ) 张成) 中的曲线 ] [ [ ] κ(s0 ) 2 2 2 h + o(h ) n(s0 ), r(s0 + h) , r(s0 ) + h + o(h ) τ (s0 ) + 2 即有 κ(s0 )σ(s0 ) 3 h b(s0 ) + o(h3 ). 6 可见, 原曲线 r(s0 + h) 同密切平面中的曲线 r(s0 + h) 具有二阶精度, 亦即差别为 o(h3 ) ∈ R3 , κ(s0 )σ(s0 ) 3 h b(s0 ) + o(h3 ) 代表了原曲线离开密切平面的程度, 挠率 σ(s0 ) 仅在此起作用. 6 r(s0 + h) = r(s0 + h) + 6 曲线上标架 谢锡麟 以下研究密切平面中的曲线, 有 r(s0 + h) = r(s0 ) + hτ (s0 ) + κ(s0 ) 2 h n(s0 ) + o(h2 ) ∈ span{τ (s0 ), n(s0 )}. 2 y = f (x) = 考虑密切平面中的曲率圆 ( x + y− 有 κ(s0 ) 2 x + o(x2 ), 2 1 κ(s0 ) 2 谢 锡 可有 Monge 型表示 麟 引入局部坐标系 {O; x, y}, 有参数表示 x(h) = h, κ(s0 ) 2 y(h) = h + o(h2 ), 2 √ )2 = 1 κ2 (s0 ) , √ 1 1 1 2 −x = − 1 − κ2 (s0 )x2 κ2 (s0 ) κ(s0 ) κ(s0 ) ( ) 1 1 1 2 κ(s0 ) 2 2 2 = − 1 − κ (s0 )x + o(x ) = x + o(x2 ). κ(s0 ) κ(s0 ) 2 2 讲 稿 1 y(x) = − κ(s0 ) 现在密切平面中的曲率圆同密切平面中的曲线有二阶密切, 亦即精度至二阶无穷小量, 如图2所 示. 析 b(s) τ (s) z 嫻最樅蹩ш 齒 箱y 量 分 n(s) 齒楫 张 O O 嫻最樅蹩ш 齒楫 y x s L O x s Figure 2: 三维 Euclid 空间中曲线的 Frenet 标架及其密切平面上的曲线示意 2 应用事例 2.1 曲线局部基下速度与加速度表达式 作为应用, 以下推导三维空间中质点轨迹的速度及加速度表达形式. 首先, 推导速度表达式 V , ṙ = dr ds (s) (t) = |V (t)|R3 τ (s), ds dt 7 曲线上标架 谢锡麟 式中 |V (t)|R3 称为速率. 然后, 推导加速度表达式 d|V |R3 dτ ds (t)τ (s) + |V (t)|R3 (s) (t) dt ds dt d|V |R3 = (t)τ (s) + |V (t)|2R3 κ(s)n(s). dt 麟 a , V̇ = 可见, 三维轨迹的加速度相对于切向量的分量为速率的时间变化率, 相对于主法向量的分量 2.2 谢 锡 为速率的平方乘以曲率半径, 相对于副法向量的分量为零. 曲线上张量场微分学 考虑以下以弧长为参数的二阶张量场 Φ(s) = ϕ(s)τ (s) ⊗ b(s) + ψ(s)n(s) ⊗ b(s), 利用以弧长为参数的标架运动方程, 有 讲 稿 [ ] [ ] Φ′ (s) = ϕ′ (s)τ ⊗ b + ϕτ ′ (s) ⊗ b + ϕτ ⊗ b′ (s) + ψ ′ (s)n ⊗ b + ψn′ (s) ⊗ b + ψn ⊗ b′ (s) [ ] = ϕ′ (s)τ ⊗ b + ϕ(κn) ⊗ b + ϕτ ⊗ (−σn) [ ] + ψ ′ (s)n ⊗ b + ψ(−κτ + σb) ⊗ b + ψn ⊗ (−σn) [ ] [ ] = −σϕτ ⊗ n + ϕ′ (s) − κψ τ ⊗ b − σψn ⊗ n + κϕ + ψ ′ (s) n ⊗ b + ψb ⊗ b. 析 对于以一般参数为参数的张量场, 如 Φ(t) = ϕ(t)τ (t) ⊗ b(t) + ψ(t)n(t) ⊗ b(t), 张 量 分 基于一般参数形式的标架运动方程, 其关于 t 的变化率为 [ ] [ ] Φ̇(t) = ϕ̇(t)τ ⊗ b + ϕτ̇ (t) ⊗ b + ϕτ ⊗ ḃ(t) + ψ̇(t)n ⊗ b + ψ ṅ(t) ⊗ b + ψn ⊗ ḃ(t) [ ] = ϕ̇(t)τ ⊗ b + ϕ|ṙ(t)|R3 κn ⊗ b + ϕτ ⊗ (−|ṙ(t)|R3 σn) [ ] + ψ̇(t)n ⊗ b + ψ(−|ṙ(t)|R3 κτ + |ṙ(t)|R3 σb) ⊗ b + ψn ⊗ (−|ṙ(t)|R3 σn) [ ] = −|ṙ(t)|R3 σϕτ ⊗ n + ϕ̇(t) − |ṙ(t)|R3 κψ τ ⊗ b − |ṙ(t)|R3 σψn ⊗ n [ ] + |ṙ(t)|R3 κϕ + ψ̇(t) n ⊗ b + |ṙ(t)|R3 σb ⊗ b. 3 建立路径 • 如果研究的事物发生于一条曲线上, 那么基于曲线局部标架展开张量场有益于建立物理或 其它过程同曲线几何之间的关系. 8