基础物理实验数据处理周四6-7节20130922补.pdf

基础物理实验 数据处理 课件下载： http://phylab.fudan.edu.cn 1 1 严格处理数据 2 不确定度的评定 3 作图 4 最小二乘法 5 作业 2 1 严格数据 和数据处理 3 1.1 转基因食品是否安全？ 正面反面有各种传言。 • 德国联邦农业部部长埃格纳: “根据最新研究结果，德国方面有正当的 理由说明，美国孟山都的810转基因玉米不 仅对玉米螟蛾、蝴蝶有影响，也存在对其他 动物和环境的威胁” • 德国环境和自然保护协会: 转基因玉米对动物和环境造成了严重伤害; • 孟山都公司认为该禁止法令是“不可理解 的”，并坚持MON 810型转基因玉米对人 体、动物和环境都无害。 http://bbs.huanqiu.com/thread-330524-1-1.html 4 在厚生省给国民 发的宣传册子里 ，清楚地写明日 本市场上的七种 转基因食品是安 全的，可以放心 食用，这七种食 品是：大豆、玉 米、土豆、菜籽 （油）、棉花、 甜菜（制糖的） 、紫花苜蓿。 www.mhlw.go.jp/topics/idenshi/qa/pamph01.html 5 数据？ 多大程度上能相信数据？ 6 基本粒子标准模型 Standard Model 质量 电荷 自旋 强 子 三代费米子 III I II 中微子 规范 波色子 • 中：不带电 • 微：m~10-6me 传 播 轻 子 子 关心的问题： • 质量？ • 中微子内部结构？ • 反中微子 – 自身？ 中微子来源：太阳…… 人体内的放射性同位素每天 都会发出约3.4亿个中微子。 7 狭义相对论的光速不变原理 任一条光线在“静止的” 坐标系中都以确定的速度v 运动，不管这条光线是由 静止的还是由运动着的物 体发射出来的。 [德国《物理学纪事》1905年第4系列第17卷第 895－921页，参见蔡怀新等编译《爱因斯坦论 著选编》，上海人民出版社，1973年.] 8 1.2 超光速 中微子 9 10 δt = (60.7 ± 6.9 (stat.) ± 7.4 (sys.)) ns 6.9 ns：由多次测量的统计分析评定的不确定度 uA 7.4 ns：由非统计分析评定的不确定度 uB2 给中微子运行制造时间标签的振荡器出现问题 原子钟的光纤插头松了 11 1.2 中微子振荡 (不同类型 中微子之间 的转换) 大亚湾核电站 反中子探测器 12 什么是sin13？ 12 e,e , 13 ,  23 1、2、3标志这些有固定质量的 中微子，不同θ角代表不同质量、 类型中微子间的关系。如θ12 与 电子中微子和中微子之间的混 合有关。这些混合角都是基本 物理学常数，太阳中微子振荡 和大气中微子振荡实验表明， θ12 和θ23 较大，θ13很小。 13 日本T2K sin2213~0.11， 置信度2.5 大亚湾 ？ 14 中科院高能物理所所长王贻芳 王贻芳, 大亚湾反应 堆中微子实验, 科学 64(3)4-8 (2012.5) 标准偏差 55天数据的分析， 发现远厅中微子事例 比预期约少6% ，即 R=0.940 ±0.011 (统计误差) ±0.004 (系统误差) 振荡概率振幅 sin2213=0.092 ±0.016 (stat) ±0.005(syst), 13不为零， 信号显著性~5.2 振荡不存在的概率为 10-7 15 王贻芳，科学64(3)4 实验报告 （4分） 实验后 数据处理与分析讨论： （写出完整的计算过程、正确地处理数据、 注意单位与有效数字、必要的实验关系曲线 作图及读图；对观察到的实验现象的分析、 针对实验中的问题和想法的分析讨论、根据 实验内容作数据的不确定度评定和分析） 实验结论: …… 16 • 正确度、精密度与准确度 真值 统计 不确定度 uA 大 系统 不确定度 正确度高, 但精密度低 精密度高, 但正确度低 准确度高! uB 大 2013-9-22 下载于百度文库：不确定度.ppt 17 17 讨 准 统 系 18 2不确定度的评定 实验后 如何做数据处理？ 2.1 有效数字 2.2 不确定度评定 2.3 作图 2.4 最小二乘法 （课本第10-19页，补充教材第3-6页） 19 2.1 有效数字 实验后 有效数字----从第一个不为0的数开始算起的所有数字。 如, 0.35 (2个); 3.54 (3个); 0.003540 (4个); 3.5400 (5个)。 有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字 有效数字和单位：76.2 m =0.0762 km, = 7620 cm ? = 76200 mm? 76.2 m=7.62×104 cm =7.62×105 mm 有效数字 不确定度本身一般只取一个有效数字，测量值 的末位有效数字应与不确定度的有效数字对齐。 即：测量值的末位有效数字是不确定的。 20 有效数字四则运算规则 加减法：与不确定度最大项的末位有效数字对齐 57.31＋0.0156－2.24342（= 55.08218） = 55.08 乘除法：与最少个数的有效数字相同 57.31×0.0156÷2.24342（= 0.398514767） = 0.399 2.3450 m X 1m = ? m2, 2.3450 m X 9 m = ? m2 关于用不确定度的传递来理解乘除规则见后(p.35) Rounding method 修约规则 -- very significant effect on the result. - A famous instance: a new index the Vancouver Stock Exchange in 1982. Initially -- 1000.000; after 22 mo. ~ 520 (but stock prices had generally increased) - Problem? rounded down 1000s times daily rounding errors accumulated. - Recalculating -- with better rounding  1098.892 Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and stability of numerical algorithms. p. 54. ISBN 978-0-89871-521-7, 转引自 Wikipedia: Rounding 22 为什么使用修约规则？ 1. 选取修约规则的原则 – 对大量数据进行修约 后，误差能达到相互抵消，而不导致互相迭加 而积累； 2. 修约规则“4舍6入5成双”合理假设 最后第二位奇偶几率各半。这样舍去或 增加最后第二位的0.5的几率一样。 23 实验报告 实验后 • 有效数字修约规则： “4舍6入5成双” 小于5舍 大于5入 “4”代表<5 “6”代表>5 刚好是5时，若前一位为奇数则入，为偶数则舍。 如：计算值为3.54835; 3.65325 若不确定度为0.0003, 则取x=3.5484; 3.6532 若不确定度为0.002, 则取x=3.548； 3.653 若不确定度为0.04, 则取x=3.55; 3.65 若不确定度为0.1, 则取x=3.5; 3.7 24 2.2 不确定度的评定 （1）不确定度评定的意义 过大？过小？ （2）不确定度的分类 A类不确定度、B1和B2类不确定度 （3）不确定度的合成 单次测量、多次测量 （4）不确定度的传递 加减、乘除、乘方 25 （1）不确定度 u(x)评定的意义 测量结果的表达 1、测量结果的一般表示法： 实验后 x  ux  如：长度为（1.05±0.02）cm。 u ( x)  100 % 2、不确定度的百分比表示法： x 如，长度为1.05cm，相对不确定度2% 。 3、测量结果的有效数字表示法(1.05cm) 26 不确定度分量的十项来源 朱鹤年 1. 被测量的定义不完善； 被测量 2. 相同条件下被测量在重复观测中的变化； 3.复现被测量的方法不理想； 获取方法 4. 取样的代表性不够； 和程序 5. 测量方法和测量程序的近似和假设； 6. 测量仪器的计量性能的局限； 测量设备 7. 测量标准或标准物质的不确定度； 和条件 8. 引用数据或其他参量的不确定度； 9. 对主要环境条件等影响量的认识不当或控制、 测量不完善； 10.仪器读数有人为偏移 人为因素 27 不确定度评定 多次测量 对待测量x 进行n 次全同测量，A类不确定度 n uA x    x  x  2 i 1 i nn  1 使用相同的测量仪器，在一定的实验观测条件下重 复观测某一物理量的数值 _ 、 [李惕碚著《实验的数学处理》科学出版社1980年] 同一个实验者用同一台仪器在相同条件下对同一个 物理量进行多次等精度测量 [滕敏康主编《实验误差与数据处理》南京大学出版社1989年] 28 前提条件：多次全同测量，测量值xi满足正态分布(μ,σ2) 随机变量是数值因随机性而出现变 化的变量。 一个随机变量如果是大量 微弱原因的总效果，就近似 地服从正态分布。 概率密度函数 2  1 x   1 exp   px     2   2     （中心极限定理） 实验的偶然误差往往是观测者还 不能控制的大量偶然因素作用的 结果，所以，在一定的实验条件 下，对固定量测量多次，测得值 的分布往往近似正态分布。 29 wikipedia 例：测量一个圆柱体样品的密度 多次 测量 多次 测量 样品的质量M = 样品的密度 (室温T =  g。 单次测量 4M 2  物理量运算结果 D h ℃；湿度 = %) ---- 不确定度如何确定？ 30 随机误差： • 重复测量中以不可预知的方式变化的测量 误差分量。 • 来源举例：电表轴承摩擦力矩的变动、螺 旋测微计的测头压紧力在一定范围内变化 、操作读数是在一定范围内随机变动的视 觉影响、数字仪表末位取整数时的随机舍 入过程等，都会产生一定的随机误差分量 。 31 系统误差 • 系统误差是重复测量中保持恒定或一可预知方 式变化的测量误差分析，分已定系差和未定系 差（分别对应符号、绝对值已知和未知）。 • 指针式电表的零位误差、电表分度或磁场分布 不匀；伏安法测电阻时内接或外接引起的表内 阻影响的分量；单摆运动方程小角度解近似； 螺纹副的螺距有误差；测量时温度等影响量对 额定值的偏离；空气浮力对天平质量称量的影 响；空气折射率近似地取1等，都会产生系统 误差分量。 32p. 7 （2） 不确定度的分类 统计 n A类不确定度 u A x   (多次测量) 2 ( ) x  x  i n 1 i 1 , 其中平均值x   xi n(n  1) n i 1 d为仪器的实际分度值 用直尺、螺旋 系统 B类不确定度 B1 类不确定度 (单次测量 的不确定度） uB1=d/10（最好）测微器估计长度 uB1=d/5 （中等） 体温表 uB1=d/2 （较差）示波器 uB1=d （特殊情况，比如数字显示） a B2 类不确定度 u  （仪器不确定度） B 2 c -uB2(x) 是正态分布时，c=3 33 不确定度如何确定？ 例：测量一个圆柱体样品的密度 多次 测量 多次 测量 n u A x   样品的质量M = 样品的密度 室温T =  2 ( ) x  x  i n 1 i 1 , x   xi n(n  1) n i 1 g。 单次测量 4M 2  D h ℃；湿度 = 物理量运算结果 %。 34 （3）不确定度的合成 单 一 测 量 量 的 综 合 不 确 定 度 同一物理量的不确定度，多次测量中，有的来自uA，有的来 自uB2，其综合的不确定度u(r)就用不确定度合成公式得到 （长度测量） 多次 测量 u ( x)  u ( x)  u ( x) 2 A 2 B2 a uB 2  3 “方和根” 单次 测量 u ( x)  u ( x)  u ( x) 2 B1 2 B2 在长度测量中，长度值是两个位置读数 x1和x2之差，其不确定度合成公式为： u ( x)  u ( x1 )  u ( x 2 )  u ( x) 2 B1 2 B1 2 B2 35 不确定度如何确定？ 例：测量一个圆柱体样品的密度 多次 测量 多次 测量 n u A x   样品的质量M = 样品的密度 室温T =  2 x  x ( )  i n 1 i 1 , x   xi n(n  1) n i 1 g。 单次测量 4M 2  D h ℃；湿度 = 物理量运算结果 %。 运算物理量的 不确定度=？ 36 （4） 不确定度的传递 由2个物理量x1、x2的不确定度，通过不确定度传递的公式， 得到第三个物理量y的不确定度u(y) 例：R=V/I，首先得到V和I的不确定度u(V)、 u(I) ， 然后通过不确定度的传递公式， 得到R的不确定度u(R) 。 一般传递公式：当各直接测量的量相互独立无关时： 传递公式 常用的不确定度 加减： y  x1  x2  u 2 ( y )  u 2 ( x1 )  u 2 ( x2 ) 2 2  u ( y )   u ( x1 )   u ( x2 )  x1          乘除： y  x1 x2或y  x2  y   x1   x2  2  u ( y )   u ( x)  n    n 乘方： y  x     y   x  2 2 “方和根” 37 回顾：有效数字运算规则 加减法：与不确定度最大项的末位有效数字对齐 57.31＋0.0156－2.24342（=55.08218）=55.08 乘除法：与最少个数的有效数字相同 57.31×0.0156÷2.24342（=0.398514767）=0.399 可以用“不确定度的传递”来理解 38 不确定度的传递 ---- 对不同物理量 例：由V 和R的不确定度，求 I 的不确定度。 2 2  u( y)   u( x1 )   u( x2 )   y   x   x     1   2  V I R 2 2  u( I )   u(V )   u( R)        I V R       2 2 一般传递公式：当各直接测量的量相互独立无关时， u( y)  y  ln f 2 [ u ( x )]  i xi i 1 39 n 一些公式的补充证明：定义 (测量值为xi ;真值为 标准差标准偏差为 n x i 算术平均值： x  i 1 n 期望值： xˆ  E ( x)  方差： Varx   (1)   xf x dx  (1a)  2 ˆ ≡ 2 (2)     x  x f x dx  各测得值的真实误差： i  xi  残差(残余误差)： i  xi  x (3) (4) n  测得值真实误差平均值：  ＝x    i 1 n i (5) 40 证明A类不确定度公式： 由(3)和(4)得 由(5) (6) i  i  x   i  i   (6)  i   i   两边平方     2 i   2 i 两边求和 n n 2 i 2 2 2 2     2      i  i  i  n n n i   ( xi  xˆ )   xi   xˆ   xi  nxˆ  nx  nx  0  n i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 (7) n   0 i  xi x n  i 又     n ， 2  ＝x    i 1 2 n      n 2 i 2 i 2 (8) 41 i n 由(4)   ＝x    i 1 测得值真实误差平均值 i (4) n         2 i 2 n 2 n 2 i (9) 2 (9)右式是因为   i             21 2  21 3        i 2 2 1 2 2 2 n 2 0 n足够大时，所有交叉项之和接近于零 这是因为各i的符号有正，有负，而且数量级也相同，所以当n 足够大时，各交叉项由于概率均等而互相抵消。 42 贾玉润、王公治、凌佩玲，大学物理实验，复旦大学出版社，1987, pp. 20-21.   由(9)   2 2 代入(8)     n 得 2 i i n2 2 i 2 1         i2 n 2 i (10) 2 i 测量列标准差: n 无穷多次   lim 2  i    2  i 1 n 2 n n 2   i ˆ  i 1 i 1 n n 有限次 (11) n n 2 i (10) v 2 i  i 1  ˆ 2 n 1 贝塞尔公式 (12) 即有限n次测量，x 代替真值  , ( i  xi  , i  xi x ) 43 贾玉润、王公治、凌佩玲，大学物理实验，复旦大学出版社，1987, pp. 20-21. 测量列标准差 n ˆ   i 1 2 i (13) n 1 贝塞尔公式描述测得值的分散度 由(12)、(9)     2 n 2 i 和(13) 2 A类不确定度=平均值标准差 uA  x     v 2 i n ( n  1) = ˆ (14) n 44 例: 原子吸收法测量某样品的铁含量 次数 测量值 x ( %) 残差 vi ( %) 次数 i i  xi x 测量值 xi (%) 残差 vi (%) 1 0.42 0.016 9 0.40 0.004 2 0.43 0.026 10 0.43 0.026 3 0.40 0.004 11 0.42 0.016 4 0.43 0.026 12 0.41 0.006 5 0.42 0.016 13 0.39 -0.014 6 0.43 0.026 14 0.39 -0.014 7 0.39 -0.014 15 0.40 0.004 8 0.30 -0.104 平均值 0.404 • 测量结果平均值 (1) : • 测量列标准差 (13): • 平均值标准差(14): 15  xi x  i 1  0.404% 15 15 ˆ   ( xi  x ) i 1 151 uA ( x )    2  0.033% ˆ  0.009% 15 45 百度文库http://wenku.baidu.com/view/dfb0708183d049649b6658a0.html 贡献者: sunold126,不确定度. Granular Solid Compaction demonstration video Volume is history dependent 46 Initial configuration: low density by blowing nitrogen gas upward irreversibility point Once >* • at a sufficient slow rate /t  equilibrium (reversible and steadystate behavior.) • If the rate t is large, the granular system would fall out of equilibrium. Vibration strength Γ= Aω2/g  depends on the vibration history. At each value of  tapped 105 times! ~ 0.5.  was density= spot；was density= circle E.R. Nowak et al. PRE 57, 1971 (1998) 47 2.2 B类不确定度的评定方法: uB1:单次测量不确定度（与测量方法和测量经验有关） 用直尺、螺旋测微器估计长度 d uB1  b 体温表 示波器 (多次测量时，用uA代替uB1) uB2: 仪器不确定度（与仪器种类、级别及使用条件有关） (仪器不确定度对测量值的概率分布uB2(x) 是均匀分布时) a uB 2  c c置信因子 a u B 2   x f  x dx 2 均方根： 2 a 48 仪器不确定度uB2(x)呈均匀分布 （如游标卡尺*） 由于仪器的制造, 随机变量x的值以等概率落入区间[-a,+a] 内, 则称x服从均匀分布 均匀分布的分布密度函数为: f (x) = 0 x a 1 2a x  a a 数学期望为: 1 a xˆ   xf ( x)dx  xdx  0  a  a 2a 方差为： 2 a 1 a Var( x)     ( x  xˆ) f ( x)dx   x2 f ( x)dx   x2dx  a a 2a a 3 2 a 标准差σ为：   Var ( x)  a 置信因子 c = 置信概率 p= 57.7% 3 a 2 · 3 * 欧阳九令主编，常用物理测量手册 ，1998年，中国 工人出版社, 转引自，http://www.bb.ustc.edu.cn/jpkc /guojia/dxwlsy/kj/part1/3-1.html f (x) 1 2a ． -a o a 3 +a x 49 百度文库http://wenku.baidu.com/view/dfb0708183d049649b6658a0.html贡献者: sunold126,不确定度. 随机变量服从正态分布的仪器不确定度 （如米尺、千分尺、 物理天平、 秒表）* 特点----- 对称性、 单峰性、 抵偿性、有界性 正态分布密度分布函数为: f (y) 1  2 f ( )   e  2 当前无法显示此图像。 2 68.27% 各测得值的真实误差 i  xi  置信概率 95.45% p      68.27% p    2   95 . 45 %  3  2   0  99.73% 2 3  p   3   99.73% 百度文库http://wenku.baidu.com/view/dfb0708183d049649b6658a0.html 贡献者: sunold126,不确定度. 50 * 欧阳九令主编，常用物理测量手册 ，1998年，中国工人出版社, 4).三角分布 •若随机变量x的值更加可能接近两边界, 以最大区间（±a）形式出现并具有对 称分布, 则称x服从三角分布。 f (x) = 方差为： (a  x) / a 2 a x0 (a  x) / a 2 0 xa a2 D 6 1 a a 标准差为：σ = 6 65% 置信因子k = 6 a  a 6    a a 6 百度文库http://wenku.baidu.com/view/dfb0708183d049649b6658a0.html, 贡献者: sunold126,不确定度. 51 2.3 不确定度传递公式的证明 不确定度 传递 加 减 当各直接测量的量相互 独立无关时 乘 除 y  f ( x1 , x2 , x3, xn )  u( y)  2  f  2    u ( xi ) i 1   xi  n u ( y)  u ( x1 )  u ( x2 ) 2 （不同物理量） 一般传递公式： y  x1  x2 乘 方 2 2 y xx 1 2,y  x1 / x2 2 2  u( y)   u( x1 )   u( x2 )   y   x   x     1   2  y  x 2 2 n  u( y)   u( x)   y   n x      2 取自：原媛 52 不确定度传递公式的证明（贾玉仁等,大学物理实验,1987,pp.23-25) 1. 若对各个xi均进行了m次重复等精度、相互独立的 测量，每个测量值对平均值xi的偏差分别是xi1, xi2, …, xin, 则相应地y也有m个偏差： f f f y1  x11  x21  ...  xn1 x1 x2 xn f f f y2  x12  x22  ...  xn 2 x1 x2 xn (1) ………………………………………… yn  f f f x1n  x2n  ... xnn x1 x2 xn (1) 式两端相加， f m f m f m yk  x1k  x2k  ... xnk     x1 k 1 x2 k 1 xn k 1m k 1 m (2) x jk =0 由于残差的算术平均值为零，(2)式中  , ( j=1,2,…,n),故 k 1 m m  yk  yk  my0  0 ,其中 y0  f ( x1, x2 ,..., xn ) 则有   yk  /m=y0  k 1 53 k 1 k 1  即 m  f ( x1, x2 ,..., xn )  f ( x1, x2 ,..., xn ) 2. 将(1) 式等号两边分别平方再求和，得： m m m m  f  f  f  f 2 2 2 2 2  y   x    x  2[   xik x jk ] ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )    k nk 1k x1 k 1 xn k 1 k 1 i  j xi x j k 1 m 式中i, j分别为0,1,…,n. 将上式两边各处以(m-1),依贝塞尔公式得： m m  f  f  f  f 1  xik x jk ]  y2  ( )2 x21  ...  ( )2 x2n  2[  x1 xn i  j xi x j m  1 k 1 =0 上式右边最后一项表示不同测量量的不确定度之间的关联程度； 若各个量的测量是独立的，这一项等于0. f 2 2 f 2 2 f 2 2  y  ( )  x1  ( )  x2  ...  ( )  xn x1 x2 xn 即独立量标准偏差的传递公式,并得独立量不确定度传递公式 54 数值修约要 抓两头： 抓好原始实验数据读取、 最后结果表示两个环节； 放中间： 中间运算放手多取几位， 不要无端地减少位数 55 统计学家S.韦斯伯格说：由于有中间运算，他们必须尽量 精确，舍入只被用于最后结果。[朱鹤年, 新概念基础物理实验讲义,p.29] 清 y  x1  x2 u ( x1 )  0.149mm, u ( x2 )  0.249mm u ( x1 )和u ( x2 )不做修约： u ( y )  u 2 ( x1 )  u 2 ( x2 )  0.1492  0.2492  0.290mm  0.3mm u ( x1 )和u ( x2 )修约到一位有效数字： u ( y )  u ( x1 )  u ( x2 )  0.1  0.2  0.2mm 2 2 2 2 u ( x1 )和u ( x2 )修约到两位有效数字： 贡献者：原媛 u ( y )  u 2 ( x1 )  u 2 ( x2 )  0.152  0.252  0.29mm  0.3mm 56 斜率 2.5例 • 测量一个圆柱体的密度 • 分析待测量 M 4M   V  D 2h • 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h 57 • 质量的测量：选用实际分度值d（即相邻两个 示值之差.）为0.01g、不确定度限值a（即最 大允差MPE）为0.02g的电子天平， d和模数转化卡的分辨率有关； 测得：M=80.36g a和仪器机械、电子、机电等元部件(如电 阻应变片)性能(如重复性)有关。 ( 被测量的置信区间上下限 = 极限误差 = 误差限 = “不确定度限值”±a = 仪器的最大允差 MPE = 仪器误差 = 被测量X的期望落在X-a和X+a内的概率为1 ， 而落在该范围之外的概率为0 ) www.tup.tsinghua.edu.cn/Resource/tsyz/037037-01.pdf 58 • 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确 定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度， 测得左端读数：H1＝4.00cm 测得右端读数：H2＝19.32cm • 直径的测量：选用最小分度值为0.002cm、不 确定度限值为0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下： D/cm 2.014 2.018 2.020 2.020 2.016 2.022 2.020 2.016 2.018 2.020 59 • 质量的不确定度——“单次测量的不确定度” ： 已知条件：选用可读性（即实际分度值d，相邻两个示值之差） 为0.01g、不确定度限值为0.02g 的电子天平，测得： M=80.36g 多保留一位有效数字 60 • 高度的不确定度—“单次测量的不确定度” ： 已知条件：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm 的钢尺，估读1/5分度，测得左端读数：H1＝4.00cm，测得 右端读数：H2＝19.32cm； 多保留一位有效数字 61 • 直径的不确定度—“多次测量的不确定度” ： 已知条件：选用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为 0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下： D/cm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.018 2.018 2.020 2.022 2.016 2.020 计算过程中多保 留一位有效数字 62 • 不确定度传递： 63 3. 作图 为什么要作图？作图规则？如何读图？ 3.1 为什么要作图 • 清晰地看到定性关系 • 方便地比较不同特性 • 合理地从图上得到有用的信息 二极管伏安特性 t 电阻随温度的变化关系 64 3.2例：作图 • 在伏安法测电阻的实验中，同学根据测得的数据如下： 如何找到一条最佳的拟合直线？ 65 这幅图中存在什么问题？ 66 实验后 150 140 R/ 130 120 110 100 20 24 28 32 36 40 t / oC 通过作图直线拟合求斜率 67 实验报告 实验后 • 作图、读图 150 140 R/ 130 120 110 100 20 24 28 32 36 40 T / oC 通过作图直线拟合求斜率 68 实验报告 实验后 • 作图、读图 150 140 R/ 130 120 110 作图规则? 100 20 24 28 32 t / oC 36 通过作图直线拟合求斜率 40 69 • 选择图纸（采用标准坐标纸）； 作图规则 P.17 • 根据自变量－因变量选择图纸方向（一般取自变量为横坐标 ），选择合适比例，图纸上1格所表示的数据量值符合原数据 量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）,便于读取。 • 画坐标轴、分度线（等间距、勿太密）并标明物理量名称斜 体）及单位（正体）（用斜线分割）。 • 画数据点（不标数据值， 要 用 端 正 的 “ +” 或 者 “⊙”符号来表示）。 • 画直线或曲线，标明特 殊点(特殊点所用符号应 有别于数据点的符号） 及坐标值（计算斜率用 的点，曲线的峰、谷 等）。 • 写出实验名称、图名、 实验者、实验日期。 70 如何读图 • 读某个数据点时－有效数字 • 读单一坐标值时－有效数字、单位 • 通过图求斜率时 －取点、标出坐标值、计算斜率（单位） 取点三个规则：不能取原始数据点； 尽量远但不超数据范围； 取与X轴刻度线的交点。 71 读图 72 4 最小二乘法 假设各xi的值是准确的，所有的不确定度都只与测量值yi 相关，最小二乘法认为：若最佳拟合直线为y=kx+b，则 所测各值 yi 与拟合直线上相应的各估计值 yˆ i  kx i  b 之间偏差的平方和为最小，即: n s   ( y i  yˆ i ) 2  min (1) i 1 73 由(1)式 s(k , b)   ( yi  kxi  b) 2  min n (2) i 1 极小值要求斜率k和截距b应是下两方程的解 s  2 ( yi  kxi  b)xi  0 k 展开 s  2 ( yi  kxi  b)  0 b 2 ( y x )  k x  i i  i  b xi  0 得k (4) (5) (6)  y  k  x  nb  0 n ( x y )  kn x   x  y  k ( x )  0 (7) i 消去b (3) i i k 2 i i 2 i i n ( xi yi )   xi  yi n x  ( xi ) 2 i 2 i (8) 74 最小二乘法（续） y  kx  b 即 k l xy (8) l xx 1 l xy   ( xi yi )   xi  yi   ( xi  x )( yi  y ) (9) n 1 l xx   ( x )  ( xi ) 2   ( xi  x ) 2 n (10) 2 i (8)代入(6)得 b  ( yi ) / n  k ( xi ) / n  y  kx (11) 75 贾玉润、王公治、凌佩玲，大学物理实验，复旦大学出版社，1987, pp. 10-11. 为表示两变量间函数关系与线性函数的符合程度， 定义相关系数 r ： ( x  x )( y  y )  r (12) n x y 其中 可得 x  r 2 x x (  )  n l xy l xx  l yy y  2 y y (  )  (标准偏差) n 1 2 2 l yy   y   yi     yi  y  (13) n 2 i 如果y和x的相关性好（r的值越接近1，x和y的线性关系越好）， 可以粗略考虑b的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位 对齐，k的有效数字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。76 相关系数 r r = 0.816 r 接近1 y和x的相关性好 (r的值越接近1，x和y 的线性关系越好) 77 眼 见 为 实 目睹图像为上，相关系数辅佐。 The four y variables have the same mean (7.5), standard deviation (4.12), correlation (r=0.816) and regression line (y = 3 + 0.5x). [http://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_and_dependence]2013.3.4 y  kx  b 为例 4.2最小二乘法直线拟合的不确定度估算：以 在假设只有yi 存在随机误差的条件下（且y的仪器不确定度 远小于其A类不确定度），则k 和b的不确定度分别为： Sy Sk  2 x  i Sb  S k ( xi ) 2 n 2 x  i n 2 x  i  Sy n xi2  ( xi ) 2 式中   S  y 2 i n2 ( y  kx  b)   i 2 i n2 见补充讲义。并见实验中心网站基础物理实验讨论区，以下文件 79 http://phylab.fudan.edu.cn/doku.php?id=course:platform:wcfx 关于标准偏差 的推导 苏卫锋 4.3最小二乘法应用举例 例：巳知某铜棒的电阻与温度关系为：Rt  R0    t 。实验测 得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R0、 以 及它们的不确定度。 表1：某铜棒的电阻与温度关系数据 t/℃ 19.10 25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10 Rt /  76.30 77.80 79.95 80.80 82.35 83.90 85.10 分析：此例中只有两个待定的参量R0和，为得到它们的最佳系 2 2 x y y 数，所需要的数据有n 和  i 、 i 、 xi 、 i 、 xi y i 五个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计 算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助(参见表 2)，并使工作有条理与不易出错。 80 最小二乘法应用举例 （续） 表2：列表计算 i t/℃ ( xi ) Rt /  ( yi ) t×t ( x2i ) Rt  Rt ( y2i ) t×Rt ( xi yi ) 1 19.10 76.30 364.8 5821.7 1457.3 2 25.10 77.80 630.0 6052.8 1952.8 3 30.10 79.75 906.0 6360.1 2400.5 4 36.00 80.80 1296 6528.6 2908.8 5 40.00 82.35 1600 6781.5 3294.0 6 45.10 83.90 2034 7039.2 3783.9 7 50.10 85.10 2510 7242.0 4263.5 2 x  y  x  i  i n  i 2 y  i x y  45825.9 20060.8 7 245.50 566.00 9340.8 i R计算 /  i /  i2×10-4 /  i 81 根据表2中所求得的数据，代入公式可得 ：  k  7  20060.8  245.50  566.00 1472.6   0.28788 / C 2 7  9340.8  (245.50) 5115.35 R0  b  566.00 245.50  0.28788   70.76078 7 7 1  xi  yi n r 1 1 [ xi2  ( xi ) 2 ]  [ yi2  ( yi ) 2 ] n n  xi yi  245.50  566.00 7   0.99757  0.998 2 2 ( 245.50) (566.00) [9340.8  ]  [(45825.9  )] 7 7 20060.8  相关系数保留到 第一个非9的数字 说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数 字与R对齐，即：R0＝70.76；又因为t7－t1 = 31.00℃，R7 －R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数 3位，则k = 0.288/C。 82 R  70 . 76  0 . 288 t 由此可以得到电阻与温度的相关关系为： t 最小二乘法直线拟合的不确定度估算,以 y  kx  b 为例 在假设只有yi 存在随机误差的条件下（且y的仪器不确定度 远小于其A类不确定度），则k 和b的不确定度分别为： Sy Sk  2 x  i Sb  S k ( xi ) 2 n 2 x  i n 2 x  i  Sy n xi2  ( xi ) 2 式中，Sy是测量值yi的标准偏差，即：   S  y 2 i n2 ( y  kx  b)   i 2 i n2 见补充讲义。并见实验中心网站基础物理实验讨论区，以下文件 83 http://phylab.fudan.edu.cn/doku.php?id=course:platform:wcfx 关于标准偏差 的推导 苏卫锋 最小二乘法应用举例 （续） 表2：列表计算 i t/℃ ( xi ) Rt /  ( yi ) t×t ( x2i ) Rt  Rt ( y2i ) t×Rt ( xi yi ) R计算 /  i /  i2×10-4 /  1 19.10 76.30 364.8 5821.7 1457.3 76.26 +0.04 16 2 25.10 77.80 630.0 6052.8 1952.8 77.99 -0.19 361 3 30.10 79.75 906.0 6360.1 2400.5 79.43 +0.32 1024 4 36.00 80.80 1296 6528.6 2908.8 81.13 -0.33 1089 5 40.00 82.35 1600 6781.5 3294.0 82.28 +0.07 49 6 45.10 83.90 2034 7039.2 3783.9 83.75 +0.15 225 7 50.10 85.10 2510 7242.0 4263.5 85.19 -0.09 81 2 x i 2 y  i x y  9340.8 45825.9 20060.8 y  n   xi   i 7 245.50 566.00 i i 2  i 2845×10-4 最小二乘法应用举例 （续） 计算k 和b的不确定度：由公式计算，可得： S y  S Rt  S k  S  2   i n2  2845  10 4  0.239() 72 Sy ( xi ) x  n 2 2 i Sb  S R0  S k 故： 2 x i n  0.239 9340.8  ( 245.50) 7 2  0.239  0.03699  0.0088( / C) 9340.8  0.0088   0.33() 7 R0  (70.76  0.33)  (70.8  0.3)   (0.2879  0.009) / C  (0.288  0.009) / C 则：Rt  70.8  0.288t 85 运用Origin拟合数据 86 Equation Adj. R-Square 84 y = a + b*x 0.99114 Value Standard Error a Intercept 70.83853 0.40355 b Slope 0.28648 0.01105 R/ 82 80 78 76 15 20 25 30 35 40 45 50 55 o t/ C 86 Fit Linear(线性拟合) 步骤： 1、将x，y数据输入worksheet 2、绘制x，y的散点图 3、执行Fit Linear 4、结果在Results Log窗口中 A：截距及其标准误差 B：斜率及其标准误差 R：相关系数 N：参与拟合的数据点的数目 P：Probability (that R is zero) R为0的概率 SD：拟合的标准差 第三周实验安排 组号 实验室 第1组 804 第2组 801 第3组 第4组 802 805B 第5组 805A 第6组 803 实验名称 液氮比汽化热的测量 碰撞打靶、转动惯量 示波器的使用 LCR串联谐振 直流电桥、亥姆霍兹线圈 量子论 X光 光栅特性与激光波长 透镜焦距、牛顿环 计算机实测物理实验 请同学们在网上提前选择实验，并写好预习报告！ 88 在网上提前选择实验，并写预习报告！ • http://phylab.fudan.edu.cn • 物理实验课程 – 基础物理实验 • 根据选课及分组名单中分组表确认自己所在组别 • 严格按照分组表登陆对应的“· · · · · ·实验室选实验 登记表”选择实验填写姓名 • 选择实验前请仔细阅读登记表前的选实验要求 • 上周登记表上所选一律作废！请大家重新填写 89 数据处理作业 非教材上练习题，请同学们下载PPT完成作业！ 1、请按实验结果的正确表示法改正下列数据 1）1.315±0.02 2）5.2300±0.01550 3）52.32±0.14501 4）100600±3000 2、试按有效数字运算规则计算下列各式（要求写出计算过程） 1）1.35×5.00＋20.0×2.02＋20×0.1 2）5.02×104－40 1 1  3） （其中被除数“1”为准确数，不用考虑其有效位数 (0.1000) 2 (0.200) 2 ） (3.160  2.2)  3.768 2.50 4） 5）4.25×1.800×（1＋4/800）（其中“1”为准确数，不用考虑其有效位数） 数据处理作业 3、用千分尺多次测量某一金属薄片的厚度d（如下表），千分尺的不确定度限值 为0.004mm，试求d及其不确定度u(d)。 d/mm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.018 4、用钢尺（分度值为1mm，不确定度限值为0.10mm）测量某一物体的长度l，实 验中用1/10估读，读得其左端读数l1为5.00cm，右端读数l2为17.26cm，试求l及 其不确定度u(l)。 5、实验测得一底面为正方形的长方体的高度h±u(h)=(5.20±0.03)cm，底面边长 a±u(a)=(2.134±0.002)cm，试求其体积并计算其不确定度。 6、已知金属环的外径D2=（3.600±0.004）cm，内径D1=（2.880±0.004）cm，高 度h=（2.575±0.004）cm，求环的体积V及其不确定度u(V)。 环的体积公式为：  2 V  D2  D12 h 4   数据处理作业 7、用伏安法测得某电阻的实验数据如下表： U/V 0.74 1.52 2.33 3.08 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50 I/mA 2.00 4.01 6.22 8.20 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01 1）用作图法求其电阻值R；(必须用作图纸手工作图) 2）设测得数据直线方程为U= U 0+ RI，用最小二乘法拟合出直线方程以及r。 （可自行选择用列表法、计算器或采用Excel、Origin等各种方法求解） 下周上课时将数据处理作业交给 所在实验室老师！ （0ld） 5 数据处理作业 非教材上练习题，请同学们下载PPT完成作业！ 1、请按实验结果的正确表示法改正下列数据 1）1.315±0.02 2）5.2300±0.01550 3）52.32±0.14501 4）100600±3000 2、试按有效数字运算规则计算下列各式（要求写出计算过程） 1）1.35×5.00＋20.0×2.02＋20×0.1 2）5.02×104－40 1 1  3） （其中被除数“1”为准确数，不用考虑其有效位数） (0.1000) 2 (0.200) 2 4） (3.160  2.2)  3.768 2.50 5）4.25×1.800×（1＋4/800）（其中“1”为准确数，不用考虑其有效位数） （0ld） 3、用千分尺多次测量某一金属薄片的厚度d（如下表），千分尺的不确定度限值 为0.004mm，试求d及其不确定度u(d)。 d/mm 2.014 2.020 2.016 2.020 2.018 4、用钢尺（分度值为1mm，不确定度限值为0.10mm）测量某一物体的长度l，实 验中用1/10估读，读得其左端读数l1为5.00cm，右端读数l2为17.26cm，试求l及 其不确定度u(l)。 5、实验测得一底面为正方形的长方体的高度h±u(h)=(5.20±0.03)cm，底面边长 a±u(a)=(2.134±0.002)cm，试求其体积并计算其不确定度。 6、已知金属环的外径D2=（3.600±0.004）cm，内径D1=（2.880±0.004）cm，高 度h=（2.575±0.004）cm，求环的体积V及其不确定度u(V)。 环的体积公式为：  2 V  D2  D12 h 4   （0ld） 7、用伏安法测得某电阻的实验数据如下表： U/V 0.74 1.52 2.33 3.08 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50 I/mA 2.00 4.01 6.22 8.20 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01 1）用作图法求其电阻值R； 2）设测得数据直线方程为U= U 0+ RI，用最小二乘法拟合出直线方程以及r。 （可自行选择用列表法、计算器或采用Excel程序。。。等各种方法求解） 下周上课时将数据处理作业交给 所在实验室老师！