3-第三课（晶体对称和点群）.pdf
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晶 体 的 对 称 性 学习内容: 1.5.1 对称性与对称操作 1.5.2 晶系和布拉维原胞 如何科学地区别下列平面图形？ 圆 正方 等腰梯形 不规则四边形 2 §1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体在几何外形和结构上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现 1. 晶体的宏观对称性的描述 对称性——在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。 平移对称性 转动对称性 反演对称性 物体的对称操作越多，其对称性越高 例 立方体的对称操作 1) 绕 三 个 立 方 轴转动 —— 9个对称操作 4/25 2) 绕6条面对角线轴转动 5/25 —— 共有6个对称操作 3) 绕4个立方体对角线 轴转动 —— 8个对称操作 4) 不动操作 —— 1个对称操作 6/25 5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群或空间群 7/25 晶体的对称性 1.5.1 对称性与对称操作 对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。 对称操作：使晶体自身重合的动作。 对称素： 对称操作所依赖的几何要素。 1.对称操作与线性变换 经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为 X ′( x1′ , x′2 , x′3 ) 可以用线性变换来表示。 X ′ = AX a11 a12 A = a21 a22 a a 31 32 x1 X = x2 x 3 a13 a23 a33 x1′ X ′ = x ′2 x′ 3 O x1 O点和X点间距与O点和 X ′点间距相等。 x1 + x 2 + x 3 2 ( ) 2 2 2 2 ′ ′ ′ = x1 + x 2 + x 3 ~~ ~ ~~ ~ ′ ′ X X = AX AX = XAAX = XX X ′( x1′ , x′2 , x′3 ) X ( x1 , x2 , x3 ) 操作前后，两点间的距离保持不变， 2 x3 ~ AA = I x2 1 0 I = I为单位矩阵，即： 0 0 1 0 0 0 1 或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式 A = ±1 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称) (1)旋转对称(Cn,对称素为线) 2π 若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为n n 次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。 x3 当OX绕Ox1转动角度θ时，图中 X ( x1 , x2 , x3 ) X ′( x1′ , x′2 , x′3 ) 若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， O 则 x1 x1′ = x1 X ′( x1′ , x′2 , x′3 ) θ ϕ X ( x1 , x2 , x3 ) x′2 = R cos(θ + ϕ ) = R cosθ cos ϕ − R sinθ sin ϕ = x2 cosθ − x3 sinθ x′3 = R sin(θ + ϕ ) = R sinθ cos ϕ + R cosθ sin ϕ = x2 sinθ + x3 cosθ x2 x1′ 1 0 0 x1 ′ = 0 cosθ − sin θ x2 x 2 θ θ 0 sin cos ′ x 3 x3 0 1 0 A = 0 cosθ − sin θ 0 sin θ cosθ A =1 晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶面 B′ A′ θ θ 上的一个晶列，AB为这一晶列 上相邻的两个格点。 B1 A B A1 B′ 若晶体绕通过格点A并垂直于 A′ 纸面的u轴顺时针转θ角后能自身重 θ 合，则由于晶体的周期性，通过格 A B1 点B也有一转轴u。 A′B′ = AB (1 + 2cos θ ), 1 cosθ = 0, ,1 2 θ θ= A1 A′ B′ 是 AB的整数倍， π π , ,2π 2 3 θ= 2π 2π 2π , , 4 6 1 B′ 相反若逆时针转θ '角后能自身重合，则 A′B′ = AB (1 − 2cos θ ′), A′ B′ 是 AB的整数倍， B θ′ θ′ θ B1 A′ A B θ A1 1 cos θ ′ = 0,− ,−1 2 θ′ = π 2π , ,π 2 3 2π 2π 2π , , θ′ = 4 3 2 2π , n = 1,2,3,4,6 综合上述证明得： θ = n 晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。 1 2 4 6 3 正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转 对称轴中不存在五次轴，只有1，2， 3，4，6度旋转对称轴。 设计一种五边形， 用它铺满一个平面 而不留下空隙，有 多少种？这一直是 数学界的一个难题。 (2)中心反映(i，对称素为点) 取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点 ( x1 , x2 , x3 ) 变为 ( − x1 ,− x2 ,− x3 ) x1′ − x1 ′ = − x x 2 2 ′ − x x 3 3 −1 0 0 A = 0 −1 0 0 0 − 1 A = −1 (3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点 ( x1 , x2 , x3 ) 变为 ( x1 , x2 ,− x3 ) x1′ x1 ′ x 2 = x 2 x 3′ − x 3 1 0 0 A = 0 1 0 0 0 − 1 A = −1 (4)旋转--反演对称 2π 若晶体绕某一固定轴转 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。 旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。 旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如： 1=i 2=m 1 2 3 = 3+i 1 1′ 5 3 4 2 2 1 6 5 6=3+m 3 3′ A 6 4 C H 4 2′ 4′ G F 正四面体既无四 2 D 3 1′ 1 1 2′ E 1′ 5′ 6 2 ' B 3′ 4 D′ A′ 4′ C′ B′ G′ H′ F′ E′ 度轴也无对称心 点对称操作： (1)旋转对称操作：1，2，3，4，6 度旋转对称操作。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示） − − − − − (2)旋转反演对称操作：1, 2, 3, 4, 6 度旋转反演对称操作。 S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示） (3)中心反映：i。 (4)镜象反映：m。 独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 立方体对称性 (1)立方轴C4： (2)体对角线C3： 3个立方轴； 4个3度轴； (3)面对角线C2： 6个2度轴； 2. 群的概念 —— 群代表一组“元素”的集合，G ≡ {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列 性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 —— 若 A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E 4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C 22/25 正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则 整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作 单位元素 —— 不动操作 任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度θ，其逆操作为绕转轴 角度－ θ ；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行A和B操作 —— 相当于C操作 23/25 A 操作 —— 绕OA轴转动π/2 —— S点转到T’点 B 操作 —— 绕OC轴转动π/2 —— T’点转到S’点 操作中S和O没动 而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2π/3 表示为 同样可以证明 24/25 S’ —— 群的封闭性 —— 满足结合律 所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。 一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个 元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、 镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，称作点群。 理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对 称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理 性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。 如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。 （5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2π/n角以后，再沿轴方向平 移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是 轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。 （6）滑移反映面：若经过某面 进行镜象操作后，再沿平行于该面 的某个方向平移T/n后，晶体能自 身重合，则称此面为滑移反映面。 T是平行方向的周期， n可取2或4。 点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230种 空间群，即有230种对称类型。 1.5.2 晶系和布拉维原胞 根据不同的点对称性，将晶体分为7大晶系，14种布拉维 晶格。 取 a , b, c 为布拉维原胞三个基矢， α , β , γ 分别为 b与c , c与a , a与b 间的夹角。 c β 7大晶系的特征及布拉维晶格如下所述： α γ a b 1.三斜晶系： a ≠ b ≠ c ,α ≠ β ≠ γ a≠b≠c 简单单斜(2) 底心单斜(3) 2.单斜晶系：α = γ = 900 ≠ β a=b=c 3.三角晶系： α = β = γ ≠ 90 < 120 0 简单三斜(1) 0 a≠b≠c 三角(4) 4.正交晶系： α = β = γ = 900 简单正交(5)，底心正交(6) 体心正交(7)，面心正交(8) 5.四角系： a = b ≠ c 0 α β γ = = = 90 (正方晶系) 简单四角(9)，体心四角(10) a=b≠c 6.六角晶系：α = β = 900 γ = 1200 a=b=c 7.立方晶系： α = β = γ = 900 六角(11) 简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14) 1.三斜晶系： a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠γ 简单三斜 (1) 2.单斜晶系： a ≠ b ≠ c, α = γ = 900 ≠ β 3.三角晶系： 简单单斜 (2) a=b=c α = β = γ ≠ 900 < 1200 三角(4) 底心单斜 (3) 4.正交晶系： a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90 0 简单正交(5) 底心正交(6) 体心正交(7) 面心正交(8) 5.四角系：(正方晶系) a=b≠c α = β = γ = 90 0 简单四角(9) 体心四角 (10) 6.六角晶系： a=b≠c α = β = 900 γ = 1200 六角(11) 7.立方晶系： a=b=c α = β = γ = 900 简立方(12) 面心立方(14) 体心立方(13) 立方 a a a 六方 三方 四方 c a a a c a a a a a 三斜 单斜 正交 c c c a b a b b a