2021年《计算传热学的近代进展》-第三章.pdf

计算传热学的近代进展 第三章 压力与速度耦合算法研究进展 主讲 陶文铨 西安交通大学能源与动力工程学院 热流科学与工程教育部重点实验室 2021年3月8日, 西安 1/154 第3 章 压力与速度耦合算法研究进展 3.1 SIMPLE系列算法的基本思想 3.2 PISO算法与CLEAR算法介绍 3.3 IDEAL算法 3.4 松弛因子的自动选取方法 3.5 非结构化网格上流场的求解 3.6 SIMPLE系列算法向可压缩流的发展 2/154 3.1 SIMPLE系列算法的基本思想 3.1.1 二维交叉网格上流场控制方程的离散及其求解 3.1.2 压力修正算法的基本思想及两个重要假设 3.1.3 SIMPLER与SIMPLEC算法 3.1.4 SIMPLEX算法 3.1.5 四种算法在密网格下收敛性的比较 3.1.6 压力修正算法是一种预估－校正算法 3/154 3.1 SIMPLE算法的基本思想 3.1.1 二维交叉网格上流场控制方程的离散及其求解 1. 方程及离散 u v  0 x y   2u  2u  uu   vu  1 p      2  2  x y  x  x y    2v  2v   uv   vv  1 p      2  2  x y  y  x y   aeue   anbunb  b  ( pP  pE ) Ae an vn   anbvnb  b  ( pP  pN ) An [( u)e  ( u) w ]y  [(  v)n  (  v) s ]x  0 4/154 2. 代数方程的求解 (1) 联立直接求解：不存在任何压力与速度的耦合关 系处理问题；但计算机内存容量的限制以及问题的非 线性限制了此法的应用； (2) 分离式求解 (segregated method) ：假设压力场 p*， 先解 u 方程，再解 v 方程，然后通过利用连续性方程 来修正假定的压力，使与修正后压力对应的速度满足 连续性要求。一般地，压力与速度的改进都通过加上 一个小量来进行：p’, u’, v’。 5/154 3.1.2 压力修正算法的基本思想及两个重要假设 1.基本思想 1）在流场迭代求解的每一个层次上，都必须满足连 续性方程； 2）在每一层次动量方程的求解中获得中间速度后对 压力进行修正，使与修正后的压力，p*+p’, 相对应的 速度, u*+u’, v*+v’ , 满足质量守恒要求。 2. 实施步骤 1） 假定一个速度场 u(0)，v(0),计算ae , an , anb , b等; 6/154 2） 假定一个压力场 p*;（简化假设1：p*独立设定） 3） 求解动量方程，得出临时速度场 u*，v*; 4） 据 u*，v*修正压力，获得修正分量p’, 要求与p’ 对应的u’, v’ 使（u*+u’), (v*+v’) 满足质量守恒，由此 导出压力修正方程； * ' ae (ue*  ue' )   anb (unb  unb )  b  Ae [( pP*  pP' )  ( pE*  pE' )] a u   a u  b  Ae ( p  p ) * e e * nb nb * P * E ' aeue'   anbunb  Ae ( pP'  pE' ) 7/154 略去邻点速度修正量的影响（第二个简化假设）可得： Ae ' ' ue  ( pP  pE' )  d e ( pP'  pE' ), d e  Ae ae ae An ' An ' ' ' ' vn  ( pP  pN )  d n ( pP  pN ), d n  an an 5） 获得 p’后修正速度和压力; ue  ue*  d e ( pP'  pE' ) vn  vn*  d n ( pP'  pN' ) p  p*   p p ' 6）以ue , vn 以及 p*+  p p’开始下一层次的迭代计算。 3. 两个基本简化假设 假设 1：p*独立设定； 假设 2：略去邻点速度修正量的影响。 8/154 3.1.3 SIMPLER 与SIMPLEC算法 1.SIMPLER （1980）完全克服了第一个简化假设 1） 假定一个速度场 u(0)，v(0),计算ae, an, anb, b等; 2） 由假定的速度u(0)，v(0) ，计算假拟速度 u , v ， 进而根据质量守恒导出一个压力方程，以确定 p*; （完全克服了简化假设1）; 0 0 a v anbunb  b nb nb  b v  u  ae ae aP p P  aE p E  aW pW  aN p N  aS p S  b e n (  P0   P )xy b  [(  u ) w  (  u ) s ] Ae  [(  v) s  (  v) n ] An t 9/154 3） 求解动量方程，得出临时速度场 u*，v*; 4） 据 u*，v*修正压力，获得修正分量 p’, 要求与 p’ 对应的 u’,v’ 使（u*+u’),(v*+v’) 满足质量守恒，由此 导出压力修正方程（同SIMPLE）； 5） 获得 p’后修正速度，但不修正压力; ue  u  d e ( p  p ) * e ' P ' E vn  v  d n ( p  p ) * n ' P ' N 6） 以ue , vn 开始下一层次的迭代计算。 10/154 2. SIMPLEC减轻了第二个简化假设的影响（1984） 1）假定一个速度场; 完全同SIMPLE 2）假定一个压力场; 3）求解动量方程； 4）与SIMPLE有区别： ' a u 在速度修正量方程两边各减去  nb e 得： ' ′ − ෍ 𝑎 𝑢 e e 𝑛𝑏 𝑒 au  a u ' ′ − ෍ 𝑎 𝑢 𝑛𝑏 𝑒 nb nb  Ae ( p  p ) ' P ' E u (ae   anb )   anb (u  u )  Ae ( p  p ) ' e ' nb ' e ' P ' E 11/154 ' 可以认为： e u ,u ' nb 具有相同的量级，因而略去  a (u  u ) 而造成的影响比SIMPLE中略去  a u nb ' nb ' nb nb ' e 而造成的影响要小得多。于是有： ue' (ae   anb )  Ae ( pP'  pE' ) u ( ' e Ae ae   anb )( p  p ), 类似的有 v  ( ' P ' n ' E An an   anb )( pP'  pN' ) SIMPLEC 中的de de  Ae ae   anb ; dn  An an   anb 此即SIMPLEC中速度修正值计算式。 12/154 5）与SIMPLE有区别： p’ 不再亚松弛。 ue'  d e ( pP'  pE' )  d e pe' vn'  d n ( pP'  pN' )  d n pn' u  u * u ' v  v * v ' p  p* p' 6）以 ue , vn 以及 p*+ p’ 开始下一层次的迭代计算。 3.1.4 SIMPLEX算法（1986） SIMPLEC算法的实质性的一步是系数 d 的计算式 的改进，可以部分考虑邻点的影响;由此推广开去：如 果能够形成一组关于计算 d 的方程，使其能能更多地 考虑邻点的影响，则有望加速收敛。 13/154 为此，将表达式 u  d e ( p  p )  d e p ' e ' P ' E ' e u  d nb p 推广到: ' nb ' nb 代入到： a u   anbu nb  Ae ( p  p ) ' ' e e 得 ' P ' E ae d e p   anb d nb p nb  Ae p ' ' e 假定：p  p ' e ' e （新的假定） ' nb ' a d  p  a d  p  A  p 于是： e e  nb nb nb e e ' e ' 得确定系数d 的代数方程组: ae d e   anb d nb  Ae 根据已知的动量方程系数可以由此求出d。边界 条件是： “绝热型”--- d 方程 的边界系数为0 14/154 得出上式时没有略去邻点的影响；但是引入了新的 ' 假定： pe'  pnb 因此也仅能部分克服第二个假设。 SIMPLEX算法的计算步骤如下： (1) 假定速度初场u0, v0, 计算系数a , b (2) 假定压力场 p* ; (3) 求解动量离散方程，得u*, v*; (4) 求解 d方程，然后求解压力修正方程，得p’; (5) 由 p’ 修正速度，得u’, v’; (6) 以（u*+u’),(v*+v’) ,(p*+p’)作为本层次的速度场 与压力，开始下一层次的迭代（p’不作亚松弛）。 15/154 3.1.5 四种算法在密网格下收敛性的比较 算法 SIMPLE 第一个简化假定 p*独立地假定，通过 修正量改进并亚松弛 SIMPLER p*由已知的速度算出, 克服第一个假定，压力 修正量不修正压力 SIMPLEC p*独立地假定，通过 修正量改进，但压力的 修正量不亚松弛 SIMPLEX p*独立地假定，通过 修正量改进，但压力的 修正量不亚松弛 第二个简化假定 ' a u  nb nb  0, de  Ae / ae  a u  0, d  A / a ' nb nb e e e ' ' a ( u  u  nb nb e )  0, d e  Ae /(ae   anb ) 减轻第二个假定影响 ' pe'  pnb 求解 de 减轻第二个假定影响 16/154 密网格下对四个算例比较结果 (1)lid-driven cavity flow (2)flow in a tube with sudden expansion (3)natural convection in a square cavity (4)natural convection in a horizontal annular 1.CPU时间：SIMPLER/SIMPLEX  SIMPLE/SIMPLEC 2.健壮性：SIMPLE0时有： w  1.5W  0.5WW  W  0.5(W  WW )  W  WW w界面与W节点间的 W  ( )  0.5x 距离 x 平均梯度 仿照这个形式：  j  P  ( ) P  ( rj  rP ), F j  0 0 0 0  j  P  ( ) P  ( rj  rP ), F j  0 j j j 118/154 (4)混合迎风 通过权因子  将一阶与二阶迎风组合起来： j  P   ( ) P  (rj  rP ), Fj  0 0 0 0 P   ( ) P  (rj  rP ), Fj  0 j j (0    1) j 在非结构化网格 ，通过构筑一个虚拟的上游点 就可以采用第2章中的各种高阶格式： U D - U =C dUD U  D - 2C dCD 119/154 (5) 单元中心 ( ) P0 的计算 要确定计算单元中的 ( ) P0就是要计算直角坐标系中   , 的分量 的离散表达式。一种简单的方法如下： x y (1)将一阶导数的离散表达式看成是一阶导数在该单元 中的平均值 (FVM的基本思想）：  ( ) dV V xi  ( ) P0  xi VP0 (2 D : i  1,2) (2)矢量  的散度为 x  y div( )   x y 其中 x , y为 在两轴上的分量。 如果    i  0  j则  div( )  x 120/154  因此 可以看成是矢量    i 的散度； x (3) 利用上述结果和Gauss降维定律，导数计算式中的 体积分可以进一步简化： Gauss降维定律  V ( x )dV  看成是 的散度 i  ( i )  d A    (i  ndA)  A A 矢量本身沿周界的积分 N N   (i  n A )    A j 1 j j 是界面的编号 j j j 1 j x j j 界面在i 方 向即x方向 A j 界面在 i 方向、 的投影 即x方向的投影 121/154  x  A ( j  1, 2,3) (x方向） ( ) dV   j j V x j 1 类似地  可以看成是矢量    j 的散度； 3 故有 y 3  y (y方向）  A ( j  1, 2,3) ( ) dV   j j V y j 1 3   i 梯度的两  A ( )dV  j j  个分量为： (  )  V xi (i  1, 2)  j 1 xi P0 VP0 VP0 2. 如何计算界面流量Fj ——同位网格特有的问题。 这是保证不出现波形压力场的关键步骤。回顾结 构化网格的同位网格上的处理方式： 122/154 1) 交叉网格成功的经验－引入1－ 压差及 O  2 ( ) 1－  压差可有效地克服不合理的波形压力分布； O ( 2)保证压力Poisson方程的扩散特性。   pE  pP p 2 )ue  ，O( x ) x （ x） 123/154 2) 在结构化的非交叉网格上控制方程的离散 (1) 动量守恒 aP u P   a u b A (p  p ) nb nb P e w E ,W , N , S a u b A  u   (p  p ) nb nb P aP P aP e w AP uP  u P  ( pe  pw ) aP 类似地 对E点写出其东、西界面压差 AP uE  u E  ( ) E ( pe  pw ) E aP 124/154 (2) 质量守恒 对主节点控制容积写出， 需要用到未知的界面流速 (在交叉网格上有界面流速）： ( uA)e  ( uA) w  (  vA)n  (  vA) s  0 (3) 界面流速的确定 就是这个界面流速的确定为引入 1   压差提 供了途径；模仿 P 节点两侧界面间的压差 A uP , uE 的计算式： uP  u P  ( P )( pe  pw ) P aP 125/154 类似地，试将界面流速表示为： AP ue  u e  ( ) e ( p E  p P ) aP   e 界面的东、西邻点压差 上式也是可视为界面流速的动量方程。 如果界面流速表示为 uP , uE 间的线性插值，则 就失去了引入相邻两点间压差的机会！ Rhie-Chow引入了这种对界面流速的确定方式， 称为动量插值(momentum interpolation methodMIM)，是解决同位网格上压力波动的关键技术。 126/154 A 结构化的同位网格中MIM网格界面上 u e ,( P ) E 均 aP 采用线性插值计算公式 AP AP uP  u P  ( pe  pw ) uE  u E  ( ) E ( pe  pw ) E aP aP ( x)e ( x)e ue  u P  uE ( x)e ( x)e  线性插值  AP AP ( x)e AP ( x)e ( )e  ( ) P  ( )E aP aP ( x)e aP ( x)e 参考结构化网格上界面流速计算的上述基本思想， 引入相邻两点间的压力差；但非结构化网格上几何关 系复杂，不宜采用界面的假拟速度这样的参量。 127/154 目前文献中采用的一种确定界面 流速的方如下： 参照结构化同位网格界面流速： AP uE  u E  ( ) E ( pe  pw ) E aP  AP ue  u e  ( ) e ( p E  p P ) aP AP AP ( x)e AP ( x)e ( )e  ( ) P  ( )E aP aP ( x)e aP ( x)e dj 128/154 在 A j 方向上的一个速度小量(包含相邻2点压差） 1  A p  p d d Pj P0   j j j u j  uP0 j  K j  [(p ) P0   (p ) Pj  ]  dj dj dj  2  A j u P0 , u Pj 之间的线 性插值， 无法采用 u p0 。 j 压差项 前的系 数，相 当于： dj AP ( )e aP 位 方 向 单 矢 量 P0 , Pj 单元的平 均压力梯度在 d j 方向的投影，其 值与后者十分接 近；在结构化均 分网格中将不显 含相邻两点间的 压差。 保证相邻 两点间的 压差出现 在界面流 速中的附 加项 ，以 衰减波形 压力场。 单 位 向 量 129/154 类似于结构化网格上同位网格的动量插值： AP 1 AP AP AP ( x)e AP ( x)e [( ) P  ( ) E ] ( )e  ( ) P  ( )E aP aP aP ( x)e aP ( x)e 均分 2 aP 在非结构 1 V V 为抵消压力梯度中 化网格上 K j  [( u ) P  ( u ) P ] 的距离，由面积改 0 j 2 a a 该系数为 0 0 为体积。   AP ) e ( pE  pP ) 在结构化网格上 ue  u e  ( aP 在非结构化网格上从量纲来看   A p  p Pj P0   j u j  uP0 j  K j C   dj   Aj 分母中多了一个长度 130/154 3.5.3 扩散项和源项的离散 在非结构化网格中扩散项的离散也较复杂。 D j   (   )  d A       d A 其物理意义是通过界面 j 的扩散传递。将总传递分解 为两部分：  沿着 p - p 连线方向的扩散在界面 j 上的投影---称 0 j 为常规分量；  沿着与p - p 连线的垂直方向的扩散在界面 j 上的 0 j 投影---称为交叉分量。 131/154 1. 扩散项的常规分量的计算 D j       d A  D  D n j c j Aj 常规分量是指沿着p0 - pj 连线的 分矢量在面积矢量 D   [ n j A上的投影： P  P d j 连线上变 量的梯度 j 0 dj dj ]  Aj   (Pj  P0 ) 在面积 Aj 上 的投影 d j  Aj dj 2 2. 扩散项的交叉分量的计算 132/154 交叉分量是指沿着垂直于p0 - pj连线方向的分矢量 在面积矢量 A j 上的投影，   d d  j j  c D j   ( ) j  [( ) j  ]   Aj Aj dj dj    总梯度与连线上 矢量的矢量差 3. 源项的离散 总梯度在两 节点连线方 向的投影,标 量 在连线上 变量的梯 度 Aj 在面积 Aj 上 的投影 采用源项线性化的方法： S  SC  S PP  S dV  S V  S  V VP0 C P0 P P0 P0 133/154 非结构化网格上对流扩散方程的离散过程汇总 1. 积 分型 控制 方程 2. 方 程的 离散 3. 对 流通 量 3.1界 面插 值  (  u    )  d A   S dV A 3 V   (  u    )  d A   S dV j 1 A j V 3  (C  D )   S dV j 1 j j VP0 C j    u  d A j  Fj j Aj j  P   ( ) P  ( rj  rP ), F j  0 (0    1) P   ( ) P  ( rj  rP ), F j  0 0 0 0 j j j 134/154 3.2 单元P0 的梯度   ( ) Po  ( ) Po i  ( ) Po j x y  i  A ( )dV  j j  V x  j 1 i ( ) P0   xi VP0 VP0 3 3.3 单元P0 的界面流速 (i  1, 2)  135/154 界面 流速 在 A j 方向上的一个速度小量(包含相邻2点压差） 1  A p  p d d Pj P0   j j j u j  uP0 j  K j  [(p ) P0   (p ) Pj  ]  dj dj dj  2  A j u P0 , u Pj 之间的 线性插 值。 压差项 前的系 数，相 当于： AP ( )e aP dj 方 向 单 位 矢 量 P0 , Pj 单元的 平均压力梯度 在 d j 方向的 投影，其值与 后者十分接近； 在结构化均分 网格中将不显 含相邻两点间 的压差。 保证相邻 两点间的 压差出现 在界面流 速中的附 加项 ，以 衰减波形 压力场。 单 位 向 量 136/154 3.4 混合格式Cj的紧凑表达方式（兼顾流速的正负两个方向） C j  F j j  max( F j ,0)[P0   ( ) P0  ( rj  rP0 )]  max(  F j ,0)[Pj   ( ) Pj  ( rj  rPj )]  [max( Fj ,0)P0  max( Fj ,0)Pj ] 对流项的一阶 迎风部分，进 入求解项 max( F j ,0)  ( ) P0  ( rj  rP0 )  max(  F j ,0)  ( ) Pj  ( rj  rPj ) 对流项的其余部分，进入源项 4. 扩散通量 D j       d A  D nj  D cj 137/154 4.1 扩散通量的常规分量（连 线的分量在Aj 上的投影） D   (Pj  P0 ) n j d j  Aj Aj 2 dj 4.2 扩散通量的交叉分量（与连线 矢量垂直的分量在Aj上的投影）   d d  j j  c D j   ( ) j  [( ) j  ]   Aj dj dj    5. 源项的 离散 S  SC  S PP  S dV  SCVP0  S PP0VP0 VP0 138/154 3.5.4 离散方程的最终形式  (C  D )   S dV j j j 对流项离散的一阶迎风部分进入直接求解，其余 部分进入源项（延迟修正）; 扩散项中的常规分量进入直接求解部分，交叉分 量进入源项（显式处理）； 得： VP0 将含 P0 项置于等号前，含 Pj 项置于等号后.       (d j  Aj )  S PVP0  P0 [max( Fj ,0)   2 j 1  dj   3 主节点系数 139/154       ( d j  A j )  Pj  SCVP0  [max(  F j ,0)   2 j 1  d  源项常数部分 j  3 邻点系数 3 3   [( ) max( F ,0)(r  r )    [( ) max( F ,0)(r  r )] j 1 P0 j P0 j j 1 P0 j j Pj 对流部分的延迟修正 3 dj dj j 1 dj dj   [( ) j  ( ) j  ]  Aj 交叉扩散部分显式处理 140/154 简写之： 3 aP0 P0   aPj Pj  b j 1 3 aP0   aPj  S PVP0 要求质量守恒成立 j 1 b 源项常数部分 ＋ 对流项延迟修正部分 ＋ 交叉扩散部分 3.5.5 压力修正方程的导出 类似于结构化网格上SIMPLE算法的压力修正 方程的推导过程, 由界面流速的计算公式， 141/154 1  A p  p d d Pj P0   j j j u j  uP0 j  K j  [(p ) P0   (p ) Pj  ]  dj dj dj  2  A j 可得： 1 V V u   [( u ) P0  ( u ) Pj ] 2 a0 a0 ' j pP' j  pP' 0 Aj V  ( u ) Pj a0 Aj dj pP' j  pP' 0 Aj dj Aj 速度修正值公式 要求 (u  u ) 满足质量守恒，可导出压力修正值方程 * j ' j 3 a p  a p  b p 0 ' P0 j 1 p Pj ' Pj A j V p a j   ( u ) Pj , a0 dj p (齐次Neumann边界条件） 3 a  a , p 0 j 1 p j 3 b  F p j 1 * j 142/154 3.5.6 非结构化网格上SIMPLE算法的实施步骤 1. 假定一个速度场 u 0 ，计算系数与源项; 2. 假定一个压力场 p*; 3. 求解动量方程，得出临时速度场 u * ; 4. 据 u * 修正压力，获得修正分量p’, 要求与p’ 对应的 u ' 使 (u  u ) 满足质量守恒，由此导出压力修正方 * ' 程并求解之； 5. 获得p’后修正速度和压力; 143/154 节点流速 V ' uP0  u  u pP0 a0 节点压力 pP0  p   p p * P0 * P0 V 界面流速 u j  u  ( u ) Pj a0 * j ' P0 pP' j  pP' 0 Aj dj Aj 6. 以 u 以及p*+  p p’开始下一层次的迭代计算。 非结构化网格上离散方程的求解难以应用结构化 网格上行之有效的ADI－TDMA方法，一般采用G－ S迭代法或者共轭梯度法。 144/154 3.6 SIMPLE系列算法向可压缩流的发展简介 3.6.1 引言－发展全速算法的必要性 3.6.2 目前构建流场全速算法的两种途径 3.6.3 基于压力算法的可压缩流与不可压缩流算法 的主要区别 145/154 3.6.1 引言－发展全速算法的必要性 美国的X-51A飞行器在2010年5月26日进行的第一 次飞行速度达到了5 Ma。 http://www.cnhuu.com/junshi/chinajq/200804/junshi_195112 .html 146/154 高超声速飞行器从地面起飞到达一定高度的飞行 中，其四周气体的流速经历了两种变化； (1) 从不可压缩流动到高Ma数流动； (2) 从连续介质流动到稀薄气体薄流动。 由于特别适用于稀薄气体流动模拟的DSMC计算 十分费时，因此只有在必须使用DSMC的局部地区 才使用，其余地区仍然采用连续介质的数值方法。 因此发展一种能同时进行不可压缩与可压缩流场 计算的所谓“全速”算法（all speeds)具有重要意 义，引起了全世界的关注。 147/154 3.6.2 目前构建流场全速算法的两种途径 1.基于密度方法-从可压缩流动延拓到不可压缩流动 以密度为基本变量的方法以(u,v,w,  )为求解 变量，最初是对欧拉方程求解提出的，后扩大到粘性 流动，代数方程求解常采用直接解法。 基于密度的方法不适用用于马赫数很小的流动： 在这些情况下密度的变化很小甚至不变，压力与密度 之间的耦合变得很弱。 最近十余年随着航天航空事业的发展，将基于密 度的方法向不可压缩推广引起了广泛关注。 148/154 2.基于压力的方法-从不可压缩流动延拓到可压缩流动 无论流动马赫数为多少，压力的变化总是存在 的。从这个角度看以压力作为基本变量的算法有望 可以适用于整个马赫数范围，但至今未获成功。 从1989年出现将基于压力的方法推广到可压缩流 动至今，已经提出了十余种基于压力的可压缩流动算 法，但是计算的最高马赫数均小于10. 3.6.3 基于压力算法的可压缩流与不可压缩流算法的 主要区别 (1) 修正速度时除了考虑压力修正的作用外还需考虑 密度修正引起的变化； 149/154 (2) 对流项的离散格式与不可压缩流动有区别； (3) 速度与压力边界条件的处理与不可压缩流不同。 本团队两篇博士论文（屈治国，2005；张宏伟， 2006）喷管出口Ma分别达到3.4与6.7。 Ma=3.4 屈治国.流动传热问题先进算法及其在强化空气对流传热应用中的研究.西安交通大 学,2005. 张宏伟．高压推力室流动与传热特性及液膜冷却的数值模拟研究．西安交通大学， 2006． 150/154 在欧盟支持下Moukalled and Darwish将基于压力 的算法计算到Ma=7，且获得很高的计算精度。 1）将规整变量公式（NVF）用于对流项的离散； 2） 将高分辨率格式用来进行密度插值。 缩放喷管无粘流动沿程 马赫数分布对比，进口 马赫数为7 Moukalled F and Darwish M．A highresolution pressure-based algorithm for fluid flow at all speeds．A report submitted to European Office of Aerospace Research and Development (EOARD), SPC-99-4003． 151/154 将基于压力的算法拓宽到高超声速下的高效计 算仍然是一个难题，当前的进展不大。基于密度的 算法可能是个基本选择,全速流场求解的统一算法 问题仍然没有解决。 Karki KC, Patankar SV. Pressure based calculation procedure for viscous flows at all speeds in arbitrary configurations. AIAA J, 1989, 27(9):11671174 Shyy W, Chen M H, Sun C S. Pressure based multigrid algorithm for flow at all speeds. AIAA J, 1992, 30,2660-2669 Shyy W, Chen M H, Sun C S. Pressure based multigrid algorithm for flow at all speeds. AIAA J, 1992, 30,2660-2669 Demirdzic I, Leilek I, Peric M. A collocated finite volume method for predicting flows at all speeds. Int J Numer Methods Heat Fluids. 1993, 16: 1029 -1050 Date A W. Solutions of Navier-Stokes equations on non-staggered grids of all speeds. Numerical Heat Transfer, Part B,1998, 33:451-467 152/154 推荐阅读文献 [9] Zeng M, Tao W Q. A comparison study of the convergence characteristics and robustness for four variants of SIMPLE family at fine grids. Engineering Computations, 2003, 20(3/4):320-341 [10] Tao WQ, Qu ZG, He YL , A novel segregated algorithm for incompressible fluid flow and heat transfer problems - CLEAR (coupled and linked equations algorithm revised) part I: Mathematical formulation and solution procedure , Numerical Heat Transfer, Part B, 2004, 45 (1): 1-17 [11] Sun DL, Qu Z G, He Y L, Tao WQ. An efficient segregated algorithm for incompressible fluid flow and heat transfer problems-IDEAL (Inner doubly iterative efficient algorithm for linked equation) Part Ⅰ:Mathematical formulation and solution. Numerical Heat Transfer, Part B, 2008,53(1);1-17 [12] Jin-Ping Wang, Jian-Fei Zhang, Zhi-Guo Qu & Wen-Quan Tao. Adaptive inner iteration processes in pressure based method for viscous compressible flows， Numerical Heat Transfer, Part B, 2018, 74(3): 603–622 [13] Wei You, Zeng-Yao Li & Wen-Quan Tao. A general self-adaptive underrelaxation strategy for fast and robust convergence of iterative calculation of incompressible flow. Numerical Heat Transfer, Part B, 2020, 77(4): 299–310 153/154 本组网页地址：http://nht.xjtu.edu.cn 其中虚拟仿真实验教学中心一栏的资源下载中有： 2D-IDEAL算法程序； Delauney 非结构化网格生成及流场的求解程序 欢迎访问、下载！ 同舟共济 渡彼岸! People in the same boat help each other to cross to the other bank, where…. 154/154