高数（少课时） 第六章练习与自测.pdf

南阳师范学院—数学与统计学院  （ ）  y 2  z 2  16 x2 y 2 z 2 （15） 曲面    1 与 xoy 平面的交线方程为  4 4 9  x3 （ ） 《高等数学》第七章-——向量代数与空间解析几何 练习题——王阳  x2  y 2  z  3 （ 16 ） 曲线  z 1  一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （1） AB   BA . （ ） （ ） （3） 零向量既与任意的向量垂直，又与任意的向量平行. （ ） （4） 对任意的三点 A, B, C ，都有 AB  BC  AC 成立. （ ） （5） 对任意的三点 A, B, C ，都有 AB  AC  CB 成立. （ ） （2） AB  0  AB  0  A 与 B 重合  AB 的方向任意. 0. （ ） （7） 两向量的夹角既与两向量的模有关又与两向量的方向有关. （ ） （8） 在空间直角坐标系中，点 M 的坐标为 ( x, y, z) 的充要条件是 （ ） a 0 0或 a （1) a  b  a  b 成立的充要条件是（ （9） A：向量 a , b 共线 B：向量 a , b 垂直 C：向量 a  0 或 b  0 D：向量 a , b 同方向 （10）直线 A： a  b  b  a .   C： a  b  a  b   E：  a  b   a  b ） 1 1 , 0, . 2 2 （  x y z x y z   与   的夹角为 . 2 1 0 1 1 0 1 （ ） 向量 a  1,0,1 的方向余弦为 ） ）    B： a  b  c  a  b  c  D： a  0  a F： 若 a  b ，则 a , b 一定同方向 （3）与 a   2, 1, 2  同方向的单位向量为（ （ ） A： e   2, 1, 2   2 1 2 B： e    ,  ,   3 3 3 2 1 2 C： e   , ,  3 3 3 2 1 2 D： e   , ,   3 3 3 ） （4）对任意的向量 a , b , c 及任意的实数  ，下列结论不一定正确的是（ （11） a a  a a . （ ） （12） i  j  i  k  k  j0. 1 1 1 ABC 的面积 S  AB  AC  BC  BA  CA  CB 2 2 2 （ ） A： ab  ba B： a  b c  ac  bc （ ） C：  ab  c  a bc  D： ab  0  a  b E: ab  a b F: （13） ） 二、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） OM  xi  yj  zk   x, y, z  . （9） 设 a  1, 0,1 , b   x, y, z  , 若 a  b , 则 x  z  1, y  0 .  x2  y 2  2 在 xoy 面上的 投影 曲线 的 方程   z0 （ （2）下列结论错误的是 （ （6）  （14） 三向量 a, b , c 共面的充要条件是 a  b  c  0 第 1 页 共 3 页    ab   a b 2 2 2 ） 南阳师范学院—数学与统计学院 （5）若 a  b  0, 则下列结论不正确的是（ （10）关于平面  ： x  y  1  0 ，下列结论不正确的是（ ） A： a  b  a , a  b  b A：与 z 轴没有交点 B： a  b 垂直于向量 a , b 所确定的平面 C 不过原点： C： a  b 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 D： a  b  a b sin  a , b  C： a b  b  a        D： a  b  a  b  2 a  b （7） 在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ y  0 A： x 轴的一般方程为  z  0 C: x 轴的对称式方程为 B：方程 x y z   1 0 0 D：方程 E: x2 y 2   1 的图形为母线平行于 y 的双曲柱面 4 9 x2 y 2   z 2  1 的图形为椭球面 9 4 方程 x2 y 2 z 2    1 的图形为单叶旋转双曲面 4 4 9 D: 以上结论都不正确 （12） 空间中，下列结论不正确的是 ） x  0  B： y 轴的参数方程为  y  t z  0  C: y 轴的一般方程为 y  0 D: y 轴的对称式方程为 （9）在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是（ z 轴的一般方程为 z  0  xt  B： x 轴的参数方程为  y  0 z  0  x  0 A： y 轴的一般方程为  z  0 x  0 A： z 轴的一般方程为  y  0 ） x2 z 2   1 的图形为母线平行于 z 的椭圆柱面 4 9 C：方程  ） （8）在空间直角坐标系中，下列结论不正确的是（ C: ） B： a  b  c  a  c  b  c a b  0  a b （ x 1 y z 1   1 1 0 A：方程 y 2  z 的图形为母线平行于 x 的抛物柱面 （6）对任意的向量 a , b , c 及任意的实数  ，下列结论不一定正确的是（ A： B：与 x 轴的交点坐标为 (1,0,0) D: 与平面 z  1  0 的交线方程为 （11） 空间中，下列结论正确的是 ） （ x2 y 2 z  的图形为椭圆抛物面 A：方程  4 16 3 x y z   0 1 0 ） x  0  B： z 轴的参数方程为  y  0 z t  x2 y 2  z 的图形为双曲抛物面 B：方程  4 16 x2 y 2 z 2 C：方程    1 的图形双叶双曲面 4 16 9 D： 方程 x 2  y 2  4 的图形为圆 x y z D: z 轴的对称式方程为   0 0 1 第 2 页 共 3 页 E：方程 x 2  y 2  z 的图形为圆锥面 ） 南阳师范学院—数学与统计学院 （13）关于平面，下列说法错误的是（ ） 13. 若 a  1, 2,1 ， b  1,1, 1 ，则 a  b =____________， a  b =____________， A：与 x 轴平行的平面可设为 By Cz D 0 (D 0) B：与 y 轴平行的平面可设为 Ax Cz D 0 (D 0) C：与 z 轴平行的平面可设为 Ax Bz 0 D：与 yoz 平面平行的平面可设为是 x D 与 a , b 都垂直的单位向量为_______________________ 14. 已知三点 A(1,1,1), B(1,0,1), C(1,1,0), ，则 （1） AB =____________. AC =____________. 0 (D 0) （2） AB  AC =____________，cos A ____________.， A ____________. E：与 xoy 平面平行的平面可设为 z D 0 (D 0) （3） AB  AC =____________，因此 ABC 的面积为____________ F：与 xoz 平面平行的平面可设为 y D 0 (D 0) （4）取 ABC 的所在平面的法向量 n  ____________，从而 ABC 的所在 三、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 若 a  ( x, y,1), b  (1, 2,1) 共线，则 x  平面的点法式方程为________________________， 整理得一般方程为 y . ________________________ 2. 若 a  ( x, 2,1), b  (1,0,1) 垂直，则 x  3 . （5）取直线 AB 的方向向量 s  ____________，从而直线 AB 的的对称式方 曲面 x2  y 2  z 2  25 与平面 x  3 的交线方程为 . 4. 平面 x  2 y  3z  6 的截距式方程为 程________________________，过 D(1, 1,1) 并与直线 AB 的平行的直 . 线 L 5. xoy 的平面上曲线 y 2  2 z 绕 z 轴旋转一周产生的抛物面的 方程为 6. 直线 x 2y 1 3z 4 的对称式方程为 式方程为 ________________ 15 . ，参数 x y z   的夹角为 1 0 1  8. 若 a  4, a 与轴 u 的夹角为 , 则 Pr ju a  3 y z 1 ，平面 2 :x y z 0 ，则 2 的法向量 n2  ________， （2）故 n1 与 n2 的对应坐标____________比例，因此平面 1 与平面 2 相交， 且交线 L 的一般方程为____________， s  __________是交线 L 的方向 . 向量 . （3）直线 L : 9. 过点 (6, 3, 2) 与平面 4 x  2 y  z  8 垂直的直线方程为__________. 10. 设平面 1 : x （1）平面 1 的法向量 n1  ____________，平面 . 7. 平面 x  y  0 与直线 对 称 式 方 程 为 ________________________ ， 参 数 方 程 为 x y 1 z   过 M0 ( 1 0 1 ) ，方向向量 n  ____________ （4）由于 s 与 n 的对应坐标__________成比例，且直线 L 上点 M 0 不满足直 x y z 过 M (1, 1, 1) 并与直线   垂直的平面方程为__________. 1 2 1 线 L 的方程，故直线 L 与 L 平行 12 . 点 (2,1,0) 到平面 3x  4 y  5z  0 的距离 d =______. 第 3 页 共 3 页 南阳师范学院—数学与统计学院 《高等数学》第七章-——向量代数与空间解析几何 二、单项选择题（将正确答案的序号填写在括号内，每小题 3 分共 18 分） 自测题——王阳 题号 一 二 三 四 （1）若 M1M 2   M1M 3  0 ，则下列结论不一定成立的是 （ 五 总分 得分 ） A： M1 , M 2 , M 3 三点共线 B： M1M 2  M1M 3  0 C： M1M 2   M 1M 3 D： M1M 2 与 M1M 3 同方向 （2)给定 a, b , c , 及实数  ， a  b 成立的充要条件是（ ） 一、判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×，每小题 2 分，共 20 分） A： a  b （1） 若 AB  BC  AC ，则 A, B, C 三点一定共线． （ （2）     对任意的向量 a , b ，都有 a  b  a  b . （ ） （3） 若 x 轴与平面 Ax  By  CZ  1  0 垂直，则 A : B : C  1: 0 : 0 . （ ） （4） 直线 （ ） （5）    对任意的向量 a 及实数  ，都有 a  a   0 . x  y  x y z 的夹角为 .   与直线  3 1 0 1  z 1 （6） a  b  a  b 成立的充要条件是向量 a , b 共线. （7）      对任意的向量 a , b ，都有 a  b  a  b  0 . （8）   a   a  b   a  b   0 .    2 （ （3）关于平面  ： x  z  0 ，下列结论不正确的是（ A：过原点 B：与直线  4 （4）空间中，下列结论错误的是（ C： 与 y 轴的夹角为 D：a  c  b  c ） x 1 y z   垂直 1 0 1 D: 与平面 y  z  0 的夹角为  6 ） ） B：方程 x2  9 z 2 -1  0 的图形是一个母线平行于 y 轴的椭圆柱面 （ ） C：方程 y 2  z 2  1 的图形是一个是一个母线平行于 x 轴的双曲柱面 （ ） D：方程 y 2  2 x 的图形是一个是抛物线 （ ）     （5） a  b  a  b  （ 2 ）  x 2  y 2  1 （10） 空间中，方程  2 2 的图形母线平行于 z 的圆柱面与母线平行于 x 的  y  z  1 圆柱面的交线 C：a  c  b  c A：方程 x 2  y 2  1 的图形是一个母线平行于 z 轴的圆柱面 （9） 空间中 x  y  z  1 的图形是一个球心在原点半径为 1 的球面. （ 2 ） B：a  c  b  c （ ） A： 0  B： 2 b  a （6）下列说法正确的是（ ）  C： a 2  b 2 ） A：旋转抛物面 z  2  x 2  y 2  可以看做是 xoz 面上的抛物线 z  2 x 2 绕 z 轴旋转一周产生的曲面 第 1 页 共 2 页 D： 0 南阳师范学院—数学与统计学院 （2）过点原点与平面  垂直的直线 L 的方程（5 分） x2 y 2 z 2 B：方程    1 的图形为旋转双曲抛物面 36 9 36 五、证明题（共 16 分） C：方程 x 2  2 2 y z   1 的图形单叶双曲面 4 4 已知 A(0,0,1), B(1,0,1), C(1,0,0), D：方程 x 2  y 2  z 的图形为球面 （1） 证明 A, B, C 不共线；（4 分） E: 方程 x 2  y 2  z 的图形为椭圆抛物面 （2） 证明 ABC 的面积为 三、填空题（将正确答案填写在横线上，每小题 3 分，共 21 分）  （3） 证明 A  1. i  i  j  2k  .（4 分） （4） 证明. ABC 直角三角形（4 分） 2. 若 a  ( x, y, 1) 与 b  (1,0, 1) 共线，则 x  y 3. 若 a  ( x,1, z) 与 b  (1,0,1) 垂直，则 x  z  . . 4. 若向量 2a   2,0, 2  ，则向量 a 在 x 轴上的射影为 5. 若直线 4 1 ； （4 分） 2 . x y 1 z  2 与平面 x  y  z  1  0 平行， k    1 k 1 . 6. 求过两点 A(1,0,0), B(1,0,1) 的直线参数方程为 7.若 a  b  0, 则与 a , b 都垂直的单位向量 e  . . 四、计算题（共 25 分） 1. 求过 M 0 (1,0,1) 且与平面 x 2. 已知直线 L 过 M 0 (1,1,1) 与平面 x y z 1 0 平行的平面  的方程. （5 分） y 1 0 平行，同时又与直线 x y z 1   1 1 0 垂直，求直线 L 的对称式方程 （10 分） 3. 已知 A(1,0,1), B(1,0,1), C(1,0,0), （1）求 A, B, C 所确定的平面  的方程 （5 分） 第 2 页 共 2 页