三、《微分中值定理与导数的应用》数三考研真题.pdf

微分中值定理与导数的应用考研 (A) (B) 4 (C) 6 (D) 8 4.（05 年，4 分）设 f ( x)  x sin x  cos x ,下列命题中正确的 （数三）真题 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） 是 ( 1.（01 年，3 分）设 f ( x) 的导数在 x  a 处连续，又 (A) )  f(0)是极大值， f ( ) 是极小值. 2  f ( x)  1, x a x  a （B） f(0)是极小值， f ( ) 是极大值. lim 则（ 2 2  （C） f(0)是极大值， f ( ) 也是极大值. ） 2 （A） x  a 是 f ( x) 的极小值点 (D)  f(0)是极小值， f ( ) 也是极小值. 2 5.（06 年，4 分）设函数 y  f ( x) 具有二阶导数，且 f ( x)  0， （B） x  a 是 f ( x) 的极大值点 （C） (a, f (a)) 是曲线 y  f ( x) 的拐点 f ( x)  0，x 为自变量 x 在 x0 处的增量， y 与 dy 分别为 f ( x) 在 （D） x  a 不是 f ( x) 的极值点， (a, f (a)) 也不是曲线 y  f ( x) 的 点 x0 处对应的增量与微分。若 x  0 ，则（ 拐点. 2.（04 年，4 分）设 f ( x)= x(1  x) ，则（ ） （A） 0  dy  y （B） 0  y  dy （C） y  dy  0 （D） dy  y  0 ） 6.（09 年，4 分）当 x  0 时， f ( x)  x  sin ax 与 g ( x)  x 2 ln(1  bx) 是 （A） x  0 是 f ( x) 的极值点，但 (0, 0) 不是曲线 y  f ( x) 的拐点. （B） x  0 不是 f ( x) 的极值点，但 (0, 0) 是曲线 y  f ( x) 的拐点. （C） x  0 是 f ( x) 的极值点，且 (0, 0) 是曲线 y  f ( x) 的拐点. （D） x  0 不是 f ( x) 的极值点，且 (0, 0) 也不是曲线 y  f ( x) 的 拐点. 等价无穷小，则（ 1 6 1 （C） a  1, b   6 （A） a  1, b   1 6 1 （D） a  1, b  6 （B） a  1, b  1 1 x ( )    1, 则a等于 （ a e 7.（10 年，4 分） 若 lim  x 0  x x   （A）0 3.（05 年，4 分）当 a 取哪个值时，函数 f ( x)  2 x 3  9 x 2  12 x  a 恰好有两个不同的零点（ ） ） 第 1 页 共 2 页 （B） 1 （C）2 （D）3 ） 二、填空题 证明： F ( x) 在 (a, ) 内单调增加. sin x (cos x  b)  5, 则 a  e a 1.（04 年，4 分）若 lim x 0 x b ， 2.（98 年，6 分）设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f ( x)  0 .试证存在 ，  (a, b) ，使得 . 2.（09 年，4 分） lim ee x 0 3 cos x 1  x 1 2  f ( ) eb  ea  .e .  f ( ) b  a . 3.（99 年，7 分）设函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上连续，在(0,1)内可导， 三、计算 1 2 且 f (0)  f (1)  0， f ( )=1. 试证： 1 cos 2 x  ). 1.（04 年，8 分） 求 lim( x 0 sin 2 x x2 1 x 1 lim (  ). 2.（05 年，8 分）求 x 0 1  e x x 1 2 （1）存在  ( ,1) ，使 f ( )   ； （2）对任意实数  ，必存在   (0, ) ，使得 f ( )  [ f ( )   ]  1. 3.（07 年，10 分）设函数 y  y ( x) 由方程 y ln y  x  y  0 确定， 4.（03 年，8 分）设函数 f ( x) 在 [0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导， 且 f (0)  f (1)  f (2)=3，f (3)=1. 试判断曲线 y  y ( x) 在点 (1,1) 附近的凹凸性. 试证必存在   (0,3) ，使 f ( )  0. 1 sin x ln . x 0 x 2 x 4.（08 年，10 分） 求 lim 1 x ( x  1) 5.（10 年，10 分） 求极限 xlim  1 ln x 5.（06 年，10 分）证明： 当0  a  b   时， b sin b  2 cos b   b  a sin a  2 cos a   a. . 6.（09 年，11 分）（1）证明拉格朗日中值定理. 四、证明 f ( x)  A . （2）若函数 f ( x) 在x  0处连续，在(0,  )(  0) 内可导，且 xlim 0  则 f (0) 存在，且 f (0)  A . 1.（94 年，6 分）假设 f ( x) 在 [a, ) 上连续， f ( x) 在 (a, ) 内 存在且大于零，记 F ( x)  f ( x)  f (a ) ( x  a) . xa 第 2 页 共 2 页