高数（少课时）第一章练习与自测.pdf

南阳师范学院—数学与统计学院 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 《高等数学》第一章-——函数与极限 1. 若 f ( x) = e , f (ϕ ( x)) = 1 − x, 则 ϕ ( x) = 2. arctan n = n →+∞ n2 3. 2 ⎞ ⎛ 1 lim ⎜ 2 + n ⎟ = n →+∞ n 10 ⎠ ⎝ 练习题（A） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） { 0 } { } { （1） U ( a, δ ) = x 0 < x − a < δ = x a − δ < x < a ∪ x a < x < a + δ } x lim （ ） （2）关系式 x − y = 1 表示 y 是 x 的函数 （ ） 4. lim x = （3）关系式 y = max { x,1} + min { x, −1} 表示 y 是 x 的函数 （ ） 5. lim ⎡⎣(1 + x + x 2 )(1 − x + sin 2 x ) ⎤⎦ = （4）关系式 y = arccos u , u = 2 + x 表示 y 是 x 的函数 （ ） 6. 1 ⎞ ⎛ lim ⎜ n 2 sin 2 ⎟ = n →+∞ n ⎠ ⎝ （ ） 7. ⎛ 2⎞ lim 3 ⎜ 1 − ⎟ = n →+∞ ⎝ n⎠ 2 2 2 ⎧1, x ≠ 0, ⎩0, x = 0. （5）若 f ( x) = sgn x ，则 f ( x) = ⎨ 2 （6）若 f ( x) = ln x , g ( x) = 2 ln x, 则 f ( x ) = g ( x ) . 2 （ x →0 x →0 n ） （7） y = sin x 是周期为 π 的函数. （ ） 8. ( sin 2 x ) = lim （8） lim f ( x0 + Δx ) = f ( x0 ) ⇔ lim ( f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) ) = 0 . （ ） 9. 若 lim xn = a, 则 lim xn = 1 的水平渐近线. x2 （ ） 10. 若 lim xn = a, 则 lim x2 n = （10） y = f ( x) 在 x0 连续的充要条件是 f ( x0 ) = f ( x0 ) = f ( x0 ) . （ ） x + h ) − x2 ( 11. lim = （11）收敛数列的极限不唯一. （ ） （12） lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α . （其中 lim α = 0 ）. （ ） （ ） 3 2 Δx → 0 Δx → 0 （9） y = 0 是曲线 y = − 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n =0 n →+∞ n2 （13） lim + g ( x) 必有间断点 f ( x) （ tan x n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 2 h →0 h x2 − 1 12. lim 3 = x →∞ x + 1 x3 + 1 13. lim 3 = x →∞ x − 1 （14）设 f ( x) ， g ( x) 在 ( −∞, +∞) 内有定义.若 f ( x) 连续且 f ( x) ≠ 0 ， g ( x) 有间断 点，则 x →0 ） 第 1 页 共 3 页 南阳师范学院—数学与统计学院 D： lim f ( x ) 存在的充要条件是函数 f ( x) 在点 x0 处的左右极限存在且相等 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） x → x0 （1）设函数 f ( x) 的定义域为 D ，数集 X ⊂ D ，则下列命题错误的是（ ） A：若 f ( x) 在 X 上有界，则 f ( x) 在 X 上既有上界也有下界 1 一定存在 x → x0 f ( x ) E：若函数 f ( x ) 在点 x0 处的左右极限存在但不相等，则 lim （6）若 lim f ( x) = 0, lim g ( x) = ∞ ，则下列结论错误的是（ x →∞ B：若 f ( x) 在 X 上有界，则 f ( x ) 在 X 上也有界 x→∞ A： lim ( f ( x ) ± g ( x )) 不存在 B： lim ( f ( x ) g ( x )) 不一定存在 C： lim[2 f ( x )] 一定存在 D： lim x →∞ 1 在 X 上必无界 C：若 f ( x ) 在 X 上有界，则 f ( x) ） x →∞ f ( x) 不存在 x →∞ g ( x ) x →∞ D：若 f ( x) 在 X 上无界，则 f ( x ) 在 X 上也无界 （2）下列结论错误的是（ （7）下列结论正确的是（ ） A： y = sin x 在定义域上有界 A：绝对值很小的数一定是无穷小 B： y = tan x 在定义域上有界 C：常数不可能是无穷小 C： y = arctan x 在定义域上有界 D： y = arccos x 在定义域上有界 （3）下列结论正确的是（ （8）下列结论正确的是（ ） A： y = arcsin x 的定义域是 ( −∞, +∞) B： y = arctan x 的值域是 ( −∞, +∞) D： y = arc cot x 的值域是 ( − C： y = cos x 的定义域是 ( −∞, +∞ ) （4）若 lim xn = a ，则下列结论错误的是（ n→+∞ , ) 2 2 1 1 = n→∞ x a n D：必有 lim xn+1000 = a n →∞ （5）下列结论正确的是（ n→∞ x→ x0 x→ x0 B：无限个无穷小的和仍为无穷小 C：两个无穷大的和（积及商）仍为无穷大 D：无界函数一定是无穷大 ） A： lim 1 =0 n →+∞ 2 n n B： lim C： lim 2n = +∞ D： lim 1 =0 n →+∞ ln( n + 1) n →+∞ ） B：单增有上界的数列必收敛 C：单调数列必收敛 D：单减有下界的数列必收敛 ） A：当 x → 0 时， e −1 是比 x 高阶的无穷小 x x → x0 2 B：当 x → 1 时， x −1 与 x −1 是同阶的无穷小 2 第 2 页 共 3 页 ( n +1 − n ) = 1 A：单调有界数列必收敛 （11）下列结论正确的是（ C： 若 lim f ( x ) 不存在，则必有 lim f ( x) = ∞ x→ x0 A：有界函数与无穷大的积不一定为无穷大 （10）下列结论错误的是（ A：若函数 f ( x ) 在点 x0 处的左右极限存在，则 lim f ( x ) 一定存在 B：若函数 f ( x ) 在点 x0 处无定义，则 lim f ( x ) 一定不存在 ） n→+∞ ） B：至少有两个常数是无穷小 D：在自变量的某一变化过程中，趋向 0 的函数是无穷小 （9）下列等式不成立的是（ B：必有 lim C：必有 lim x2 n = lim x2 n −1 = a n →∞ π π ） A： {xn } 必有界 ） 南阳师范学院—数学与统计学院 C：当 n → +∞ 时， 1 1 是比 低阶的无穷小 n2 n （17）下列结论错误的是（ A： ∀x0 ∈ (−∞, +∞) ， lim sin x = sin x0 D：当 x → 0 时，若 sin ax ∼ tan x ，则 a = 2 （12）下列结论不正确的是（ A： x = 0 是 f ( x ) = C： f ( x) = cot x 只有一个间断点 （13）下列结论不正确的是（ B： x = π 2 是 f ( x) = D： x = 0 是 f ( x) = sin 1 C：若 0 < xn ≤ ，则 lim xn = 0 n →+∞ n ⎛ 2x + 3 ⎞ D： lim ⎜ ⎟ x →∞ 2 x + 1 ⎝ ⎠ B： 2, 4,8, 1 2 3 C： , , , 2 3 4 n , , n +1 3 ⎛3⎞ ⎛3⎞ D： , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ （15）下列数列发散的是（ 1 nπ sin 2 n 1 C： xn = 5 + 2 n A： xn = ） B： xn = (−1) n D： xn = n( −1) 1 n n ） A： lg x, ( x → 0 ) B： lg x, ( x → +∞) C： x + 1, ( x → 0) D： e x , ( x → 0 ) 2 x →+∞ ( x + x − x) . 2 tan x − sin x 3. lim 5. lim x − 1 . x →0 ex −1 3 . 2 1 − ). x →1 1 − x 2 1− x 2. lim( 4. lim (1 + 3 tan 2 x ) x →0 cot 2 x . x →1 n ⎛3⎞ ,⎜ ⎟ , ⎝2⎠ x≤0 x>0 在点 x = 0 处连续． ⎧ sin x , x>0 ⎪ 在定义域内连续的充要条件是 a = 1 . 2. 证明 f ( x) = ⎨ x 2 ⎪a + x , x ≤ 0 ⎩ 3. 设 f ( x) 在 [0,1] 上连续，且 f (0) = 0 ， f (1) = 1 ，证明存在 ξ ∈ (0,1) ，使得 f (ξ ) = 1 − ξ . （16）下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是（ + 3 lim arcsin ⎧ x, ⎪ 1. 证明函数 f ( x) = ⎨ 1 ⎪⎩ x sin x , , 2n , 2 1. =1 ） , (−1) n +1 , x → x0 五、证明题 x +1 A： 1, −1,1, 2 四、计算题 1 的第二类间断点 x ex −1 =1 x →0 tan x B： lim （14）下列数列收敛的是（ x 的可去间断点 tan x π D： lim sgn x = sgn x0 x → x0 ） n →+∞ x→ C： ∀x0 ∈ (−1,1) ， lim arccos x = arccos x0 A：若 lim xn = a, 则 lim xn +10 = a n →+∞ B： lim ln sin x = 0 x → x0 ） x 的跳跃间断点 x ） − 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 4. 证明 lim ⎜ 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 ⎟=0. n →∞ n + 1 n +2 n +n⎠ ⎝ 5. 设 f ( x) 在 [0, 2] 上连续，且 f (0) + f (1) + f (2) = 3 ，求证：存在 ξ ∈ [0, 2] ，使 f (ξ ) = 1 . 6. 证明方程 x 5 − 3 x = 1 在 1与 2 之间至少存在一个实根. − 第 3 页 共 3 页 南阳师范学院——数学与统计学院 ⎧ x + a, x > 0 ⎪ （14）） f ( x) = ⎨0, x = 0 在 x = 0 连续的充要条件是 a = 0 ⎪ x − a, x < 0 ⎩ 《高等数学》第一章---函数与极限 练习题（B） （ ） （15）设 f ( x) ， g ( x) 在 ( −∞, +∞) 内有定义， f ( x) 为连续，且 f ( x) ≠ 0 ，若 g ( x) 有间断 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） x 2 − 3x − 2 < 2 ⇔ x ∈ (−1, 0) ∪ (3, 4) （ ） （2）以 1 为中心， 2 为半径的去心邻域为 U (1, 2) = x − 1 < x < 1 ∪ x 1 < x < 3 （ ） （3）关系式 y = arcsin( x + 3) 表示 y 是 x 的函数 ） （1） { 0 } { } 2 （ （ ） （5）若函数 f ( x ) 的定义域为 [1, 4] ，则函数 f ( x ) 的定义域为 [1, 2] 2 （ ） （6）若 f ( x − 1) = x ( x − 1) ，则 f ( x) = x( x − 1) 2 （ ） （8）函数 f ( x ) = cos 4 x 的反函数 f （9）若 f ( x) = （ ( x) = arccos 4 x （ ） （ ） （ ） 2 x ∈ [1,10] 曲线 y = e 的水平渐近线是 y = 1 − + （13） 若 lim f ( x ) 不存在，则必有 f ( x0 ) ≠ f ( x0 ) x→ x0 2 （18） lim f ( x) = 1 ⇔ f ( x) = 1 + α . （其中 lim α = 0 ） （ ） （ ） （ ） (n − 1) 20 (n + 100)80 =1 n →∞ (n + 1)100 （ ） 12 + 22 + ⋅⋅⋅ + n 2 =0 n →+∞ n2 （ ） ） （11）函数 y = 1 − u , u = lg x 能构成复合函数 y = 1 − lg x 的充分必要条件是 （12） 4 是 y = tan 2 x − 1 的无穷间断点 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 若 f ( x) = e , f (ϕ ( x)) = 1 − x, 则 ϕ ( x) = x x 是周期为 π 的函数. 2 2 1 − 2 x −1 π （20） lim (sgn x) 2 , g ( x) = sgn x, 则 f ( x) = g ( x) . （10） y = sin 2 x + tan 2 （19） lim ⎧ x − 1, x < 0 ⎪ （7）函数 f ( x) = ⎨ 0, x = 0 是偶函数 ⎪ x + 1, x > 0 ⎩ −1 （ ） （16） x = 1 是函数 y = ( sgn( x − 1) ) + 1 的可去间断点 （17） x = （4）关系式 y = max { x,1} + min{x,5} 表示 y 是 x 的函数 2 2 g 2 ( x) 点，则 2 必有间断点 f ( x) 2. 4 arctan(n − 1)(sin n + 1) = n →+∞ n 2 − 100 lim （ ） 3. 7 ⎞ ⎛ 1 lim ⎜ 4 + ⎟= n →+∞ n 100n ⎠ ⎝ （ ） 4. lim ( x − 1 sgn( x − 1) ) = （ ） 5. ⎡ x2 + 1 ⎤ lim ⎢ 3 (3 + cos 2 x) ⎥ = x →0 x + 2 ⎣ ⎦ x →1 第 1 页 共 4 页 南阳师范学院——数学与统计学院 6. f −1 ( x) 在 ( −∞, +∞ ) 上也是单调递增且连续. 2⎞ ⎛ lim ⎜ n 2 sin 4 ⎟ = n →+∞ n ⎠ ⎝ ⎛ π π⎞ , ⎟ ⎝ 2 2⎠ D：函数 f ( x) = arc cot x 的定义域为 ( −∞, +∞) ，值域为 ⎜ − 2n 7. ⎛ 4⎞ lim 10 ⎜1 − ⎟ = n →+∞ ⎝ n⎠ ( sin 4 x ) （2）下列数列收敛的是（ ） 100 8. lim = A： xn :1, −1,1, −1,1, −1, 9. 若 lim xn = a, 则 lim ⎡⎣ x2 n + x2 n −1 ⎤⎦ = B： xn : 0,1, 2,3, 4,5, x →0 (tan 2 x)50 n →+∞ n →+∞ C： xn : 0, ln 2, ln 3, ln 4, ln 5, x2 − 5 10. lim = x→2 x − 2 1 2 1 4 1 8 D： xn : 0, , 0, , 0, , x + h ) − x3 ( 11. lim = 3 h→0 （3）下列数列发散的是（ h ⎧ (−1) n + 1 ⎫ A： ⎨ ⎬ n ⎩ ⎭ x −1 = x →∞ x1000 + 1 200 12. lim ⎧ 3 ⎫ + 1⎬ n ⎩10 ⎭ B： ⎨ （4）下列结论错误的是（ 13. lim ln sin x = x→ ） { C： ( −2) n } ） π A：单调有界数列必收敛 2 14. lim x →0 e2 x − 1 = cos x B：发散的数列必无界 C：数列收敛的充要条件是任意子列都收敛于同一个数 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） D：收敛的数列必有界 （1）下列结论错误的是（ ） A：由于函数 f ( x) = sin x 在 [− 必存在且 f −1 π π −1 （5）若 lim f ( x) 与 lim g ( x) 都不存在，则（ , ] 上单调递增，因此 f ( x) 的反函数 f ( x) 2 2 ( x) 的定义域为 [−1,1] ，值域为 [− A： lim [ f ( x) + g ( x) ] 与 lim [ f ( x) g ( x) ] 都不存在 π π , ] 2 2 B：在同一平面坐标系中，函数 y = f ( x) 与其反函数 y = f −1 ） B： lim [ f ( x) + g ( x) ] 与 lim [ f ( x) g ( x) ] 一定都存在 ( x) 的图形关于直线 ⎡ f ( x) ⎤ ⎥ 都不存在. ⎣ g ( x) ⎦ y = x 对称 C： lim [ f ( x) − g ( x) ] 与 lim ⎢ ⎛ π π⎞ , ⎟ 上单调递增且连续，因此 f ( x) 的反函数 2 2⎠ ⎝ C：由于函数 f ( x) = tan x 在 ⎜ − 第 2 页 共 4 页 ⎧ ⎫ 1 ⎬ ⎩ n ln(n + 1) ⎭ D： ⎨ 南阳师范学院——数学与统计学院 ⎡ f ( x) ⎤ D： lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] 、 lim [ f ( x ) g ( x ) ] 与 lim ⎢ ⎥ 可能存在，也可能不存在 ⎣ g ( x) ⎦ （6）下列结论正确的是（ B： x C： x 2 D： x （12）设 α ( x) = e B：若 f ( x) > g ( x) ，则必有 lim f ( x ) > lim g ( x) xm B：4 C：5 − 1, β ( x) = ln( x n + 1), m, n ∈ N + ，则当 x→0 时，下列结论正确的是（ A：当 m > n 时， α ( x) 必是 β ( x) 等价的无穷小 x → x0 B： 当 m = n 时， α ( x) 必是 β ( x) 高阶的无穷小 D： lim f ( x ) = A 的充要条件是对任意数列 xn → x0 , yn → x0 , 有 C：当 m < n 时， α ( x) 是 β ( x) 的低阶无穷小 x → x0 x → x0 D：当 m < n 时， α ( x) 是 β ( x) 的同阶无穷小 lim f ( xn ) = lim f ( yn ) = A yn → x0 （7）下列结论正确的是（ （13）设若 α ∼ α ′, β ∼ β ′, 则下列结论可能不正确的是（ ） A：若数列 xn 无界，则数列 xn 一定发散 bn 一定存在 n→∞ a n B：若 lim an = 0, lim bn = 1, 则 lim n→∞ n→∞ C：若 lim xn = a ，则必有 lim xn = a n →+∞ n →+∞ n →+∞ x −1 A： 3 x + x 2 +1 (1− x 2 ) sin 1 1− x 2 x ） D： Cα ∼ Cα ′(C ≠ 0) 在 x = 0 有（ ） A：跳跃间断点 B：可去间断点 C：震荡间断点. D：无穷间断点 （15）函数 y = B： x + 1 2 1 ( x → 0) x （16）当 x → ∞ 时，若 ） 1 2 sin x ( x → 0) x 1 D： cos x ( x → 0) x B： C： x cos x ( x → ∞) （10）当 x → 0 时，下列变量中与 tan x 为等价无穷小量的是（ 2 1 的间断点有（ ( x − 3) ln x A：1 个； 1 1− x 2 D： sin x 1− x 2 （9）下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是（ 4 C： α β ∼ α ′ β ′ x x α ± β ∼ α′ ± β′ n →+∞ （8）当 x → ∞ 时，下列变量中不是无穷小量的是（ A： x sin B： n →+∞ D：若 lim x2 n = lim x2 n −1 = a ，则 lim xn 一定不存在 C： ） A： αβ ∼ α ′β ′ （14） f ( x ) = ） B：2 个 第 3 页 共 4 页 ） C：3 个 D： 4 个 1 1 ，则 a, b, c 的值一定为（ ∼ ax + bx + c x −1 2 A： a = 0, b = 1, c = −1 B： a = 0, b = 1, c 为任意常数 C： a = 0, b, c 为任意常数 D： a, b, c 为任意常数 （17）下列极限中结果等于 e 的是（ ） D：3. C：若 lim f ( x ) = A, 则 f ( x) 必有界 xn → x0 3 n A：1 或 2 x → x0 x → x0 x （11）设当 x→0 时， tan x − sin x 是比 arc sin x 高阶的无穷小，则正整数 n 等于（ ） A：若 lim f ( x ) > lim g ( x) ，则必有 f ( x) > g ( x) x → x0 A： ） ） ） 南阳师范学院——数学与统计学院 x x ⎛ sin 2 x ⎞ sin x A： lim ⎜ 1 + ⎟ x →0 x ⎠ ⎝ − ⎛ ⎞ n n − ⎟ n →∞ ln( n − 1) ln(n + 1) ⎠ ⎝ ⎛ sin x ⎞ sin x B： lim ⎜ 1 − ⎟ x →∞ x ⎠ ⎝ 5. 求 lim ⎜ x ⎛ sin x ⎞ sin x C： lim ⎜ 1 − ⎟ x →∞ x ⎠ ⎝ D： lim (1 + tan x ) 2cot x x →0 ⎧⎪ − x1−1 x ≠ 1 在点 x = 1 处（ （18）函数 f ( x) = ⎨e ⎪⎩ 0 x =1 五、讨论题 ） A：连续 B：不连续，但右连续或有右极限 C：不连续，但左连续或有左极限 D：左、右都不连续 （19）下列结论正确的是（ ⎧ sin 2 x , x ≠ 0; ⎪ 1. 讨论 f ( x) = ⎨ x 在定义域内的连续性 ⎪ x + 1, x = 0. ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x arccos x , x > 0; ⎪ 2. 讨论 a 取何值可使 f ( x) = ⎨0, x = 0; 在定义域内连续. ⎪ln(1 − x) + a, x < 0. ⎪ ⎩ ） A：若函数 f ( x) 在 ( a, b) 内连续，则 f ( x) 在 ( a, b) 内一定有界 B：若函数 f ( x) 在 [a, b] 内有间断点，则 f ( x) 在 [a, b] 上一定没有最值 C：若函数 u = ϕ ( x) 在点 x = x0 处连续，且 ϕ ( x0 ) = u0 ，而函数 y = f (u ) 在点 u = u0 处 连续，则复合函数 y = f [ϕ ( x)] 在点 x = x0 处也是连续的 D：一切初等函数在其定义域内都是连续的 ⎧e x x ≤ 0 1.设 f ( x ) = ⎨ . 求 f (x) 在 x = 0 的极限 1 x 0 > ⎩ x →+∞ 1 x2 + x − x x 1 ) − x →1 x 3 − 1 x2 −1 3.求 lim( 4. 求 lim x →0 1. 设 f ( x) 在 [0,1] 上连续，且 f (1) > 0 ，证明存在 ξ ∈ (0,1) ，使 ξ f (ξ ) = 1 − ξ ⎛ 1 1 1 ⎞ 2. 证明 lim ⎜ + + ⋅⋅⋅ + ⎟ =1 2 n →∞ n2 + 2 n2 + n ⎠ ⎝ n +1 3. 设 f ( x) 在 [0, 2] 上连续，且 f (0) + f (1) + f (2) = 3 ，求证：存在 ξ ∈ [0, 2] ，使 f (ξ ) = 1 四、计算题 2.求 lim arctan 六、证明题 4. 证明曲线 y = x 4 − 3 x 2 + 7 x − 10 在 x = 1 与 x = 2 之间至少存在与 x 轴有一个交点 1 ⎧ p ⎪ x sin , 5. 证明 p > 0 时，函数 f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0, x≠0 x=0 6. 证明： lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α ，其中 lim α = 0 . x → x0 ( 1 + 2 x − 1) arc sin x tan x 2 第 4 页 共 4 页 x → x0 x≤0 在点 x = 0 处连续． x>0 南阳师范学院—数学与统计学院 《高等数学》第一章-——函数与极限 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题干上 自测题（A） 题号 一 二 三 四 的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 五 六 总分 1 若 lim f ( x) = 0 ( f ( x) ≠ 0), lim g ( x) = 1, 则下列结论不一定正确的是（ x → x0 得分 x → x0 1 =∞ x → x0 f ( x ) B： lim [2 f 2 ( x) + g ( x)] = 1 f ( x) =0 x → x0 g ( x ) D： f ( x) > g ( x) A： lim x → x0 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 24 分） C： lim 1 1. 数列 { n + 1} 是收敛数列，数列 {(−1) n } 是发散数列. 3 （ ） 2. 若 lim x2 n ≠ lim x2 n -1 , 则数列 { xn } 发散. （ ） 3. lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α ，（其中 lim α = 0 ）. （ ） n →∞ n →∞ x → x0 x → x0 4. 无限个无穷小量之和仍为无穷小量. 5. 无界量一定是无穷大量. 1 =0. x → x0 f ( x ) （ ） 8. 若 α ∼ α ′, β ∼ β ′, 则 必有 α + β ∼ α ′ + β ′ . （ ） 9. 当 x → 0 时， e x − 1 是比 x 高阶的无穷小量. （ ） 10. y = x + arcsin x 在 [−1,1] 上是单调递增的. （ ） x + x +1 = 1. x →1 x2 + 1 B： lim ( sin ln x ) =1 x →1 1 x C： lim(1 + x) = e （ ） 7. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 1 是 x → ∞ 时的无穷小量. x sin x =1 x →∞ x （ ） （ ） 11. 函数 f ( x) = ） A： lim 6. 若 lim f ( x) = ∞, 则 lim x → x0 2.下列结论不正确的是（ D： x →0 3. 函数 f ( x) = ecos x 不是（ sin ϕ ( x) =0 ϕ ( x ) →0 ϕ ( x ) lim ） A：偶函数 B：单调函数 C：有界函数 D：周期函数 4.设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则下列结论错误的是（ ） A： f ( x) 在 [a, b] 上有界 B： f ( x) 在 [a, b] 上必有最大值和最小值 （ ） C：若 f (a ) f (b) < 0 ，则至多有一点 ξ (a < ξ < b) ，使 f (ξ ) = 0 3 12. lim （ ） D：若 f (a ) < C < f (b) ，则至少有一点 ξ (a < ξ < b) ，使 f (ξ ) = C 第 1 页 共 2 页 ） 南阳师范学院—数学与统计学院 5. 下列结论错误的是（ ） 1 A： x = 0 是 f ( x) = sin 的第一类间断点 x 5. lim 6. lim B：点 x = x2 + 1 . 7. lim x →1 x − 1 8. lim π 2 1+ 2 + + n . n →∞ n2 是 f ( x) = tan x 的无穷间断点 C： x = 1 是 f ( x) = D： x = 0 是 f ( x) = x2 − 1 的可去间断点 x −1 x 的跳跃间断点. x 1.证明函数 y = 2 则 lim xn = ____________ . n →∞ n2 2. 当 x → 0 时， sin 2 x ∼ tan ax, 则 a = arctan h = h→0 h 4. lim x3 + 1 = 5. lim 3 x →∞ x − 1 6. lim 1 + n →+∞ 六．讨论题（8 分） ⎧ sin x , x > 0; ⎪ 讨论 a 取何值时， f ( x) = ⎨ x 在定义域内连续. 2 ⎪a + x x ≤ 0. ⎩ . x →0 . . 1 = n2 . 四．计算题（每小题 4 分，共 32 分） cos 2 x − 1 . x →0 tan x 1. lim 1 3. lim (1 + 2 x ) sin x . x →0 2 1 ). − x →1 x −1 x −1 2. lim( x −1 在 x = 1 处极限不存在.（8 分） x −1 2.证明方程 x3 + x − 1 = 0 至少有一个根介于 0 与 1 之间. （6 分） . 3. lim(arcsin x + arccos x ) = tan x − sin x . x →0 x3 五．证明题（共 14 分） 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 12 分） 1. 若 0 < xn < x →0 1 + x2 − 1 . x 2 1⎤ ⎡ 4. lim ⎢ 2n sin n ⎥ . n→∞ 2 ⎦ ⎣ 第 2 页 共 2 页 南阳师范学院—数学与统计学院 《高等数学》第一章-——函数与极限 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题干上 的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 自测题（B） 题号 一 二 三 四 1. 若 lim f ( x) = ∞ , lim g ( x) = 1, 则下列结论不一定正确的是（ 五 六 x → x0 总分 x → x0 A： lim ( cf ( x) ) = ∞ (c ≠ 0) B： lim [ f ( x) + g ( x)] = ∞ x → x0 得分 1 1. 数列 { n + (−1) n } 是发散数列. 2 （ ） 2. 若 lim x2 n = lim x2 n -1 , 则数列 { xn } 收敛. （ ） n →∞ n →∞ 3. lim f ( x) = f ( x0 ) ⇔ f ( x) = f ( x0 ) + α ， （其中 lim α = 0 ）. （ ） 4. 无限个无穷小量之积仍为无穷小量. （ ） x → x0 x → x0 x → x0 g ( x) =0 x → x0 f ( x ) D： f ( x) > g ( x) C： lim 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 24 分） 2.下列结论正确的是（ ） x2 =1 A： lim x →0 arc sin x B： lim ( cos ln( x − 1) ) =1 x →2 1 x sin 3 x D： lim =0 x →0 tan x 3 C： lim(1 − x) = e x →0 5. 由于 y = x cos x 在 (0, +∞) 内为无界量，所以该函数在 (0, +∞) 内一定 是无穷大量. 2 ） （ ） 1 = 0. x → x0 f ( x ) + 1 6. 若 lim f ( x) = ∞, 则 lim x → x0 3. 函数 f ( x) = esin x 不是（ ） 2 1 （ ） A：偶函数 B： 有界函数 C：单调函数 D： 周期函数 4. 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则下列结论错误的是（ ） 7. 函数 y = e x −1 图形的水平渐近线为 x = 1 . （ ） 8. 若 α ∼ α ′, β ∼ β ′, 则 必有 2α + 5β ∼ 2α ′ + 5β ′ . （ ） A： f 2 ( x) 在 (a, b) 上必有最大值和最小值 9. 当 x → 0 时， e 2sin x − 1 是比 x 高阶的无穷小量. （ ） B： f ( x) + 1 在 (a, b) 上有界 10. y = 3arctan x 在 ( −∞, +∞ ) 上是单调递增的. （ ） C：若 f (a) f (b) < 0 ，则至少有一点 ξ (a < ξ < b) ，使 f 2 (ξ ) = 0 （ ） D：若 f (a) < C < f (b) ，则至少有一点 ξ (a < ξ < b) ，使 f 2 (ξ ) = C 2 11. 函数 f ( x) = 1 sin 3 x 是 x → ∞ 时的无穷小量. 2 x x3 − x 2 + x − 1 12. lim =1. x →1 x2 −1 （ ） 第 1 页 共 2 页 南阳师范学院—数学与统计学院 1⎤ ⎡ 4. lim ⎢ 2 n arcsin n ⎥ . n→∞ 2 ⎦ ⎣ 1 x 5. 函数 f ( x) = 在 [0, π ] 上（ tan x 3. lim (1 − 2sin x ) x . ） x →0 ⎛ 1 1 5. lim ⎜ 1 + + 2 + n→∞ ⎝ 4 4 A：有无数多个间断点 B： x = 0 为函数的跳跃间断点 C： x = π 2 + 1 ⎞ ⎟. 4n ⎠ x10 + 1 . 7. lim 2 x →1 x − 1 为函数的振荡间断点 6. lim x →0 x3 1 + x3 − 1 . tan x − sin x . x →0 arcsin x 3 8. lim 五．证明题（共 14 分） D： x = π 为函数的无穷间断点. 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 12 分） 1.证明函数 y = sin x 在 x = 0 处极限不存在.（6 分） x 2 1. 若 − 20 < xn < 0 则 lim xn = ____________ . n →∞ n +5 2.证明方程 x99 + x − 1 = 0 至少有一个根介于 0 与 1 之间. （4 分） 2. 当 x → 0 时， ln(1 − x) ∼ tan ax, 则 a = 六．讨论题（每小题 6 分，共 12 分） 3. lim(5arctan x + 10 arccos x ) = 2 . x→0 1 − cos 2h = h→0 h2 4. lim n99 + 1 = 5. lim 100 n →∞ n −1 6. lim ln 1 + n →∞ . . . ⎧ 2 1 ⎪ x arc cot x , ⎪ 1. 讨论 a 取何值时， f ( x) = ⎨0, ⎪e x ln(1 + x) + a, ⎪ ⎩ ⎛ x2 + 1 ⎞ 2. 讨论 a, b 取何值时，使 lim ⎜ − ax − b ⎟ = 0. x →∞ x + 1 ⎝ ⎠ 1 = n2 . 四．计算题（每小题 4 分，共 32 分） e tan 4 x − 1 . 1. lim x →0 sin 2 x 1 x 2. lim( 3 − 4 ). x →1 x − 1 x −1 第 2 页 共 2 页 x > 0; x = 0; 在定义域内连续. x < 0.