第一章 函数与极限.pdf

高等数学(上册) 同济六版 作者 杨永举 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室 第一章 函数与极限 作者 杨永举 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第一节 映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数 一、集合 集合的表示法： 列举法： 将集合中的全体元素一一列举出来 . 例: 有限集合 A   a1 , a 2 ,  , a n  描述法： M   x x具有性质P  例: 整数集合 Z   x xN或  x  N   p Q   有理数集  q   p  Z, q  N , p 与 q 评注：无限集合常用描述法表示 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  互质  （二）集合的运算 1、基本运算： • 并集：A∪B。 • 交集：A∩B。 • 差集：A\B, • 补集： AC • 直积 A  B   ( x , y ) 特例: R R 记 xA, y B  2为平面上的全体点集 R 2 R 注意：对 从符号，集合，几何三个角度方面理解 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 3. 区间与 邻域 区间的概念: (1)开区间:设a和b都是实数,且aN 时 不等式 |xna |< 都成立 则称常数a是数列{xn}的极限 或者称数列{xn} 收敛于a 记为 lim x n  a 或 x  a (n  ) n  n 如果不存在这样的常数a 就说数列{xn}没有极限 即数 列是发散的。 注 1 .不等式 x n  a   刻划了 x n 与 a 的无限接近 ; 意： 2. N与任意给定的正数  有关 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定义：设{xn}为一数列 如果存在常数a 对于任意给 定的正数 总存在正整数N 使得当n>N 时 不等式 |xna |< 都成立 则称常数a是数列{xn}的极限 或者称数列{xn} 收敛于a 记为 lim x n  a 或 xn  a (n  ) n  数列极限的精简版本定义(数学符号定义):   N定义 : limxn  a  n   0, N  0, 使n  N时, 恒有xn  a  . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 xn  a    N定义 : lim n    0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a   . 其中  : 每一个或任给的 ;  : 至少有一个或存在 . 几何解释: 当 n  N 时 , 所有的点 x n 都落在 ( a   , a   ) 内 , 只有有限个 ( 至多只有 N 个 ) 落在其外 . 评注： 数列极限的定义精确,但是以付出抽象为代价. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim x n  a    0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a   . n  n  ( 1) n 1 例1 证明 lim  1. n  n n 1 1 n  ( 1) 1  证 xn  1  n n 1 1 任给   0, 要使 x n  1   , 只要  , 即 n  , n  1 所以, 取N  [ ], 则当 n  N时,  n  ( 1) 就有 n n 1 1   n  ( 1) 即 lim n  n n 1  1. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 limxn  a   0, N  0,使n  max(N, N0)时恒 , 有 xn a . n 例2 试证 lim ( 1) n  0 (n  1) (  1) n 1 1 1 证 | x n  0 | ( n  1 ) 2  0  ( n  1 ) 2  n  1  n 1 对   0, 要使 | x n  0 |   , 即 n  1 n  2 n  1 所以, 取N  [ ],  就有 ( 1) n ( n  1) 2 则当 n  N时, 0  即 lim ( 1) n n   ( n  1) 2 0 小结：证明的关键是根据所给的，能否证明定义中的 正整数 N 确实存在，或者说能否确实寻找到定义中规定的 N ， 至于 所取的 N 为多大，是否是最小的，则无关紧要。 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim xn  a  1    0, N  0, 使n  N时, 恒有 xn  a   . n q  0, 其中 q  1. 例3 证明 lim n  n 证 q n  lim 0  0; q  0时, 则 lim n  n  q  0时, 任给   0, x n  0  q  , n ln q  ln  , n ln  n  ln q ln  取N  [ ], 则当 n  N时, ln q 就有 q n  0   ,  lim q  0. n n  南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 四、数列极限的性质 1.唯一性 定理1 每个收敛的数列只有一个极限. 分析 证 设 lim x n  a , 又 lim x n  b, | a  b | ? n  n  设 lim x n  a , 又 lim x n  b, n  n  由定义,   0, N 1 , N 2 , 使得 当n  N 1时恒有 x n  a   ; 当n  N 2时恒有 x n  b  ; 取N  maxN 1 , N 2 , 则当n  N时有 a  b  ( x n  b )  ( x n  a )  x n  b  x n  a      2. 上式仅当 a  b时才能成立 . 故收敛数列极限唯一. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 四、数列极限的性质 2.收敛数列的有界性 定义: 若存在正数 M , 对  n , 恒有 x n  M , 则称数列 x n 有界；否则, 称为无界. 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间 [ M , M ]上. n 例如, 数列 x n  ; 有界 数列 x n  2 n . 无界 n1 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例 证明数列 x n  (  1) n1 是发散的 . 1 证：设 lim x n  a , 由定义, 对于  , n  3 1 则N,使得当n  N时有 , xn a  成立, 3 1 1 即当nN时, xn (a ,a ), 3 3 这是不可能的. 因为 x n 无休止地反复取 1,  1两个数 , 不可能同时位于长度为1的区间内. 事实上 , { x n }是有界的 , 但却发散 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 五.小结 数列:研究通项的表示. 数列极限:精确定义；几何意义. 收敛数列的性质:有界性；唯一性. 判断数列的敛散性: 无界一定发散 几类特殊的数列: 摆动数列；常值数列 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练 习 题 一、 利用数列极限的定义证明: 5n  1 5  ； 1、 lim n  4 n  1 4 n 10 1 2、 lim n n 2 二、 数 列 xn 有 界 ， 又 limyn  0 ， limzn  A A0 n n xn ynzn 0. 证明： lim n 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 作业：P31 1:(3,7,6,8);4;6. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第三节 函数的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于有无穷大时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、自变量趋向有限值时函数的极限 函数极限的的通俗定义 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地 接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0 lim f(x)A 或 f(x)A(当 x x 0 ) 时的极限 记作 x x 0 注意: x无限地接近于x 是指：在一定程度之后，x是和的距离越来 0 越小；要怎么小就怎么小；而且不能为零 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1.精确定义：对于任意给定的正数  (不论它多么小), 总存在正数  ,使得对于适合不等式 0  x  x 0   的 一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x)  A  , 那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x  x 0 时的极限,记作 lim f ( x )  A x  x0 或 f ( x )  A(当 x  x 0 ) "  "定义 limf (x) A 0, 0,当0 xx0 ,有f (x)A xx0 注 意： 1.函数极限与f ( x)在点x 是否有定义无关; 0 2.   ,   是极限的数学符号语言 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 "   " 定义 lim f ( x )  A  x  x0   0,   0, 使当0  x  x 0  时, 恒有 f ( x )  A  . 注 1. f ( x )  A  中的 刻划了 f ( x )与 A 的接近程度 ; 意：  刻划了 x 与 x 0的接近程度 ; 2. 是任意给定正数， 是随 而确定的 . 3.lim f (x)  A1  0,  0,当0  x  x0 ,有 f (x)  A  xx0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim f ( x )  A    0,   0,当0  x  x 0   , 有 f ( x )  A   x  x0 lim f ( x )  A 的几何解释 x  x    0,    0, 当 0  | x  x 0 | δ 时, 恒有 f ( x )  A   . f (x) y A+ A A的邻域, A–  x0的空心 邻域, 该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的  邻域 内， 即相应的点(x, f(x)) 落在绿色区域内. 0 x0   x0 x0   x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim f ( x )  A    0,   0,当0  x  x 0   , 有 f ( x )  A   x  x0 例1 证明 lim C  C , (C为常数 ). x  x0 证 任给   0, 任取   0, 当0  x  x 0  时, f ( x )  A  C  C  0  成立 ,  lim C  C . x x 0 例2 证明 lim x  x 0 . x  x0 证  f ( x )  A  x  x 0 , 任给   0, 取   , 当0  x  x 0    时, f ( x )  A  x  x 0  成立 ,  lim x  x 0 . x  x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例3. 证明 lim( 2 x  1)  1 x 1 证: f ( x)  A  (2 x  1)  1  2 x  1  x  1  ,    0 , 欲使 f ( x)  A   , 只要 2 取    2 , 则当 0  x  1   时 , 必有 f ( x)  A  (2 x  1)  1   因此 lim( 2 x  1)  1 x 1 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim f ( x )  A    0,   0,当0  x  x 0   , 有 f ( x )  A   x  x0 例4 x2  1 证明 lim   2. x  1 x  1 证 函数在点x = −1处没有定义. 2 x 1 f ( x)  A   ( 2 )  x  1 x1 任给   0, 要使 f ( x )  A   , 则当 0  x  1   时 , 只要取    , 2 x 1 就有  ( 2 )   , x 1 2 x 1  lim  2. x  1 x  1 注意 : 该函数在 x   1 处没有定义 , 但 lim f ( x ) 存在 . x  1 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim f ( x )  A    0,   0,当0  x  x 0   , 有 f ( x )  A   x  x0 例5 证明 : 当x0  0时, lim x  x  x0 x0 . 证 函数 x的定义域是 [0, ), 因此我们考察的 x 0的邻域 ( x 0   , x 0   )必须落在 [ 0,  )内, 即   x 0 .  f ( x)  A  x x0  x  x0 x  x0  , x  x0 x0 任给   0, 要使 f ( x )  A   , 只要 x  x 0  x0  . 因此 ,   0, 取  min{ x 0 , x 0  }, 则当 0  x  x 0   时 , 总有  lim x  x0 . x  x0   , x  x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 单侧极限 若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫做 函数f(x)当xx0时的左极限 记为 lim f ( x )  A 或 f(x0)A . x  x0  左极限   0,   0, 使当x 0    x  x 0时, 恒有 f ( x )  A  . 记作 lim f ( x)  A 或 x  x0  右极限 f ( x0 )  A.   0,   0, 使当x 0  x  x 0  时, 恒有 f ( x )  A  . 记作 lim f ( x)  A 或 f ( x0  )  A. x  x0  南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 单侧极限  x x从左侧无限趋近 x 0 , 记作 x  00  0;  x x从右侧无限趋近 x 0 , 记作 x  x00  0;  lim f ( x )  A 或 f ( x0 )  A 左极限=A 记作  x  x0  lim f ( x )  A 或 f ( x0 )  A 右极限=A 记作  x  x0 注1：左极限与右极限都称之为单侧极限 注2：单侧极限与双侧极限的关系 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 y y １ ２ １ x x0 x x0 两个函数当x  x0时的极限都不存在！ 注2：单侧极限与双侧极限的关系 定理 : lim f ( x )  A  lim f ( x )  lim f ( x )  A. x  x0 x  x0 x  x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定 理 3 : lim f ( x )  A  f ( x 0  )  f ( x0  )  A. x  x0 推论：若函数f(x)在点x0的左、右极限有一个不 lim f ( x) 不存在 存在，或都存在但不相等，则极限 x x0 x 例6 验证 lim 不存在. x 0 x x x  lim 证 xlim  0 x x  0 x  lim ( 1)  1 x  0 x x lim  lim  lim 1  1 x  0 x  0 x x0 x f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等,  lim x 0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 5  sin x, x  0  试问函数 f ( x )  1, x  0 5  x 2 , x0  思考题 在 x  0处的左、右极限是否存在？当 x  0 时， f ( x ) 的极限是否存在？ 思考题解答 lim f ( x )  lim (5  x 2 )  5, x 0 x 0 左极限存在, lim f ( x )  lim(5  sin x )  5, 右极限存在,  x0 x 0  lim f ( x )  lim f ( x ) x 0 x 0  lim f ( x )  5 x 0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 定义 1：如果对于任意给定的正数  (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x  X 的一切 x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x)  A  , 那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x   时的极限,记作 lim f ( x )  A 或 "   X " 定义 lim f ( x )  A  x f ( x )  A (当 x   ) x   0, X  0, 使当 x  X时, 恒有 f ( x )  A   . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 "   X " 定义 lim f ( x )  A  x   0, X  0, 使当 x  X时, 恒有 f ( x )  A   . 注 1 . f ( x )  A   中的  刻划了 f ( x )与 A 的接近程度 ; 意： x  X 中的 X 刻划了 x 充分大的程度 ; 2 .  是任意给定正数， X 是随  而确定的 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim f ( x )  A     0 ,  X  0 , 使当 x  X 时 , 恒有 f ( x )  A   . x  lim f ( x )  A 的几何解释 x A的邻域,  X > 0,对满足 |x| > X 的一切点 x,其相应的曲线上的点 y 落在绿色区域内. f (x) A+ A A– –X 0 X 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x 2.另两种情形: f ( x)  A 1 . x   情形 : xlim   0    0,  X  0, 使当 x  X 时 , 恒有 f ( x )  A   . f ( x)  A 2 0 . x   情形 : xlim     0, X  0, 使当 x   X时 , 恒有 f ( x )  A   . f ( x )  A且 lim f ( x )  A. 定理 : lim f ( x )  A  xlim   x   x  南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim f ( x )  A     0 ,  X  0 , 使当 x  X 时 , 恒有 f ( x )  A   . x 例1 证 1 证明 lim  0. x x 1 1 0    x x 即x  1  . 1   0, 取 X  , 则当 x  X时恒有  1 0  , x 1 故 lim  0. x  x 定义 : 如果 lim f ( x )  c , 则直线 y  c是函数 y  f ( x ) x  的图形的水平渐近线 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、函数极限的性质 1.唯一性 定理 1 若 lim f ( x )存在,则极限唯一. 2.函数极限的局部有界性 定理 2 若在某个过程下, f ( x ) 有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 极限的局部有界性 若函数f (x)在自变量x某变化趋势之 下有极限，则f (x) 对应变化区间上是有界的。 定理3(极限的局部保号性) 若 lim f ( x )  A, 且A  0 o x  x0 (或A  0), 则  0, 当x  U ( x 0 ,  )时, f ( x )  0(或f ( x )  0). 证明 就A0的情形证明 因为 lim f ( x)  A  x  x0   0, 当0|xx0| 时 有 A A A A | f ( x)  A|   (取  )  A   f ( x)  f ( x)  0 2 2 2 2 o 推论 若 lim f ( x )  A, 且  0, 当x  U ( x 0 ,  )时, x  x0 f ( x )  0(或f ( x )  0), 则A  0(或A  0). 反证法 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  定理3’: 若 lim f ( x)  A  0 , 则存在  ( x0 ,  ) , 使当 x  x0  A . x   ( x0 ,  ) 时, 有 f ( x)  2 分析: A    f ( x)  A    A , 则在对应的邻域  ( x0 ,  ) 上 若取   2 A 3A  f ( x)  A  0: 2 2 A 3A  f ( x)   A  0:  2 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、小结 函数极限的统一定义 lim f ( x )  A; lim f ( x )  A; lim f ( x )  A; x x   x   lim f ( x )  A; lim f ( x )  A; lim f ( x )  A. x  x0 x  x0 x  x0 lim f (x)  A   0,   0,当0  x  x0 ,有 f (x)  A   xx0 (见下表) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 内容小结 1. 函数极限的"   " 或 "  X " 定义及应用 2. 函数极限的性质: 保号性定理 Th1 Th2 与左右极限等价定理 Th3 思考题 1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x)  f ( x0 ) ？ x  x0 x x0 a  x , x 1 2 2. 设函数 f ( x)  a x 1, x 1 且 lim f ( x) 存在, 则 x1 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练 习 题 一、填空题: 1、当 x  2 时， y  x 2  4，问当  取 ___ 时， 只要 0  x  2   ，必有 y  4  0 .001 . x2  1  1，问当 z 取 ______ 2、当 x   时， y  2 x 3 时，只要 x  z ，必有 y  1  0 .01 . 二、用函数极限的定义 证明： 1  4x2 1、 lim1 2 x  2 2 x  1 sin x 2、 lim 0 x   x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、试证 : 函数 f ( x ) 当 x  x 0 时极限存在的充分 必要条件是左极限、右 极限各自存在并且相等 . x 四、讨论：函数  ( x )  在 x  0 时的极限是否 x 存在 ? 作业：P38 5:(1,3,4);7;8;9. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、小结 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一 无穷小 无穷小的定义 如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称 函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小,记为 lim f ( x)  0 (lim f ( x)  0). x  x0 x  1 1 因 lim  0, 所以函数 为当x  时的无穷小. 例如： x  x x 注意 1.无穷小是极限为零的函数 而不是 很小很小的数. 2.无穷小这个概念和极限过程有关. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 再例如,  lim sin x  0,  函数 sin x是当x  0时的无穷小 . x0 1  lim  0, x x 1  函数 是当x  时的无穷小 . x n n ( 1) ( 1)  lim  0,  数列{ }是当n  时的无穷小 . n  n n 特别注意 1.数列也可以定义无穷小. 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 2、无穷小与函数极限的关系: 定理 1 lim f ( x )  A  f ( x )  A  ( x ), x  x0 其中 ( x ) 是当 x  x 0 时的无穷小. 证   0,   0,当0  x  x0   , f ( x)  A   lim f ( x )  A. x  x0 lim  ( x )  0 x  x0  ( x)  ( x)   南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 意义 1)该定理的主要作用是用普通的函数式 f ( x )  A   ( x )替代极限式 lim f ( x )  A或 lim f ( x )  A x  x0 x 2 )给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达式 f ( x )  A , 误差为  ( x ). 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二 无穷大 无穷大的定义 如 果 当 xx0( 或 x) 时  对 应 的 函 数 值 的 绝 对 值 |f(x)|无限增大称函数 f(x)为 xx0(或 x)时的无穷 大 记为 lim f ( x)   ( 或 lim f ( x)   )  x  x0 x  注：无穷大属于极限不存在的情形 f ( x )    则称直线 x  x0 是函数yf(x)的 如果 xlim x 0 图形的铅直渐近线 1 的图形的铅直渐近线 例如 直线x1是函数 y  x 1 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim f ( x )   x  x0 M  0,   0,当0  x  x0   , f ( x )  M lim f ( x )   x  x0 M  0,   0,当0  x  x0   , f ( x )   M lim f ( x )   x    M  0,  X  0, 当 x   X , f ( x )  M 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 例2 证明lim  . x1 x 1 证  M  0. 取  1 M 当0  x  1   , 1 1  M x 1  1  lim  . x 1 x  1 定义 : 如果 lim f ( x )   , 则直线 x  x 0是函数 y  f ( x ) x  x0 的图形的铅直渐近线 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 1.无穷大是变量, 不能与很大的数混淆; 2.切勿将 lim f ( x )   认为极限存在 . x  x0 3. 无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无 界变量未必是无穷大. 无穷大是其绝对值不断增大的变量。 若X  D , M  0, x  X , 有 f ( x )  M 成立, 则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 . M y x0 o -M X 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x 三、无穷小与无穷大的关系 定理2 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 分析 设 lim f ( x )   . x  x0  M  0,   0, 使得当0  x  x 0  时 1 1 1 恒有 f ( x )  M  , 即    f ( x) M 1  当x  x 0时, 为无穷小. f ( x) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、无穷小与无穷大的关系 定理2 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 设 lim f ( x )   . x  x0  对  0, 取M  恒有 f ( x )  M  1  1  , ,   0, 使得当0  x  x 0  时 1 即  . f ( x) 1  当x  x 0时, 为无穷小. f ( x) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 反之, 设 lim f ( x )  0, 且 f ( x )  0. x  x0  M  0,   0, 使得当0  x  x 0  时 1 恒有 f ( x )  , M 1 由于 f ( x )  0, 从而  M. f ( x) 1  当x  x 0时, 为无穷大 . f ( x) 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例2  lim( x  1)  0. x 1 1  lim  . x 1 x  1 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 四、小结 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;两个定理. 2、几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2） 无界变量未必是无穷大. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 Th2 3. 无穷小与无穷大的关系 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考题 若 f ( x )  0 ，且 lim f ( x )  A， x   问：能否保证有 A  0 的结论？试举例说明. 思考题解答 不能保证. 1 例 f ( x)  x x  0, 1 有 f ( x)   0 x 1 lim f ( x )  lim  A  0. x   x x   南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、填空题: 练 习 题 1、凡无穷小量皆以________为极限. 2、在 __________ 条件下 , 直线 y  c 是函数 y  f ( x ) 的水平渐近线 . 3、lim f ( x )  A _______ f ( x )  A   , x  x0 ( 其中 lim   0 ) . x  x0 4、在同一过程中, 若 f ( x ) 是无穷大 , 则 ______ 是无穷小 . 1  2x 二、根据定义证明 : 当 x  0 时, 函数 y  x 是无穷大 ,问 x 应满足什么条件 , 能使 y  10 4 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 1 三、证明函数 y  sin 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 x x x  0 时 , 这个函数不是无穷大 . 作业：P42 2:(1,2);4;6. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第五节 极限运算法则 一、无穷小的运算性质 二、极限运算法则 三、求极限方法举例 四、小结 重点：扎实、熟练掌握极限运算法则 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、无穷小的运算性质 定理1 有限个无穷小的和仍是无穷小. 考虑两个无穷小的和 设及 是当 x  x 0 时的两个无穷小 , 则     也是当 x  x 0 时的无穷小。 证明略 注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例 1 2  3  n 求 lim n  n2 1 2  3  n lim n  n2 1 2 n  lim 2  lim 2    lim 2 n  n n  n n  n  0  0  0 0  lim n  1 2  3  n n2 1 n( n  1)  lim 2 2 n  n n1 1  lim  n   2n 2 思考:对比解1、解2, 判断哪种解法正确,并分析原因 注 极限的运算法则只能推广到有限多项，当 意： 项数无限时，要先求和（或积）再求极限 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. o 证 设函数 u在 U ( x 0 ,  1 )内有界， 则M  0,  1  0, 使得当0  x  x 0   1时, 恒有 u  M . 又设  是当 x  x 0时的无穷小 ,    0,  2  0, 使得当0  x  x 0   2 时, 恒有   则当 0  x  x 0  时, 恒有  u  u    M   , M  当 x  x 0时 , u   为无穷小 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  M . 1 2 1 例如, 当x  0时, x sin 2 , x arctan 2 都是无穷小 x x 解1：  lim x  0, 而 | sin 1 | 1, 2 x 0 x 1 即当x  0时, x是无穷小量， sin 2 是有界量. x 1  lim x sin 2  0 x 0 x 1 1 解2：lim x sin 2  lim x  lim sin 2  0   x 0 x 0 x 0 x x 思考:对比解1、解2, 判断哪种解法正确,并分析原因。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、极限运算法则 定理3： 设 lim f ( x )  A, lim g ( x )  B , 则 (1) lim[ f ( x )  g ( x )]  A  B; ( 2) lim[ f ( x )  g ( x )]  A  B; f ( x) A  , 其中B  0. ( 3) lim g( x ) B 注意：只有在两极限存在的前提下，才有： 和的极限等与极限的和. 差、积、商 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 设 lim f ( x )  A, lim g ( x )  B , 则 （2） lim [ f ( x )  g ( x )]  ( A  B ) 证 （2）  lim f ( x )  A, lim g ( x )  B .  f ( x )  A  , g ( x )  B   . 其中   0,   0. [ f ( x )  g ( x )]  ( A   )( B   )  AB   ( A  B )    0 由无穷小运算法则,得  lim [ f ( x )  g ( x )]  ( A  B ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数 , 则 lim[ cf ( x )]  c lim f ( x ). 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数 , 则 lim[ f ( x )]n  [lim f ( x )]n . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理4 数列极限的运算法则 设 lim x n  A, lim y n  B , 则 n  n  (1) lim ( x n  y n )  A  B; n  ( 2) lim ( x n  y n )  A  B; n  xn A ( 3)当y n  0（n  1,2, ）且B  0时，lim  . n  y B n 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  ( x )  a, lim  ( x )  b. 定理5(保序性) 设 xlim x x x 0 0 o 若  0, x  U ( x0 ,  ), 有 ( x )   ( x ), 则a  b. 由第四节定理3可得 令f ( x )   ( x )   ( x ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、求极限方法举例 小结: 1. 设 f ( x)  a0 x n  a1 x n1    a n , 则 lim f ( x )  ? x  x0 lim f ( x )  a 0 ( lim x ) n  a1 ( lim x ) n 1    a n x  x0 x  x0  a 0 x 0  a1 x 0 n x  x0 n 1    a n  f ( x 0 ). P( x) 2. 设 f ( x )  , 且Q( x 0 )  0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x0 ) lim f ( x )    f ( x ). 0 x x lim Q ( x ) Q( x0 ) x x x  x0 0 0 若Q( x 0 )  0, 则商的法则不能应用 . （多项式与分式函数代入法求极限） 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x 1 . 例2 求 lim 2 x2 x  3 x  5 3 解  lim( x  3 x  5)  2 2  3  2  5  3  0, 2 x2 3 x3  1 7  2 1  lim 2  .  x2 x  3 x  5 3 3 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim(4 x  1) 4x  1 x 1 求 lim .    例2 2 x 1 x  2 x  3 lim( x 2  2 x  3)  2  lim ( x  2 x  3)  0, 解 x 1 x 1 商的法则不能用 又  lim(4 x  1)  3  0, x 1 x2  2x  3 0  lim   0. x 1 4x  1 3 由无穷小与无穷大的关系,得 4x  1 lim 2  . x 1 x  2 x  3 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x 3 0 例3.求 lim 2 . ( 型 ) (因式分解后消去零因子) x3 x  9 0 x 3 x 3 解 lim 2  lim x1 x  9 x1 (x  3)(x  3) 1  lim x1 x  3 1  . 6 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 3x 4x 2  例 5 求lim 3 2 . ( 型) x 7x 5x 3  3 2 解 先用x 去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 . 3 4 2 3  3 3 2 3x 4x 2 3 x x  . lim 3 2  lim x 7x 5x 3 x 5 3 7 7  3 x x (无穷小因子分出法) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 小结:当a 0  0, b0  0, m 和n为非负整数时有  a0  b , 当n  m , m m 1 a 0 x  a1 x    a m  0 lim   0, 当 n  m , x   b x n  b x n 1    b n 0 1   , 当n  m ,   无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子、分母, 以分出无穷小, 然后再求极限. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 sin x 例6 求 lim . x x 解 1 当x  时, 为无穷小, x 而 sin x是有界函数 . sin x  lim  0. x x （利用无穷小运算性质求极限） 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理（复合函数的极限 运算法则）设函数 u   ( x ) 当 x  x0 时的极限存在且等于 a，即 lim  ( x )  a， x  x0 但在点 x0 的某去心邻域内  ( x )  a，又 lim f ( u)  A， u a 则复合函数 f [ ( x )] 当 x  x0 时的极限也存在，且 lim f [ ( x )]  lim f ( u)  A. x  x0 u a 意义： 变量替换求极限的依据 令 u   ( x) lim f [ ( x )] lim f ( u) x  x0 u a a  lim  ( x ) x  x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 四、小结 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练 习 题 一、填空题: 3 x 3 1、 lim  __________ . x2 x  3 x 1 2、 lim 3  __________ . x 1 x 1 1 1 1 3、 lim (1  )( 2  2  )  __________ . x x x x ( n  1)( n  2)( n  3) 4、 lim  __________ . 3 n  5n 1 5、 lim x sin  __________ . x0 x 2 cos x 6、 lim x  __________ .  x x   e  e 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 4x4  2x2  x  __________ . 7、 lim 2 x 0 3x  2x ( 2 x  3) ( 3 x  2) 8、 lim x  ( 2 x  1) 50 20 30  __________ . 二、求下列各极限: 1 1 1 1、 lim(1    ...  n ) n  2 4 2 ( x  h) 2  x 2 2、 lim h 0 h 1 3 3、 lim(  ) 3 x 1 1  x 1 x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 4、 lim x  8 1 x  3 2 3 x 5、 lim ( x  x   x x  x) 2x  1 6、 lim x x   4  1 x x 7、 lim m  xn  2 x 1 x m n 作业：P49 1:(3,7,10,14);2;3;6. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第六节 极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 要求：了解准则内容，掌握两个重要极限. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 极限存在准则 准则 I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 准则II 单调有界数列必有极限 sin x x 1. lim  1 (或 lim  1) x0 x  0 sin x x 1 1 x 2. lim(1  )  e (或 lim(1  x ) x  e ) x  x 0 x 外大内小 内外互倒 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件: (1) yn  xn  zn ( n  1,2,3) ( 2) lim yn  a , lim zn  a , n  n  那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n  a . n  证  yn  a , z n  a ,    0, N 1  0, N 2  0, 使得 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 证  yn  a , z n  a ,    0, N 1  0, N 2  0, 使得 当 n  N 1时恒有 y n  a  , 当 n  N 2时恒有 z n  a   , 取 N  max{N 1 , N 2 }, 当n>N时, 上两式同时成立, 即 a    y n  a  , 当 n  N时, 恒有 a    z n  a  , a    yn  x n  z n  a   , xn  a. 即 xn  a   成立 ,  lim n  上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 o 准则Ⅰ′ 如果当 x  U ( x 0 ,  ) (或 x  M )时,有 (1) g ( x )  f ( x )  h( x ), ( 2) xlim g ( x )  A , lim h ( x )  A , x x x 0 ( x  ) 0 ( x  ) 那么 lim f ( x )存在, 且等于 A . x  x0 ( x ) 准则Ⅰ和准则Ⅰ′称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 y n与 z n , 并且 y n与 z n的极限是容易求的 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 1 1  2   2 ). 例1 求 lim( 2 n  n 1 n 2 n n 1 1 n n 解  2    , 2 2 2 n n n 1 n n n 1 n 又 lim 2  lim n  n  n n  lim n  lim ( n  n n 1 2  lim 1 n 1 2 n   1 1 1 1 n 1 1 2 n 1 n 2 2  1,  1, 由夹逼定理得  1 n n 2 )  1. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、极限存在准则 2.单调有界准则 如果数列 xn满足条件 x1  x 2   x n  x n  1   , 单调增加 x1  x 2   x n  x n  1   , 单调减少 准则Ⅱ 单调数列 单调有界数列必有极限 . 几何解释: x1 x 2 x 3x n x n  1 A M x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例4 证明数列 x n  3  3    3 ( n重根式 ) 的极限存在，并计算其 极限 . 证 (1) x n  是单调递增的 ; 显然 xn1  3  xn ,  x 2  3  3  3  x1 , 假设n  k时, xk  xk 1 , 则n  k  1时, x k 1  3  x k  3  x k 1  x k ,  x n   ( 2 ) x n  有界 ;  x1  3  3, 假定 x k  3, 则x k 1  3  x k  3  3  3,  x n  有界 ; 由(1)和( 2)得，lim x n 存在 . n  南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 C 二、两个重要极限 (1) B sin x lim 1 x0 x o x D A B  设单位圆 O , 圆心角 AOB  x , (0  x  ) 2 作单位圆的切线 ，得 ACO . A 扇形 OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD , 于是有 sin x  BD , < x  弧 AB , < tan x  AC , sin x  1,  sin x  x  tan x , 即 cos x  x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件  sin x  x  tan x , sin x 即 cos x   1, x  上式对于   x  0也成立 . ? 2 令x=-t  cos x 在 x  0处连续  lim cos x  cos 0  1, x0 又  lim 1  1, x 0 根据夹逼准则，有 sin x  lim  1. x0 x x 问：lim ? x  0 sin x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 sin x x lim  1 或 lim 1 x0 x  0 sin x x 应用时注意： lim sin x a lim x a sin sin 1 1 lim 1 lim 1 x sin x  注：一般地，若x→x0时，函数φ(x)→0，则有 sin  ( x ) sin  ( x ) 1.   lim  ( x ) 0  ( x)  ( x) x0 lim x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例1. 求 tan x lim . x 0 x 解: lim tan x lim  sin x 1    x 0 x x  0 x cos x  sin x  lim 1  lim x  0 cos x x 0 x 1 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1  cos x . 例2 求 lim 2 x0 x x 2 x 2 sin sin 1 2 2 lim  解 原式  lim x 0 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2 x sin 1 1 2 1 2 2  lim( )  1  . 2 x 0 x 2 2 2 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 arcsin x x 0 x 例 3 求 lim 解：令 t  arcsin x, 则 x sint, 当 x0 时， t 0 由极限的运算法则可得 lim1 arcsin x 1 lim  lim  t 0  1 x0 t 0 sin t sin t x lim t 0 t t 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 Ex: sin x  1 lim x 0 x sin x  0 lim x  x 1 lim x sin  0 x 0 x 1 令x  t 1 1 lim x sin  lim sin t  1 x  t 0 t x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、两个重要极限 (2) 1 x lim(1  )  e x  x  (1 ) 2.718 281 828 45 ……，记作e；即 无理数e是自然对数的底，在数学和其他 科学技术中经常用到它。 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 n 1 例、设 xn  (1  n ) ( n  1, 2 , ) , 证明数列 xn  极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有 xn  (1  1n ) n n ( n 1)( n  2) 1 n 1 n ( n 1) 1  1  1! n  2! 2   3 3! n n n ( n 1)( n  n 1) 1  n! nn  1  1  1 (1  1 )  31! (1  1n ) (1  2 )   2! n n  n1! (1  1n ) (1  n2 ) (1  nn 1) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 xn  1  1  1 (1  1 )  1 (1  1 ) (1  2 )   2! n 3! n n  n1! (1  1n ) (1  n2 ) (1  nn1) xn 1  1  1  21! (1  n11)  31! (1  n11)(1  n21)   大 大  ( n11)! (1  n11)(1  n21)(1  nn1) 正 比较可知 又 xn  xn1 ( n  1, 2 ,  ) n 1 xn  (1  n )  1  1  1  1    1 2! 3! n! 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 又 n 1 xn  (1  n )  1  1  1  1    1 2! 3! n!  1  1  12  12    n11 1  1n 2  1  21 1 2 2 2  3 1 2 n 1 3 根据准则 2 可知数列  xn  有极限 . 记此极限为 e , 即 n 1 lim (1  n )  e n  e 为无理数 , 其值为 e  2e.7182818284 59045    2.7182818284 59045 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 n 根据准则 II 知：lim f ( n)  lim (1  ) n  n  n 一定存在，该极限值用字母 e 表示. 1 n lim (1  )  e n  n (e  2.71828 ) 可以证明，对于连续变量 x , 也有 1 x lim (1  )  e . x  x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 当 x  1 时, 有 [ x ]  x  [ x ]  1, 1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1  )  (1  )  (1  ) , [ x]  1 [ x] x 1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1  )  lim (1  )  lim (1  ) e , x   x   x   [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1  ) x   [ x]  1 1 [ x ] 1 1 1 ) )  e,  lim (1   lim (1  x   x   [ x]  1 [ x]  1 1 x  lim (1  )  e . x   x南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 x lim (1  )  e . x   x 令 t   x, 1 x 1 t 1 t  lim (1  )  lim (1  )  lim (1  ) x   t   x t t   t 1 1 t 1 1  lim (1  ) (1  )  e. t   t 1 t 1 1 x  lim (1  )  e x x 1 x 1t 1 令 t  , lim(1  x )  lim(1  )  e . t  x x0 t 1 x lim(1  x )  e x0  (1 ) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 n lim (1  )  e n  n 1 x lim (1  )  e x x lim(1  x )  e  1 x x 0 (1 ) 1  ( x) (1  ) e 一般形式：  (lim x )   ( x) lim (1   ( x ))  ( x ) 0 两种错误的形式： lim (1  x ) x  1 x 1  ( x) e e ( ) 0 1 x lim(1  )  e x 0 x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 (1  1 x (1  ) . ) 例4 求 lim x x 解 1  ( x) ) e lim (1   ( x )   ( x) 1 1 1  x 1 原式  lim[(1  ) ]  lim  x x 1 x x e (1  ) x 3  x 2x 求 lim ( ) . x 2  x 1 22(xx  2)24) 解 原式  lim (1  ) x  x2  例 (1 ) x ab x x a 1 x2 2 1 4 ) ] (1  )  lim [(1  x  x2 x2  e 1  e 2 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 b 三、小结 1.两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 . 2.两个重要极限 设  为某过程中的无穷小 , sin  0 1 lim  1; 某过程  1  2 0 lim (1   )  e . 某过程 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考题 求极限 lim x   3  9  x x 1 x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考题解答 lim 3  9  x x   1 x x 1    lim 9   x  1  x    3  1  9  lim  1  x  x    3   1 x x 3x    1 3x x 1 x  9e  9 0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练 习 题 一、填空题: sin  x 1、 lim  _________ . x 0 x sin 2 x 2、 lim  __________ . x  0 sin 3 x arccot x 3、 lim  __________. x 0 x 4、 lim x  cot 3 x  __________ . x 0 sin x 5、 lim  __________ . x  2 x 1 x 6、 lim(1  x )  _________ . x 0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1  x 2x 7、 lim ( )  _________ . x x 1 x 8、 lim (1  )  _________ . x x 二、求下列各极限: 1  cos 2 x 1、 lim x0 x sin x tan 2 x 2、 lim (tan x ) x  4 xa x 3、 lim ( ) x x  a n 1 n 4、 lim ( ) n  n1 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 n n 5、lim(1  2  3 ) n n  三、利用极限存在准则证明数列 2 , 2  2 , 2  2  2 ,...... 的极限存在，并求 出该极限 . 作业：P56 1:(2,4,5,6);2(1,4);4;6. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练习题答案 一、1、 ； 2 2、 ； 3 3、1； 5、0； 6、e ； 7、e 2 ； 二、1、2； 1 2、 ； e 3、e 2 a ； 1 4、 ； 3 1 8、 ； e 4、e 1 ； 5、3. 三、 lim x n  2 . x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第七节 无穷小的比较 一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换 三、小结 重点：等价无穷小替换 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第七节 无穷小的比较 引例 . x  0 时 , 3 x , x , sin x 都是无穷小, 但 2 2 sin x 1 x lim  ,  0, lim x 0 3 x 3 x 0 3 x sin x lim 2   , x0 x 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 问题：如何刻画两个无穷小在同一过程中趋于零的“快 慢” 速度？ 引入“阶”的概念 定义: 设  ,  是同一过程中的两个无 穷小 , 且   0.  (1) 如果 lim  0，就说  是比  高阶的无穷小 ,  显然  趋于零比 “快些” 记作   o(  )；  (２) 如果 lim  ，就说  是比  低阶的无穷小．  显然  趋于零比 “慢些”  ( 3 ) 如果 lim  C  0 , 就说  与  是同阶的无穷小 ;   趋于零大体与 “同样快慢”  特殊地，如果 lim  1, 则称  与  是等价的无穷小;  记作  ~ ; 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 (1) 当  0，  0时，由于   lim  0  lim     所以，“β是比α高阶的无穷小量 ” 等价于 “α是比β较低阶无穷小量 ”。 (2) 同样，“β与α是同阶无穷小量 ” 等价于 “α与β是同阶无穷小量 ”。 (3) “β与α是等价无穷小量 ” 等价于“α与 β是等价无穷小量 ”。 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理1  与  是等价无穷小的的充分必要条件 为     o( ). 证 必要性 设  ~  ，     lim  lim  1   0，         o( )，即     o( )． 充分性 设     o( )．    o(  ) o(  ) lim  lim  lim（１＋ ） 1，      ~ ． 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 例1、证明: 当 x  0 时, 1  x  1～ x n n 证: lim 1  x  1 1x x 0 n n a  b  ( a  b) ( a n n n 1 a n2 b  b n 1 )  1  x  1  lim n 1 n2 x 0 1 x n n   1  x    1  n   1 x  n n 1  当 x  0 时, 1 ～ x n n 1 x 1 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理)    设  ~  ,  ~  且 lim 存在, 则 lim  lim .    证     lim  lim(   )          lim  lim  lim  lim .     南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 常用等价无穷小: 当x  0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x , tan x ~ x , arctan x ~ x , ln(1  x ) ~ x , e 1~ x 1 2 a 1  cos x ~ x , (1  x )  1 ~ ax (a  0) 2 1 特别地， 1  x  1 ~ x 2 x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 e 1 求 lim . x 0 x x 例3 解 令 e  1  u, 则当 x  0 时, 有 u  0, e  1  u, 即 x  ln(1  u), x x e 1 u  lim  lim x 0 u 0 ln(1  u ) x 1 1   lim  1 . u  0 ln(1  u ) ln e u x 即，当 x  0 时，x ~ e  1. x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 2 tan 2 x . 例4 求 lim x 0 1  cos x 1 2 解 当x  0时, 1  cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 ( 2 x )2 原式  lim  8. x0 1 2 x 2 注意 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 tan x  sin x . 例5 求 lim 3 x 0 sin 2 x 错 解 当x  0时, tan x ~ x , sin x ~ x . x x 原式   lim 3  0. x 0 (2 x ) 解 当x  0时, sin 2 x ~ 2 x , 1 3 tan x  sin x  tan x (1  cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2  . 原式  lim 3 x0 ( 2 x ) 16 注意 ：只可对函数的因子作等价无穷小代 换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理)    设  ~  ,  ~  且 lim 存在, 则 lim  lim .    证     lim  lim(   )          lim  lim  lim  lim .     南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 常用等价无穷小: 当x  0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x , tan x ~ x , 1 2 arctan x ~ x , 1  cos x ~ x , 2 x x , ln(1  x ) ~ e 1~ x (1  x)  1 ~ ax (a  0) a 1 特别地， 1  x  1 ~ x 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件    若  ~    ~   且 lim 存在 则 lim  lim     例3 求 lim tan 2 x  x  0 sin 5 x 解 当x0时 tan 2x~2x sin 5x~5x 所以 lim tan 2 x  lim 2 x  2  x  0 sin 5 x x  0 5x 5 sin x 例4 求 lim 3  x  0 x  3x 解 当x0时sin x~x 无穷小x33x与它本身显然是等价 的 所以 x  lim x  lim 1  1  lim sin x  0 x 3  3x x  0 x 3  3x x0 x 2  3 3 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例5. 求 lim x 0 1 2 3 (1  x )  1 cos x  1 . 解: 当 x  0 时, 1 2 2 3 (1  x )  1 ~ x 1 3 1 2 cos x  1 ~  x 2  1 x2 原式  lim 3 2 x 0  1 x 2 2  3 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 Ex tan x  sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x 错 解 当x  0时, tan x ~ x , sin x ~ x . x x 原式   lim 3  0. x 0 (2 x ) 解 当x  0时, sin 2 x ~ 2 x , 1 3 tan x  sin x  tan x (1  cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2  . 原式  lim 3 x0 ( 2 x ) 16 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代 换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、小结 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗？ 思考题解答 不能． 例当 x   时 1 sin x 都是无穷小量 f ( x )  , g( x )  x x g( x )  lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x   f ( x ) x   故当 x   时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练 习 题 一、填空题： tan 3 x =__________. 1、lim x 0 sin 2 x arcsin x n 2、lim =________. m x 0 (sin x ) ln(1  2 x ) =_________. 3、lim x 0 x 1  x sin x  1 =________. 4、lim 2 x 0 x arctan x x n 5、lim 2 sin n =________. n  2 1 n (1  ax )  1 6、lim =_________. x 0 x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 7、当 x  0 时， a  x  a (a  0) 对于 x 是_______阶无穷小 . 8、当 x  0 时，无穷小 1  cos x 与 mx n 等价，则 m  _______, n _______ . 二、求下列各极限： tan x  sin x 1、lim ； 3 x 0 sin x   e e ； 2、 lim      sin x  sin x ； 3、lim x 0 x tan x  tan a ； 4、lim xa xa 3 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、证明：若 ,  是无穷小，则 ~       0( ) . x 2 n 1 sin  x  cos(a  bx ) 2 四、设 f(x)= lim 2n n  x 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x )  f (1) ， x 1 lim f ( x )  f ( 1) . x  1 作业：P59 4;5. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练习题答案 0, m  n  2、1, m  n ；3、2；  , m  n  4、 ； 5、 x ； a 6、 ； n 7、3； 1 8、 , 2. 2 1 二、1、 ； 2 2、e  ； 3、   ； 4、sec 2 a . 3 一、1、 ； 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件   x sin  2  x , x 1  1  cos(a  b ) , x  1  2  1  cos(a  b ) , x  1  2  四、1、 cos(a  bx ), x  1 ； 2、a  2k ( k  0 ,  1, ) , b  0 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第八节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、函数的连续性 (一)、函数的连续性概念 变量的增量 设函数yf(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义 当自变量x由x0变化到x0+∆x，相应地 y由y0变化到y0+∆y. 则称∆x为自变量x的增量, yf(x0x)f(x0)为函数y的增 量 注意: “增量”不一定大于零,它可正可负，但 不能为0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 函数的连续性定义 设函数 yf(x) 在点x0及其邻域内有定义 如果 lim y  0  或 lim f ( x)  f ( x0 )  x  0 x  x0 那么就称函数 yf(x) 在点x0处连续 提示: yf(x0x)f(x0) 设xx0+x 则当x0时 xx0 因此 lim y  0  lim [ f ( x)  f ( x0 )]  0  lim f ( x)  f ( x0 )  x  0 x  x0 x  x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、函数的连续性 1.连续的定义 定义 1 设 函 数 f ( x) 在 U ( x0 , ) 内 有 定 义 , 若 ,那么就称函数 f ( x ) 在点 x 连续. lim f ( x )  f ( x ) 0 x x 0 0 "    " 定义    0,    0, 使当 x  x 0   时, 恒有 f ( x )  f ( x 0 )   . 问题：函数在点x0连续与存在极限的区别？ 1) f (x) 在x=x0必须有定义 2) A= f (x0) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定义 1 设 函 数 f ( x) 在 U ( x0 , ) 内 有 定 义 , 若 lim f ( x )  f ( x ) ,那么就称函数 f ( x ) 在点 x 连续. 0 x x 0 0 定义 2 设函数 f ( x )在 U ( x0 ,  ) 内有定义,如果 lim y  0，那么就称函数 f (x )在点 x 0 连续, x 0 称为 x  0 f (x )的连续点. 即 lim [ f ( x 0  x )  f ( x 0 )]  0 x  0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 函数的连续性定义 设函数 yf(x) 在点x0及其邻域内有定义 如果 lim y  0  或 lim f ( x)  f ( x0 )  x  0 x  x0 那么就称函数 yf(x) 在点x0处连续 函数 y  f ( x ) 在 x0 点连续,须满足三个条件: (1) f(x)在x0点有定义,即有确定的函数值f(x0); (2) f(x) 在x0点极限存在; f ( x )  f ( x0 ). (3) f(x) 在x0点的极限值等函数值,即 xlim x 0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 3.单侧连续 若函数 f ( x )在( a , x 0 ]内有定义 , 且 f ( x 0  0 )  f ( x 0 ), 则称 f ( x )在点 x 0 处左连续 ; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且 f ( x 0  0 )  f ( x 0 ), 则称 f ( x )在点 x 0 处右连续 . 定理 函数 f ( x )在 x0 处连续  是函数 f ( x )在 x0 处既左连续又右连续 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 函数 y  sin x在区间 (  , )内是连续的 . 如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点 x  a处右连续 , 在右端点 x  b处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例 证明 函数 y  sin x在区间 (  , )内连续 . 证 任取 x  (  , ), x x  cos( x  ) 2 2 x 则 y  2 sin . 2 y  sin( x  x )  sin x  2 sin x  cos( x  )  1, 2 对任意的  , 当  0时, 有 sin   , x 故0  y  2 sin  x ,  当  x  0时 ,由夹逼准则 ,  y  0. 2 即 函数 y  sin x对任意 x  (  , )都是连续的 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 （二）、 函数的间断点 间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一 (1)在x0没有定义 (2)虽然在x0有定义 但 lim f(x)不存在 x x0 (3)虽然在x0有定义且 lim f(x)存在 但 lim f(x)f(x0) x x 0 x x 0 则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续 点或间断点 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 间断点的类型 可去间断点 第一类间断点 间断点 跳跃间断点 第二类间断点 1.第一类间断点 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极 限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可 去间断点 不相等者称为跳跃间断点 2.第二类间断点 左极限f(x0-)及右极限f(x0+)至少有一个不存在 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例如: y (1) y  tan x  x  为其无穷间断点 . o y  tan x  x 2 2 1 (2) y  sin x x  0 为其振荡间断点 . y 1 y  sin x 0 x x 1 (3) y  x 1 2 x  1 为可去间断点 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x , x 1 (4) y  f ( x)   1  2 , x 1 y 1 显然 lim f ( x)  1  f (1) x 1 o x  1 为其可去间断点 . x 1 , x  0  (5) y  f ( x)   0 , x  0  x  1 , x  0  f (0 )  1, 1 2  f (0 )  1 1 x y 1 o 1 x  0 为其跳跃间断点 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x 三、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别; 第一类间断点:跳跃型, 可去型. 间断点 第二类间断点:无穷型,振荡型. (见下图) 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考题 2 若 f ( x ) 在 x 0 连 续 ，则 | f ( x ) | 、 f ( x ) 在 x 0 是 2 否 连 续？ 又若 | f ( x ) | 、 f ( x ) 在 x 0 连 续 ， f ( x ) 在 x 0 是 否 连续 ？ 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考题解答 f ( x )  f ( x0 )  f ( x ) 在 x0 连续，  xlim x 0 且 0  f ( x )  f ( x0 )  f ( x )  f ( x0 )  lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0     lim f ( x )  lim f ( x )  lim f ( x )  f 2 ( x0 )  x  x0   x  x0  x  x0 2 2 故| f ( x ) |、 f ( x ) 在 x 0 都连续. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 但反之不成立.   1, x  0 例 f ( x)   x0 1, 在 x 0  0 不 连续 2 、 f ( x ) 在 x 0  0 连续 | f ( x ) | 但 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练 习 题 一、填空题： x2  1 在 x  1 是第_______类间 1、指出 y  2 x  3x  2 断点；在 x  2 是第_____类间断点 . x2  x 在 x  0 是第________类间 2、指出 y  2 x ( x  1) 断点；在 x  1 是第______类间断点；在 x  1 是第_____类间断点 .  x, x  1 的连续性，并画出函数 二、研究函数 f ( x )   1, x  1 的图形 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些 间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函 数的定义使它连续 .  x  1, x  1 1、 f ( x )   在 xR 上 . 3  x, x  1 x ,在 x  R 上 . 2、 f ( x )  tan x 1  x 2n 的连续性，若有间断 四、 讨论函数 f ( x )  lim 2 n n  1  x 点，判断其类型 . ex  b 五、试确定 a, b 的值,使 f ( x )  ，有无穷 ( x  a )( x  1) 间断点 x  0 .  南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练习题答案 一、1、一类,二类； 2、一类,一类,二类. 二、 f ( x )在(  ,1)与( 1, )内连续 , x  1 为跳跃间 断点. 三、1、 x  1为第一类间断点；  2、 x  k  为可去间断点, 2 x  k( k  0) 为第二类间断点.   x , x  k , k   f1 ( x )   tan x 2 1, x  0 ( k  0,1,2,) , 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件   x , , x  k  k    tan x 2 f2 ( x)   ( k  0,1,2,) . 0, x  k    2  x, x  1  四 、 f ( x )   0, x  0 x  1 和 x   1 为 第 一 类 间 断 点 .  x, x  1  五、 a  0, b  1; 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 作业：P65 3:(2,3,4);4;7. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理1 若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续 , f ( x) 则 f ( x )  g ( x ), f ( x )  g ( x ), ( g ( x0 )  0 ) g( x ) 在点 x0处也连续 . 例如, sin x , cos x在 (  , )内连续 , 故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 . 即 三角函数在其定义域内 连续 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, y  sin x在[    , ]上单调增加且连续 , 2 2 故 y  arcsin x 在[ 1,1]上也是单调增加且连续 . 同理 y  arccos x 在[ 1,1]上单调减少且连续 ; y  arctan x , y  arc cot x 在[ , ]上单调且连续 . 反三角函数在其定义域内皆连续. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理3 设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成  U (x0)  Df  g  若 lim g x) u0  而函数 yf(u)在 u0 连续 则 xx0 lim f [ g  x)]  lim f (u)  f (u0 )  x  x0 u u0 x 3 例 求极限 lim 2 x 3 x 9 x 3 解：原函数由y  u 和u  2 复合而成， x 9 x3 1 1 而y  u 在x  1 且 lim u  lim 2  lim  ， x 3 x 3 x  9 x 3 x  3 6 6 x3 6  lim u  . 处连续，所以 lim 2 x 3 x  9 u1 6 6 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理4 设函数 u  ( x ) 在点 x  x0连续, 且 ( x0 )  u0 , 而函数 y  f ( u) 在点 u  u0 连续 , 则复合函数 y  f [( x )]在点 x  x0也连续 . 注意 定理4是定理3的特殊情况. 1 例如, u  在 (  , 0)  (0,   )内连续 , x y  sin u 在 (  ,   )内连续 , 1  y  sin 在 (  , 0)  (0,   )内连续 . x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、初等函数的连续性 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. ★ 指数函数 y  a x (a  0, a  1) 在 (  , )内单调且连续 ; ★ 对数函数 y  log a x (a  0, a  1) 在( 0, )内单调且连续 ; 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 y x a  ★  log a x 在(0,   )内连续 , y  a , u   log a x . u 讨论不同值 , (可以证明，幂函数均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 注意 定义区间是指包含在定义域内的区间. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域 内不一定连续 例如, y  cos x  1, D : x  0,  2  ,  4  ,  这些孤立点的邻域内没有定义. y x ( x  1) , 2 3 D : x  0, 及x  1, 在0点的邻域内没有定义. 函数在区间 [1, )上连续 . 注意 初等函数求极限的方法代入法. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 lim f ( x )  f ( x0 ) x  x0 1 x2  1 . 例5 求 lim x0 x ( x0  定义区间 ) 0 型 0 ( 1  x 2  1)( 1  x 2  1) 解 原式  lim x 0 x ( 1  x 2  1) x 0   0.  lim 2 x 0 1 x 1 2 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 关于幂指函数 f ( x ) g( x ) 的几个结果 : 则 设 lim f ( x )  A  0 , lim g ( x )  B , x  x0 x  x0 lim f ( x ) g( x) x  x0 证 lim f ( x ) e  lim e x  x0 例8 求 lim(1  2 x ) 3 sin x x0 解 lim(1  2 x ) g ( x ) ln f ( x ) x  x0 lim g ( x ) ln lim f ( x ) x  x0 g( x) x  x0 g( x) x  x0  [ lim f ( x )] lim x  x0 e A ln B e  AB. lim g( x ) ln f ( x ) x  x0  AB . 3 sin x x0 2 x 3 sin x   6 e  lim (1  2 x )  x 0  南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 1 2x 四、小结 连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练 习 题 一、填空题： 1、lim x 2  3 x  4  ____________. x0 x 11 2、lim  ____________. x 0 x 3、 lim ln( 2 cos 2 x )  ____________. x  6 2  2 cos x 4、 lim  ____________. 2  tan x x 4 et  1 5、 lim  ____________. t  2 t e x , x  0 6、设 f ( x )   , 当 a  _____时， f ( x ) 在 a  x , x  0 (   , ) 上连续 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x4  x  1 7、函数 f ( x )  2 的连续区间为 x  x6 ________________.  x cos ,当 x  1时 确定 8、设 f ( x )   2  x  1 ,当 x  1时 lim f ( x )  __________; lim f ( x )  ___________. x x  1 1 2 二、计算下列各极限： sin x  sin a ； 1、lim xa xa 2 x  3 x 1 ) ； 3、 lim ( x 2 x  1 2、lim(1  3 tan 2 x ) cot x ； x0 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 a  x 2 , x  0  三、设 f ( x )  1 , x  0 已知 f ( x ) 在 ln( b  x  x 2 ), x  0  x  0 处连续，试确 定 a 和 b 的值. 四、设函数 f ( x ) 在 x  0 处连续，且 f (0)  0 ,已知 g( x )  f ( x ) ，试证函数 g( x ) 在 x  0 处也连续. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练习题答案 一、1、2； 1 2、 ； 2 3、0； 4、0； 1 1 6、1； 5、  ( 2  1) ； 2 e 7、(  ,3), ( 3,2), ( 2, ) ； 2 8、 ,0,不存在. 2 1 二、1、cos a ； 2、1； 3； 2 . e 三、 a  1, b  e . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 作业：P70 3:(3,5,7);4(3,4,5,6);6. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 第十节 闭区间上连续函数的性质 一、最大值、最小值定理 二、介值定理 三、小结 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 一、最大值和最小值定理 定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ), 如果有 x0  I , 使得对于任一 x  I 都有 f ( x )  f ( x0 ) ( f ( x )  f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大 (小 )值 . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理1(有界性与最大值和最小值定理) 在闭区 间上连续的函数一定有最大值和最小值. 若 f ( x )  C [a , b], y y  f ( x) 则  1 ,  2  [a , b], 使得 x  [a , b], 有 f ( 1 )  f ( x ), f ( 2 )  f ( x ). o a 2 1 b x 注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立; y y  f ( x)  2 o x 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. y y  f ( x) 1 o 1 2 x 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 二、介值定理 定义: 若f ( x0 )  0, 则 x0称为函数 f ( x )的零点. 定理2（零点定理）设f (x)  Ca, b , 且f (a )  f (b )  0, 则 f ( x )在( a , b )内至少 一个零点 . (即方程 f ( x )  0在 (a , b )内至少存在一个实根 .) . a . b 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定理3（介值定理） 设f ( x )  C a , b, 且f (a )  f (b ), 则对于介于 f (a )、f (b )之间的 C , 至少一点  (a , b ), 有f ( )  C . y C  B y  f ( x) C a 1 o A 2 3 b 几何解释: 连续曲线弧 y  f ( x )与水平 直线 y 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 C至少有一个交点 . x 用零点定理证 证 设 ( x )  f ( x )  C , 则 ( x )在[a , b]上连续 , 且 ( a )  f ( a )  C  A  C,  (b )  f (b )  C B  C ,   ( a )   ( b )  0, y B y  f ( x) C a 1 o A 由零点定理, 2 3 b    (a , b ), 使  ( )  0, 即  ( )  f ( )  C  0,  f ( )  C . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 x 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m之间的任何值. x2 x1 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 代数应用: 零点存在定理给了大家一个判定方 程在某个区间上是否有根的方法.   ( a , b ), 使得 f ( )  0. 例1 证明方程 x  4 x  1  0在区间 ( 0,1)内 3 2 至少有一根 . 证 令 f ( x )  x  4 x  1, 则 f ( x )在[0,1]上连续 , 3 又 f ( 0 )  1  0, 2 f (1)  2  0,    (0,1), 使 f ( )  0, 由零点定理, 即  3  4 2  1  0,  方程 x 3  4 x 2  1  0在 ( 0,1)内至少有一根  . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例2 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上连续 , 且f (a )  a , f (b )  b. 证明   (a , b ), 使得 f ( )   . 证 令 F ( x )  f ( x )  x , 则F ( x )在[a , b]上连续 , 而 F ( a )  f ( a )  a  0, F (b )  f ( b )  b  0, 由零点定理,    (a , b ), 使 F ( )  f ( )    0, 即 f ( )   . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 三、小结 四个定理 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 练 习 题 一、 证明方程 x  a sin x  b ，其中 a  0 , b  0 ，至 少有一个正根，并且它不超过 a  b . 二、 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a  x1  x 2    x n  b 则在 [ x1 , x n ]上必有 f ( x 1 )  f ( x 2 )  ......  f ( x n ) f ( )   ，使 . n 三、 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a  c  d  b ,试证 明：对任意正数 p和q ；至少有一点   [ c , d ] ,使 pf ( x )  qf ( x )  ( p  q ) f ( ) . 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考题 下述命题是否正确？ 如果 f ( x ) 在[a , b]上有定义，在 ( a , b ) 内连续，且 f ( a )  f ( b )  0 ，那么 f ( x ) 在 ( a , b )内必有零点. 作业：P74(习题1-10) 2;3;5. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 思考题解答 不正确. e , 例函数 f ( x )     2, 0 x1 x0 f ( x ) 在(0,1) 内连续, f (0)  (1)  2e  0. 但 f ( x ) 在( 0,1) 内无零点. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件