高数（少课时）第四章练习与自测.pdf

南阳师范学院—数学与统计学院《高等数学》第四章-——不定积分（13）若练习题（A）（14）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1 ⎧ ⎪ x sin , x ≠ 0 （1）函数 f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0, x=0 （2） f ′( x) ∫ f ( x) dx = ln f ( x) + C . （15）设 y = f ( x) ，若在区间 ( −∞, +∞) 上一定有原函数. （）（3）若 F ( x) 是函数 f ( x) 在区间 I 上一个原函数，则 ∫ f ( x)dx = F ( x) . （4）若函数 f ( x) 在区间 I 上可导，则 f ( x) 是 f ′( x) 在区间 I 上的一个原函数. ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ，则 ∫ f (u)du = F (u ) + C . （）（）（）函数 f (ϕ ( x))ϕ ′( x) 的一个原函数. （）（）（7）存在这样的函数 f ( x) ，使得 f ( x) 是它自身的一个原函数. （）（8） arcsin x 与 − arccos x 是同一个函数的原函数. （） d d （9）若函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 I 上连续且 f ( x) ≥ g ( x) ，则 f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx . ∫ dx dx （1）下列结论错误的是（） 1 1 ，则 . = f ( x ) x2 x （11） 1 − x 是函数 2 x 1 − x2 （） B：若 F ( x) 是函数 f ( x) 在区间 I 上的原函数，则对任意常数 C ， F ( x) + C 也 C：若 F ( x) 、 G ( x) 均为 f ( x) 在区间 I 上的原函数，则 F ( x) − G ( x) 一定是一个常数. D： ln(− x) 是 − 1 在 (−∞, 0) 上的一个原函数. x （2）若 F ( x) 和 G ( x) 分别是 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上的原函数，则（ A： F ( x) G ( x) 是 f ( x) g ( x) 在区间 I 上的一个原函数 F ( x) f ( x) 是在区间 I 上的一个原函数 G ( x) g ( x) （） C： F ( x) ± G ( x) 是 f ( x) ± g ( x) 在区间 I 上的一个原函数（） D： F ( x ) G ( x ) 是 f ( x)G ( x) + g ( x) 在区间 I 上的一个原函数（3）若函数 f ( x) 在区间 I 上连续，则（ ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ，则 lim ∫ f ( x)dx = F ( x0 ) + C ， ( x0 ∈ I ) . x → x0 ）） 2 的一个原函数. （12）若函数 f ( x) 在区间 I 上连续，且（ A：一切初等函数在定义区间上都有原函数 B：（10）若 f ′( x) = x ）是 f ( x ) 在区间 I 上的原函数（6）如果 f (u ) ，ϕ ( x) ，ϕ ′( x) 都是连续函数， F (u ) 是 f (u ) 的上一个原函数，则 F (ϕ ( x)) 是（ ∫ f ( x)dx = e + C ，则 y′′ − y = 0 . （二、填空题（将正确答案填写在横线上） ∫ f ( x)dx = ∫ g ( x)dx ⇔ f ( x) = g ( x) . （5）若 1 sin 2 x 是 cos ax 在 (−∞, ∞) 上的一个原函数，则 a = 2 . 2 A： y = （）第 1 页共 3 页） ∫ f ( x)dx 在区间 I 上连续但不可导）南阳师范学院—数学与统计学院 B： y = ∫ f ( x)dx 在区间 I 上不连续 B： f (ln x ) ∫ x dx = F (ln x) + C C： y = ∫ f ( x)dx 在区间 I 上连续且可导 C： ∫ f ( x ) x dx = F ( x ) + C , (n > 1) D： y = ∫ f ( x)dx 在区间 I 上不可微 D： ∫ f (e )e dx = F (e ) + C E： ∫ f (sin x) cos xdx = F (sin x) + C F： ∫ f (cos x) sin xdx = − F (cos x) + C （4）下列等式中不成立的是（ A：） ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C ∫ B： df ( x) = f ( x) d C： f ( x)dx = f ( x) dx ∫ D： d （5）下列结论不正确的是（ ∫ f ( x)dx = f ( x)dx C： arctan x 是 D： x A： π π , ) 上的一个原函数 2 2 B： 1 在 ( −∞, ∞) 上的一个原函数 1+ x2 D： E： 1− sin x 是 cos x 在 ( −∞, ∞) 上的一个原函数 1 的原函数，它是（ x A： F ( x ) = ln x − C （ C 为任意常数） x x f (arc sin x) ∫ 1− x 2 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ，则下列等式成立的是（ dx = F (arcsin x) + C f (arctan x) ∫ 1 + x 2 dx = F (arctan x) −1 f ( x) dx = F ( x ) + C x ∫ （9）下列等式不成立的是（）） ∫ A： cos ϕ ( x) dϕ ( x) = sin ϕ ( x) + C B： F ( x ) = ln 2 x ∫ ϕ ( x) B： e C： F ( x) = ln x + C （ C 为任意常数） n f (a x ) x C： ∫ a dx = F (a x ), (a > 0, a ≠ 1) ln a ax , (a > 0, a ≠ 1) 是 a x 在 (−∞, ∞) 上的一个原函数 ln a （6）下列函数中有一个不是 f ( x) = n −1 （8）若函数 f ( x) 是连续函数，且） A： cos x 是 sin x 在 (−∞, ∞) 上的一个原函数 B： ln cos x 是 tan x 在 ( − n D： F ( x) = 4 ln x dϕ ( x) = eϕ ( x ) + C ∫ C： sin ϕ ( x) dϕ ( x) = − cos ϕ ( x) + C E： F ( x ) = ln Cx + 1 （ C ≠ 1, C ≠ 0 ）（7）若函数 f ( x) 是连续函数,且 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ，则下列等式不成立的是（ ∫ x + a dx = ln x + a + C E： dϕ ( x ) ∫ 1 + ϕ 2 ( x) = arctan ϕ ( x) ） 1 A： ∫ f ( ax + b) dx = F ( ax + b) + C , ( a ≠ 0) a 第 2 页共 3 页 1 D：）南阳师范学院—数学与统计学院（10）下列式子不成立的是（ A： 1 ） ∫ 1 − x dx = arcsin x + C B： sec xdx = tan x + C ∫ D： csc x cot xdx = csc x + C 2 C： sec u tan udu = sec u + C ∫ ∫ d arctan x = 2. 3. 1 ∫ x f ( x)dx = arctan x + C ，则 f ( x) = 16.若 ∫ f ( x)dx = x + C ，则 ∫ xf ( x )dx = 2 ∫ 2 17.若 f ( x ) = e − x2 ，则 ∫ . ∫ . x ∫ 1 + x dx = . 20.若 f ′( x) = 1 + x ，则 f ( x) = ∫ ( x + 1) dx = . 9 dx 4. ∫ = x ln 2 x cos x 5. ∫ dx = 1 − sin x sin x 6. ∫ dx = 1 + cos 2 x x2 1.求下列不定积分 . 8. ∫ (1 + x ) x dx = . 9. sec 2 x ∫ 1 + tan xdx = . 10. e2t − 1 ∫ et − 1 dt = . 11. ∫ (1 + sin 2 x + cos 2 x)dx = . 12. ∫ ln xdx = 13. ∫ x cos xdx = ∫ 14. ( sin x dx)′ = ∫ x （1） e cos xdx . cos x ∫ x dx = 2 . 四、计算题 7. 1 1 . 18.若 d ( f ( x)dx) = xe dx ，则 f (ln x) = 19.若 f ( x ) = e ，则 xf ( x )dx = 2 . f ′(ln x) dx = x . 2x . 2 ∫ 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. 15.若（4） . （7）（2） dx ∫ 1− x （3） dx ∫ xarc tan xdx （5） ∫ 1 − x dx ∫ x −x−2 2 （8） 2 xdx ∫ x + 2x + 2 2 ∫ dx ∫ e −e x −x 2 （6） x ln xdx （9） ∫ x dx 2.一曲线 y = f ( x) 过点 (1,1) 且在该曲线上任意点 M ( x, y ) 的切线的斜率为 2x ，求曲线的方程. . . . 第 3 页共 3 页南阳师范学院—数学与统计学院《高等数学》第四章-——不定积分 11. f ( x)  f ( x) dx  ln f ( x)  C , (C 为任意常数）. （） 12.  (arcsin x  arccos x)dx  0 . （）练习题（B）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 13. 若 f ( x) 在区间 I 上连续，则函数族 y  1  p  x sin , x  0 1.在 ( , ) 上至少存在一个函数 F ( x) 使得 F ( x)   ，其中实数 p  0 . x  0, x0 2. 若 f ( x ) 在区间 I 上连续，则 3. 若 f ( x) 连续，则 y   f ( x)dx 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数.  f ( x)dx 必可微. 4. 若 f ( x) 在区间 I 上连续，且 x0  I ，则 lim x  x0  f ( x)dx   f ( x )dx . 0 闭区间上必有最值. 14. 若（）  f ( x)dx  F ( x)  C ，则  f (u )du  F (u )  C . （）  （）（）（） 15. 若 dF ( x)  dG ( x) ，则 F ( x)  G ( x) . （）二、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（） 1. 下列结论正确的是（（  ） A： F ( x)  sgn x 必是某一连续函数在 ( , ) 上的原函数 5. 若 F ( x) 和 G ( x) 分别是函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F ( x)G ( x) 必是 f ( x) g ( x) 在区间 I 上的一个原函数.  f ( x)dx 中每个函数在定义区间内的任意） B： F ( x)  sin x 必是某一连续函数在 ( , ) 上的原函数 1 6. 函数 F ( x) 和 G ( x) 都是 f ( x) 的原函数的充要条件是 F ( x)  G ( x) . 7. 若函数 f ( x) 在区间 I 上连续且 f ( x)  0 （或 f ( x)  0 ），则函数族 y  （  f ( x)dx 中每一个函数无极值. 8. 若函数 f ( x) 单调可导，则曲线族 y  ）  f ( x)dx 无拐点. （）（） 9. 若函数 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，  ( x) 可导，则 F ( ( x)) 是 f ( ( x)) 的一个原函数. （） 10.设  ( x) 单调可导，  ( x)  0 ，若 F ( x) 是 f ( ( x)) ( x) 的原函数，则 F ( ( x)) 是 1 f ( x) 的原函数. （）第 1 页共 3 页 C： F ( x)  x 3 必是某一连续函数在 ( , ) 上的原函数 1  2  x sin , D： F ( x)   x  0, x0 必是某一连续函数在 ( , ) 上的原函数 x0   , 0  的函数的极大值为（ 4   2. 函数族 y  sin 2 xdx 中过点  A： 1 B： 1 3. 下列结论正确的是（ C： 1 2 D：  ） 1 2 ） A：奇函数的原函数必是偶函数 B：偶函数的原函数必是奇函数 C：周期函数的原函数必是周期函数 D：单调函数的原函数必是单调函数南阳师范学院—数学与统计学院 9. 若） 4.下列式子成立的是（  A： e u 1 du  e u 1 cos x B：  dx  arctan sin x  1 1  sin 2 x ln x D：  dx  ln 2 x  C x  C,  C： ln xdx  x ln x  x  E： cos  ( x) d ( x)  sin  ( x)  1 5. 若 A： x tan x  C B： x arctan x  C C： x tan x  C D： x arctan x  C 2 2 B： 1 ）  f (sin x) cos xdx  arcsin(sin x)  C D：  C：  1  x2 e x 8. 若 f ( x) 可导，则下列等式不成立的是（ D： 1 dx  arcsin(arcsin x)  C B： xf ( x)  C C： xF ( x)  C ） D： xf ( x)  F ( x)  C 2 1. x  d e 2 dx  _  dx 2. d  sin x 2 dx  3. 3x 2  2 x  x3  x 2  1 dx  4. ex  1  e2 x dx  5.  (tan x  cot x)dx  6.  x  1 dx  7.  x ln(1  x)dx  8. 若 1 x2 e C x 1 x2 e C x ） 1 A：  f (2 x  3)dx  f (2 x  3)  C 2 1 2 2 B：  xf ( x ) dx  f ( x )  C 2 f (arctan x) C：  dx  f (arctan x)  C 1  x2 D： 1  x2 A： F ( x)  C 1 D： f (arcsin x)  1 1 x 三、填空题（将正确答案填写在横线上） C： 2 B：  x 10. 若函数 F ( x) 是 f ( x) 的原函数，则 xf ( x) dx  （ 1 1 7. 若  f ( x ) dx  xe  C ，则  2 f ( )dx  （） x x 1 x2 e x x C： x2 A： 1 ( ) arcsin x  C f x dx   2  ） 1 f ( x) dx  arcsin x  C ，则下列式子成立的是（） x B： e f (e )dx  arcsin e  C 2 6. 若 tan ax 是 sec x 的原函数，则 a  （ A： 2 A：（其中 C 为常数） 2  f ( x)dx  x arctan x  C ，则  f (tan x) sec xdx  （   f (sec x) tan x sec xdx  f ( x)  C （其中 C 为常数）第 2 页共 3 页  f (sin x)dx  sin x  x  C ，则 f ( x)  _ . 南阳师范学院—数学与统计学院 9. 若 f ( x )  2 1 ，则  f ( x) dx  x  10. 若 xf ( x)dx  arccos x  C ，则 11. 若 3. 已知 f (e )  1  e , f (0)  1 ，求 f ( x) 及 x 1  f 2 ( x) dx  2 2  f ( x)dx   x  3  C ，则 f ( x) 在上最大值点是 2 方程. ，五、证明题  f ( x)dx  x ln x  C ，则 f ( x) 的单增区间为 1. 若 x 是，单减区间为四、计算题 1. 求下列不定积分  （3） x dx  1 x x 2 arc tan x dx （5）  1  x2 dx （7）  1  sin x （9）  x x 1 dx 2 f (ln x) x 的一个原函数，证明 e 是 f ( x) 的一个原函数 x  2. 若 x 是 f ( x) 的一个原函数，证明 xf ( x) dx  x x （1） e (sin x  cos x)dx  f ( x)dx . 4. 设曲线 y  f ( x) 过点 (0, 0) ，其上任一点 M ( x, y ) 的法线斜率为 1  x ，求此曲线的最小值点是 12. 若 2x （2）  1  x dx （4）  x (1  x ) dx 2 1 2 2 arctan e x dx （6）  ex （8） 2x  2  x  2 x  2dx 2  x （10） e dx  2 x x  2 1 x  0  x  0 的原函数 F ( x) . 2. 求函数 f ( x)  1  ex x0   第 3 页共 3 页 x 1 (1  ln x)  x x  C 南阳师范学院—数学与统计学院二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分）《高等数学》第四章-——不定积分 1. 若函数 f ( x) 在区间 I 上连续，则下列结论不正确的是（自测题（A）题号一二三四五） A： ∫ f ( x)dx 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数总分 B： ∫ f ( x)dx 连续但不可导得分 C： ∫ f ( x)dx 连续且可微一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 20 分） 1 ⎧ 2 ⎪ x sin , x ≠ 0 1. 存在无数多个导数都是 f ( x) = ⎨ 的函数. x ⎪⎩ 0, x=0 （） 2. 函数 f ( x) = x 一定可以作为某函数在 (−∞, +∞) 上的原函数. （） D： f ( x) 在区间 I 上的任意两个原函数最多相差一个常数项 2. 若 f ′( x) = 3. 若 F( x) 是连续函数在区间 I 上的原函数，则 F(sin x) 必是 f (sin x) cos x 在区间 I 上的原函数. （） 1 ，则 f ( x) = （ x2 ） 1 A： − + C x 1 C： + 1 x 1 B： − + 1 x 1 D： + C （其中 C 为常数） x 3. 若 f ( x) 连续且 ∫ f ( x)dx =F ( x) + C ，则 ∫ e x f (e x )dx = （ 4. ∫ (arcsin x + arccos x)′dx = 0 . （） A： F (e x + C ) B： F ( x) + C 5. 若 ∫ dF ( x) = ∫ dG ( x) ，则 F ( x) = G ( x) . （） C： F (e x ) + C D： F (u ) + C 6. 若函数 f ( x) 在区间 I 上可导，则 ∫ f ′( x)dx = f ( x) . （） 7. 曲线族 y = ∫ e − x dx 中每条曲线在 (−∞, +∞) 内都是凸的. （） 8. 若 ∫ f (tan x) sec2 xdx = F (tan x) + C ，则 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C . （） 9. 若函数 f ( x) 具有连续的导函数，则 ∫ f ′( x)dx = f ( x) . （） 2 10. 若 f ( x) 与 g ( x) 在区间 I 上连续，且 f ( x) ≥ g ( x) ，则 d d ( ∫ f ( x)dx) ≥ ( ∫ g ( x)dx) dx dx （） 4. 若 ∫ f ( x)dx = xe x + C ，则 ∫ x −1 f (ln x)dx = （ A： xe x + C B： ln x + C C： ln xe x + C D： x ln x + C ） 5. 若 ∫ u ( x)dv( x) = F ( x) + C ，则下列等式不成立的是（） A： ∫ u ( x)v′( x)dx = F ( x) + C B： ∫ u (t )v′(t )dt = F (t ) + C C： ∫ u (sin x)dv(sin x) = F (sin x) + C D：∫ v( x)du ( x) = u ( x)v( x) − F ( x) + C E： d ∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v′( x) 第 1 页共 2 页）南阳师范学院—数学与统计学院三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 16 分） 1. d sin x 2 dx = ∫ dx . 2. ∫ xe dx = 3. 已知 ∫ f ( x)dx = e − x + C ，求 ∫ . 1 dx e − e− x x f ′(arctan x) dx .（4 分） 1 + x2 4. 已知曲线 y = f ( x) 过点 (1, 0) 且在该曲线上任意一点 M ( x, y ) 的切线的斜率 4. ∫ 2 dx = . x 为 2 x ，求曲线的方程.（4 分） 5. ∫ x x dx = 1 − x2 （6） ∫ . 3. ∫ (e x + tan 2 x)dx = 6. ∫ 1 1 sin 2 dx 2 x x 2. 求函数 f ( x) = max{x,1} 的原函数 F ( x) .（6 分） x2 arcsin x （5） ∫ . 五．证明题（共 10 分） dx = . 1. 若 y = ∫ e x dx ，证明 y′′ − 2 xy′ = 0 .（4 分） 2 7. ∫ 1 dx = x + 2x + 2 . 2 8. 若 ∫ 2. 若 ∫ x 2 f ( x)dx = arctan x + C ，证明 1 f ( x)dx = e x + C ，则 df ( x) = x . 1 1 ∫ xf ′( x)dx = x(1 + x ) + x − arctan x + C .（6 分） 2 四．计算题（共 44 分） 1. 求下列不定积分（每小题 5 分，共 30 分）（1） ∫ e x sin xdx （2） ∫ x dx x −x−2 （3） ∫ x 2 ln xdx （4） ∫ arctan x dx x 2 第 2 页共 2 页南阳师范学院—数学与统计学院《高等数学》第四章-——不定积分二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题自测题（B）题号一二三四干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分）五 1. 下列函数中可以作为某些函数在 (−∞, +∞) 上的原函数的是（总分得分一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 24 分） ⎧ sin x ⎪ x , x>0 ⎪ 1. 函数 f ( x) = ⎨ 1, x = 0 在 (−∞, +∞) 上有无数多个原函数. ⎪ ex , x<0 ⎪ ⎩ （） 2. 偶函数的原函数一定是奇函数. （） 1 3. ln(−4 x) 是的一个原函数. x （） 4. ∫ (arctan x + arc cot x)′dx = 0 . （） 5. 若 f ( x) 可导，则 ∫ f ′( x)dx = f ( x) . （） 6. d ∫ arctan e x dx = arctan e x . （） 7. 若 ∫ f (sin x) cos xdx = F ( x) + C ，则 ∫ f ( x) cos xdx = F (arcsin x) + C . （ 1 8. 若 ∫ xf ( x)dx = ln x + C ，则 ∫ f ( x)dx = − + C . x ）（）凸的充分条件是 f ′( x) > 0 . 10. 函数族 y = ∫ e dx 中每个函数在 (−∞, +∞) 内都是单调递增. x2 A： F ( x) = sin x B： F ( x) = x C： F ( x) = sgn x 1 ⎧ 3 ⎪ x sin , D： F ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0, （）（） x=0 ） A： xe x B： xe x + 1 C： xe x − 1 D： xe x + C （其中 C 为常数） 3. 若 ∫ f ( x) dx = arctan x + C ，则 f ( x) = （ x A： 1 1+ x B： 1 1+ x C： 1 2 (1 + x 2 ) D： 1 4. 若 f ( x) 的导数是 C： ln x + ln 2 x ( 2 1+ x ） ) ln x ，则 xf ′′( x) 有一个原函数为（ x 1 B： ln x − ln 2 x 2 1 D： ln x + ln 2 x 2 1 5. 若 ∫ dx = k ln 2 x + C ，则 k = （ x A： 1 第 1 页共 2 页 x≠0 2. 若 x ln x 是函数 f ( x) 的一个原函数，则 ∫ e x f (e x )dx = （ A： ln x 9. 若函数 f ( x) 可导，则曲线族 y = ∫ f ( x)dx 中每条曲线都是 2 3 B： −1 ） C： 2 D： 3 ））南阳师范学院—数学与统计学院 ( 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 14 分） 1. 若 f ′( x) = xe x , 且 f (0) = 1 ，则 f ( x) = 2. ∫ 1 dx = 1 − x2 4. 若 ∫ f ( x) dx = arctan x + C ，则 ∫ f ′( x)dx = x 5. ∫ 1 dx = 1− x 6. ∫ arcsin x 7. ∫ 1 dx = x + 4x + 5 1 − x2 dx = 2 . （5） ∫ tan x + 1 dx cos 2 x （6） ∫ arctan x dx x2 . 3. 若 F ′( x) = f ( x) ，则 ∫ f ( x + 1)dx = ) （4） ∫ ln x − 1 + x 2 dx . . （7） ∫ dx 1 − sin x （8） ∫ 1 dx x (1 + 4 x 2 ) 2 . 2. 求函数 f ( x) = max{x,1} 的原函数 F ( x) .（5 分） . ⎛π ⎞ 3. 求函数族 y = ∫ cos 2 xdx 中过点 ⎜ , 0 ⎟ 的函数的极值.（5 分） ⎝4 ⎠ . 五．证明题（每小题 7 分，共 14 分）四．计算题（42 分） 1 n −1 1. 设 I n = ∫ sin n xdx ，证明： I n = − sin n −1 x cos x + I n−2 . n n 1. 求下列不定积分（每小题 4 分） 2. 若 10 x 9 + 11x 4 dx （1） ∫ 10 x + 2 x5 + 1 （2） ∫ sin 2 x cos5 xdx （3） ∫ 1 dx x+3 x 第 2 页共 2 页 sin x 2sin x 是 f ( x) 的一个原函数，证明： ∫ xf ′( x)dx = cos x − +C. x x