五、《定积分》数二考研真题.pdf

定积分考研（数二）真题 3.（08 年,4 分）曲线方程为 y  f  x  的函数在区间  a, b  上有 连续导数，则定积分 0 xf   x dx    a 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） （A）曲边梯形面积 ABCD （B）梯形 ABCD 面积 1.（95 年,3 分）曲线 y  x  x  1  2  x  与 x 轴所围成的图形的面积 （C）曲边三角形 ACD 面积 可表示为（ ） （D）三角形 ACD 面积 （A）  0 x  x  1  2  x  dx 2 （B） 0 x  x  1 2  x  dx  1 x  x  1 2  x  dx 1 2 二、填空题 （C）  0 x  x  1 2  x  dx  1 x  x  1 2  x  dx 1 2 1 x 1.（96 年,3 分）曲线 y  x  , x  2 及 y  2 轴所围成的图形的 （D） 0 x  x  1  2  x  dx 2 面积为 S  2.（96 年,3 分）设 f  x  , g  x  在区间  a, b  上连续，且 g  x   f  x   m 2.（98 年,3 分）曲线 y   x3  x 2  2 x 与 x 轴所围成的图形的面 （ m 为常数）,由曲线 y  f  x  , y  g  x  ， x  a, x  b 及所围平面图 积为 A  形绕直线 y  m 旋转而成的旋转体体积为（ ） 3.（03 年,5 分）设曲线的极坐标方程为   ea  a  0  ，则该 （A） a   2m  f  x   g  x    f  x   g  x   dx b 曲线上相应于  从 0 变到的 2 一段弧与极轴所围成的图 （B） a   2m  f  x   g  x    f  x   g  x   dx b 形的面积为 （C） a   m  f  x   g  x    f  x   g  x   dx b 4.（10 年,4 分）当 0     时，对数螺线 r  e 的弧长为 （D） a   2m  f  x   g  x    f  x   g  x   dx b x  5.（11 年,4 分）曲线 y  0 tan xdx  0  x   的弧长 s 为  第 1 页 共 3 页 4 直线 l : x  y  t  t  0  ，若 s  t  表示正方形 D 位于直线 l 左下 三、计算 方部分的面积，试求 0 s  t dt  x  0  . x 1.（94 年，9 分）求曲线 y  3  x 2 1 与轴 x 围成的封闭图形绕 7. （ 01 年 ,7 分 ） 设     x  是 抛 物 线 y  x 上 任 一 点 直线 y  3 旋转所得的旋转体体积. M  x, y  x  1 处的曲率半径， s  s ( x) 是该抛物线上介于点  x  1  cos t 2.（95 年，5 分）求摆线  一拱  0  t  2  的弧长.  y  t  sin t A 1,1 与 M 之间的弧长，计算 3 3.（96 年，5 分）设有正椭球柱体，其底面的长短轴分别为 d 2  d     的值. ds 2  ds  8.（02 年,7 分）某阀门的形状和大小如图所示，其中直线 l 为   2a, 2b ，用过此柱体底面的短轴与底面成   0     角的平 2  对称轴。阀门的上方都为矩形 ABCD ，下方由二次抛物线 面截此柱体，得一锲形体，求此锲形体的体积 V . 与线段 AB 所围成，当水面与阀门的上端相平时，欲使阀门 4.（97 年，8 分）设曲线 L 的极坐标方程为 r  r   ， M  r ,  矩形部分承受的水压力与阀门下部承受的水压力之比为 为 L 上任意一点， M 0  2, 0  为 L 上一定点，若极径 OM 0 , OM 5:4，阀门矩形部分的高 l 应为多少米？ 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上， M .M 0 两点间 9.（03 年,11 分） 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ( 弧长值的一半，求曲线 L 的方程. 5.（99 年，8 分）设函数 y  x   x  0  二阶可导，且 y  x   0, y  0   1 ， 2 1 , )， 2 2 其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分. 过曲线 y  x  上任意一点 p  x, y  作该曲线的切线及 x 轴的垂线， （1） 求曲线 y=f(x)的方程； 上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1 ，区间  0, x  （2） 已知曲线 y=sinx 在 [0,  ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲 上以 y  x  为曲边的曲边梯形面积记为 S2 ，并设 2S1  S2 恒为 1， 线 y=f(x)的弧长 s. 求此曲线 y  y  x  的方程。 6.（00 年,5 分）设 xoy 平面上有正方形 D   x, y  0  x  1, 0  y  1 第 2 页 共 3 页 10.（04 年,10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x   ( y )( y  0) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2m.根 据设计要求，当以 3m 3 / min 的速率向容器内注入液体时，液面的面 积将以 m 2 / min 的速率均匀扩大 （假设注入液体前,容器内无液体） . 出切线的方程;（3）求此切线 L （对应于 x  x0 的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积。 14.（08 年，10 分）曲线 y  f ( x) 满足 f (0)  1 ,对于任意的 t 曲 线是严格递增，在 x 轴上 t 0 ，该曲线与直线 (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与  ( y ) 之间的关系式； x  0, x  t (t  0) 及 y  0 围成一曲边梯形.该曲边梯形绕 x (2) 求曲线 x   ( y ) 的方程. 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V (t ) ,侧面积为 S (t ) .如 (注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 果 f ( x) 二阶可导,且 S (t )  2 ，求曲线 y  f ( x) . V (t ) e x  e x 11.（04 年,12 分）曲线 y  与直线 x  0, x  t  t  0  及 y  0 围成一 2 15.（09 年,10 分）设非负函数 y  f  x  x  0  。满足微分方程 曲边梯形.该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体,其体积为 V  t  . xy  y  2  0 ，当曲线 y  f  x  过原点时，其与直线 x  1 及 侧面积为 S  t  ,在 x  t 处的底面积为 F  t  . y  0 围成平面区域的面积为 D ，求 D 绕 y 轴旋转所得旋 (1)求 S t  F t  S t  t  F  t  转体的体积. (2)计算极限 lim 1 12.（05 年,11 分）如图， C1 和 C 2 分别是 y  (1  e x ) 和 y  e x 的图象， 2 过点(0,1)的曲线 C3 是一单调增函数的图象. 过 C 2 上任一点 16. （11 年, 11 分）一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转 1 2 一 周 而 形 成 的 曲 面 ， 该 曲 线 由 x2  y 2  2 y( y  ) 与 1 （1）求容器的容积； （2）若将 x 2  y 2  1( y  ) 连接而成， 2 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记 C1 , C 2 与 l x 所 容器 围图形的面积为 S1 ( x) ； C 2 , C3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 ( y ). 如果 少功？（长度单位：m，重力加速度 gm 2 ，水的密度为 s 总有 S1 ( x)  S 2 ( y ) ，求曲线 C3 的方程 x   ( y ). 103 kg  x  l 1 13.（06 年,10 分）已知曲线 L 的方程为  2  y  4l  t 内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多 2 m3 ,  t  0  （1）讨论 L 的凹凸性;（2）过点  1, 0  引 L 的切线，求切点  x0 , y0  ，并写 第 3 页 共 3 页 ）