高数（少课时）第二章练习与自测.pdf

南阳师范学院—数学与统计学院 ax (100) （11） (e ) 《高等数学》第二章-——导数与微分练习题 （12） ） y = f ( x) 在 x0 可微的充要条件是 y = f ( x) 在 x0 可导 练习题（A） 1. 若 f ( x) = x ，则 f −′ ( x0 ) = 2. 等轴双曲线 y = 3. lim 4. 若 f ( x) = e （1）若函数 f ( x) 在点 x0 处可导，则 f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 ) = lim = lim x → x0 Δx →0 h →0 x − x0 h Δx （2）若函数 f ( x) 在点 x0 处可导，则 f ′( x ) |x = x0 = f ′( x0 ) （ （ ） ） sin x ，则 则 （ dy = dx n −1 + an − 2 x n − 2 + " + a1 x + a0 则 f ( n ) ( x) = 7. 若 f ( x) = x( x + 1)( x + 2) ⋅⋅⋅ ( x + 99) ，则 f ′(0) = ） [ 2sin x + 4 cos x ] (10) x =0 = ） 9. 若 y = x − x, x0 = 2, Δx = 0.002 ， dy |x0 = 2, Δx = 0.002 = 3 1 （6） [ ln( − x)]′ = − x （7）若 y = e 2x （ + e ，则 y′′ − y′ = 2 y ⎧ x = et sin 2t , （8）曲线 ⎨ t ⎩ y = e cos t , ） 10. (arctan x + arc cot x )′ = −x 在t = π 4 （ ） 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 时相应点处的法线的斜率为 1 （ ） （10）函数 y = f ( x) 在点 x0 处可微且 f ′( x0 ) ≠ 0 ，则 f ( x0 + Δx) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )Δx （1）一物体的运动方程是 s = t + 10 ，则（ 3 （9）若函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导，则当 Δx → 0 时， Δy − f ′( x0 )Δx 是比 Δx 高阶 的无穷小量. （ ） A：在 t = 1 时的瞬时速度 v = 3 （ ） （ ） B：在 t = 1 到 t = 2 时的平均速度 v = 3 C：在 t = 1 时的加速度 a = 1 D：在 t = 1 时的加速度 a = 2 第 1 页 共 3 页 ，切线方程为 df x =0 = dx 6. 若 f ( x) = an x + an −1 x 8. （5） f ( x ) = x − 1 x 在 ( −∞, +∞) 内只有一个不可导的点 ） . sin x − sin a = x →a x−a n （ ， f +′ ( x0 ) = 1 在点 (1,1) 处的切线的斜率为 x ⎧ x = et + 1, 5. 若 ⎨ −t ⎩ y = e − 1, ⎧ x2 , x ≤ 0 ⎪ ，则函数 f ( x) 在点 x = 0 处左导数存在，右导数不存在 （ ） （3）设 f ( x) = ⎨ 1 3 ⎪⎩ x , x > 0 ⎧ 1, x > 0, ⎪ （4）若 f ( x) = sgn x = ⎨ 0, x = 0, 则 f ( x) 在 x = 0 处可导 ⎪−1, x < 0. ⎩ （ 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） f ′( x0 ) = lim = a100 e ax ） . 南阳师范学院—数学与统计学院 （2）下列结论错误的是（ ） C： A：当 Δx → 0 时，若 Δy 与 Δx 是等价无穷小量，则 f ′( x0 ) 存在且 f ′( x0 ) = 1 D： sin f ( x) 在点 x0 处一定可导 B：当 Δx → 0 时， Δy 与 Δx 是同阶无穷小量，则 f ′( x0 ) 存在但 f ′( x0 ) ≠ 0 C：当 Δx → 0 时 Δy 是比 Δx 较高阶的无穷小量，则 f ′( x0 ) 存在且 f ′( x0 ) = 0 （7）函数 f ( x) = 3 x ，下列结论正确的是（ B：在 ( −∞, +∞) 内处处连续但在 x = 0 处不可导 ） C：在 ( −∞, +∞) 内处处不可导 A：若函数 f ( x) 在点 x = x0 处连续，则函数 f ( x) 在点 x = x0 处可导 D：在 ( −∞, +∞) 内处处不可微 B：若函数 f ( x) 在点 x = x0 处不连续，则函数 f ( x) 在点 x = x0 处不可导 C：若函数 f ( x ) 在点 x = x0 处可导，则函数 f ( x ) 在点 x = x0 处连续 （8）设 u = u ( x), v = v( x) 可微，则下列结论正确的是（ D：若函数 f ( x) 在点 x = x0 处不可导，则函数 f ( x) 在点 x = x0 处也可能连续 （4）若函数 f ( x) 在点 x0 处可导，则（ ） A：函数 f ( x) 也在点 x0 处一一定可导 B：函数 f ( x) 在点 x0 处一定可导 C：函数 2 f ( x) + 1 在点 x0 处一定可导 D：函数 1 在点 x0 处一定可导 f ( x) 2 （5）下列结论错误的是（ ） B： d (uv) = du ⋅ dv u du C： d ( ) = v dv D： d (u + 1) = du + 1 四、计算题 1. 已知 y = e x (sin x − cos x), 求 y′ x =0 2. 设 y = B：函数 f ( x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在 ( x − 1)( x − 2) ，求 y′ . ( x + 1)( x + 2) 3. 求曲线 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 在点 ( 0,1) 处的切线与法线方程. C：若左、右导数至少有一个不存在，则函数 f ( x ) 在点 x0 处不可导 D：若左、右导数都存在但不相等，则函数 f ( x ) 在点 x0 处不可导 （6）函数 f ( x ) 在点 x0 处可导，函数 g ( x) 在点 x0 处不可导，则（ ⎧ x = cos t + 1 确定函数 y = f ( x ) ，求 y′′ . = − y sin t 1 ⎩ 4. 参数方程 ⎨ ） 5. 设 y = f ( x sin x ) ,其中 f ( x ) 可导，求 y′ . 6. 利用一阶微分的形式不变性求 y = tan (1 + x ) 在 x = 1 处的微分 dy . 2 B： f ( x ) ⋅ g ( x) 在点 x0 处一定可导 ） A： d (uv) = vdu + udv A：函数 f ( x ) 在点 x0 处可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等 A： f ( x ) ± g ( x ) 在点 x0 处一定可导 ） A：在 ( −∞, +∞) 内处处连续且可导 D：当 Δx → 0 时 Δy 是比 Δx 较低阶的无穷小量，则 f ′( x0 ) 存在 （3）下列结论错误的是（ f ( x) 在点 x0 处一定可导 g ( x) 第 2 页 共 3 页 2 南阳师范学院—数学与统计学院 dy 2 x+ y 7. 利用一阶微分的形式不变性求 e . − cos( xy ) = e − 1 的微分 dy ，并求出 dx 五、证明题 1. 设函数 f ( x) = arctan 1+ x 1 ，证明 dy = 2 dx 1− x x +1 ⎧ ax + b, x > 0 ⎩e − 1, x ≤ 0 2 . 证明：函数 f ( x ) = ⎨ x 在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 . 1 ⎧ 3 ⎪ x sin , x ≠ 0 3. 证明： f ( x) = ⎨ 在定义域内处处可微. x ⎪⎩0 x = 0 第 3 页 共 3 页 南阳师范学院——数学与统计学院 《高等数学》第二章---导数与微分 1 ϕ ′( y ) （ ） = 250 sin 2 x （ ） （14） y = f ( x) 在 x0 不可微的充要条件是 y = f ( x) 在 x0 不可导 （ ） （15）连续的曲线上每一点处都有切线 （ ） 导的，且有 f ′( x) = 练习题（B） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） f ( x) − f ( x0 − Δx) Δx → 0 Δx f ( x0 + h) − f ( x0 − h) （2）若函数 f ( x) 在点 x0 处可导，则 f ′( x0 ) = lim h →0 h （1）若函数 f ( x) 在点 x0 处可导，则 f ′( x0 ) = lim （3）若函数 f ( x) 在点 x0 处可导，则必有 f ′( x ) |x = x0 = d f ( x0 ) dx （13） (sin 2 x) （ ） （ ） （ ） x<0 ⎧ x, （4）设 f ( x) = ⎨ ，则函数 f ( x) 在点 x = 0 处左导数存在，右导数不存在 x x ln(1 + ) , ≥ 0 ⎩ （5）若 f ( x ) = x − 1 ， 则 f ( x) 在 x = 1 处可导 (50) 二、填空题（将正确答案填写在横线上） ⎧ x3 1. 若 f ( x) = ⎨ 4 x ⎩e （ ） （ ） （ ） （7）若函数 f (u ) 可导，则 [ f (ln x) ]′ = f ′(ln x) （ ） （8）若 y = x e ，则 y ′′ − 2 y ′ + y = 0 （ x>0 ，则 f −′ (0) = 2. 若 y = 3 x + 5 x − 6 x + 4 ，则 y 10 7 3 2 2 5 （ ） ） dy = dx 7. 设 f ( x) = x( x + 1)( x + 2) ⋅⋅⋅ ( x + n) ( n ≥ 2) ，则 f ′(0) = Δy − dy =0 Δx →0 Δy 3 x 5 (100) 5. 若 y = (1 + x ) arctan x ，则 y ′′ = 6. 若方程 xy − sin(π y ) = 0 确定 y 是 x 的函数，则 （10）若函数 y = f ( x ) 在点 x0 处可导，且 f ′( x0 ) ≠ 0 ，则 lim （11）当 x 很小时，则 5 1 − 3 x ≈ 1 + ，y lim 2 3 = 2 2 x （9）曲线 y + y = 2 x 在 (1,1) 处的法线的斜率为 (10) ， f +′ (0) = cos x − cos a = x→a x−a x df 4. 若 f ( x) = 5arcsin ，则 = dx 2 3. （6） f ( x) = 3 x 在 ( −∞, +∞) 内均可导 x≤0 （ ） 8. （ ） （12）若函数 x = ϕ ( y ) 在区间 I y 内单调可导，则它的反函数 y = f ( x ) 在对应区间 I x 内总是可 第 1 页共 3 页 3x ⎣⎡ e + cos 5 x ⎦⎤ (20) x =0 = 9. 若 y = ln(1 + e ), x0 = 1, Δx = 0.002 ， dy |x0 =1,Δx = 0.002 = x2 10. d = sec 2 4 xdx . . = 南阳师范学院——数学与统计学院 11. lim x→ π 4 tan 2 x − 1 x− ⎛ ⎝ 12. ⎜ arctan π = （4）若曲线 y = x + ax + b 和 y = x + x 在点 (1, 2) 处相切（其中 a, b 是常数）， 2 3 4 1 + x ⎞′ ⎟ = 1− x ⎠ 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） f ( x) = 1 ，则 f ( x) 在 x = 0 处（ x →0 x 3 （1）若 lim A：可导，且 f ′(0) = 0 则 a, b 之值为（ ） A： a = 2, b = −1 B： a = 1, b = −3 C： a = 0, b = −2 D： a = −3, b = 1 （5）下列结论正确的是（ ） A：若左、右导数都存在，则函数 f ( x) 在点 x0 处可导 ） B：函数 f ( x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在 B：可导，且 f ′(0) ≠ 0 C：若函数 f ( x) 在点 x0 处不可导，则函数 f ( x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在 C：不可导 D：以上答案都不正确 ⎧ f ( x) ⎪ （2）若 f ( x) 可导， f ′(0) = 0, f (0) = 0 ，则 F ( x) = ⎨ x ⎪ 0 ⎩ 2 A：在 x = 0 处连续但不可导 C：在 x = 0 处不连续 （3）下列结论错误的是（ D：函数 f ( x) 在点 x0 处可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等 x≠0 （ ） （6）若函数 f ( x) 、 g ( x) 在点 x0 处都不可导，则（ x=0 A： f ( x) ± g ( x) 在点 x0 处一定不可导 B：在 x = 0 处可导 B： f ( x) ⋅ g ( x) 在点 x0 处一定不可导 D：在 x = 0 处不可导 C： ） A：函数 f ( x) 在点 x0 可导是函数 f ( x) 在点 x0 连续的充分但非必要条件 f ( x) 在点 x0 处一定不可导 g ( x) D： f ( x ) ± g ( x ) 、 f ( x ) ⋅ g ( x ) 、 B：函数 f ( x) 在点 x0 连续是函数 f ( x) 在点 x0 可导的充分但非必要条件 C：函数 f ( x) 在点 x0 可微是函数 f ( x) 在点 x0 连续的充分但非必要条件 ） f ( x) 在点 x0 处可能可导，也可能不可导 g ( x) （7）设 y = f (u ), u = g ( x) 均为可微函数，则复合函数 y = f ( g ( x)) 的微分 dy = （ D：函数 f ( x) 在点 x0 可微是函数 f ( x) 在点 x0 可导的充要条件 第 2 页共 3 页 A： f ′( x) dx B： f ′(u )du C： f ( g ′( x)) dx D： f ( g ( x)) g ′( x)dx ） 南阳师范学院——数学与统计学院 1 ⎧ p ⎪ x sin , x ≠ 0 2 设函数 f ( x ) = ⎨ ， x ⎪⎩ 0, x=0 四、计算题 1. 设 y = arccos x 1− x 2 , 求 y′ x =0 证明：（1）当 p = 1 时， f ( x) 在 x = 0 处连续不可导； 2. 设 f ( x) = sin nx ⋅ cos n x ， n 为常数，求 y′ 3. 设 y = x ⋅ （2）当 p ≥ 2 时，函数 f ( x) 在 x = 0 处连续且可导，且 1− x ，求 y′ . 1+ x 4. 设 y = (sin x) tan x 1 1 ⎧ p −1 p −2 ⎪ px sin − x cos , x ≠ 0 . f ′( x) = ⎨ x x ⎪⎩ x=0 0, ，求 y ′ . ⎧ x = 2sin 3θ cos θ , 5. 曲线 ⎨ ⎩ y = 3sin 3θ sin θ , 上对应于 θ = π 3 的点处的切线与法线方程. 7. 设 y = f (e sin x) + f (e cos x ) ,其中 f ( x ) 可导，且 f ′(1) = 1 ，求 x 2 x ⎧ln(1 − x), x < 0 ⎪ 3. 证明函数 f ( x ) = ⎨ 0, x = 0 在定义域内只有一个不可导点. ⎪ sin x, x>0 ⎩ 2 dy . dx x =0 4. 证明：函数 f ( x) 在点 x0 可微的充要条件是在点 x0 可导，且当在点 f ( x) 可微时，其微 分一定是 dy = f ′( x0 ) Δx . 8. 已知函数 f (u ) 具有二阶导数，且 f '(1) ＝1， f ′′(1) = 1 ，函数 y = y ( x) 由方程 y − xe y −1 dz d 2z = 1 所确定. 设 z = f ( y ) ，求 x =0 ， x =0 . dx dx 2 9. 利用一阶微分的形式不变性求 sin( xy ) + ln( y − x) = x 的微分 dy ，并求出 dy . dx 10. 求 arcsin 0.5002 的近似值. 五、证明题 1. 设函数 f ( x), g ( x) 可导， y = f 2 ( x) + g 2 ( x) ，证明： dy f ( x) f ′( x) + g ( x) g ′( x) = dx f 2 ( x) + g 2 ( x) 第 3 页共 3 页 南阳师范学院—数学与统计学院 《高等数学》第二章-——导数与微分 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在 自测题（A） 题号 一 二 三 四 五 题干上的括号内。每小题 2 分，共 12 分） 总分 1.下列结论错误的是（ ） f ( x0 + h) − f ( x0 ) 不存在，则函数 f ( x) 在点 x = x0 处不可导 A：若函数 lim h→0 h 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 20 分） B：当 Δx → 0 时，若 Δy 是比 Δx 较低阶的无穷小量，则函数 f ( x) 在点 x = x0 f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) 1.若 lim = 0 , 则 f ′( x0 ) = 0 Δx → 0 Δx （ ） 处不可导 2.若函数 f ( x) 在点 x 处可导，则当 Δx → 0 时， f ( x + Δx) − f ( x) 一定是无穷小量. （ ） 3.基本初等函数在其定义域上处处可导. （ ） ⎧ x, x < 0 ⎪ 4.设 f ( x) = ⎨ 0, x = 0 ，则 f ( x) 在点 x = 0 处左、右导数都存在. ⎪1, x > 0 ⎩ （ ） 5.可导的偶函数的导数是奇函数. （ ） C：若函数 f ( x) 在点 x = x0 的左右导数至少有一个不存在在，则函数 f ( x) 在点 x = x0 处不可导 D：若函数 f ( x) 在点 x = x0 的左右导数都存在，则函数 f ( x) 在点 x = x0 处 可导 2. f ( x) = sin x 在 (−∞, +∞) 内不可导点有（ A： 1 个 6.若函数 f ( x), g ( x) 在点 x 处不可导，则 f ( x) ± g ( x) 在点 x 处也不可导.（ ） 7. (arcsin x + arccos x)′ = (arctan x + arc cot x)′ . （ ） 1 . ϕ ′( y ) （ ） 9.若函数 f ( x) 在点 x 处可导，则当 Δx → 0 时， Δy − f ′( x)Δx 是比 Δx 高阶的无穷小. （ ） 10.在区间 I 上，若 f ′( x) = g ′( x) ，则必有 f ( x) = g ( x) C： 3 个 D：无数个 3. 设 u = u ( x), v = v( x) 可导，则下列结论正确的是（ ） 8.如果单调函数 x = ϕ ( y ) 在某区间内可导，而且 ϕ ′( y ) ≠ 0 ，那么它的反函数 y = f ( x) 在对应的区间内也可导且 f ′( x) = B：2 个 ） A： (uv)′ = u′v + uv′ u u′ C： ( )′ = v v′ 第 1 页 共 2 页 (uv)′ = u ′ ⋅ v′ D： (u + 1)′ = u ′ + 1 4. 设 y = f (u ), u = g ( x) 均为可微函数，则复合函数 y = f ( g ( x)) 的微分 dy = （ ） A： f ′( x)dx （ ） B： B： f ′(u )du C： f ( g ′( x))dx D： f ( g ( x)) g ′( x)dx 南阳师范学院—数学与统计学院 5. 下列结论错误的是（ 1 8. 已 知 物 体 的 运 动 规 律 是 h = 3t + t 3 ， 则 该 物 体 在 t = 2 s 时 的 加 速 度 2 为 . ） A：若 f ( x) 在点 x = x0 处连续，则 f ( x) 在点 x = x0 处可微 B：若 f ( x) 在点 x = x0 处不连续，则 f ( x) 在点 x = x0 处不可微 四．计算题（每小题 6 分，共 30 分） C：若 f ( x) 在点 x = x0 处可微，则 f ( x) 在点 x = x0 处连续 1. 已知 y = e x (sin 2 x − cos 2 x), 求 y′ x =0 . D：若 f ( x) 在点 x = x0 处不可微，则 f ( x) 在点 x = x0 处也可能连续 6. 下列结论正确的是（ 2. 已知函数 f ( x) = arctan ） 1+ x + 1 ， 求 f ′(0) . 1− x 3. 已知 y = x x ，求 dy .（6 分） 2 A：函数 f ( x) = sgn x 在定义域内处处连续且可导 ⎧ x = cos3 2t π 4. 已知曲线 ⎨ ，求该曲线在 = 时的切线方程. t 3 2 ⎩ y = sin 2t B：函数 f ( x) = max { x,1} 在定义域内处处连续且可导 C：函数 f ( x) = x 在定义域内处处连续且可导 5. 设 y = y ( x) 是由方程 e y + xy − x + 1 = 0 所确定的隐函数.求微分 dy . 1 ⎧ ⎪ x sin , x ≠ 0 D：函数 f ( x) = ⎨ 在定义域内处处连续且只有一个不可导的点 x ⎪⎩ 0, x≠0 五．证明题（共 22 分） 1.证明函数 f ( x) = x − 1 在 x = 1 处连续但不可导.（8 分） 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 16 分） f ( x) = x →0 x 1. f (0) = 0, f ′(0) = 1 ，则 lim 2.设 f ′( x0 ) 存在，当 Δx → 0 时，若 Δy 与 Δx 是等价无穷小量，则 f ′( x0 ) = 3. lim x→ π 4 tan x − 1 x− π = . 1 ⎧ 2 ⎪ x sin , x ≠ 0 2.证明函数 f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0, x=0 1 1 ⎧ ⎪ 2 x sin − cos , x ≠ 0 . （8 分） f ′( x) = ⎨ x x ⎪⎩0, x=0 . 4 4.若 f ( x) = ln ( ln x ) ，则 df = dx . d2y 1 3. 设 x − y = 1, 证明 2 = − 3 ( y ≠ 0) . （6 分） dx y 2 5. f ( x) = 2sin x ,则 f ′′ ( 0 ) = 6. ⎡⎣sin x + cos x + e x + x101 + x 99 ⎤⎦ 在定义域内处处可导，并且 (100) x =0 = 7.函数 f (u ) 可导，并且 f ′(1) = 0.5 ， y = f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x = 1 处取得增 Δx = 0.1 时应的函数增量 Δy 的线性主部为 第 2 页 共 2 页 2 南阳师范学院—数学与统计学院 《高等数学》第二章-——导数与微分 10.在区间 I 上，若 f ′( x) = g ′( x) ，则必有 f ( x) = g ( x) + 1 自测题（B） 题号 一 二 三 四 五 （ ） 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码填在题干上 总分 的括号内。每小题 2 分，共 12 分） 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 20 分） 1.若函数 f ( x) 在点 x0 处可导，则必有 df ( x0 ) f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) . （ ） = lim Δx →0 dx Δx 1.下列结论错误的是（ ） f ( x0 ) − f ( x0 − h) A：若函数 lim 不存在，则函数 f ( x) 在点 x = x0 处不可导 h →0 h B：函数 f ( x) 在点 x = x0 处可微的充要条件是函数 f ( x) 在点 x = x0 处可导 2.若函数 f ( x) 在点 x 处可微，则当 Δx → 0 时， f ( x + Δx) − f ( x) 一定是无穷小量. C：函数 f ( x) 在点 x = x0 处连续是函数 f ( x) 在点 x = x0 处可导的充分不必要条件 （ ） D：函数 f ( x) 在点 x = x0 处可微是函数 f ( x) 在点 x = x0 处连续的充分不必要条件 3.初等函数在其定义区间上处处可导. （ ） ⎧sin x, x < 0 ⎪ 4.设 f ( x) = ⎨ 0, x = 0 ，则 f ( x) 在点 x = 0 处左、右导数都存在. ⎪ 1, x > 0 ⎩ （ ） u u′ 5.若 u = u ( x), v = v( x) 可导，则 (uv)′ = u ′ ⋅ v′ ，且 ( )′ = v v′ （ ） f ( x) 6.若函数 f ( x), g ( x) 在点 x 处不可导，则 在点 x 处也不可导. g ( x) （ ） 7. (arctan x)′ − (arcsin x ⋅ arccos x)′ = 2 . 1 − x4 2. f ( x) = sgn x ⋅ tan x 在定义域内不可导点有（ A： 1 个 B：2 个 C： 3 个 ） D：无数个 3.则下列结论正确的是（ ） A：可导的偶函数的导数是偶函数 B：可导的奇函数的导数是奇函数 （ ） 8.如果单调函数 x = ϕ ( y ) 在某区间内可导，那么它的反函数 y = f ( x) 在对应的区间 C：可导的偶函数的导数是奇函数 D：可导的周期函数的导数不是周期函数 4. 设 y = f (u ), u = g ( x) 均为可微函数，则复合函数 y = f ( g ( x)) 的微分 dy = （ ） 内也可导且 f ′( x) = 1 . ϕ ′( y ) （ ） 9.若函数 f ( x) 在点 x 处可导，则当 Δx → 0 时， Δy − f ′( x)Δx 是与 Δx 等价的无穷小. A： f ′( x)dx B： f ′(u )du C： f ( g ′( x))dx D： f ( g ( x)) g ′( x)dx 5. 若 f ( x) = x100 + 2 x 98 − 6 x3 + 4 x + 1 ，则（ ） （ ） 第 1 页 共 2 页 A：当 k = 99 时， f ( k ) ( x) = 99! x B：当 k = 100 时， f ( k ) ( x) = 0 南阳师范学院—数学与统计学院 C：当 k > 100 时， f ( k ) (1) = 1 6. 下列结论正确的是（ 2. 已知函数 y = (1 + x 2 ) arctan x ， 求 f ′′(0) .（7 分） D：以上答案都不正确 3. 已知 y = ( sin x ) ） A：函数 f ( x) = sin x 在定义域内处处连续且可导 tan 2 x ，求 dy .（7 分） ⎧ x = cos3 2t d2y 4. 已知 ⎨ ,求 2 . （8 分） 3 dx ⎩ y = sin 2t B：函数 f ( x) = max { x,1} 在定义域内处处连续且可导 1 ⎧ ⎪ x sin , x ≠ 0 在定义域内只有一个不可导的点. C：函数 f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ 0, x=0 5. 设函数 y = f ( x) 由方程方程 y − xe y + 1 = 0 所确定，求曲线 y = f ( x) 在点 (0, −1) 处 D：函数 f ( x) = [ x] 在 [1, 2] 处处连续且可导 五．证明题（共 20 分） 的法线方程. （8 分） 1.证明函数 f ( x) = 3 x sin x 在 x = 0 连续且可导（6 分） 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 12 分） 1. 设 f ′( x0 ) 存在，当 Δx → 0 时，若 Δy 与 Δx 是高阶无穷小量，则 f ′( x0 ) = f 10 ( x) 2. 若 f ( x0 ) = 0, f ′( x0 ) = 1 ，则 lim = x → x0 x − x 0 3. ( 2 −x ′ ) = . ⎧ esin x − 1, x < 0 ⎪ 2.证明函数 f ( x) = ⎨0, x=0 ⎪ln(1 + x), x > 0 ⎩ . ⎧esin x cos x x < 0 ⎪ ⎪ 1, x=0 . f ′( x) = ⎨ 1 ⎪ ⎪⎩ 1 + x , x > 0 . x =−1 ⎛ 1 ⎞ 4. ⎜ 2 ⎟ ⎝ x −4⎠ x=0 . 5.函数 f (u ) 可导， y = f ( x ln x) 当自变量 x 在 x = 1 处取得增量 Δx = 0.1 时，相应的 2 函数增量 Δy 的线性主部为 0.1 ，则 f ′(0) = （8 分） 3. 设 函 数 f ( x)在x = 1 的 某 邻 域 内 可 导 , 且 f ′ ( x ) = e f ( x ) , f (1) = 0 , 证 明 ： (100) = 在定义域内处处可导，并且 . 6.若曲线 y = ax 2 + b 与 y = 2 ln x 在点 (1, 0) 处相切，则 a = ，b = . 四．计算题（共 36 分） 1. 已知 y = ln ⎡⎣cos (1 − x 2 ) ⎤⎦ , 求 y′ .（6 分） 第 2 页 共 2 页 f ( n ) (1) = (n − 1)! （6 分）