高数（少课时）第五章练习与自测.pdf
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南阳师范学院—数学与统计学院 《高等数学》第五章-——定积分 练习题（A） （15）如果 k ln x 2 dx = 1, 则 k = e x 3 e2 ∫ （16）若函数 f ( x ) 在区间 ( −∞, +∞ ) 上连续，当 f ( x ) 为奇函数时，函数 一、判断正误题：（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 为偶函数。当 f ( x ) 为偶函数时， n ⎞ 1 ⎛ 1 2 （1） nlim + + ⋅⋅⋅ + ⎜ ⎟ = xdx . →+∞ n 2 n2 n 2 ⎠ ∫0 ⎝ （2） ∫ b （ ） b ∫ b （ ） 1 1 0 0 c b a c f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . a （6） ∫ f (t )dt 0 x ∫ f (t )dt 为奇函数. （ ） 0 （1）在闭区间 [−1,1] 上不可积的函数是（ ） a （4）若函数 f ( x) 在区间 ( −∞, +∞) 上连续， a, b, c 为任意三个常数，则 （5） x 二、选择题：（将正确答案的序号填写在括号内） f ( x)dx = ∫ f (u )du . a （ ） ∫ xdx ≤ ∫ ln(1 + x)dx . b b a a ( （ ） ) A： d x （8） cos t 2 dt = cos x 2 . 2 ∫ x dx （9）当 x → 0 时 （11）若 ∫ x 0 （ ） x 2 2 ∫ sin t dt 与 x 是等价无穷小. （ ） 1 ∫ sgn xdx . −1 f (t )dt = x 2 ln x ，则 f ( x) = x + 2 x ln x . （ ） 1 x( x − 1) f ( x)dx = ∫ f ( x)dx a b B： d a ( ) ( ∫ f ( x)dx ) = 0 b a b D： ∫ f ′( x)dx = f (b) − f (a) a （3）若函数 f ( x) 和 g ( x) 在闭区间 [a, b] 上都连续.，则下列等式不一定成立的是（ ） （ ） A： B： x t sin u ⎧ , ⎪ x = ∫1 （13）参数方程 ⎨ u 在 t = 2 时相应点处的法线的斜率为 −2 . ⎪⎩ y = cos t. b ⎞ d b d ⎛ ⎜ ∫ f ( x)dx ⎟ = ∫a f ( x)dx dx ⎝ ⎠ dx C： dy cos x 2 2 t （12）由 ∫ e dt + ∫ cos t dt = 0 .确定隐函数 y = f ( x) ，则 .（ ） = 1 1 dx ey y ∫ 0 （10）不能直接使用牛顿-莱布尼兹公式求 D： f ( x) = f ( x) = sgn x C： （2）若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上可导，则下列等式不一定成立的是（ ） x2 0 1 ⎧ 2 ⎪ x sin 2 , x ≠ 0, B： f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0, x = 0. （ ） ∫ e dx ≤ e . （7） 1 ≤ （ ） （ ） 2 2 ∫ sin x dx ≤ ∫ sin x dx . 1 1 ⎧ ⎪ x sin , x ≠ 0, A： f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0, x = 0. ∫ b a b b a a b a a ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx （ k 为常数）. b a C： ∫ D： ∫a [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫a f ( x)dx ± ∫a g ( x)dx a f (t )dt = − ∫ f ( x)dx b b （ ） b f ( x) g ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ g ( x)dx . b b （4）若函数 f ( x) 在闭区间 [− a, a ] 上都连续.，则下列等式成立的是（ ） （14）若曲线 y = ax 与 x = 1 及 y = 0 所围成的图形的面积为 1，则 a = 2 .（ ） A： 第 1 页 共 3 页 ∫ a −a f ( x)dx = 0 . B： ∫ a −a f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x) ]dx . a 0 南阳师范学院—数学与统计学院 C： ∫ a a f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx −a ∫ D： 0 a f ( x)dx = ∫ [ f ( x) − f (− x) ]dx a −a B：函数 Φ ( x) 在 ( −∞, +∞) 上无极值点 0 C：曲线 y = Φ ( x) 在 ( −∞, 0) 上是凹的，在 (0, ∞) 上是凸的 （5）若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上都连续.，则下列说法不正确的是（ ） A： ∫ x b f (t )dt 是 x 的函数 B： ∫ f (t )dt 是 x 的函数 ∫ f (t )dt 是 x 的函数 D： ∫ f ( xt )dt 是 x 的函数 a x2 C： E： b x ∫ b a f ( xt )dt 是 t 的函数 F： D：函数 Φ ( x) 在 ( −∞, +∞) 上无驻点 2 x （9）下列各式中错误的是（ ） ∫ b a x →b − ∫ ∫ f (t )dt ，则下 a b ∫ f (t )dt C：若函数 ϕ ( x) 在闭区间 [a, b] 上可导，则 Φ (ϕ ( x)) 在闭区间 [a, b] 上也可导且 ( Φ (ϕ ( x)) )′ = f (ϕ ( x))ϕ ′( x) C： ∫ π 0 sin xdx = 0 （8）设函数 Φ ( x) = B： ∫ 2π 0 ∫ 2 ln 2dx = 1 x 0 ∫ 2π 1 + (t − sin t ) 2 dt B： 1 + cos t dt D： 0 0 ∫ 2π 1 + (cos t ) 2 dt 0 2∫ 2π 0 1 − cos t dt β β 1 β 2 C： ∫ r (θ ) dθ D： 2 ∫ r (θ ) dθ r (θ )dθ ∫ α α 2 α （12）由连续曲线 y = f ( x) > 0 、直线 x = a, x = b ( a < b) 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋 ∫α r (θ )dθ 2 B： 转一周而成的旋转体的体积为（ ） A： sin xdx = 0 π 2 ∫ [ f ( x)] dx a b B： π ∫ f ( x)dx a C： ∫ b a f ( x)dx （13）如果 F ( x) 是 f ( x) 的原函数，则下列式子成立的是（ ） ∫ cos xdx > ∫ cos xdx π 2 x ∫ 2π b π D： 1 D： 3 β A： （7）根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是（ ） 4 − x dx = π a 边扇形的面积是（ ） D：若函数 ϕ ( x) 在闭区间 [a, b] 上可导，则 Φ (ϕ ( x)) 在闭区间 [a, b] 1 a （11）设 r (θ ) 在 [α , β ] 上连续． 则由曲线 r = r (θ ) 及射线 θ = α 、 θ = β ( α < β ) 围成(曲 上也可导且 ( Φ (ϕ ( x)) )′ = f (ϕ ( x )) ∫ π a C： A： b2 2 ∫ 2 xf ( x )dx = ∫ 2 f (t )d (t ) ⎧ x = 1 − cos t 一拱 ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 的弧长是（ ） ⎩ y = t − sin t B： Φ ( x) 在闭区间 [a, b] 上可微且 d Φ ( x) = f ( x) dx 2 b （10）摆线 ⎨ A： 0 B： C： π tan xdx = − ln 2 x 列说法不一定正确的是（ ） A： Φ ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续且 lim Φ ( x) = A： f ( x)dx 是常数 （6）若函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上连续.， x ∈ [ a, b]. Φ ( x) = l ∫−1 xdx = 0 1 a 2 0 b A： ∫ f (2 x + 1) dx = F (2b + 1) − F (2a + 1) a b t2 2 B： ∫ e dt ，则下列说法不正确的是（ ） 0 ∫ e f (e ) dx = F (b) − F (a) b C： A：函数 Φ ( x) 在 ( −∞, +∞) 上单调递增 第 2 页 共 3 页 x x a ∫ sec xf (tan x) dx = F (tan b) − F (a) a 2 D： π b ∫ [ f ( x)] dx a 2 南阳师范学院—数学与统计学院 1 ∫a x f (ln x) dx = F (ln b) − F (ln a) b D： 2 （9）设 ln x 是 f ( x ) 在 [1, 2] 上的一个原函数，则 （14）下列积分中不是反常积分的是（ ） C： ∞ 1 ∫1 x dx ∫ 1 1 0 1 − x2 1 B： ∫ 1 + x dx D： 1 ∫2 x ln xdx 2 −∞ e dx （1） 1 ∫ x dx l B： ∫ dx( p > 1) 1 xp 1 l D： ∫ dx −1 x sin x 2 6 x x →0 2 0 4. 求函数 1 （3） ∫ dx = 0 1 + 4 x2 2 2x +1 （4） ∫ 2 dx = 1 x + x π cos x （5） ∫ dx = 0 1 − sin x 1 ∫ 0 （7） ∞ 1 1 ∫ 1 + x dx 0 e ∫ x ln xdx （6） 2 1 1 0 2 ∫ x dx ∫ t dt 4 0 0 ∫ t (t − sin t )dt ⎛ 1 2 n ⎞ + + ⋅⋅⋅ + 3 3 3 ⎟ ⎟ n →+∞ ⎜ n n n ⎝ ⎠ （2） lim ⎜ 2 ∫ ( sin 2 x + cos 2 x )dx = 4 （3） 3. 求曲线 y = x 与直线 y = 2 x 围成的图形的面积 π （6） （5） x 2 π2 l 2. 求下列极限 （1） f ( x) = x 在 [0,1] 上的平均值为 （2） 4 ∫ 1+ x dx 0 ∫ 1 − cos x dx （4） π2 （1） lim+ 三、填空题（将正确答案的序号填写在括号内） （2） −1 π +∞ l A： ∫ dx( p ≤ 1) 1 xp 1 l C： ∫ 2 dx −1 x 1 求下列定积分 1. （15）下列反常积分收敛的是（ ） +∞ ∫ xf ′( x)dx = 四、计算题 ∞ A： 2 sin t dt 在区间 (1, π + 1) 的极大值点. 1 t ∫ x 五、证明题 1.设 f ( x ) 在 [ − 1,1] 上连续， f ( x ) < 0. 证明方程 x − ∫ f ( x)dx = 0 在 ( − 1,1) 有且仅有一个 −1 根. 2. 设 f ( x) 在 ( −∞, +∞) 上有连续的导数，证明： sin x dx = x 1 +x [ f (t + x) − f (t − x)] dt 2 x → 0 x ∫− x lim+ 1 ∫0 x 2 − 2 x + 2dx = 1 （8）设 f ( x) 在 [0,1] 上连续， x 3. 若函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上连续.， x ∈ [ a, b]. 证明函数 Φ ( x) = 1 1 0 0 ∫ f ( x)dx = 1 ，则 ∫ f (1 − x)dx = 且 Φ′( x) = f ( x) 第 3 页 共 3 页 x ∫ f (t )dt 可导 a 南阳师范学院—数学与统计学院 《高等数学》第五章-——定积分 练习题（B） （14）如果 1 1 ⎞ 1 1 ⎛ 1 （1） lim ⎜ dx . + + ⋅⋅⋅ + ⎟= n →+∞ n + 1 n+2 n + n ⎠ ∫0 1 + x ⎝ ∫ b a b f ( x)dx = ∫ f (u )du . t （ ） （ ） 为偶函数，当 f ( x ) 为偶函数时， x ∫ f (t )dt 0 x ∫ f (t )dt 为奇函数. （ ） 0 二、选择题：（将正确答案的序号填写在括号内） a ∫ b a （5） ∫ e dt = e, 则 x = 1 （15）若函数 f ( x ) 在区间 ( −∞, +∞ ) 上连续，当 f ( x ) 为奇函数时，函数 （ ） （1）在闭区间 [−1,1] 上不可积的函数是（ ） （3）若函数 f ( x) 在区间 ( −∞, +∞) 上连续， a, b, c 为任意三个常数，则 （4） x （ ） 0 一、判断正误题：（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （2） a = 2. 2 2 1 1 c b a c f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . 2 ∫ ln xdx ≤ ∫ (ln x) dx . b b a a 2 2 ∫ cos x dx ≤ ∫ cos x dx . 5π 4 ∫π (1 + sin x ) dx ≤ 2π . （6） π ≤ 2 （ ） 1 ⎧ ⎪ x sin , x ≠ 0, A： f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0, x = 0. （ ） C： （ ） （ ） ) ( （8）当 x → 0 时， 2 ∫ ln(1 + t )dt 与 x 是等价无穷小. （9）不能直接使用牛顿-莱布尼兹公式求 ∫ 2π 0 （10）若 ∫ x 0 sin x dx . dy et （11）设 x = ∫ e du , y = ∫ u du , 则 = . 0 0 dx 2t 2t C： d b f ( x)dx = f ( x) dx ∫a D： ∫ f ′( x)dx = f (b) − f (a) t u 2 ( ) b a （3）若函数 f ( x) 和 g ( x) 在闭区间 [a, b] 上都连续.，则下列等式不一定成立的是（ ） （ ） （ ） （ ） ⎛π ⎞ （12） ∫ e dt + ∫ sin tdt = 0 在 ⎜ , 0 ⎟ 时相应点处的法线的斜率为 −1 . （ ） 1 ⎝2 ⎠ y d f ( x)dx = f ( x) + C dx ∫ B： t ) B： A： f (t )dt = x 2 sin x ，则 f ( x) = 2 x sin x + x 2 cos x . ( ∫ f ′( x)dx = f ( x) （ ） 0 1 x( x − 1) A： （ ） x D： f ( x) = f ( x) = sgn x （2）下列等式正确的是（ ） 4 d 2 x （7） x ∫ cos ( t 2 ) dt = 2 x cos x 2 . 0 dx 1 ⎧ 2 ⎪ x sin 2 , x ≠ 0, B： f ( x) = ⎨ x ⎪⎩ 0, x = 0. ∫ b a b b a a b a a ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx （ k 为常数）. b a C： ∫ D： ∫a [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫a f ( x)dx ± ∫a g ( x)dx a f (t )dt = − ∫ f ( x)dx b b x b f ( x) g ( x)dx = ∫ f ( x)dx ∫ g ( x)dx . b b （4）若函数 f ( x) 在闭区间 [− a, a ] 上都连续，则下列等式成立的是（ ） （13）若曲线 y = ax 与 x = 1 及 y = 0 所围成的图形的面积为 1，则 2 A： 第 1 页 共 3 页 ∫ a −a f ( x)dx = 0 . B： ∫ a −a f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x) ]dx . a 0 南阳师范学院—数学与统计学院 C： ∫ a a −a f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx 0 （5）设函数 f ( x) 是连续函数且 A： ∫ x a ∫ a −a f ( x)dx = ∫ [ f ( x) − f (− x) ]dx a 0 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ，则必有（ ） f (t )dt = F ( x) x C： D： ∫ F ′(t )dt = f ( x) a ⎤′ = F ( x ) F ( t ) dt ⎣⎢ ∫a ⎦⎥ B： ⎡ x ⎤′ = f ( x ) − f ( a ) ′ F ( t ) dt ⎣⎢ ∫a ⎦⎥ D： ⎡ x （6）若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续.， x ∈ [ a, b]. Φ ( x) = x ∫ f (t )dt ，则下 ⎧1, −1 ≤ x < 0 1 1 ，则 ∫ f ( x) dx = （ ） 2 −1 ⎩2, 0 ≤ x ≤ 1 （9）设 f ( x) = ⎨ 3 C： 1 D： 2 2 （10）阿基米德螺线 ρ = aθ ( a > 0) 上相应于从变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积（ ） A： 3 3 2 3 2 3 2 3 C： a π D： 2a π aπ 4 π⎞ ⎛ π （11）曲线 y = cos x ⎜ − ≤ x ≤ ⎟ 与 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 2⎠ ⎝ 2 A： 4 2 3 aπ 3 x →b − A： b ∫ f (t )dt a C：若函数 ϕ ( x) 在闭区间 [a, b] 上可导，则 Φ (ϕ ( x)) 在闭区间 [a, b] 上也可导且 ( Φ (ϕ ( x)) )′ = f (ϕ ( x )) 上也可导且 ( Φ (ϕ ( x)) )′ = f (ϕ ( x))ϕ ′( x) ∫ 1 4 − x dx = π π C： ∫ sin xdx = 0 0 ∫ π cos xdx = ∫ π cos xdx − 2 π ∫ π cos xdx < ∫ cos xdx − 2 0 2 ∫ C： l ∫−1 xdx 0 sin xdx C：驻点 （2） ∫ ( sin 3x + cos 3x )dx = （3） 1 ∫0 1 + 9 x 2 dx = 2 0 1 3x 2 + 1 （4） ∫ 3 dx = 1 x + x −1 2 π 2 −1 （8）函数 Φ ( x) = ∫ t 3 dt 在 [−1,1] 上有（ ） 0 3 B：极小值 2 D： 2π B： 2 （5） D：拐点 第 2 页 共 3 页 sin x ∫ 1 − cos x dx = 2 0 0 l −1 1− x 0 −x ∫ D： 三、填空题（将正确答案的序号填写在括号内） 2 x A：极大值 +∞ A： π 3π 2 2 0 D： 2 x π B： 3 C： π （1） f ( x) = e 在 [0,1] 上的平均值为 （7）根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是（ ） A： B： π2 1 D：若函数 ϕ ( x) 在闭区间 [a, b] 上可导，则 Φ (ϕ ( x)) 在闭区间 [a, b] 2 π2 （12）下列反常积分收敛的是（ ） B： Φ ( x) 在闭区间 [a, b] 上可微且 d Φ ( x) = f ( x) dx 0 B： 为（ ） a 列说法不一定正确的是（ ） A： Φ ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续且 lim Φ ( x ) = B： 2 ∫ e dx −∞ dx 南阳师范学院—数学与统计学院 （6） ∫ π2 4 0 （7） cos x dx = x 当 k ≤ 1 时， 1 ∫0 x 2 − 4 x + 5dx = 1 （8）设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， （9） π 1 1 0 0 ∫ f ( x)dx = 1 ，则 ∫ f (1 − 2 x)dx = ∫ π x sin xdx = 2 − 四、计算题 1. 求下列定积分 （1） （4） ∫ 3 2 − x dx （2） ∫ e cos xdx （5） −1 2π ∫ e2 1 2x 0 1 dx x 1 + ln x +∞ 1 dx −∞ x + 2 x + 2 ∫ 2 （3） 4 ∫ e dx x 1 （6） e 1 ∫ x 1 − (ln x) dx 1 2 2. 求下列极限 ∫ （1） lim x2 0 e − t dt 2 ⎛ 1p + 2 p + " + n p ⎞ （2） lim ⎜ ⎟ ( p > 0) n →+∞ n p +1 ⎝ ⎠ x2 x →0 3. 求曲线 y = x 与 x = y 围成的图形的面积 2 4. 求函数 F ( x ) = 2 ∫ t (t − 4)dt 在 [ −1,5] 上的增减性、极值、凹向及拐点. x 0 五、证明题 1.设 f ( x ) 在 [ − 1,1] 上连续，f ( x ) < 0. 证明方程 x − x ∫ f ( x)dx = 0 在 ( − 1,1) 有且仅有一个根. −1 2. 若函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上连续.， x ∈ [ a, b]. 证明函数 Φ ( x) = x ∫ f (t )dt 可导 a 且 Φ′( x) = f ( x) . 3. 证明：当 k > 1 时，广义积分 ∫ +∞ 2 1 dx 收敛； x(ln x) k 第 3 页 共 3 页 ∫ +∞ 2 1 dx 发散. x(ln x) k 南阳师范学院—数学与统计学院 《高等数学》第五章-——定积分 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码 自测题（A） 题号 一 二 三 四 填在题干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 五 1.设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，a ≤ x ≤ b ，则下列各式中正确的是（ ） 总分 得分 d x f (tx)dt = xf ( x) dx ∫a d b C： ∫ f (t )dt = 2 f (2 x) dx 2 x A： 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 24 分） x 1. 若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续， x ∈ [a, b] ，则 ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt + C . （ ） B： d x2 f (t )dt = f ( x 2 ) − f (2 x) . ∫ dx 2 x ( ) x D： d ∫ f (t )dt = f ( x)dx a 2. 若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上可导， x ∈ [a, b] ，则下列等式不一定成立 a 2. ∫ 2 4 − x 2 dx = π . 0 x （ ） 3..曲线 y = ∫ et dt 在 (−∞, 0) 上是凹的，在 (0, ∞) 上是凸的.. 2 （ ） 0 1 （ ⎛ 12 22 n2 ⎞ 1 2 5. lim ⎜ 3 + 3 + ⋅⋅⋅ + 3 ⎟ = ∫ x dx . n →+∞ n n n ⎠ 0 ⎝ （ ） 6. 0 ≤ ∫ π 2 0 7. 如果 ∫ sin x dx ≤ e2 e 2 π 2 ） . ） ( a ) d f ( x)dx = f ( x) dx ∫ D： 9. 当 p ≤ 1 时，反常积分 ∫ +∞ 1 ) ( d b f ( x)dx = f ( x) dx ∫a 2π 2π A： ∫ a 1 + θ 2 dθ B： ∫ aθ dθ 0 C： ∫ a 1 + θ 2 dθ D： ∫ 0 2π 1 + θ dθ 0 1 （ ） （ ） a 1 l l 与 dx ∫ −1 x p dx 都收敛.. xp b b2 a a 10. 若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则 ∫ 2 xf ( x 2 )dx = ∫ 2 f (t )d (t ) . 11. 当 x → 0 时， ∫ sin t 4 dt 是 x 2 的高阶无穷小. 4. 若 xe x 是 f ( x) 的一个原函数，则 ∫ xf ′( x)dx = （ ） 0 A： 1 + e B： 1 − e C： e D： −e 5. 若函数 f ( x) 在闭区间 [−a, a] 上都连续，则下列等式成立的是（ ） （ ） B： ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x) ]dx . a （ ） （ ） 0 1 dx = 2 . 0 x a 3. 阿基米德螺线 ρ = aθ (a > 0) 上 θ = 0 到 θ = 2π 的弧长是（ ） （ b 1 a b B： ∫ f ′( x)dx = f (b) − f (a ) π 8. 如果 F ( x) 是 f ( x) 的原函数，则 ∫ e x f (e x ) dx = F (b) − F (a ) . 12. ∫ b 0 k dx = 1, 则 k = 2 . x ln x x b A： ∫ f ( x)dx = ⎡ ∫ f ( x)dx ⎤ ⎣ ⎦ C： 4. 积分 ∫ sgn xdx 可以直接使用牛顿-莱布尼兹公式求出.. −1 的是（ ） （ ） 第 1 页 共 2 页 A： ∫ f ( x)dx = 0 . −a a a −a 0 C： ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx a a −a 0 D： ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) − f (− x) ]dx a a −a 0 南阳师范学院—数学与统计学院 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 12 分） 4. 设函数 Φ ( x ) = 1. f ( x) = sin x 在 [−π , π ] 上的平均值为 x ∫ t (t − 1)dt .求 1 （1）求函数 Φ ( x) 的单调区间（5 分） du ∫ 0 1+ u = 2. lim x →1 x x （2）求函数 Φ ( x) 的极值（3 分） （3）求函数 Φ ( x) 在 [0, 2] 上的最值（3 分） x 999 dx = −1 1 + x 2 3. ∫ 1 1 1 0 0 ⎧⎪ x = t eu 2 du, ∫0 在 t = 0 时相应点处的切线方程. （5 分） 5. 求参数方程 ⎨ ⎪⎩ y = cos t. 4. 若 f ( x) 在 [0,1] 上连续， ∫ f ( x)dx = 1 ，则 ∫ f (1 − x)dx = π 5.若 ∫ f ( x)dx = e x + C ，则 ∫ 2 f (sin x) cos xdx = 2 五、证明题（共 16 分） 0 1 4 0 6. ∫ 1 1 − 4x2 1.设 f ( x ) 在 [ − 1,1] 上连续， f ( x ) < 0. 证明方程 x − dx = . x ∫ f (t )dt = 0 在 ( − 1,1) 有且仅 −1 有一个根. （5 分） 2. 若函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上连续.， x ∈ [ a, b]. 证明 Φ ( x) = 四、计算题（共 38 分） f ( x) 的原函数，且 Φ′( x) = f ( x) （5 分） 1. 求下列定积分（每小题 3 分，共 12 分） （1） （3） π ∫ π sin x dx − e ∫ x ln xdx 1 3. 若函数 f ( x) 在区间 (−∞, +∞) 上连续，证明： π2 （2） cos x dx x 36 ∫π （4） 4 2 （1）当 f ( x ) 为奇函数时，函数 ∞ 1 ∫0 1 + x 2 dx （2）当 f ( x ) 为偶函数时， 0 2. 求极限 lim+ x →0 ∫ t (t − sin t )dt （5 分） ∫ arcsin tdt x x2 0 3. 求曲线 y = x 与直线 y = 2 x 围成的图形的面积（5 分） 2 第 2 页 共 2 页 x x ∫ f (t )dt 为偶函数.（3 分） 0 ∫ f (t )dt 为奇函数. 0 （3 分） x ∫ f (t )dt 是函数 a 南阳师范学院—数学与统计学院 二．单项选择题（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代码 《高等数学》第五章-——定积分 填在题干上的括号内。每小题 2 分，共 10 分） 自测题（B） 题号 一 二 三 1.设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续， a x b ，则下列各式中正确的是（ ） 四 五 d x A： f (tx)dt xf ( x) dx a d b C： f (t )dt 2 f (2 x) dx 2 x 总分 得分 一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。每小题 2 分，共 24 分） x 1. 若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续， x [a, b] ，则 f ( x)dx f (t )dt C . （ 2. 3 9 x 2 dx 9 . x （ 3..曲线 y et dt 在 (, 0) 上是凹的，在 (0, ) 上是凸的. 2 ） 的是（ ） ） A： f ( x)dx f ( x)dx （ ） （ ） 0 4. 积分 2 0 cos x dx 可以直接使用牛顿-莱布尼兹公式求出. 1p 2p np 1 p x dx ( p 0) . lim 5. p 1 p 1 n n p 1 n n 0 4 4 （ ） 6. ln xdx (ln x) dx . （ ） k ln x 2 dx 1, 则 k . e 3 x （ ） （ ） （ ） 3 C： b b a a x a b B： f ( x)dx f (b) f (a ) a d f ( x)dx f ( x) dx D： d b f ( x)dx f ( x) dx a x 1 cos t 3. 摆线 一拱 0 t 2 的弧长是（ ） y t sin t A： 2 C： 2 0 2 D： d f (t )dt f ( x)dx 2. 若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上可导， x [a, b] ，则下列等式不一定成立 a 0 d x2 B： f (t )dt f ( x 2 ) f (2 x) . 2 x dx 0 1 (t sin t ) 2 dt B： 1 cos t dt D： 2 0 1 (cos t ) 2 dt 2 2 0 1 cos t dt 3 7. 如果 e2 b 8. 如果 F ( x) 是 f ( x) 的原函数，则 e x f (e x ) dx F (b) F (a ) . a 9. 当 p 1 时，反常积分 1 l dx 收敛.. xp b a a 11. 当 x 0 时， sin tdt 是 x 2 的高阶无穷小. 1 dx 2 . 1 x 1 A： 1 e B： 1 e B： f ( x)dx f ( x) f ( x) dx . （ ） （ ） C： f ( x)dx 2 f ( x)dx （ ） 第 1 页 共 2 页 D： e C： e 5. 若函数 f ( x) 在闭区间 [a, a] 上都连续，则下列等式成立的是（ ） A： f ( x)dx 0 . 0 12. 0 a b 10. 若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则 3 x 2 f ( x 3 )dx f (t )d (t ) . x2 1 4. 若 f ( x) 的导数是 xe x ，则 xf ( x)dx （ ） a a a a 0 a a a 0 D： f ( x)dx f ( x) f ( x) dx a a a 0 南阳师范学院—数学与统计学院 x 4. 设函数 ( x) t (t 1)dt .求 三．填空题（将正确答案填写在空格上，每小题 2 分，共 12 分） 1 1. f ( x) cos x 在 [ , ] 上的平均值为 （1）求函数 ( x) 的单调区间（5 分） x 2. lim x 0 ln(1 u )du （2）求函数 ( x) 的极值（3 分） 0 x2 （3）求函数 ( x) 在 [0, 2] 上的最值（3 分） x 2013 dx 1 1 x 2 3. 1 1 1 0 0 y x 5. 求由 et dt cos tdt 0 所确定的隐函数在 , ln 2 处的切线方程. 0 0 2 4. 若 f ( x) 在 [0,1] 上连续， f ( x)dx 1 ，则 f (1 x)dx （5 分） 5.若 f ( x)dx e x C ，则 2 f (cos x) sin xdx 2 五、证明题（共 16 分） 0 1 6 0 6. 1 1 9 x2 dt 0 在 (0,1) 有唯一的实根. （5 分） 0 1 t2 1.证明：方程 3x 1 dx . 2. 若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续.， x [a, b]. 四、计算题（共 38 分） 1. x 证明： ( x) f (t )dt 是函数 f ( x) 的原函数，且 ( x) f ( x) （5 分） a 求下列定积分（每小题 3 分，共 12 分） 1 （1） sgn xdx 1 2 （3） e 2 x sin xdx 0 4 3. 若函数 f ( x) 在区间 (, ) 上连续， （2） e dx x x 1 证明：当 f ( x) 为奇函数时，函数 f (t )dt 为偶函数。当 f ( x) 为偶函 1 dx x 2 x 2 （4） 0 2 x 数时， f (t )dt 为奇函数.（6 分） 0 0 2. 求极限 lim x 0 x t (t sin t )dt （5 分） arcsin tdt x x2 0 3. 求曲线 y x 2 与 x y 2 围成的图形的面积（5 分） 第 2 页 共 2 页