高数（少课时） 第十章练习.pdf

南阳师范学院—数学与统计学院  《高等数学》第十章-——无穷级数 练习题——王阳 （D）  un 任意加括号后所成的级数可能收敛 n 1  5. 若  un 收敛，那么下列级数中发散的是 （ ） n 1 一、选择题   1.下列级数通项为 un  （A）  2un 1 的是 （ ） 2n  1 n 1 1 1 （A） 1     3 5 2 3 4 5 6 （B）       1 2 3 4 5 1 1 1 （C） 1      3 5 7 1 x x2 x3 （D）      1 4 4  7 7 10 10 13  ）  1 （B）  un 收敛于 2 n 1 （A）  un 发散 n 1  （C）  un 的余项 rn  1(n  ) n 1  （D）  un 的敛散性无法确定 n 1 （A） q  1 （B） q  1 （C） q  1 ） （C） 1 1 1 1 1 1 （D） (  )  ( 2  2 )    ( n  n )   收敛 2 3 2 3 2 3 （D） q  1 n  （B） lim sn   n     n 1 n 1 n 1 ）    n 1 n 1 n 1 （B） 若  u n 收敛，  v n 发散，则  (u n  v n ) 发散 n 1 （A） lim un  0 1 1 1 1      发散 1 4 4  7 7 10 10 13 （A） 若  u n 与  v n 都发散， 则  (u n  v n ) 一定发散  4.若级数  un 发散，且前 n 项部分和为 sn ，则 （ 1 1 1     收敛 3 6 3n 7.下列结论错误的是（ ）  a 3.级数  n (a 为常数）收敛的充分条件是 （ n 1 q ） 3 3 3 3 （B）  ( )2  ( )3    ( )n   收敛 2 2 2 2  n 2.若级数  un 的前 n 项部分和 sn  ，则 （ 2n  1 n 1 n 1 n 1 6.下列结论正确的是 （ （A）  （C）  un 10 （B） (un  1)   n 1 n 1   n 1 n 1 （C） 若  u n 收敛，则  (un  un ) 可能收敛也可能发散 （D） 若  u n 收敛，则  (un1  un ) 收敛  （C）  un 任意加括号后所成的级数必发散 n 1 第 1 页 共 3 页  （D）1   un n 1 南阳师范学院—数学与统计学院 8.下列结论正确的是（ ）   （B） 若 lim un  0 ，则  un 收敛 （A） 若  (un  1) 收敛，则 lim un  0 n  n 1 n    n 1 1 收敛 n 1 un （D） 若 lim un   ，则  n  n 1 ） 9.下列发散的级数是（ （A）  ( n 1  （C） 若 lim un 不存在，则  u n 发散 n   （B）  n 1 n 1 13.下列收敛的级数是（   n 1 2n （A）  sin  1 （C）  ln(1  2 ) n n 1 n 1 n 1 n 1 3n  1 (a  0, b  0) an  b n 1 （B）    （D）  sin   n n 1  2 ） （A） un1  un (n  1, 2,3, ) （B） lim un  0 （C） un1  un (n  1, 2,3, ) 且 lim un  0 （D）  (1)n (un  un 1 ) 收敛 n  n 1   （D）  2n sin n 1    ） 14.无穷级数  (1)n un (un  0) 收敛的充分条件是（ 10.设有两个级数  u n 和  v n ，则下列结论中正确的是（ ） n 1 （B）  1 n(n  1)(2n  1)  1 2 n 1 n （D）  n 1 （A）  e  1 n 1 （C）  ln(1  ) n n 1   （C）  (1) n   1 n 1 (2n  1)(2n  1) 1 1  ) n n 1  ） 12.下列发散的级数是（  n  （A） 若 un  vn ，且  v n 收敛，则  u n 一定收敛 n 1 (1) n 1 ，下列结论中正确的是（ np n 1    n 1 n 1 15.关于级数  （B） 若 un  vn ，且  u n 发散，则  v n 一定发散   n 1 n 1   （C）若 0  un  vn ，且  v n 收敛，则  u n 一定收敛 11.关于 p 级数，下列结论错误的是（  1 （A） p  1 时，  p 发散 n 1 n  1 收敛 p n 1 ( n  1) （C） p  1 时，  （A） 0  p  1 时条件收敛 （B） 0  p  1 时绝对收敛 （C） p  1 时条件收敛 （D） 0  p  1 时发散  （D）若 0  un  vn ，且  u n 收敛，则  v n 一定收敛 n 1 ） 16.对于幂级数  an x n ，下列结论错误的是（ n 1 ） n 0 （A）若仅在 x  0 收敛，则其收敛半径 R  0 ）  1 （B） p  1 时，  p 收敛 n 1 n  1 发散 p n 1 ( n  1) （D） p  1 时，  （B）若在 (, ) 绝对收敛，则其收敛半径 R   （C）若在 x  R 时绝对收敛， x  R 时发散，则其收敛域为 ( R, R) （D）若在 x  R 时绝对收敛， x  R 时发散，则其收敛区间为 ( R, R) 第 2 页 共 3 页 南阳师范学院—数学与统计学院 ） 17.下列结论正确的是（  三、 二、填空题（将正确答案填写在横线上）  （A）若级数  un 收敛，则  un 也收敛 n 1 n 1    1.  nx n 的收敛半径是 （B）若级数  un 发散，则  un 也发散 n 1 n 1    1 x n ( ) 的收敛区间是 n 0 n ! 2 2.  （C）若级数  un 收敛，则  un 也收敛 n 1 n 1   (1)n ( x  1) n 的收敛区间是 n  0 (2n  1)  3.  （D）若级数  un 发散，则  un 有可能收敛 n 1  4.  n !x n 的收敛半径是 n 1 18.下列级数绝对收敛的是（ 三、证明题  1 （A）  (1) n n n 1 1 （B）  (1) n ln n n 1   3n n4 1.试用比值审敛法证明级数  n 发散，级数  收敛. n 0 n2 n 0 n ! n2  1 （D）  sin  n n 1   1 （C）  (1) (n  1)(2n  1) n 1 n (1) n n 19.幂级数  x 的收敛域是（ n  0 ( n  1)  1 2n  1 发散，级数  4 收敛. n 1 n  0 2n  1 n 0  3. 试用极限审敛法证明级数   （A） [1,1] . n 0 ）  . n 0 （B） (1,1] ） n  n 1 n 1 2 3. 证明级数  (1) 绝对收敛，级数 发散. (  1)  n! 3n n 0 n 0 2  n （C） [1,1) （D） (1,1) 四、计算题   x 20.设幂级数  an x n 的收敛半径为 R(0  R  ) ，则  an ( )n 的收敛半径是（ A ） 4 n 0 n 0 （A） 4R （B） R 4 21.下列式子不成立的是（ （C） R 4 R ）  xn , x  (, ) n ! n 0 （A） e x   （C） （D）  1   (1)n x n , x  [1,1] 1  x n 0  1 n x 的收敛区间 n n 3 n 1 1.求   3. 求  (n  1)x n 的和函数. n 0 (1)n x 2 n1 , x  (, ) (2 n  1)! n 0  （B） sin x   (1)n1 n x , x  (1,1] n n 1  （D） ln(1  x)   第 3 页 共 3 页  1 ( x  5)n 的收敛域 n n 1 2.求   1 4 n 1 x 在收敛区间内的和函数.. 4 n  1 n 1 4.求 