2018年03月25日上海大学社区学院 参加首日....pdf 
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上海大学“立德树人”讲坛 学习使我快乐 谈谈微积分学习与作为 —— 数理观点 微积分 连续介质力学 谢锡麟 谨致 复旦大学 航天航天系（原力学与工程科学系） 2018年3月25日 基于数理分析认知世界 — 认知事物深层机制一般需要数理分析 牧童牵牛 数学模型所得结论为实际经验提供定量依据 数学机制 dT T d 船舶靠岸 如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无 穷长的时间 ，由此最终弹性撞击下不可避免 — Arnold On teaching mathematics dx 数学机制 0 x p p 1 发散 x0 转轨设计 关键要素为曲线的曲率（二阶导数）连续 — 菲赫金哥尔茨《微积分教程》 y 非适合方案 适合方案 x o '' '' f 0 f 0 , p 数学机制 y x , 有 '' '' f 0 f 0 , —— 曲叶 面片 曲几 率何 （构 二形 阶 导 数 ）关 连键 续要 素 ： y y x p p 2 x o p2 p2 北 大 吴 介 之 组 压力分布 涡量法向梯度 认知世界的主观性 — 不要离开数学谈物理（选定观点就选定了数学） V r 流 体 力 学 中 速 度 分 解 介 质 中 相 邻 二 质 点 的 相 对 速 度 r r r y o d τ D τ r r dt V r r r x r V r r V r x 1 2 z o V r r V r DV r r o r ω r V r r V r y z 数学机制 向量值映照的可微性 1 1 T T DV r DV r r DV r DV r r 2 2 1 1 1 T DV r DV r r ω r D r ω r 2 2 2 变形速度 刚性旋转 0 数学机制 3 2 3 0 1 2 a1 2 a3 3 a2 i j k 1 a2 3 a1 1a3 1 2 3 : ω a 0 a3 1a2 2 a1 a1 a2 a3 认知世界的主观性 — 不要离开物理谈数学（选定观点并非总有意义） 平面单向流动的速度分解 当“变形速度”与“刚性旋转”有抵消时，速度分解无意义 y y y U y o 平面单向流动 x x p 变形速度 1 d r r τ D τ, τ r dt r x p 刚性旋转 D 1 T DV DV 2 注：变形率张量的矩阵为零矩阵，对应于刚性运动；速度梯度的矩阵为反对称矩阵， 对应于刚性旋转运动 真实实验、数值实验、数学实验 —— 在某些情况下“数学实验”的结果可 直接确认为真理；而其它二类实验往往由于无法穷尽或者精度问题而不能单方 面就确认为真理。 较多形式为数学实验与真实实验的结论加以相互验证。 曲边扇形 N N 1 2 inf R i S real ,i S real , i 1 2 i 1 i i 1 N 1 sup R 2 i i 1 2 i 1 ,i N 1 2 inf R i b 1 2 R d，as P 0 N a 2 1 2 sup R i 2 i 1 i 1 ,i 数学实验的结论可 i 1 曲线弧长 2 i 1 , i 直接确认为真理 N lim r ti r ti 1 3 P 0 i 1 x 2 y 2 z 2 t dt 数学实验的结论不可 直接确认为真理 “数理观点” — 基于坚实 数理基础之 上的“融会 贯通、触类 旁通”，以 此实现“学 问”向“能 力”的进阶； 表现为按数 量方式，认 知自然世界 及非自然世 界的一种具 有统一性的 世界观 可 作 为 一 种 世 界 观 的 数 理 观 点 “按照近代观点，物理、化学、天体物理、地球 物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学 是物理科学的，数学又是所有学科的共同工具， 力学和数学原是科学发展史上的孪生子，因此， 形象的可以认为，物理科学是一根梁，力学和数 学是它的两根支柱。” —— 谈镐生先生 数学是物理的一部分；物理是自然科学，且是实 验科学；数学是物理中“做实验”比较“便宜” 的那部分。 —— （俄）V.I.Arnold 谈镐生 Arnold 数理观点：“数学知识体系” — 基础层面、高级层面 常微分方程 （有限自由度系统） 微积分 （有限、无限自由 度系统） 线性代数 （有限自由度系统） 偏微分方程 （无限自由度系统） 基础层面 复变函数 自然延伸 核数 心学 知类 识专 体业 系 概率与统计 测度论 泛函分析 现代几何学 课程体系网站 高级层面 http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.htm 数理 学工 知类 识专 体业 系 数理观点：“专业知识体系”（以力学类为核心） — 基础层面、高级层面 弹性力学 （无限自由度系统） 理论力学 （有限自由度系统） 材料力学 流体力学 （无限自由度系统） 核 力 基础层面 自然延伸 核物 心理 知学 识专 体业 系 振动力学 （有限、无限自由 度系统） 控制力学 （有限、无限自由 度系统） 电动力学 热力学/统计力学 量子力学 课程体系网站 高级层面 http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201354/main.htm 心学 知类 识专 体业 系 知 识 体 系 研 究 知 识 点 与 知 识 要 素 知识点为具有一定独立性的知 识（思想与方法）的集合。每 一知识点再由若干知识要素组 成，知识要素为等式、不等式、 特定结构或者特定处理。 知识体系研究 以 结构 驱动 结论 2015年秋季学期《数学分析》 知识体系研究 数学通识 隶属同一知识体系甚至不同知识体系的知识点可能 包含相同的知识要素，称为“数学通识” —— 藉此追求融会贯通、触类旁通 典则基下表示 e3 t i3 e2 t b t b t i2 e1 t i1 o i b1 i i b t i1 , i 2 , i 3 b2 : i b t i b3 运动基下表示 e b1 e e b t e1 , e 2 , e3 b2 : e t b t e b3 数学通识 单参数向量值映照的绝对变化率与相对变化率 db t dt i i d b t b t t b t dt lim e e t 0 t e db db T e P P t b e t ω b t dt dt 运动合成原理 速度合成原理 e3 t i3 rr t r t i2 e2 t rp t r rp rr e1 t p t e d r V Vp ω rr r t dt : Vp ω rr Vr 牵连速度 相对速度 i1 o 加速度合成原理 e e d r d V r V Vp ω rr Vr a a p ω ω rr r t ω Vr t dt dt a p ω ω rr 2ω Vr a r 相对加速度 牵连加速度 柯氏加速度 Coriolis 惯性力 e 加速度变化率合成原理 da p d ar da 2 3ω ω v r ω ω rr 3ω a r t dt dt dt 加速度合成原理 a a p ω ω rr 2ω Vr a r 加速度变化率合成原理 e da p d a r da t dt dt dt 3ω ω v r ω 2 ω rr 3ω a r 知识体系研究 正本清源 — 澄清相关结论的本质 Rolle定理 （朴素形式：二端一样高） 等斜率定理（内部速率不为零） Fermat引理 极限保号性 Cauchy中值定理（水平速度不为零） 知识体系研究 正本清源 — 澄清相关结论的本质 Rolle定理 （一般形式：内部含最值点） Darboux定理 Fermat引理 极限保号性 区间上严格单调的充分性条件 （闭区间上连续，内部导数不为零） 参数形式平面曲线作图 V.I.Arnold On teaching mathematics Eiffel-Tower曲线 3 x t t 3t 4 2 y t t 2 t 2015年秋季学期《数学分析》 《微积分讲稿—— 一元微积分》 r ae Cartesian叶形线 3t x t t3 1 2 3 t y t t3 1 对数螺旋 x t a cos 2t y t a cos 3t Lissajous图形 《微积分讲稿—— 一元微积分》 知识体系研究 格物致知 —澄清实际对象/现象的“数学机制”，反之 数学对象需要联系与实际事物 数 学 机 制 进动效应 <— 相对论效应 椭圆轨道 <— 无相对论效应 知识体系研究 方法归纳 — 归纳可适用一类问题的思想 与方法 传播方法研究 图示化研究 概念、结论、分析、架构的图示化 x B x0 Dx B x0 xm f x B y0 B y0 yn x0 y0 x2 x1 o 向 量 值 映 照 的 极 限 y Dx 2 y1 o Dx \ x0 xn x0 xm x y0 x2 xn o 1 o x B x0 x B x0 Dx xm f x1 xˆ B x0 Dx 0 f x x2 o y yn x0 x1 f xn y2 Dx x1 1 f x2 yn x0 2 f xn y0 y2 Dx o f xˆ y1 d f x , f xˆ f x0 h f x0 A h f x0 h x0 h 定义域 DX f x0 x0 xm x0 hˆ xi 向 量 值 映 照 的 可 微 性 y 1 x o m Dx x f x 在 x0 int Dx 点可微，指 A L f x0 h f x0 A h o h n m ; n , 成立 f x0 h f x0 A h 0 hlim m 0 h m L 0 L n Γ 0 dΓ 0 0 d m L Γ 0 xm o 0 1 n 切线向量值映照 Γ xi 0 y o 向量值映照 f x : f x hˆ f x A hˆ f x0 hˆ yn 0 x1 Γ L o 0 m 曲线向量值映照 Γ : ， Γ n Γ Γ 0 DΓ 0 0 o 0 m 在 0 ， 点可微，指 dΓ Γ Γ 0 lim DΓ 0 m d 0 0 0 f x I 0 1 n , n x I f ; x n n 1 假设 0 n* 0 1 f ; x0 f ; B x0 f ; I n* B x0 1 x0 n* x I f ; x n * x0 I x0 I I f ; B x0 I 1 或 2n* f ; B x0 I 1 2n* I 1 f ; I m 2 n* 1 n* 0, P 2m n* B x0 x I f ; x 0 0 x x I f ; x N I o k 1 2 J k ; N k 1 Jk N o k 1 2 Jk 体积控制 N I x 0 f x I N Jk N k 1 0, J k k 1 s.t. N J k k 1 现有I k 1 o 2 J k ，则有 I N k 1 3J k , 当diamI N Jk I 2Jk k 1 o 2 J k ，亦即 I I I x K , s.t. f ; x 3J k Cantor定理 振幅控制 N k 1 o 2 J k : K 现有 x K , s.t. f ; x , 则有 f ; I 2, 当diamI Lebesgue定理 的分析 振幅有界 f ; I f ; I N f ; I I ~ 体积有界 I 3J k 3m N o N o k 1 I 2 J k I k 1 2 J k N k 1 f ; I I ~ 1 振幅可控 f ; I 2 f ; I I ~ 体积有界 o I I N I N 2 Jo I 2 J k = k 1 k k 1 N lim f ; I I 0 P 0 1 传播方法研究 复杂过程的要义分解 Bernoulli-L’Hospital 法则 Bernoulli-L'Hospital法则 df lim f x =0 dx x x x0 设有 , x B x0 , 满足 或 lim g x = x x0 dg lim g x =0 x 0 x x 0 dx f ' x f x 如有 lim l , 则有 lim l x x0 g ' x x x0 g x B B x0 x0 x0 x x̂ f xˆ f x f ' l ˆ g x g x g ' f xˆ f x f ' g xˆ g x g ' o x x̂ f xˆ f x f ' g x f ' l l g xˆ g xˆ g ' g xˆ g ' lim f x =0 0 x x0 型 0 g x =0 x lixm 0 可作 x x0 f x g xˆ xˆ B x0 B x0 可作 , 当 g x xˆ B B g xˆ * 型 lim g x = x x0 B x0 x0 x x̂ l : B x0 f xˆ l g xˆ B x0 x0 l : x x̂ l : f xˆ l l g xˆ B x0 B x0 B o x0 x B + x̂ f xˆ M g xˆ B o x x0 x̂ B + B + l : f xˆ M 1 g xˆ 传播方法研究 复杂过程的要义分解 V x, y, z dl o y x C o x , y , C t t z Cxyz t C t t a b t d d = V i V j , dl 内蕴形式的广义 Stokes公式 n C xyz z V i V j , dl n n n E 微积分中的Stokes 公式（原型） 教育教学理念 与 执行架构 微积分的一流化进程 http://jpkcmake.fudan.edu.cn/d201353/main.psp 现代连续介质力学理论及实践 http://jpkcmake.fudan.edu.cn/d201354/main.psp 微积分的一流化进程 http://jpkcmake.fudan.edu.cn/d201353/main.psp 一元微积分 著述《微积分讲稿—— 一元微积分》，2016年 在线课程“数学分析—— 一元微积分”，2016年 高维微积分 著述《微积分讲稿——高维微积分》，2017年 在线课程“数学分析——高维微积分”，2017年 微积分的深化 著述《微积分讲稿——高等微积分》，2019年 在线课程“数学分析——高等微积分”，2017年 现代连续介质力学理论及实践 http://jpkcmake.fudan.edu.cn/d201354/main.psp 著述《现代张量分析 及其在连续介质力学 中的应用》，2015年 2017年上海市精品课 程；在线课程拟建设 曲线形态连续介质 Thermohaline Circulation 曲面形态连续介质 Earth Wind & Surface Curren Experimental Studies Jun Zhang. Nature 2000; USTC Shadowgraph Thickness Distribution Re=182 Experimental Study Cylinder wakes in flowing soap films. Boffetta & Ecke PRE 1999 Vorticity Area ~ Thinner Area Density distribution 0.212 1 21.2 Re Re 200 St 0.212 1 12.7 Re Re 200 Re = 500 3D View Top View 2D Incompressible Flows on Fixed Smooth Surface (Locally Convex ) Ma=0.1 Re = 200 2D ( 绕 过 圆 柱 ) Vorticity distribution 可 本压 组缩 流 动 Density distribution 固 定 平 面 上 固定曲面上2D可压缩流动 (绕过圆柱 ) 本组 Ma=0.1 Re = 500 D 1 2 2 C C 1 2 2 2 V D K G V a t 2 2 KG V D 2 2 1 2 2 KG V 2 涡量 致使液膜 变薄 运动曲面上2D可压缩流动 （本组） Ma=0.1 Re = 500 Vorticity 清华大学 符松研究组 后台阶控制流动 膜控制 壁面变形 —> BVF —> 流场内大尺度旋涡结构 本组 可变形壁面槽道流 截 面 法 向 涡 量 分 布 法向 BVF：流向涡 产生机制 固体壁面运动（膜运动）激发流场中大尺度旋涡结构的路径（本组） 壁面几何 流向结构涡 压力集中 法向边界涡量流 切向边界涡量流 切向边界涡量 ~ 2015 年 ~ 2025 年 ~ 2035 年 morphing aircraft 可变形机翼的发展设想（NASA） t V m X X 体积、曲面、曲 线形态连续介质 有限变形理论的 相似结构 V 3 X x, t X X2 X2 X1 o X1 o m x3 V t X x, t Vx 2 x , t x2 X X 3 X 3 t 1 o x1 o X2 体积介质 o X2 X1 o x2 x , t x X1 t o X3 X3 X2 o x, t X2 X1 X1 o x , t x 曲线介质 x1 曲面介质 g3 m 应力作用形式 3 n F t n g2 g 22 g2 F ti2 g 22 m2 gi T span g1 , g 2 n m1 曲面介质应力 * m 0 t t g l t gl m 0 m 0 t 0 m2 n n m2 曲线介质应力 t t i 3 gi t33 t t m3 span g1 , g 2 g t g m 0 m 0 t t * t tij g i g j t3 j n g j =t t F t n b t t g g g1 m1 m3 体积介质应力 F t t m 0 : t m 体积介质 动 量 平 衡 应 力 形 式 能 量 守 恒 曲面介质 曲线介质 a t f m Euler a t f m Euler a t f m Euler a f fm fm a a m ( FT ) ( FT ) ( FT ) Lagrange Lagrange Lagrange t t i 3 gi t33 i j j i j Cauchy t tij g g t3 j n g t t j gi g Cauchy tF * Cauchy * F t F F t F F T F F 1 t F * T F F 1 t F * F 1 t F T Piola-Kirchhoff Piola-Kirchhoff F Piola-Kirchhoff e V :t Euler e V : t Euler V : V : e : e : D : T E : T Lagrange D : T E : T 守恒律方程 对比 1 E F *F I 2 Lagrange 1 E F *F I 2 e V Euler :t V : e D : T E : T Lagrange 1 E F *F I 2 V.I.Arnold On teaching mathematics Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap. —— 数学是认知自然及非自然世界的系统的思想及方法， 绝非仅是逻辑过程 Jacobi noted, as mathematics‘ most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum. —— These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology. —— 数学通识（基本的“数学结构”或者“关系式”），上帝创造自 然的“基本法则” By the way, I shall remind you of a warning of L. Pasteur: there never have been and never will be any “applied sciences”, there are only applications of sciences (quite useful ones!). A teacher of mathematics, who has not got to grips with at least some of the volumes of the course by Landau and Lifshitz, will then become a relict like the one nowadays who does not know the difference between an open and a closed set. —— 数学需紧密联系于自然 “自然在我笔下” — 学问至能力的进阶 柯尔莫哥洛夫的开创性工作在数学的一系列重要领域中提 供了新方法，打开了新思路，开辟了新方向，揭示了不同数学 领域间的本质联系，并广泛地提供了它们在物理、化学、气象、 生物、力学、工程、人工神经网络、金属结晶学、控制论、计 算机、比较语言学等学科中的应用前景。他创造的大量构造方 法和基本引理至今在不同领域中经常引用，其中绝大部分都已 成为教科书和专著中的经典内容。 柯尔莫哥洛夫进行科学研究的特点是：几乎在他所关心 的所有领域，都首先创建了几个基本原理，接着让他的学生继 续进行研究，达到深入完备的程度，最后吸引大量研究人员加 入，写综合报道，出专集，开交流会议，形成科学方向和学派。 他是他的学生领导的许多学派的奠基人。 柯尔莫哥洛夫 A ． H ． ( А н д р е й Николаевич Колмогоров) 1903年4月25日生于俄国坦波 夫(Тамбов)；1987年10月20 日卒于苏联莫斯科 柯尔莫哥洛夫把创造性才能分为演算性的、几何性的与逻 辑性的。他非常善于与学生们交往，并把他们自己未意识到的 能力发挥出来．他喜爱旅行、滑雪、俄国诗与美术，尤其热爱 油画与建筑。 柯尔莫哥洛夫从不夸谈自己的成就、衔头与地位，并不 看重金钱与物质条件，他把巴尔桑奖的奖金捐给了学校图书馆， 而沃尔夫奖金他未曾去领取．柯尔莫哥洛夫为科学事业无私地 贡献了他的光辉的一生． 柯尔莫哥罗夫认为，数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了，学生觉得数学 特别难，问题多半出在教师身上。当然，的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在： （a）算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。 （b）几何直观能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。 （c）一步一步进行逻辑推理的能力。但是柯尔莫哥罗夫也指出，仅有这些能力，而不对研究的 题目有持久的兴趣，不做持久的努力，也是无用的。 柯尔莫哥罗夫认为，在大学里好的教师要做到以下几点：（a）讲课高明，特别是能用其他 科学领域的例子来吸引学生，增进理解，培养理论联系实际的能力。（b）以清楚的解释和广博 的知识来吸引学生运动。（c）善于因材施教。柯尔莫哥罗夫以为以上三条都是有价值的，特别 是（c），这是一个好教师必须做到的。 那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢？柯尔莫哥罗夫以为除了 通常的要求外，有两点要特别强调：（1）要把泛函分析这样的重要学科（他说的重要学科恐怕 还包括拓扑学和抽象代数）当成日常工具一样应用自如。（2）要重视实际问题。 莫大的老师上课，基本不按教学大纲讲课（其实教学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的 情况下，应当按自己的理解讲课），也没有什么固定的教材，教师往往同时指定好几本书为教材， 其实就是没有教材，只有参考书！主要课程都有讨论课，讨论课和讲课的比例至少是1:1。 学生做习题的时候就要注意进行科研训练了！这也是莫大数学成功秘诀之一。莫斯科大学讨 论课上的习题根本没有我们常见的套公式，套定理的题目。他们经常叫学生证明一些后续课程中 的定理，据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文，算是模拟科研，对以后做科研是有好处的。 践行数理观点 俄罗斯 国立莫斯科大学 力学数学系：力学专业（专家种类 力学家） 教学计划 职业课程 3890 1 数学分析 1--4 1--4 768 512 256 256 256 8 2 分析几何 1 1 202 144 72 72 58 8 3 线性代数和 几何 2 2 179 128 64 64 51 4 代数学 1 1 151 108 54 54 43 5 微分几何 4 3 190 136 68 68 54 6 数学物理方 程 6 5 190 136 68 68 54 4 4 7 复分析 5,6 5 190 136 68 68 54 4 4 8 概率论 7 7 101 72 36 36 29 9 数理统计和 随即过程 8 8 90 64 32 32 26 10 微分几何与 拓扑 4 90 64 32 32 26 5,6 190 136 68 68 54 4 4 5-8 286 204 82 3 3 3,5 3,4,5 361 258 138 120 103 连续介质力 学基础 4 4 134 96 64 32 38 连续介质力 15 学 （ 数 学 模 型） 5,6 5,6 238 170 102 68 68 16 控制系统力 学 8 7 143 102 68 34 1 离散数学 7,8 190 136 68 3 101 72 36 7,8 95 68 11 泛函分析 12 物理力学实 习 13 理论力学 14 2 3 5,6 经典微分几何 计算机实习 3 204 68 8 8 6 4 4 8 6 4 4 4 3 3 41 3 3 68 54 4 4 36 29 2 2 27 5 6 4 6 5 5 4 专门课程（译 者注：主要是 各个教研室 开设的不同 研究方向的 专业课程） 1000 全年的专门 课程 6,8 204 136 136 68 半年的专门 课程 7,9 108 72 72 36 挑选大学生 的专门课程 10 102 68 68 34 586 204 科研工作 6,8,9, 6,8,10 10 204 2 2 2 2 2 382 2 2 2 2 2 2 4 2 4 还包括：专门 的讨论班 课程作业 毕业论文 学期分布 教学工作量/小时 年级和学时分配 一年级 学科名称 考试 测验 课程 工作 设计 量 包括课堂作业 总数 讲课 实习 讨论 实验 二年级 三年级 四年级 五年级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 独立 学习 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 周学时 10 8周 治学的现有认识与体会 谨供参考 1. 将知识体系 按 知识点 与 知识要素 进行划分 2. 注重 由结构驱动结论，结构指事物的本质；多个事物的共同本质称为 通识性结构/数学通识。 基于数学通识，实现 基于已有的知识发展新的知识；实现 同一知识体系之内的 融会贯通， 不同知识体系之间 的 触类旁通。 3. 注重 正本清源， 指澄清事物的本质 4. 注重 格物致知， 指通过 数学机制 认识 事物 5. 进行 图示化研究， 指将 概念、结论、分析、架构 进行 图示 6. 进行 复杂过程的要义分解，将 分析思想与方法 进行 图示 —— 难 与 易 是认知的不同状态， 所有被认识的事物总可以是 清清楚楚、简简单单的；对于复杂的事物 可以通过持续性思考 而获得认识 7. 进行 方法化研究，指 归纳与提炼 可处理一类问题的 过程清晰、简单有效的处理流程；基于 方法化 实现 学问向能力的升华 8. 按 数理观点 认识世界，由于认识的客观性，不要 离开数学谈物理；由于数学的适用性，不 要离开物理谈数学