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§4 微分学中值定理 微分和导数是讨论小增量的有效工具。微分 中值定理是研究宏观增量、函数特征的一个有力 工具，不仅是微分学中最重要的结论之一，而且 在积分学、级数理论等以高等数学为基础的许多 后续课程中，发挥着重要的作用，也是研究问题 的重要辅助手段。 1 一、函数极值和 Fermat 定理 设有函数 f ，如果在 U ( x0 ) 中的一切 x ， 恒有 f ( x )  f ( x0 ) ( f ( x )  f ( x0 )) 成立， x0 x 则称 x0 为函数 f 的局部极大（小）值点， 简称 极大（小）值点； 称 f (x0 ) 为函数 f 的局部极大（小）值， a x1 x2 b x 简称 极大（小）值。 注意： 极值是局部的概念，只取决于点 x0 邻近 f 的形状； 在 (a, b) 内， f 的极小值完全可能大于其极大值； f 在(a, b) 中极值点可以有无数个。 2 Fermat 定理： 设点 x0 是函数 f 的一个极值点，且 f 在 x0 处可导 则必有 f ( x0 )  0 . ，f ( x )  f ( x0 ) 证：不妨设在 U ( x0 ,  ) 内， f ( x )  f ( x0 ) 0 当 x < x0 时， x  x0 f ( x )  f ( x0 ) 0 当 x > x0 时， x  x0 f ( x )  f ( x0 ) 0  lim x  x0 x  x0 f ( x )  f ( x0 ) f ( x0 )  lim 0 x  x0 x  x0  f ( x0 )  0 3 Fermat 定理的几何意义 若曲线 f (x) 在其极点处可导，或者说在该点存在 切线，那么这条切线必定平行于 x 轴。 二、 Rolle 定理 设函数 f  C[ a ,b ] , 在 (a, b) 内可导，且 f (a )  f (b) 则至少存在一点   (a, b),  f ( )  0 几何意义： y 满足定理条件的函数至 少有一点 C ，在该点处的 切线平行于 x 轴，也与曲 线两端点的连线平行。 o a C y  f ( x) 1 2 b x 4 证： f ( x )  C[ a ,b ] 必有最大值 M 和最小值 m ， 1）若 M = m , 则 f (x) = M 又 f 在  处可导，  f ( x )  0    (a, b) 都有 f ( )  0 ; 2）若 M  m  f (a )  f (b) ∴最值不可能同时在端点取得 设 M  f (a) , 即 M  (a, b) 内， 当然 M  f (b) 不妨设 M  f ( ) , 则 M  f ( )  f (a)  f (b) ,   (a, b) 由极值点的定义， 显然  是极大值点， 由 Fermat 定理，  f ( )  0 ;  f ( )  0 . 5 例1、设 f ( x )  C[ a ,b ] 在 (a, b) 内可导，a > 0 ， 则在 (a, b) 内至少存在一点  ，  2 [ f (a )  f (b)]  (a 2  b 2 ) f ( ) 例2、设 f ( x )  C[0, 1] , f ( x )  D[0, 1] , 且 f (0)  f (1)  0 1 f    1 , 证明:    (0, 1),  f ( )  1  2 6 三、微分学中值定理 Lagrange 中值定理 设函数 f  C[ a ,b ] , 在 (a, b) 内可导， 则至少存在一点   (a, b),  f (b)  f (a )  f ( )(b  a ) y 几何意义： 在曲线弧 AB 上至少有 M 一点 C ，在该点处的 N A 切线平行于弦 AB . o a 1 x 证: 作辅助函数 f (b)  f (a )  ( x)  f ( x)  ( x  a) ba 显然  ( x )  C[ a ,b ] , 在 (a, b) 内可导，且  ( a )  f ( a )   ( b)  f (a ) C y  f ( x) B D 2 b x 7 ∴由 Rolle 定理可知 则至少存在一点   (a, b),   ( )  0 f (b)  f (a ) 0 即  ( )  f ( )  ba f (b)  (a )  f ( )  ba  f (b)  f (a )  f ( )(b  a )  f (b)  f (a )  f ( )(b  a )  f (b)  f (a )  f [a   (b  a )](b  a ) 0 1 记 x  a x  b  a  f ( x  x )  f ( x )  f ( x  x )x 0 1 () , () , () 均为Lagrange 公式 () ( ) ( ) 8 推论1 设 f 是 (a, b) 上的可微函数， 对任何 x  (a, b), f ( x )  0 则 f 在 (a, b) 上恒为常数。 证: 对  a  x0  x1  b , 由 Lagrange 公式 f ( x1 )  f ( x0 )  f ( )( x1  x0 ) x0    x1 又 f ( x )  0  f ( x1 )  f ( x0 )  0 即 f ( x1 )  f ( x0 ) ∴ f (x) 恒为常数。 9 推论2 设 f 和 g 均是 (a, b) 上的可微函数， 且 f   g , 则必有常数 C ，  f ( x )  g( x )  C 在 (a, b) 上恒成立。 证: 令 F ( x )  f ( x )  g( x )  F ( x )  f ( x )  g( x )  0 ( f   g) 由推论1  F ( x )  C 即 f ( x )  g( x )  C 利用中值定理可证明一些不等式。 10 1 1  In( x  1)  Inx  例3、证明当 x > 0 时， x 1 x n[arctan ln( n  1)  arctan ln n] 例4、求极限 lim n 11 四、柯西中值定理 Cauchy 中值定理 设函数 f 和 g 均是 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内 可导，且 x  (a, b), g( x )  0 , 则至少存在一点   (a, b) ,  几何意义： y 在曲线弧 AB 上至少有 于弦 AB .  x  g( t )   y  f (t ) C 一点 C ( g( ), f ( )) ， 在该点处的切线平行 f (b)  f (a ) f ( )  g(b)  g(a ) g( ) M N A o g(a ) B D g( x ) g( 2 ) g(b) g(1 ) 12 x 证: 作辅助函数 f (b)  f (a )  ( x)  f ( x)  [ g( x )  g(a )] g(b)  g(a ) 显然 ( x )  C[ a , b ] , 在 (a, b) 内可导， 且  ( a )  f ( a )   ( b)  f (a ) 由 Rolle 定理， 至少存在一点   (a, b) ,   ( )  0 f (b )  f (a ) g( )  0 即 f ( )  g(b)  g(a ) 即等式证得。 13 例5、设函数 f (x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导， 证明至少存在一点   (0,1) ，使 f ( )  2 [ f (1)  f (0)] 14