线性空间与线性变换.pdf
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线性空间与线性变换练习题 §1 线性空间 1．设 V { x ( x1 , x2 ,, xn ) R n | x1 x2 x n } 是否按向量的加法和数乘构 成 R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 a b R 22 a b c d 0 是否按矩阵的加法和数乘构成 R 上的 2．设 V c d 线性空间？若是，求出它的维数和一个基。 3．证明 n 阶实对称矩阵全体 V1 和 n 阶实反对称矩阵全体 V2 均构成 R nn 的子空间， 并求它们的维数。 4．已知 R 4 中向量 a1 (1, 2, 3, 1) T ， a 2 (1, 1, 2, 1) T ， a 3 (2, 6, 1, 6) T ， a 4 (3, 4, 7, 1) T ， 求 Span{a1 , a 2 , a3 , a 4 } 的一个基和维数。 5．已知矩阵 1 2 1 2 A 0 1 k k (a1 , a 2 , a3 , a 4 ) 1 k 0 1 （1）求 A 的零空间 N ( A) {x R 4 | Ax 0} 的基与维数； （2）求 AT 的零空间 N ( AT ) { x R 3 | AT x 0}的基与维数 （3）求 Span{a1 , a 2 , a3 , a 4 } 一个基和维数。 6．已知 R 3 中的两组基为 a1 (1, 1, 1) T ， a 2 (1, 0, 1) T ， a 3 (1, 0, 1) T ， 和 b1 (1, 2, 1)T ， b2 (2, 3, 4) T ， b3 (3, 4, 3) T 。 （1）求向量 x (2, 2, 4) T 在基 a1 ， a 2 ， a 3 下的坐标； （2）求从基 a1 ， a 2 ， a 3 到基 b1 ， b2 ， b3 的过渡矩阵； （3）求向量 z b1 2b2 b3 在基 a1 ， a 2 ， a 3 下的坐标； （4）求向量 y 4a1 2a 2 4a3 在基 b1 ， b2 ， b3 下的坐标。 7．已知 R 3 中的两组基为 a1 (1, 0, 1) T ， a 2 (1, 1, 1)T ， a 3 (1, 1, 1) T ， 和 b1 (3, 0, 1) T ， b2 (2, 0, 0)T ， b3 (0, 2, 2) T 。 （1）求从基 a1 ， a 2 ， a 3 到基 b1 ， b2 ， b3 的过渡矩阵； （2）已知向量 x 在 b1 ， b2 ， b3 下的坐标为 (1, 2, 0) T ，求 x 在基 a1 ， a 2 ， a 3 下的 坐标； （3）求在基 a1 ， a 2 ， a 3 和 b1 ， b2 ， b3 下具有相同坐标的全部向量。 8．已知 a1 ， a 2 ， a 3 是 3 维线性空间 V 的一个基，且 b1 a1 a 2 a 3 ， b2 a1 2a 2 2a3 ， b3 3a1 4a 2 3a3 。 （1）证明： b1 ， b2 ， b3 也是 V 的一个基； （2）求向量 ξ a1 a 2 a 3 在基 b1 ， b2 ， b3 下的坐标。 9．设 P(x) 是在 R[ x]n1 中的一个 n 次多项式，证明： P(x) ， P (x) ，…， P ( n) ( x) 是 R[ x]n1 的一个基。 10．记 C[ x]n 为次数小于 n 的复系数多项式全体再添上 0 所成的线性空间。证明： （1） Pi ( x) ( x a1 )( x ai 1 )( x ai 1 )( x an ) （ i 1,2,, n ）是 C[ x]n 的一个 基，其中 a1 , a2 , , an 是互不相同的数； （2）若 a1 , a2 , , an 全是 n 次单位根（即满足 x n 1 ），求基 1 ， x ，…， x n 1 到 P1 ( x), P2 ( x), , Pn ( x) 的过渡矩阵。 §2 线性变换及其矩阵表示 1．判断下列映射中哪些是线性换，哪些不是： （1） A ： R 3 R 3 定义为，若 x ( x1 , x 2 , x3 ) T ，则 A( x ) ( x13 , x 23 , x33 ) T ； （2）设 a1 ， a 2 R 3 ， A ： R 3 R 3 定义为，若 x ( x1 , x 2 , x3 ) T ，则 A( x) ( x1 x2 )a1 ( x2 x3 )a 2 ； （3）设 P 为 m 阶实矩阵， Q 为 n 阶实矩阵， ： R mn R mn 定义为， ( A) PAQ ， A R mn 。 2．设 R 3 上的线性变换 A 对于基 a1 (1, 0, 2) T ，a 2 (0, 1, 1) T ，a 3 (3, 1, 0) T 的 像为 Aa1 (5, 0, 3) T ， Aa 2 (0, 1, 6) T ， Aa 3 (5, 1, 9) T ， （1） 求 A 在基 a1 ， a 2 ， a 3 下的表示矩阵； （2） 求 A 在自然基 e1 ， e 2 ， e 3 下的表示矩阵； （3） 求 N ( A) 与 A(R 3 ) 的维数。 3．设 V 是 4 维线性空间。已知 V 上的线性变换 A 在基 a1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 下的表示 矩阵为 1 2 0 1 3 0 1 2 2 5 3 1。 1 2 1 3 （1）若 a 2a1 a 4 ，求 A(a ) ； （2）求 A 在基 a1 ， a 3 ， a 2 ， a 4 下的表示矩阵； （3）求 A 在基 a1 ， a1 a 2 ， a1 a 2 a3 ， a1 a 2 a3 a 4 下的表示矩阵。 4．设 V R 22 是实 2 阶实方阵全体组成的线性空间。 V 上的线性变换 如下定 义： ( A) A* ， A R 22 ， 求 在基 1 0 0 1 0 0 0 0 ， B12 ， B21 ， B22 B11 0 0 0 0 1 0 0 1 下的表示矩阵。 5．设 R 3 上的线性变换 A 对于基 a1 (1, 0, 2) T ， a 2 (0, 1, 1) T ， a 3 (3, 1, 6) T 的像为 b1 Aa1 (1, 0, 1)T ， b2 Aa 2 (0, 1, 2) T ， b3 Aa 3 (1, 1, 3) T 。 （1）求 A 在基 a1 ， a 2 ， a 3 下的表示矩阵； （2）求 A(b1 ) ， A(b2 ) ， A(b3 ) ； （3）若 a 在基 a1 ， a 2 ， a 3 下的坐标为 (5, 1, 1) T ，求 A(a ) 在基 a1 ， a 2 ， a 3 下的坐 标； （4）若 b (1, 1, 1)T ，求 A(b) ； （5）若 c 2a1 4a 2 2a3 ，求 c 关于 A 的原像 { x V | A( x ) c} 。 6．设 R 3 上的线性变换 A 定义为：若 x ( x1 , x 2 , x3 ) T ，则 A( x) 2 x1 x2 , x2 x3 , x1 。 （1）求 A 在自然基 e1 ， e 2 ， e 3 下的表示矩阵； T （2）若 a (1, 0, 2) T ，求 A(a ) 在基 a1 (2, 0, 1)T ，a 2 (0, 1, 1) T ，a 3 (1, 0, 2) T 下的坐标； （3）证明 A 是可逆变换，并求 A 1 。 7．设 是线性空间 V 上的可逆线性变换。证明：若 x 是 V 中的非零向量，则 ( x) 0 。 8．设 是线性空间 V 上的线性变换， a1 , a 2 , , a m 是 V 中向量。证明：若 (a1 ), (a 2 ), , (a m ) 线性无关，则 a1 , a 2 , , a m 也线性无关。 9．设 V 是 n 维线性空间，a1 , a 2 , , a n 是 V 的一个基。已知 是 V 上的线性变换， 且在基 a1 , a 2 , , a n 下的表示矩阵为 A 。证明：若有 a 0 V 使得 (a ) 0 ，则 A 是不可逆矩阵。 10．设 A ， B 为 3 阶实矩阵， R 3 上的线性变换 A ， B 定义为：若 x R 3 ，则 A( x ) Ax ， B( x ) Bx 。 2 2 （1）若 A O ，求 A ； （2）若 A 可逆，求 A 1 ； （4） 证明：若 A 与 B 相乘可交换，则 AB BA 。 11．设 A ， B 是线性空间 V 上的线性变换，证明：若 A 和 B 都可逆，则 AB 也是 V 上的可逆线性变换，且 ( AB) 1 B 1 A1 。 12．设 V R 22 是实 2 阶实方阵全体组成的线性空间。V 上的线性变换 如下定 a b b a b ，则 (x ) 。证明 是可逆线性变换，并求 1 。 义：若 x c d c c d 13．设 是 n 维实线性空间 V 上的线性变换。证明：若存在实数 a1 , a2 , , an 满 足 an 0 ，使得 n a1 n 1 a n 1 a n I 0 ， 则 是可逆线性变换。 14．设 是线性空间 V 上的线性变换。 （1）证明：若存在 ξ V 使得 k (ξ ) 0 ，但 k 1 (ξ ) 0 ，则 ξ , (ξ ), , k 1 (ξ ) 线 性无关； （2）设 d i m V n ，且存在 ξ V 使得 n (ξ ) 0 ，但 n1 (ξ ) 0 ，求 V 的一个基， 使得 在这个基下的表示矩阵为 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0。 0 0 1 0