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§2 一阶常微分方程 一阶常微分方程的一般形式：  dy   f ( x, y)  dx  y( x0 )  y0 其定解存在且唯一（有下面定理）。 定理（解的存在与唯一性定理）： f ( x , y) 在矩形区域 如果 f (x, y) 和 y ( x, y) | x  x0  a , y  y0  b 上连续， 那么存在一个 0 < h ≤ a , 其定解在 x  x0  h 上 有唯一解 y = φ (x) , 使得  ( x )  f ( x,  ( x )) ,  ( x0 )  y0 . 常见类型的一阶常微分方程的解法 一、变量可分离方程 dy  g ( x )h( y) 一般形式 dx 即 f ( x, y)  g( x )h( y) x, y 完全分离。 解法： dy  g ( x )dx , h( y)  0 , 1) 分离变量 h( y) 1 dy   g ( x )dx 2) 两边积分  h( y) 此方程的通解(GS): H ( y)  G( x )  C . C : 任意常数 奇解 h( y)  0 . 例1 、求解常微分方程的定解问题: dy  sin x  y ln y  dx     y    e   2  dy dy dy 2 x  a( y  ) 通解。 例2 、求微分方程的 dx dx dx 例3、 求微分方程 f ( xy) ydx  g ( xy) xdy  0 的通解。 有限资源下单一群体自然增长模型 （Logistic 模型 ） 群体增长的条件是复杂的，如细菌、物种、人口 增长等。如人口增长： 如果在有限生存资源下，能够维持人口生存的最大 N 总量（即饱和量）为 Nm ，则相对净增长率为 1  , Nm  N  则人口相对增长速率正比于 N  1   ， Nm   这时，描述人口增长的方程为  dN  N   kN  1    Nm   dt   N (t )  N  0 0  dN N   kN  1   为可分离变量微分方程， dt Nm   dN Nm  kdt , dN  kdt , N ( Nm  N )  N  N 1   Nm    1  1 两边同时积分得     dN  k  dt  N Nm  N  N  e kt C  Ce kt , ln N  ln( N m  N )  kt  C , Nm  N N0  kt0 e , N ( t0 )  N 0 , C  N m  N0 Nm 有限资源下单一群体 N ( t )    N  k ( t  t0 ) m 自然增长模型为： 1   1 e  N0  二、齐次方程 k   0 , f (  x ,  y )   f ( x, y) , 1、定义 若对于任何 有 则称函数 f (x, y)为k 次齐次函数 , dy  f ( x, y) 此时的微分方程 dx 称为 齐次微分方程。 dy  y    齐次微分方程的一般形式: dx  x y 2、解法 作变量代换 u  , 即 y  xu , x dy du   u x   ( u) dx dx du  ( u)  u  即 dx x 当  ( u)  u  0 时，  可分离变量的方程 du dx   ( u)  u x y 解出方程后再用 u  代入, 即为原方程的通解。 x 注意 分离变量时, 若  ( u)  u  0 时， du  0 uC dx ∴原方程的通解为 y  Cx . 若  ( u)  u  0 有根 u  a  y  ax 是原方程的一个解。 y y 例4、 求解微分方程 ( x  y cos )dx  x cos dy  0 . x x 例5、 求解微分方程 (1  e  x y ) ydx  ( y  x )dy  0 . 结论 利用变量代换变为可分离变量的微分方程。 例6、 若曲线上任一点处的切线在 y 轴上的截距等同 于同点处法线在x 轴上的截距,求该曲线的方程。 dy a1 x  b1 y  c1  (＊) 的微分方程， 3、形如 dx a2 x  b2 y  c2 dy  y 1) 当 c1  c2  0 时, 即为     的齐次方程； dx  x 2) 当 c1 , c2 不全为零时, x  X  a1 b1  0 时, 作变换  ①若 a2 b2  y  Y  a1 X  b1Y  ( a1  b1  c1 ) dy dY   代入(＊) dx dX a2 X  b2Y  ( a2  b2  c2 )  a1  b1  c1 从线性方程组  解出  ,  .  a2  b2  c2 dy  y     的齐次方程， 使(＊)式变为形如 dx  x dY a1 X  b1Y  即 dX a2 X  b2Y a1 ②若 a2 b1  0 时, 即两行对应成比例， b2 a2 b2    , 也即 a2 x  b2 y   ( a1 x  b1 y) , a1 b1 dy a1 x  c1  ⅰ) 若 b1 , b2 全为零，那原方程为 dx a2 x  c2 为变量可分离方程； ⅱ) 若 b1 , b2 不全为零, 可作变换 u  a1 x  b1 y , du dy  a1  b1 , 不妨设 b1  0 ,  dx dx dy 1 du   (  a1 ) , 由(＊)式 dx b1 dx u  c1 a1 x  b1 y  c1 1 du   (  a1 )   ( a1 x  b1 y)  c2  u  c2 b1 dx du  g ( u) , 即可化为可分离变量的方程 dx 此微分方程总可变为可分离变量的微分方程 dy a1 x  b1 y  c1  f( ). 且可推广到 dx a2 x  b2 y  c2 例7、求通解 (3 x  2 y  1)dx  ( x  4 y  3)dy  0 . 四、全微分方程 1、定义 若存在函数 u( x, y) , 使得 du( x, y)  f ( x, y)dx  g ( x, y)dy , 则称方程 f ( x, y)dx  g ( x, y)dy  0 为 全微分方程。 其解 u( x, y)  C ( du( x, y)  0 ) 也称直接凑全微分法。 1 2 2 u( x , y)  ( x  y ) , 如 xdx  ydy  0 2  du( x, y)  xdx  ydy 全微分方程 2 2 x  y C . 其解 2、定理 f ( x, y)dx  g ( x, y)dy 是某个函数的全微分 f ( x , y) g ( x , y)   y x 为判断是否是全微分方程的条件、方法。 如果是全微分方程，则可用 1）凑全微分公式的方法 2）积分因子的方法 3）第二类曲线积分的方法（不要求） 1）凑全微分公式法: 例8、 求微分方程通解 (e x sin y  mx ) y  e x cos y  my , m 是常数。 x x ( e cos y  my ) dx  (  e sin y  mx )dy  0 解: g ( x , y) f ( x , y) f ( x , y)  ( e cos y  my) x   e sin y  m  y y x = g ( x , y)  (  e sin y  mx ) x   e sin y  m  x x ∴原方程为全微分方程； x (e x sin y  mx ) y  e x cos y  my (e sin y  mx )dy  ( e cos y  my)dx x x e cos ydx  e sin ydy  mydx  mxdy  0 x x d (e )cos y  e d (cos y)  m( ydx  xdy)  0 x x d (e cos y)  d ( mxy)  0 x d (e cos y  mxy)  0 x GS . e cos y  mxy  C . x 2、积分因子法 f ( x , y) g ( x , y) 当不满足 时，  y x 虽 f ( x, y)dx  g ( x, y)dy  0 不是全微分方程， 但如能找到一个函数  ( x, y) , 使得  ( x, y) f ( x, y)dx   ( x, y) g( x, y)dy  0 为全微分方程， 即  ( x, y) f ( x, y)dx   ( x, y) g ( x, y)dy  du( x, y) , 从而求得其通解， 此方法称为 积分因子法，  ( x, y) 称为 积分因子。 问题: 如何求方程的积分因子? 两种方法： 观察法: 凭观察凑微分得到  ( x, y) , 一些常用二元函数的全微分公式： 2 ydx  xdy  y xdx  0 . 例9、求微分方程通解 例10、求微分方程通解 （2 x x  y  x )dx  ( x  y  y)dy  0 . 2 2 2 2 五、一阶线性微分方程 一阶线性常微分方程的标准形式: dy  f ( x) y  g( x) dx 当 g (x) = 0 时, 一阶齐次线性常微分方程; 当 g (x) ≠ 0 时, 一阶非齐次线性常微分方程。 1) 当 g (x) = 0 时, dy  f ( x ) y  0 显然变量可分离， dx dy dy    f ( x )dx   f ( x )dx  y y ln y    f ( x )dx  C  y e   f ( x ) dx C  一阶齐次线性常微分方程通解公式 GS . y  Ce   f ( x ) dx C : 任意常数。 2）当 g (x) ≠ 0 时, dy g ( x )  dx  f ( x )dx y y g( x) dx   f ( x )dx 两边积分 ln y   y dy  f ( x) y  g( x) dx = ln y   ( x )   f ( x )dx  GS . ye ( x) e   f ( x ) dx  C ( x )e   f ( x ) dx 非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比: C  C ( x) 常数变易法 把齐次线性方程通解中的任意常数变易为 待定函数的方法。 确定函数 C ( x ) 将 y  C ( x )e   f ( x ) dx y  C ( x )e  两边对 x 求导, C ( x )[ f ( x )]e   f ( x ) dx 将 y , y 代入原微分方程,  f ( x ) dx 由 y  f ( x ) y  g ( x ) 即 C ( x )e   f ( x ) dx C ( x )[ f ( x )]e   f ( x ) dx  f ( x )  C ( x )e   f ( x ) dx  g( x) f ( x ) dx  得 C ( x )  g ( x )e f ( x ) dx  两边积分 C ( x )   g ( x )e dx  C  GS . ye   f ( x ) dx   Ce f ( x ) dx  [  g ( x )e dx  C ]  f ( x ) dx 对应齐次 方程通解  e  f ( x ) dx f ( x ) dx    g( x) e dx 非齐次方程特解 dy  y tan x  sec x , y(0)  0 的特解 PS. 例11、求 dx 例12、 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线 y  f ( x )与 y  x 3 ( x  0) 截下的线段 PQ 之长 数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f (x) . y y  x3 Q P o x y  f ( x) x Bernoulli 方程 dy n  f ( x ) y  g ( x ) y n = 0 , 1 时，为线性微分方程； dx 当 n ≠ 0 , 1 时， 方程两端除以 y n , 1 dy 1   f ( x ) n1  g ( x ) n y dx y du 1 dy 1  (1  n) n  令 u  n 1 dx y dx y du   (1  n) f ( x )u  (1  n) g ( x ) dx 为关于 u 的一阶线性微分方程。 dy x  y 的通解。  例13、求 2 dx xy 4 3 cos y 的通解。 例14、求 y  cos y sin 2 y  x sin y 例15、一曲边梯形的曲边方程为 y  f ( x ) ( f ( x )  0) 底边位于区间 [0, x] 上，其面积与f (x) 的(n+1)次幂 成正比 (n > 0) , 又 f (0)  0 , f (1)  1 , 求 f (x) .