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§2 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 定义： 设 A 与 B 是试验 E 的样本空间  的两个事件，且 P ( A)  0 , 则称在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的 概率为条件概率，简称 B 对 A 的条件概率。记为 P ( AB ) P ( B / A)  P ( A) 注意： 1）条件概率是一随机事件的概率，因此条件概率满足 概率公理化定义中的三个条件，具有概率的一般的性质； 2）条件概率 P ( A / B) 与 P ( A) 的区别： 1 例1、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂占 30%， 甲厂产品的合格率是 95%，乙厂产品的合格率是 80%， 若用 A 、A 分别表示甲、乙两厂的产品，B 表示合格品。 试写出有关事件的概率；并求从市场上买到一个灯泡是甲 厂生产的合格灯泡的概率。 乘法公式 设 E 是随机试验， 是它的样本空间，A ，B ， Ai （i=1, 2，…，n）是 E 的事件（或  的子集），且 P ( A)  0 , P ( A1 A2 An1 )  0 则有：1） P ( AB)  P ( A) P ( B / A) 2）P ( A1 A2 An )  P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) P ( An / A1 A2 An1 ) 注意：乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式。 2 求在例1 中，从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格 灯泡的概率。 例2、10 个考签中有4 个难签，3 人参加抽签（不放回）， 甲先乙次，丙最后，求甲抽到难签；甲乙都抽到难签； 甲没有抽到难签而乙抽到难签；甲乙丙都抽到难签的概率。 3 例3、人活到不同年龄段的死亡率如下： 年龄段 ～10 ～20 ～30 ～40 ～50 ～60 ～70 ～80 >80 合计 死亡率（%） 3.23 0.65 1.21 1.84 4.31 9.69 18.21 27.28 33.58 100.00 试求一个60岁的人在70岁死亡的概率。 4 二、全概率公式和逆概率公式 定义： 设 E 是随机试验， 是它的样本空间，若 A1 , A2 , An 是 E 的两两互不相容（互斥）事件，即 Ai Aj   （ i  j ） 且 n i 1 Ai   （即 n 个事件 A1 , A2 , An 中至少要发生一 个，至多也只能发生一个）， P ( Ai )  0 i , j  1, 2, ,n 则对任一事件 B （属于 E）有 n P ( B )   P ( Ai ) P ( B / Ai ) 称为全概率公式。 i 1 5 注意： 1）全概率公式的作用在于，直接求一个较复杂的事件 B 的 概率比较困难，但在附加条件 Ai 下， 求条件概率 P ( B / Ai ) 却比较容易，所以说是一种“化整为零”的 方法，化复杂为简单的方法。 2）如何转化，关键是寻找 A1 , A2 , B  BA1 BA2 An ，使 BAn，再利用一次加法公式 和一次乘法公式即可得到全概率公式。 3）寻找 A1 , A2 , An 可供参考的方法： 全概率公式中的条件可以等价地写成 “ 事件 B 能且仅能与 A1 , A2 , “ 把完备事件组 A1 , A2 , An 之一同时发生 ” 或 An 看成导致 B 发生的一组 原因，而这些原因的概率是已知的或能求出的。” 6 例4、某地区统计，较胖体型者占 10% ，较瘦体型者占 8% ， 中等体型者占 82%，又知较胖体型者患高血压的概率为 0.2， 较瘦体型者患高血压的概率为 0.05，中等体型者患高血压的 概率为 0.1 . 问该地区的居民患高血压的概率。 7 例5、某工厂有四条流水线，生产同一种产品，该四条流水线 的产量分别占总产量的 15%、20%、30%、35%，又这四条 流水线的次品率依次为 0.05、0.04、0.03、0.02，现从出厂产 品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？但该次品是 哪一条流水线生产的标志已经脱落，问厂方应如何处理这件 次品的经济责任才合理？ 8 Bayes 公式（逆概公式） 设 E 是随机试验， 是它的样本空间，若 A1 , A2 , An 是 E 的两两互不相容（互斥）事件，即 Ai Aj   （ i  j ） n 且 i 1 Ai ，  P ( Ai )  0 i , j  1, 2, , n . 则对任一事件 B （ P ( B)  0 ）有 Bayes 公式： P ( Ai / B )  P ( Ai ) P ( B / Ai ) n  P( A )P( B / A ) j 1 j i  1, 2, ,n j 例 4 中，如果已经知道一个居民患有高血压，问他是较胖 体型的概率是多少？ 例 5 中，厂方应如何处理这件次品的经济责任才合理？ 9 注意： 1）在全概和逆概公式中的 A1 , A2 , An 是导致试验结果 的各种原因。 ⅰ） P ( Ai ) (i  1, 2, , n) 是各种原因的概率，称为 先验概率，一般是由实际经验给出的，是已知的。 ⅱ） P ( Ai / B ) 称为后验概率，它反映了试验之后各种 原因 Ai ( i  1, 2, , n) 发生的概率的新结果，是 P ( Ai ) 的修正值。 2）凡是已知试验结果，要找某种原因发生的可能性，即 已知信息，问信息来自何方的问题，可用Bayes（逆概） 公式解决。 10 如，若 A1 , A2 , An 是病人可能患的 n 种不同疾病，在诊断 前，先检验与这些疾病有关的某些指标（如体温、血压、白 血球、转氨酶含量等），若检查结果病人的某些指标偏离正 常值了（即 B 发生了），从概率的角度考虑，若 P ( Ai / B ) 大，则病人患 Ai 病的可能也较大。 但要用Bayes 公式计算出 P ( Ai / B ) ，要把过去病史中 得到的先验概率 P ( Ai ) 值代入 （医学上称 P ( Ai ) 为 Ai 病人 的发病率）。 11 例6、已知一人群中，男性占 60％ 且其中的 5％ 是色盲患者， 女性占 40％ 且其中的 0.25％是 色盲患者。现从人群中任意 挑选一个人，问 1）此人是色盲患者的概率； 2）若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。 12 例7、癌症的早期诊断、治疗是提高疗效的关键。近年来， 甲胎蛋白免疫检测法（简称AFP法）被普遍应用于肝癌的普查 和诊断。设 A ：肝癌患者；B ：AFP 检验反应为阳性；且已知 AFP 检验方法的真阳性率为 P ( B | A)  0.94 ，假阳性率为 P ( B | A)  0.04 ，在人群中肝癌的发病率一般只有 P ( A)  0.0004；今有一人 AFP 检验结果为阳性， 现问该人患肝癌的可能性有多少？ 13 三、事件的独立性 如果成立 P ( B / A)  P ( B)， 即事件 A 发生与否不影响 事件 B 发生的概率， 则称事件A 与事件 B 相互独立， 且有 P( AB)  P ( A) P ( B) 事件的相互独立性可以推广到有限多个事件的情况： 设 A1 , A2 , An 是 n 个事件， 1）若对任意 k (1  k  n) ，任意 1  i1  i2   ik  n Aik )  P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ) 有 P ( Ai1 Ai2 则称事件 A1 , A2 , An 相互独立。 2）若对任意 1  i1  i2  n ， 有 P ( Ai1 Ai2 )  P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) 则称事件 A1 , A2 , An 两两相互独立。 14 注意： 1）事件 A1 , A2 , An 相互独立一定两两独立， 反之 两两独立不一定相互独立。 2）事件的独立性常常不是根据定义来判断，而是根据实 问题来判断。 3）事件 A1 , A2 , An 相互独立，则 n  n  P  Ai    P ( Ai )  i 1  i 1 n  n  P  Ai   1    1  P ( Ai )  i 1  i 1  4）若事件 A 与事件 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与B ， A 与 B 也相互独立。 5）互不相容（互斥）、互逆（对立）、相互独立的区别。 15 例8、甲、乙、丙各自向同一目标射击一次，已知它们的命中率 分别为 0.7，0.8 和 0.75，求目标被击中 2 次的概率。 例9、假定每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合 100个人的血清，求此混合血清含有肝炎病毒的概率。 16 四、重复独立实验 定义： 做 n 次的重复试验 E， 每次试验的结果相互独立， 称为重复独立试验 。 Bernoulli 试验： 重复试验 E 只有两个结果 A 和 A ， 为一个 Bernoulli 试验。 Bernoulli 概型： 一次 Bernoulli 试验或独立重复地进行若干次Bernoulli 试验的概率模型。 n 重 Bernoulli 概型： n 次 Bernoulli 试验中，事件 A 发生的概率为 p， 事件A 恰好发生 k 次的概率为 Pn ( k ) ，则 Pn (k )  Cnk pk (1  p)n k k  0, 1, ,n 17 显然，n 次试验中所有互不相容的结果（A 发生0 次，1 次， n  P (k )  1 2 次，… ，n 次）有 k 0 n Bernoulli 概型中重要事件的概率： 1）n 次 Bernoulli 试验中 A 恰好发生（出现）k 次， 则 Pn (k )  Cnk pk (1  p)n k 2）将 Bernoulli 试验独立重复进行下去，直到A首次出现为止。 记  k ：“ 首次 A 出现在第 k 次试验 ” 则 k  AA P (k )  (1  p) AA (1  p)  p  (1  p)k 1 p k  1, 2, 称为几何分布。 18 例10、节能灯使用寿命在6000 h 以上的0.8 ，求5 个节能灯在使 用6000 h 后，最多只有一个坏了的概率。 例11、对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病的 治愈率 p = 0.8 ，有10 个患此病的病人同时服用这种药， 求其中至少 6 个病人治愈的概率。 19 例12、某场比赛进行五局，并以五局三胜决定胜负。若已知甲方 在每一局中的胜率为0.6 ，问甲方在比赛中获胜的概率是多少？ 若采用三局两胜制，或九局五胜制，问甲方在比赛中获胜的概 概率是多少？你从此计算中会得出什么结论？ 例13、某人进行射击，每次中靶的概率为 p ，设各次射击中靶 与否彼此独立，用  表示首次中靶时射击的次数，试求 P (  n) 20