一、《函数与极限》数二考研真题.pdf
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ì ï 2 - x2 x < 0 ï (C) í . ï ï î 2- x x ³ 0 一元函数极限、连续（数二）考研真题 ì ï 2 + x2 x < 0 ï (D) í . ï ï î 2+ x x ³ 0 6、（98，3 分）设数列 xn 与 yn 满足 lim xn yn = 0 ，则下列断言正确的是（ n¥ 一、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内） ln(1 + x) - (ax + bx 2 ) = 2 ，则（ x0 x2 1、（94 年，3 分）设 lim 5 2 5 （C） a = 0, b = 2 （D） a = 1, b = -2 2 （C） f [j ( x)] 必有间断点 （D） j ( x) 必有间断点 f ( x) x 2 (D) tan x 2 ） （B）必要条件但非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件. 满足（ (C) - e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为（ x 在 (-¥, ¥) 内连续，且 lim f ( x) = 0, 则常数 a, b x-¥ a + ebx （B） a > 0, b > 0 . a £ 0, b > 0 (D) a ³ 0, b < 0 10、（01，3 分）设当 x 0 时， (1- cos x) ln(1 + x ) 是比 x sin x 的高阶无穷小，而 n 2 ） （D） 4 ì ìïï 2 - x, x £ 0 ï x2 , x < 0 ï 5、（97，3 分）设 g ( x) = í ， f ( x) í ，则 g[ f ( x)] 为（ ï ïïî x + 2, x > 0 ³ x , x 0 ï î ） ） (A) a < 0, b < 0 . a = -1, b = 1 （C） 3 ） （A）充分条件但非必要条件 9、 （00，3 分）设函数 f ( x) = (B) a = 1, b = 1 (A) xn - a £ 2e ”是数列 { xn } 收敛于 a 的（ 8、 (00,3 分)若 lim 3、（96，3 分）设当 x 0 时， e - (ax + bx + 1) 是比 x 高阶无穷小，则（ （B） 2 1 为无穷小，则 yn 必为无穷小 xn sin 6x +xf ( x) 6+f ( x) = 0 ，则 lim 为（ 3 x0 x0 x x2 （A） 0 （B） 6 （C） 36 （D） ¥ （A） j[ f ( x)] 必有间断点 （B） [j ( x)] 必有间断点 （A） 1 （D）若 7、（99，3 分）“对任意给定的 e Î (0,1) ，总存在正整数 N ，当 n > N 时，恒有 ） 4、（97，3 分）设 x 0 时， e （C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小 ） 2、 （95,3 分）设 f ( x) 和 j ( x) 在 (-¥, +¥) 上有定义， f ( x) 为连续函数，且 f ( x) ¹ 0 ，j ( x) 1 a = ,b =1 2 1 (C) a = - , b = -1 2 （B）若 xn 无界，则 yn 必有界 （B） a = 0, b = -2 （A） a = 1, b = - 有间断点，则（ （A）若 xn 发散，则 yn 必发散 ） 2 x sin x n 是比 e x -1 的高阶无穷小，则正整数 n 等于（ ） （A） 1 （B） 2 ì ï1, ï ï î0, 11、（01，3 分）设 f ( x) = ï í ìï2 + x 2 x < 0 ì ï 2 - x2 x < 0 ï ï (A) í . （B） í . ïïî 2 - x x ³ 0 ï + ³ 2 x x 0 ï î 第 1 页 共 4 页 （C） 3 x £1 x >1 ） （D） 4 ，则 f { f [ f ( x)]} 等于（ ） （A）0 ì ï1, （C） ï í ï ï î0, （B）1 ì0, ï （D） ï í ï ï î1, x £1 x >1 x £1 x >1 + 17、（07，4 分）当 x 0 时，与 12、 (02，3 分)设 y = y ( x) 是二阶线性常系数微分方程 y ¢¢ + py ¢ + qy = e 满足初始条件 3x y (0) = y ¢(0) = 0 的特解，则当 x 0 时，函数 （A）不存在 （B）等于 1 （C）等于 2 ln(1 + x 2 ) 的极限（ ） y ( x) n¥ B bn < cn , 对任意 n 成立 an cn 不存在 C 极限 nlim ¥ bn cn 不存在 D 极限 nlim ¥ n¥ （A） 0 2 ln 2 xdx 2 （B） 2 1 （C） 2 ò ln(1 + x)dx 15、 （04，4 分） 把 x 0 时的无穷小 a = ò x 0 的是（ cos t 2 dt , b = ò 0 x 2 tan tdt , g = ò x sin t 3 dt 0 ） 16、（05， 4 分）设函数 f ( x) = e x x-1 ln x sin x ，则 f ( x) 有（ x -1 ） （D）2 个无穷间断点 ） （A）若 {xn } 收敛，则 { f ( xn )} 收敛 （B）若 {xn } 单调，则 { f ( xn )} 收敛 （C）若 { f ( xn )} 收敛，则 {xn } 收敛（D）若 { f ( xn )} 单调，则 {xn } 收敛 （B） a, g , b （C） b , a, g （D） b , g , a 1 p 2 20、 (08，4 分)设函数 f ( x) 在 (-¥, +¥) 内单调有界， {xn } 为数列，下列命题正确 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ （A） a, b , g （D） 2 1 + p 2 （C）2 个跳跃间断点 ò ln xdx ò ln (1+ x)dx （D） 1 （C） - 在 [-p, p ] 上的第一类间断点是 x = （ ） （A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 （B）1 个可去间断点，1 个无穷间断点 2 2 （B） 1 æ 1 ö x çççe x - e÷÷÷ çè ø÷ 2 1 2 1+ x 1- x æ 1 ö ççe x + e÷÷ tan x ÷÷ ççè ø 19、（08， 4 分）设函数 f ( x) = æ 1ö æ 2ö æ nö 14、(04，4 分) lim ln n çç1 + ÷÷ çç1 + ÷÷ çç1 + ÷÷ 等于（ ） çè n ø÷ èç n ø÷ çè n ÷ø n¥ ò 18、（07，4 分）函数 f ( x ) = ） A an < bn , 对任意 n 成立 2 （B） ln （D）等于 3 n¥ （A） x （C） 1 + x -1 （D） 1- cos x 13、（03， 4 分）设 {an } , {bn } , {cn } 均为非负数列，且 lim an = 0, lim bn = 1, lim cn = ¥ ， 则必有（ （A） 1- e x 等价的无穷小量是（ ） 21、 （09，4 分）当 x 0 时， f ( x) = x - sin ax 与 g ( x) = x ln(1- bx) 是等价无穷小， 2 ，则（ ） 则（ -1 ） 1 1 （B） a = 1, b = 6 6 1 1 （C） a = -1, b = - （D） a = -1, b = 6 6 （A） a = 1, b = - （A） x = 0, x = 1 都是 f ( x) 的第一类间断点 （B）） x = 0, x = 1 都是 f ( x) 的第二类间断点 （C） x = 0 是 f ( x) 的第一类间断点， x = 1 是 f ( x) 的第二类间断点 x - x3 22、（09，4 分）函数 f ( x) = 的可去间断点的个数为（ sin p x （D） x = 0 是 f ( x) 的第二类间断点， x = 1 是 f ( x) 的第一类间断点 第 2 页 共 4 页 ） arctan x - x = x0 ln(1 + 2 x 3 ) （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 无穷多个 4、（00，3 分） lim 1 x2 - x 23、（10，4 分）函数 f ( x) = 2 1 + 2 的无穷间断点的个数为（ x -1 x ） 5、（01，3 分） lim x1 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 n ìï 1- e tan x ïï , x>0 ïï x 6、（02，3 分）设 f ( x) = í arcsin 在 x = 0 处连续，则 a = ïï 2 ïï 2 x x£0 ïîae , n n =（ ） å å 2 2 n¥ n i ) ( )( + n + j i =1 j =1 24、 (10，4 分) lim （A） 1 dy 2 0 (1 + x )(1 + y ) 1 ò dx ò 0 （C） 1 1 dy 0 (1 + x )(1 + y ) ò dx ò 0 x 1 （B） 1 dy 0 (1 + x )(1 + y ) 1 ò dx ò 0 （D） 1 0 x 1 æç p 2p np ö + + 1 + cos ÷÷÷ = çç 1 + cos + 1 + cos n¥ n ç n n n ÷ø è 7、（02，3 分） lim 1 dy 2 0 (1 + x )(1 + y ) ò dx ò 1 25、 （11，4 分）已知当 x 0 时，函数 f ( x) = 3sin x - sin 3 x 与 cx 是等价无穷小，则（ k (A) k = 1, c = 4 (D) ） （C） f (0) 1 4 ) -1 与 x sin x 是等价无穷小，则 a = (n -1) x ，则 f ( x) 的间断点为 x = n¥ nx 2 + 1 k = 3, c = -4 （B） f (0) 2 9、（04，4 分）设 f ( x ) = lim 10、（05，4 分）当 x 0 时， a ( x) = kx 与 b ( x) = 1 + x arcsin x - cos x 是等价 2 x 2 f ( x) - 2 f ( x3 ) 26、 （11，4 分）设函数 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim =（ ） x0 x3 （A） 2 f (0) ( 8、（03，4 分）若 x 0 时， 1- ax (B) k = 1, c = -4 (C) k = 3, c = 4 3- x - 1+ x = x2 + x - 2 （D） 0 无穷小，则 k = ìï 1 x ïï 3 ò sin t 2 dt , x ¹ 0 11、（06，4 分）设函数 f ( x) = í x 0 在 x = 0 处连续，则 a = ïï x=0 ïî a, arctan x - sin x = x0 x3 12、（07，4 分） lim 二、填空题 13、（08，4 分）已知函数 f ( x) 连续，且 lim æ 1 2 n ÷ö÷ = 1、（95，3 分） lim çç 2 + 2 + + 2 n¥ ç è n + n +1 n + n + 2 n + n + n ø÷ x0 14、（09，4 分） lim ìï(cos x) x , x ¹ 0 在 x = 0 处连续，则 a = ïï a, x 0 = î 2、（97，3 分）已知 f ( x) = ï í 3、（98，3 分） lim x0 n¥ -2 1 ò e sin nxdx = -x 0 1 æ1 + 2 x ÷ö x ÷÷ = 15、（11，4 分） lim çç x 0 ç è 2 ÷ø 1 + x + 1- x - 2 = x2 第 3 页 共 4 页 1- cos[ xf ( x)] ( 2 ) e x -1 f ( x ) = 1 ，则 f (0) = [sin x - sin(sin x)]sin x x0 x4 (1- cos x)[ x - ln(1 + tan x)] 11、（09，9 分）求极限 lim x0 sin 4 x 10、（08，9 分）求极限 lim 三、计算 æ p 2 ö÷ + çè 4 n ø÷÷ 1、（94， 5 分）计算 lim tan çç n n¥ x 4 x 2 + x -1 + x + 1 2、（97， 5 分）求 lim x -¥ x + sin x 2 3、（98， 5 分）求函数 f ( x) = (1 + x ) x p tan( x- ) 4 ln(1 + t )dt ò 12、 （11，10 分）已知函数 F ( x) = ，设 lim F ( x) = lim F ( x) = 0 ， 2 0 xa . x +¥ x0+ 试求 a 的取值范围 四、证明 在区间 (0, 2p ) 内的间断点，并判断其类型 1 、（ 99 ， 7 分 ） 设 f ( x) 是 区 间 [0, +¥) 上 单 调 减 少 且 非 负 的 连 续 函 数 ， 4、（99， 5 分）求 lim x 0 1 + tan x - 1 + sin x x ln(1 + x) - x 2 æ sin t ö÷ ÷ t x ç è sin x ø÷ 5、（01， 7 分）求 lim çç x sin t -sin x n n an = å f (k ) - ò f ( x)dx (n = 1, 2,) ，证明数列 {an } 的极限存在 k =1 ，记此极限为 f ( x) ，求 f ( x) 的间断点并判断其类型 1 2、 （02，8 分）设 0 < x1 < 3, xn+1 = xn (3 - xn ) (n = 1, 2,) ，证明数列 {xn } 的极限 存在，并求此极限 6、（02，7 分）已知函数 f ( x) 在 (0, +¥) 内可导， f ( x) 0, lim f ( x) 1 ，且 x 3 、（ 02 ， 8 分 ） 设 函 数 f ( x) 在 x = 0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 1 h 1 é f ( x + hx) ù ú = e x ，求 f ( x) 满足 lim ê h 0 ê ë f ( x) úû f (0) 0, f (0) 0, f (0) 0 ，证明：存在唯一的一组实数 l1 , l2 , l3 ，使得当 ìï ïï ïï ln(1 + ax 3 ) x<0 ïï x arcsin x ïï 7、（03，10 分）设函数 f ( x ) = í 6 x = 0 ，问 a 为何值， f ( x) 在 x = 0 ïï ïï e ax + x 2 - ax -1 x>0 ïï x ïï x sin ïïî 4 处连续； a 为何值， x = 0 是 f ( x) 的可去间断点？ h 0 时， l1 f (h) + l2 f (2h) + l3 f (3h) - f (0) 是比 h 2 高阶的无穷小 4、 （06，12 分）设数列 {xn } 满足 0 < x1 < p, xn+1 = sin xn ( n = 1, 2,) ， （1）证明 lim xn n¥ 1 æ xn+1 ÷ö xn2 ÷ 存在，并求此极限（2）计算 lim çç n¥ ç x ÷ ÷ø è n 5、（11，10 分） （1）证明：对任意的正整数 n ，都有 x ù 1 éêæç 2 + cos x ÷ö ú 8、（04，10 分）求极限 lim 3 êç 1 ÷÷ ú x0 x ç è ø 3 ëê ûú 1 1 1 < ln(1 + ) < n +1 n n 1 1 1 （2）设 an = 1 + + + - ln n (n = 1, 2,) ，证明:数列 {an } 收敛 n 2 3 9、（06，10 分）试确定常数 A, B, C 的值，使得 e (1 + Bx + cx ) = 1 + Ax + o( x ) ，其中 x 2 3 o( x 3 ) 是当 x 0 时比 x 3 高阶的无穷小 第 4 页 共 4 页