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§3 二阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 2 d y dy 一般形式:  p( x )  q( x ) y  f ( x ) 2 dx dx 当 f (x) = 0 时, 二阶齐次线性微分方程; 当 f (x) ≠ 0 时, 二阶非齐次线性微分方程。 n 阶线性微分方程 y ( n)  p1 ( x ) y ( n1)   pn1 ( x ) y  pn ( x ) y  f ( x ) 1 二阶线性微分方程解的结构: 1、二阶齐次线性微分方程解的结构: y  p( x ) y  q( x ) y  0 定理1: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 是二阶齐次线性微分方程的解， 则它们的线性组合  y1 ( x )   y2 ( x ) 也是该二阶齐次线性微分方程的解。  问题: y   y1 ( x )   y2 ( x ) 、为常数， 是否一定是通解? 2 定理2: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 是 y  p( x ) y  q( x ) y  0 在 I 上的两个线性无关的解， 则: y  C1 y1 ( x )  C2 y2 ( x ) C1、C2 为常数 是该二阶齐次线性微分方程的通解。 如 y  y  0 , y1  cos x y2  tan x  常数 y1  GS . y2  sin x y  C1 cos x  C2 sin x 3 2、二阶非齐次线性微分方程解的结构: y 定理: 非齐次线性微分方程的通解等于 该方程的一个特解加上相应的齐 y 次线性微分方程的通解 y 2 d y dy 证明: 设  p( x )  q( x ) y  f ( x ) 2 dx dx y  y  y 2 d y dy  p( x )  q( x ) y  0 2 dx dx 2   d y dy   p( x )  q( x ) y  f ( x ) 2 dx dx 4 两式相加得 d 2 ( y  y ) d ( y  y )   p ( x )  q ( x )( y  y )  f ( x) 2 dx dx   y  y 为非齐次线性微分方程的解， 又 y 是相应齐次线性微分方程的通解， 包含两个任意常数，   y  y 中也包含两个任意常数，   y  y 为非齐次线性微分方程的通解。 5 解的叠加原理: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程 2 d y dy  p( x )  q( x ) y  f1 ( x ) 2 dx dx 的解, 2 d y dy  p( x )  q( x ) y  f 2 ( x ) 2 dx dx 则 y1 ( x )  y2 ( x ) 是线性微分方程 2 d y dy  p( x )  q( x ) y  f1 ( x )  f2 ( x ) 的解。 2 dx dx 6 二、二阶常系数齐次线性微分方程 定义: n 阶常系数线性微分方程的标准形式 y( n)  p1 y( n1)   pn1 y  pn y  f ( x ) p1 , p2 , , pn 为常数。 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y  py  qy  0 p, q 为常数； 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y  py  qy  f ( x ) p, q 为常数。 7 二阶常系数齐次线性微分方程解法 -----特征方程法 y  py  qy  0 设 ye x , 将其代入上方程, 得 (  p  q)e 2 x 0, e x 0,    p  q  0 2 为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。 特征方程法与原微分方程比较： 8 1) 若  2  p  q  0 有两个不同的实根， 记为 1 & 2 , ∴原微分方程的两个特解: y1 ( x )  e 1 x , y2 ( x )  e 2 x , y1 ( x ) 1  2 ,  e ( 1 2 ) x  常数 y2 ( x ) 则原微分方程的通解: y  C1e 1 x  C2 e 2 x . 9 2) 若  2  p  q  0 有两个相同的实根， p 记为 1  2     , 2 x 得到一个特解 y1 ( x )  e , 须找一个与 y1 (x) 线性无关的特解, 设为 y2 (x) , y1 ( x ) x  即 常数, 设 y2 ( x )  u( x )e , y2 ( x ) 代入原微分方程 y  py  qy  0 , 并简化 2 x   [u ( x )  (2  p)u ( x )  (  p  q)u( x )]e  0  u  0 , 取 u( x )  x ,  y2 ( x )  xe  x , 则原微分方程的通解: y  (C1  C2 x )e  x . 10 3) 若  2  p  q  0 有一对共轭复根    i , 即 1     i , 2     i , ∴原微分方程的两个特解: y1 ( x )  e 1 x e (   i ) x , y2 ( x )  e 2 x e (   i ) x , 显然 y1 (x)与 y2 (x) 线性无关, 通解为: y  C1e (  i ) x  C2e (  i ) x , 复数形式，涉及复数运算， 重新组合，变为实数形式。 由解的线性性得： 11 1  x  xi 1 (   i ) x   xi (   i ) x  [ e ( e  e )] [e e ] 2 2 1 x  {e [cos  x  i sin  x  cos(   x )  i sin(   x )] 2 x  e cos  x 也是原微分方程的特解； 1 (   i ) x 同理 [e  e (   i ) x ] 2i 1 x  {e [cos  x  i sin  x  cos(   x )  i sin(   x )] 2i  e x sin  x 也是原微分方程的特解； x x e cos  x e sin  x  常数， 且 则原微分方程的通解: y  e x (C1 cos  x  C2 sin  x ) 12 特征方程法 由常系数齐次线性微分方程的 特征方程的根确定其通解的方法。 d2y dy  5  6 y  0 通解。 例1、求 2 dx dx 例2、求 y  6 y  9 y  0 通解。 例3、求 y  4 y  0 满足 y(0)  0 y(0)  1 特解。 13 n 阶常系数齐次线性微分方程解法 标准形式 y ( n)  p1 y ( n1)   pn1 y  pn y  0 p1 , p2 , , pn 为常数, 其特征方程为   p1 n n1   pn1  pn  0 它在复数范围内恰 n 有个根。 同样有: 14 1) 若  是实的单重根， 则e x 是微分方程的解； 2) 若  是实的 k 重根， 则 e x , xe x , x 2e x , , x k 1e x 是微分方程的 k 个线性无关的解； 3) 若    i 是单重共轭复根， 则e x x e sin  x 是微分方程的解。 cos  x 和 15 4) 若   i 是 k 重共轭复根， 则 e x cos  x , x … xe cos  x , e x sin  x , x xe sin  x , x k 1e x cos  x , x k 1e x sin  x ,    是微分方程的 2k 个线性无关的解， ∴ n 阶常系数齐次线性微分方程的通解 y( x )  C1 y1 ( x )  C2 y2 ( x )   Cn yn ( x ) 16 (5) (4) ( 3) y  y  2 y  2 y  y  y  0 通解。 例4、求 2   思考题: 求 yy   y   y ln y 通解。 2 17 三、二阶常系数非齐次线性微分方程 标准形式 y  py  qy  f ( x ) 由解的结构定理 非齐次的通解 非齐次的特解 y  y  y 齐次的通解 常数变易法求特解 18 2 d y dy 1 x 例5、求 通解。  2  y  e 2 dx dx x 由于非齐次的一个特解与非齐次线性微分方程中 的 f (x) 的形式有着重要的关系，如多项式、指数函数， 正弦及余弦函数求若干次导数后不改变函数的形式。 19 二阶常系数非齐次线性微分方程 y  py  qy  f ( x ) 1、 f ( x )  un ( x )e x 型 对应齐次方程: 通解结构: 常见类型: y  py  qy  0  y y y un ( x ) 特征根? un ( x )e  x n次多项式 方法: 待定系数法 20  设非齐方程特解为 y  v ( x )e x , 代入原方程得  2    v ( x )  (2  p)v ( x )  (  p  q)v( x )  un ( x ) 1) 若  不是特征方程的根，即  2  p   q  0 , v (x) 必是 n 次多项式， 记 v( x )  vn ( x ) ,  可设 y  vn ( x )e x ; 2) 若  是特征方程的单根，  即  2  p   q  0 , 但 2   p  0 , v( x ) 必是 n 次多项式，记 v( x )  xvn ( x ) ,  x 可设 y  xvn ( x )e ; 21 v( x )  (2   p)v( x )  ( 2  p   q)v( x )  un ( x ) 3) 若  是特征方程的二重根，  即 2  p  q  0 , 且 2  p  0 ,   v( x ) 必是 n 次多项式，记 v( x )  x 2vn ( x ) ,  可设 y  x vn ( x )e 2 x ; 综上讨论: y  py  qy  f ( x ) ,  可设 y  x vn ( x )e m n次多项式 x f ( x )  un ( x )e x ,  0  不是根  m   1  是单根  2  是重根  代入原方程用待定系数法求得特解。 22 3    例6、求 y  5 y  6 y  x  2 x  1 通解。 例7、求 y  2 y  3 y  (3  4 x )e x 通解。 23 x x 2、f ( x )  un ( x )e cos  x or un ( x )e sin  x 型 (   0) n 次多项式 设非齐方程特解为 y  x e [vn ( x )cos  x  vn ( x )sin  x]  m x 1) 若    i 不是特征方程的根时， m  0 , 2) 若    i 是特征方程的单根时， m  1 . 24 例8、求 y  y  x sin 3 x 通解。 求 y  y  x sin 3 x  2cos x 通解。 25 例9、设函数  ( x ) 连续，且满足  ( x )  e   t ( t )dt  x   ( t )dt , 求  ( x ) . x x x 0 0 x 3 x6 x 3n     例10、验证函数 y( x )  1  3! 6! (3n)! 满足微分方程 y  y  y  e x x  ( ,  ) 3n  x 利用此结果求  的和函数。 n 0 (3n)! 26