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§6 线性方程组 解线性方程组常用的三个方法： 1）Crammer 法则； 2）消元法； 3）利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的情况。 秩是求解线性方程组的核心概念！ 2011/9/3 1 一、利用矩阵的秩讨论线性方程组 设线性方程组  a11 x1  a12 x2  a x  a x   21 1 22 2    an1 x1  an 2 x2   a1m xm  b1  a2 m xm  b2  anm xm  bn 即： Anm X m1  Bn1 我们已介绍过消元法解线性方程组实质是， 用行初等变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形 矩阵，因为行等价的矩阵对应的线性方程组是 同解的线性方程组。 2011/9/3 2 阶梯矩阵为：  c11 c12   0    0  0   0    0 c22 c1r c2 r c1m c2 m 0 0 0 crr 0 0 crm 0 0 0 0 d1   d2    dr  d r 1   0    0  1）若 d r 1  0 , 意味着 r ( A)  r ( A) 则方程组无解； 2011/9/3 3 2）若 d r 1  0 , 且 r ( A)  m . 即 r ( A)  r ( A)  m A 若干初等行变换 方程组未知个数 阶梯形矩阵  1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0  0 再经有限次的  初等行变换  0 0   则方程组有唯一解 0   x  d 1 x  2    xm 2011/9/3 1  d 2  d m  x1   d1  写成矩阵形式  x2   d 2            x m   d m  d1    d2    d m  0    0  4 3）若 d r 1  0 , 且 r ( A)  m . 即 r ( A)  r ( A)  m 方程组未知个数 A 1  0 经有限次的  初等行变换  0 0   0  1 0 c1r 1 0 c2 r 1 c1m c2 m 0 1 crr 1  crm 0 0 0 d1   d 2    d m  0    0  有r 个独立未知量，r 个独立方程， m-r 个自由未知量。 则此方程组有无穷多组解。 2011/9/3 5 对应的线性方程组  x1       x2  xr  c1r 1 xr 1 c2 r 1 xr 1    c1m xm  c2 m xm  d1  d 2 crr 1 xr 1    xm crm  d r   c1m xm  c2 m xm  d1  d 2   xm  crm  d r 移项后得： x1   c1r 1 xr 1   x   c x  2 2 r 1 r 1    xr   crr 1 xr 1 自由未知量的个数 m-r (A) 个 若令 xr 1  k1 , xr  2  k2 , 2011/9/3 , xm  km  r 6 得：  x1   x   2    xr    xr  1   xr  2    x   m k1 , k2 , 2011/9/3  c1r 1k1  c2 r 1k1    c1m km  r  c2 m km  r  d1  d 2  crr 1 k1   km  r  crm  d r k1 k2 km  r , km  r 为任意常数。 7 定理： 对一般的m 元非齐次线性方程组 Anm X m1  Bn1 1）当 r ( A)  r ( A) 时， 方程组无解； 2）当 r ( A)  r ( A)  m（未知量个数）时， 方程组有唯一解； 3）当 r ( A)  r ( A)  m（未知量个数）时， 方程组有无穷多组解。 2011/9/3 8 相应的齐次线性方程组 即： Anm X m1  0 总是有解的， x1  x2   a11 x1  a12 x2  a x  a x   21 1 22 2    an1 x1  an 2 x2   a1m xm  0  a2 m xm  0  anm xm  0  xm  0 ( X  0 ) 所以，齐次线性方程组只有两种情况 1）当 r ( A)  r  m（未知量个数）时， 方程组有唯一零解； 2）当 r ( A)  r  m（未知量个数）时， 方程组有无穷多组非零解。 此时，齐次线性方程组有r 个独立未知量， r 个独立方程，m-r 个自由未知量。 2011/9/3 9 定理： 对一般的m 元齐次线性方程组 Anm X m1  0 方程组有非零解  r ( A)  r  m （未知量个数） 方程组只有零解  r ( A)  r  m （未知量个数） 推论1 如果齐次线性方程组 AX = 0 的方程个数n < m 未知量个数 则方程组必有非零解。 推论2 n个方程n 个未知量的齐次线性方程组 有非零解  A  0 , 只有零解  A  0 . 2011/9/3 10 二、线性方程组解的结构 （一）先讨论齐次线性方程组 AX  0 的解具有以下性质： 性质1 如果 x (1) , x (2)  Rm 是AX = 0 的两个解向量， (1) (2) x  x 则 也是AX = 0 的解。 ( j) m x  R 性质2 如果 是AX = 0 解向量， 是数， 则  x 也是 AX = 0 的解。 ( j) 齐次线性方程组的解的两个性质说明： 如果 x (1) , x (2) , , x ( p )  Rm 是AX = 0 的解 向量，则它们的线性组合1 x(1)  2 x(2)    p x( p ) 仍是 AX = 0 的解向量。1 , 2011/9/3 , p  R 11 定义 若向量组  x ( j)  p j 1 满足 ( j) x 1）每个向量 都是 AX = 0的解， 2）向量组中所有向量线性无关， 3）AX = 0 的任意一个解都能够用 x ( j)  线性表示 p j 1   为该齐次线性方程组AX = 0 的一个 基础解系，称   x （  是任意常数）为 则称 x ( j) p j 1 p ( j) j 1 j j 该齐次线性方程组 AX = 0 的通解。 2011/9/3 12 定理1 设 A  Rnm r ( A)  r  m 未知量个数 那么齐次线性方程组AX = 0 的每个基础解系中 (1) (2) x , x , 恰有m-r 个解 , x (mr ) ， 而且该方程组的任意一个解x 都可以表示为 p x  j x ( j) j ( j  1 , , m  r ) 为常数。 j 1 证： AX  0 r ( A)  r  m 则方程组必有非零解， 对系数矩阵A 施以有限次初等行变换化成 标准形矩阵 2011/9/3 13 1  0   0 0   0  0 0 b11 b1m  r 1 0 b21 b2 m  r 0 1 br 1 brm  r 0 0 0 0       Ir B       0 0  标准形    其同解的线性方程组为  x1       x2  其中 xr 1 , x r 1 2011/9/3 b11 xr 1 b21 xr 1    b1m  r xm  b2 m  r xm  0  0 xr  br 1 xr 1    0 brm  r xm , xm 是m-r 个自由未知量，取  k1 , xr  2  k2 , , xm  km  r 得： 14  x1   x   2    xr    xr  1   xr  2    x   m  b11 k1  b21k1    b1m  r km  r  b2 m  r km  r  br 1k1   brm  r km  r (k1 , , km  r  R ) k1 k2 km  r  x1    b11    b12  写成向量       x     的形式：  2      br 1    br 2        x  r   k1  1   k2  0    xr 1   0   1              2011/9/3  x   0   0   m        b1m  r        brm  r     km  r  0   0       1    15   b1m  r     B       brm  r   I m  r    (mr ) 的 x  0  列  0  向   量    1     x1    b11    b12  即  x       2          br 1    br 2    (1)   ( 2)   X   xr  x   1  x   0   xr 1   0   1               x   0   0   m      所以，齐次线性方程组的通解为： x  1 x (1)  2 x (2)   m  r x ( mr ) (1 , , m  r  R) , x ( m  r ) 就是AX=0 的一个基础解系。 x (1) , x (2) , mr 其解 x    j x ( j ) j 1 满 足 定 义 的 三 条 件 是AX=0 的通解，包含了其全部解。 2011/9/3 16 例1、求齐次线性方程组一个基础解系，并求其通解。  x1 x  1   4 x1  2 x1 2011/9/3  x2  x2 2 x 2 4 x 2 2 x 3 3 x4  x4  x5  x5 0 0 6 x 3 2 x 3 5 x4 4 x4  x5 16 x5 0 0 17 求齐次线性方程组 An×mXm×1=0 的通解的方法： 10 先求解基础解系，在求其通解（一般解） ① 对方程组系数矩阵A 作初等行变换化为标准形矩阵  Ir  0 B  必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换  0 当 r < m 时，方程组有非零解； 当 r = m 时，方程组只有零解。 ②由标准形矩阵求出齐次线性方程组的一个基础解系  B  即  的列向量；  Imr  ③按齐次线性方程组解的结构写出其通解： mr x   j x 2011/9/3 j 1 ( j) 18 20 先求一般解，再从中找出基础解系， ①对方程组系数矩阵A 作初等行变换化为标准形矩阵  Ir  0 B  必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换 0 当 r < m 时，方程组有非零解； 当 r = m 时，方程组只有零解。 ②由标准形矩阵直接写出方程组一般解（向量形式） ③从中找出其基础解系，写出其通解。 2011/9/3 19 （二）非齐次线性方程组 AX = B 的解具有以下性质： (1) (2) 性质3 如果 x , x 是 AX = B 的两个解， (1) ( 2) 则 x  x 是其对应齐次线性方程组AX = 0 的解 * 性质4 如果 x 是AX = B 的解，x ( j ) 对应AX = 0 的解， 则x ( j)  x 仍是AX = B 的解。 * * x 由性质3可知：如果 是AX = B 的解， 则当r < m 任一解x 总可表示为 * * * ( j) x  x  (x  x )  x  x ( j) 再由性质4可知：当 x 取遍其AX = 0 的全部解 * ( j) （即通解）时， x  x  x 也就取遍了AX = B 的全部解（即通解）. 2011/9/3 20 定理2 设 x0 是AX = B 的一个解（特解） 当 r ( A)  r ( A)  r  m 对 AX = B 有无穷多组解，对AX = 0 有非零解， x (1) ,x (2) , ,x ( mr ) 是相应AX = 0 的一个基础解系 (1) (2) x   x   x  则 1 2 mr   j x j 1 ( j)  m  r x ( m  r )  x0  x0 是 AX = B 的通解。 由定理2 及求齐次线性方程组的基础进解系和 通解的方法，可得到求 AnmXm1=B 的通解方法： 2011/9/3 21 10 ① 对方程组的 A 作初等行变换化为标准形矩阵  Ir  0 B b  必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换 0 * ②由标准形矩阵求出方程组的特解 x0 及对应齐次线性 方程组的基础解系x ( j ) ； 具体如下： ⅰ）如果标准形矩阵中＊的元素不全为零， 那么AX=B 无解  B  ⅱ）如果标准形矩阵中＊的元素全为零，那么 I   mr  列向量为对应AX = 0 的基础解系，  b  注：若有列交换时，相应的 AX=B 的特解 x0    分量位置也要相应的交换。  0m  r  mr ③按AX = B 解的结构写出其通解： x  x0    j x ( j ) 2011/9/3 j 1 22 20 ① 对方程组的 A 作初等行变换化为标准形矩阵  Ir  0 B b  0 * 必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换 ⅰ）如果标准形矩阵中＊的元素不全为零， 那么AX=B 无解 ⅱ）如果标准形矩阵中＊的元素全为零， ② 由标准形矩阵可直接写出对应的齐次线性方程组 的一般解（向量形式），从中找出其基础解系； ③ 由标准形矩阵求出特解，从而得其通解。 2011/9/3 23 例2、求非齐次线性方程组一个基础解系，并求其 通解。（两种方法）  x1   x1 x  1 2011/9/3  x2  x2  x3  x3  x4 3 x4 0 1  x2 2 x3 3 x4  1 2 24 例3、讨论非齐次线性方程组解的情况（λ≠0 ）   x1  x  1   x1  x1  x2   x2  x3  x3  x4  x4    x2  x2   x3  x3  x4   x4   对含参数的线性方程组解讨论，可分情形处理： 1）方程个数等于未知量个数时，有两种求解方法： 解法一 解法二 2）方程个数不等于未知量个数，或系数矩阵A 不含参 数，而常数项含参数，一般只能用初等行变换。 2011/9/3 25