常微分方程的概念.pdf

第十章 常微分方程 1 常微分方程是数学的一个重要分支， 以微积分为理论基础，运用相当广泛。 如：医学工程学、理论流行病学、生物统计学。 2 §1 常微分方程的概念 一、问题的提出 细胞的生长: 假定一个细胞的质量是 m ,在一个理想的环境 中生长，它的质量是时间 t 的函数 m = m(t) ， 当 t = 0 时，m = m0 , 且细胞的生长速度与质量成 dm 正比, 即  am , a 为确定的常数。 dt 上式是一个既含未知函数 m(t) ，又含未知函数导 dm 数 的方程。 dt 3 用积分的方法求解: dm  adt dm  m   ln m  at  C   adt m    m(0)  m0 任意常数 at C   m( t )  Ce at me 当 t = 0 时， m(0)  m0 ,  m0  C ,  m( t )  m0e at 4 二、基本概念 微分方程: 既含有未知函数,又含未知函数导数、 微分或偏导数的方程。 常微分方程: 微分方程中的未知函数只是一个 自变量的函数的方程。 阶: 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数。 如: y  xy , y  2 y  3 y  e x , z 2  x y. ( t  x )dt  xdx  0 , x 5 微分方程的解： 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数。 微分方程的通解： 微分方程的解中含有任意的相互独立的常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。 即：一阶微分方程的通解中含一个任意常数，m( t )  Ce 二阶微分方程的通解中含二个任意常数，  n 阶微分方程的通解中含 n个任意常数。 6 at 微分方程的特解： 微分方程的不包含任意常数的解。 奇解：不在通解中的解。 初始条件：用来确定任意常数的条件。 n 阶常微分方程的一般形式： F ( x, y, y, , y( n) )  0 如果一个函数 y   ( x ) 在区间(a, b)上 n 阶可导， 且满足 F ( x,  ( x ),  ( x ), ,  ( n) ( x ))  0 , 那么，称 y   ( x ) 是该方程在区间 (a, b)上的解。 积分曲线 --解的图形 7 n 阶线性常微分方程: a0 ( x ) y ( n)  a1 ( x ) y ( n1) 其中 a0 ( x ), a1 ( x ),   an1 ( x ) y  an ( x ) y  f ( x ) , an ( x ) 为已知函数， 当 f (x) = 0 时, 称该方程为 齐次线性微分方程， 否则称为 非齐次线性微分方程。 当 a0 ( x ), a1 ( x ), , an ( x ) 为常数 a0 , a1 , 则称 a0 y ( n)  a1 y ( n1)  , an ,  an1 y  an y  f ( x ) n 阶常系数线性微分方程。 8 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题。  y  f ( x , y) 一阶:   y x  x0  y0 过定点的积分曲线；   y  f ( x , y, y) 二阶:    y  y y  y 0 0 x  x x  x   0 0 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。 9