凹凸和拐点.pdf

数学是科学的女王 数学教研室 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函 数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地 反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。 y B L1 如右图所示L1 ，L2 ，L3 L2 虽然都是从A点单调上升 L3 到B点，但它们的弯曲方 向却不一样。 A o x L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有凹 弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。 一、曲线凹凸的定义 y 问题:如何研究曲线的弯曲方向? o y o x y x1 x2 x o x1 x2 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 x 定义 二、曲线凹凸的判定 y B y B A A o a 定理1 b x o a b x 证明 ( 2)x1 , x2  (a , b), x1  x2 x1  x2 记 x0  , h  x0  x1  x2  x0 2 对f ( x )在[ x1 , x0 ],[ x0 , x2 ]上 分别应用L—定理，得 f ( x0 )  f ( x1 )  f (1 )h ( x1  1  x0 ) f ( x2 )  f ( x0 )  f ( 2 )h ( x0   2  x2 ) 两式相减，得 2 f ( x0 )  [ f ( x1 )  f ( x2 )]  [ f (1 )  f ( 2 )]h 由假设 f ( x )  0  f ( x )在[a , b]内单调减 由1   2  f (1 )  f ( 2 )  0  2 f ( x0 )  [ f ( x1 )  f ( x2 )]  0  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) 即 f  2  2  这就证明了 f ( x )在(a , b)内是上凸的 同理可证（1） 注 定理的结论可推广到任意区间上 例1 2  解  y  3 x , y  6x , 当x  0时， y  0, 曲线 在(,0]为凸的； 当x  0时， y  0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点. 三、曲线的拐点及其求法 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证  f ( x ) 二阶可导,  f ( x ) 存在且连续, 又  ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x )  [ f ( x )]在x0两边变号,  f ( x )在x0取得极值, 由可导函数取得极值的条件,  f ( x )  0. 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 )  0, (1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点. 例2 解  D : ( ,) 2 y  36 x( x  ). y  12 x  12 x , 3 2 令y  0, 得 x1  0, x2  . 3 3 2 x (,0) 0 f ( x )  0 f ( x) 凹的 拐点 (0, 2 ) 3  凸的 2 3 0 拐点 ( 2 ,) 3  凹的 凹凸区间为 ( ,0], [0, 2 ], 3 [ 2 ,). 3 四、作业：求单调区间和极值、凹 凸区间和拐点。 (1) y  x  ln(1  x) x  2x  2 (2) y  x 1 2 2x 1 (3) y  2 ( x  1) (4) y  ( x  1) x 2 3