2021年硕士研究生应用数学与信息技术测试样题.pdf

ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ È ÊÈÁÅÐÍÅÒÈÊÈ ÌÃÓ-ÏÏÈ ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÑÒÓÏÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÇÀÄÀÍÈß Â ÌÀÃÈÑÒÐÀÒÓÐÓ 1. Íàéäèòå îáëàñòü ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà +∞ X 1 3n − 1 n=1  1−x 1 + 2x n . Äàíà Ñè-ôóíêöèÿ equation(). Åñëè îíà ñîäåðæèò îøèáêó, îáîñíóéòå ýòî â êà÷åñòâå îòâåòà. Åñëè âîçìîæíî ïðèâåñòè êîä ôóíêöèé f() è g(), ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ equation() âñåãäà âîçâðàùàåò çíà÷åíèå TRUE, íàïèøèòå êîä ýòèõ ôóíêöèé. Èíà÷å îáîñíóéòå, ÷òî õîòÿ áû äëÿ îäíîé èç ôóíêöèé f() è g() ýòî ñäåëàòü íåëüçÿ. 2. #include int f(void); int g(const int *, int); int equation(void) { int a[1024] = {0}; int i; if (scanf(%d, &i) == 1 && 10 <= i && i < 100) { a[i] = 2021; return a[g(&a[10], 90)] == 2021; } return f() == 1 - f(); } c ÂÌÊ ÌÃÓ-ÏÏÈ, 2020. 3. Áàçèñîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L1 ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû ḡ1(2, 3, 2) è ḡ2(1, 1, 3), à áàçèñîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L2  âåêòîðû f¯1 (1, 1, 1) è f¯2 (2, 1, 4). Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (3, 4, −1) äî ïåðåñå÷åíèÿ ïðîñòðàíñòâ L1 è L2 . 4. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ   1 (2y − 3x)2 y 0 = (6y − 9x) y + , 3x óäîâëåòâîðÿþùèå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ y(−2) = −3. Íàéäèòå, óêàçàâ â îòâåòå ýòî ÷èñëî, ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî íàáîðîâ 127-ìåðíîãî áóëåâà êóáà, ñîñòàâëÿþùèõ êîä, èñïðàâëÿþùèé îäíó îøèáêó. Îáîñíóéòå îòâåò. 5. 6. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êíèãà ëåæèò â øêàôó, ðàâíà p. Åñëè êíèãà ëåæèò â øêàôó, òî îíà ìîæåò ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ ëåæàòü â êàæäîì èç ÷åòûðåõ ÿùèêîâ. Ñòóäåíò îòêðûë îäèí èç ÿùèêîâ, è êíèãè â íåì íå îêàçàëîñü. Êàêîâà òåïåðü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êíèãà ëåæèò â øêàôó? (â îäíîì èç îñòàâøèõñÿ òðåõ ÿùèêîâ) Ïîñòðîéòå ðàçíîñòíóþ ñõåìó, àïïðîêñèìèðóþùóþ íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå îòðåçêà [0; 1] ñî âòîðûì ïîðÿäêîì êðàåâóþ çàäà÷ó 7.
0
0 x + 2 u = −x − 3, 0 < x < 1, 2 8. Ðåøèòå çàäà÷ó Êîøè u0(0) = u(1) = 0. ( 3ut = uxx + 1, x ∈ (−∞; +∞), t > 0, u(x, 0) = e −x2 , x ∈ (−∞; +∞). c ÂÌÊ ÌÃÓ-ÏÏÈ, 2020.