z06a 二阶线性常微分方程的级数解法.pdf 
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6 二阶线性常微分方程的级数解法 复变函数在解析点邻域或孤立奇点的无心邻域可以展开成 Taylor 或 Laurent 级数，这种级数展开技巧不仅可以用于计算积 分，还可用于求解二阶线性常微分方程。 许多物理规律都用微分方程描述，其中最常见的是二阶线性常微分方程，它的一般形式是 2 w z2 + p(z) w z + q(z) w = f (z) (1.1) 如果 f (z) = 0，则上式称为二阶线性齐次常微分方程。注意常微分方程的“常”是相对于偏微分方程的“偏”而言，指的是自单 变量，并非指常系数。 在不同的物理问题中，常遇到的二阶线性常微分方程有：（这里的 x 可看为复变量） Legendre 方程： 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 (1.2) Bessel 方程： x2 y″ + x y′ + x2 - n2 y = 0 (1.3) Laguerre 方程： x y″ + (1 - x) y′ + a y = 0 (1.4) Hermite 方程： y″ - 2 x y ′ + 2 α y = 0 (1.5) Chebyshev 方程： 1 - x2 y″ - x y′ + n2 y = 0 (1.6) Hypergeometric 方程： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 (1.7) x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 (1.8) Confluent hypergeometric 方程： 这些方程都是二阶线性常微分方程，因此数学上，每一个方程都有两个线性无关的解，本章要讨论如何求出这两个解。 我们将看到，这些方程的解各对应于一类特殊函数，而这些特殊函数在一般情况下，大都无法表示为简单的初等函数。因 此，无法通过传统的求积分方法求解。 但我们知道这些方程在某些区域必有解析解，因此就把解析解在此邻域展开成级数，于是，这些特殊函数解常用级数表 示。 我们将以Legendre 方程和 Bessel 方程方程为例，学习二阶线性常微分方程级数解法， 就是求解无穷级数种各项系数之间的关系，从而确定级数。这种解法也称 Frobenius 解法。 6.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 2 w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 (1.9) 其中 p(z) 和 q(z) 称为方程的系数。显然，方程的性质由其系数确定。特别是，方程解的形式与解的解析性也由系数的解析性 确定。 通常，人们并不需要在整个复平面内求解方程，更感兴趣的是求解某点 z0 邻域的解（邻域可大可小）， 2 z06a.nb 因此，若要在某点 z0 的邻域求解微分方程，系数函数 p(z) 和 q(z) 在 z0 的性质就显得特别重要，为此，做以下定义。 ◼ 常点：如果在 z0 点， p(z) 和 q(z) 都解析，则 z0 称为方程的常点 ◼ 奇点：如果在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，则 z0 称为方程的奇点 正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0 ) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。 ◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 / ζ，则方程 (1.9) 化为 2 w + ζ2 2 ζ - 1 ζ2 p 1 w ζ ζ 1 + ζ4 q 1 w=0 ζ (1.10) Clear["Global`*"] w0 = w[1 / ζ] /. ζ z; w1 = D[w[1 / ζ], ζ] /. ζ z; w2 = D[w[1 / ζ], {ζ, 2}] /. ζ z; eq = (w2 + p[z] w1 + q[z] w0) /. z 1 / ζ; c = Coefficient[eq, w ''[ζ]]; (* 将 w′′[ζ] 的系数化为1 *) Expand[eq / c] 1 q ζ 1 w[ζ] + ζ4 p 2 w′ [ζ] - ζ ζ w′ [ζ] + w′′[ζ] ζ2 (1.10) 可写成 2 w ζ2 + P(ζ) 显然，当且仅当 p p 1 ζ w ζ 1 ζ + Q(ζ) w = 0, 和q 1 ζ P(ζ) = 2 ζ - 1 ζ2 p 1 ζ , Q(ζ) = 1 ζ4 q 1 ζ 具有以下形式时 ， P(ζ) 与 Q(ζ) 才解析 ， = 2 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ 3 + ⋯, q 因为这时对应于 ：P(ζ) = -a2 - a3 ζ + ⋯, 1 = b4 ζ 4 + b5 ζ 5 + ⋯, ζ (1.11) Q(ζ) = b4 + b5 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 均解析 ， 从而 ζ = 0 是 (1.10) 的常点 ，对应地 ，z = ∞ 是 (1.9) 的常点 。 若p 若p 1 ζ 1 ζ 和q 和q p 1 ζ 1 ζ 1 ζ 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地 ，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。 = a1 ζ + a2 ζ 2 + a3 ζ 3 + ⋯, q 因为这时对应于 ：P(ζ) = ☺ 2 - a1 ζ 1 = b2 ζ 2 + b3 ζ3 + ⋯, ζ - a2 - a3 ζ + ⋯, Q(ζ) = b2 ζ2 + b3 ζ + ⋯ 在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ 2 Q(ζ) 均解析 。 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 系数为 ：p(x) = (1 + a + b) x - c x(x - 1) , q(x) = ab x(x - 1) , 故： z = 0, 1, ∞ 是方程的三个正则奇点 。 例： (1.8) 式的合流超几何方程 ： x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 c-x a , q(x) = - , 故： z = 0 是方程的正则奇点 ，z = ∞ 则是非正则奇点 。 系数为 ：p(x) = x x (1.12) z06a.nb 以下 Mathematica 代码的运算结果与 (1.11) 和 (1.12) 式比较表明 ： z = ∞ 是超几何方程的正则奇点 （当 a b ≠ 0 时），是合流超几何方程的非正则奇点 。 Clear["Global`*"] (1 + a + b) x - c p1 = /. x 1 / y; x (x - 1) ab /. x 1 / y; q1 = x (x - 1) c-x /. x 1 / y; p2 = x a q2 = /. x 1 / y; x Series[p1, {y, 0, 4}] Series[q1, {y, 0, 4}] Series[p2, {y, 0, 4}] Series[q2, {y, 0, 4}] (1 + a + b) y + (1 + a + b - c) y2 + (1 + a + b - c) y3 + (1 + a + b - c) y4 + O[y]5 a b y2 + a b y3 + a b y4 + O[y]5 - 1 + c y + O[y]5 a y + O[y]5 6.2 二阶线性齐次常微分方程的级数解 Frobenius and Fuchs定理： 对二阶线性常微分方程 ： 2 w z2 + p(z) w z + q(z) w = 0 1. 如果 z0 是微分方程的常点 ，则在 z0 的邻域 z - z0 < R，即：p(z) 和 q(z) 的解析区域 ， 该微分方程必存在 两个如下形式的 线性独立解 ： ∞ w(z) = ck (z - z0)k , 其中： c0 ≠ 0 k=0 2. 如果 z0 是微分方程的正则奇点 ，则在 z0 的邻域 z - z0 < R，即：(z - z0 ) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 的解析区域 ， 该微分方程至少存在 一个如下形式的解 ： ∞ w(z) = ck (z - z0)k+ρ , 其中：c0 ≠ 0，ρ 是常数 ，称为指标 。 k=0 对非正则奇点 ，求解困难得多 ，幸亏，物理上常见的微分方程 (1.2) - (1.8) 的非正则奇点都在 z = ∞ 。 正则奇点邻域求解的指标方程 对微分方程的常点，可将级数解代入原微分方程，求出系数之间的递推关系即可。下一节将以 而对微分方程的正则奇点，必须先求出指标 ρ 。 做法同样是将级数解形式代入原微分方程，但必须先利用 z 的最低幂次的系数为零， Legendre 方程为例说明。 3 4 z06a.nb 得到一个关于指标的一元二次方程（称为指标方程），先求出指标 ρ。 最简单的情况，该一元二次指标方程将给出的两个指标对应的两个解线性无关， 这两个线性无关解的线性组合即构成常微分方程的通解。 但如果不幸遇到：一元二次方程重根或两根之差为整数，情况将复杂化。以下详细讨论。 为简单起见，讨论正则奇点出现于 x = 0，这里将x 看成复变量。 若 x = 0 为正则奇点，微分方程必可改写成如下形式 （思考一下为什么？这样才能保证 x p(x) 和 x2 q(x) 解析）： x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0, 其中：g(x) 和 h(x) 在 x = 0 点解析 (1.13) 据 Frobenius & Fuchs 定理，该微分方程必定存在一个如下形式的解： ∞ y = xρ ak xk, 其中 a0 ≠ 0 （若为常点 ，则对应于 ρ = 0） k=0 对级数形式的 y(x) 求导, ∞ ∞ y′ (x) = (k + ρ) ak xk+ρ-1, y″(x) = (k + ρ) (k + ρ - 1) ak xk+ρ-2, k=0 k=0 (1.14) 再将 g(x) 和 h(x) 作 Taylor 展开， g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, h(x) = h0 + h1 x + h2 x2 + … 代入微分方程 (1. 13) 式，将得到以下形如 ck xk = 0 的幂级数形式 ， k ∞ 2 2 k+ρ (k + ρ) (k + ρ - 1) + (k + ρ) g0 + g1 x + g2 x + … + h0 + h1 x + h2 x + … ak x = 0 k=0 因为是解析函数的展开，由唯一性定理，各幂次的系数 ck = 0。 看最低幂次 xρ 项的系数（对应于上式的 k = 0 项）：[ρ(ρ - 1) + ρ g0 + h0 ] a0 = 0 由 Frobenius & Fuchs 定理，形式解的系数 a0 ≠ 0，故可得到一个关于指标的一元二次方程： ρ(ρ - 1) + g0 ρ + h0 = 0 ⟹ ρ2 + (g0 - 1) ρ + h0 = 0 称为指标方程 (1.15) 指标方程是一元二次方程，显然有两个根，以下分三种不同情况讨论。 ◼ 指标方程有两个不同的根 ρ2 ≠ ρ1，且两根之差不是整数：ρ2 - ρ1 ≠ n 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程的两个解可写成 ： y1 (x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, y2(x) = xρ2 a′0 + a′1 x + a′2 x2 + …, 因为 ρ2 - ρ1 是非整数 ，故 y2(x) / y1(x) 不可能等于常数 ，y2(x) 和 y1(x) 线性无关 ，其线性组合构成微分方程的通解 。 故指标方程 两根之差为非整数 时，微分方程的 两个线性无关解 写成： ∞ y1 (x) = xρ1 ak xk, a0 ≠ 0, ∞ y2 (x) = xρ2 a′k xk , k=0 a′0 ≠ 0 (1.16) k=0 其中系数 ak 与 a′k ，可将 y1 (x) 与 y2 (x) 代入原微分方程来确定 （见下一节 ）。 ◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0 )/ 2 由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ： y1 (x) = xρ1 a0 + a1 x + a2 x2 + …, a0 ≠ 0 其中系数 ak 可将 y1(x) 代入微分方程来确定 。 由 y1(x) 的形式 ，可导得 ： y′1 y1 = ρ1 x + q1(x), （作为练习 ，不妨试试推导 ） 这里以 qk (x) 表示仅含 x 的 0 次或正幂次的函数 （x = 0 邻域的解析函数 ）。 (1.17) z06a.nb 由于 y′1 = ρ1 y1 + q1(x)，故 x = 0 是 x y′1 y1 5 的单极点 ，且留数为 ρ1。 现在，如何找另一个线性无关解 ？ 设另一个线性无关解为 ：y2(x) = u(x) y1 (x) ， 则 y′2 = u′ y1 + u y′1 ， y″2 = u″ y1 + 2 u′ y′1 + u y″1 代入微分方程 ：x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0，整理得 ： y1 是微分方程的解，此项为0 x2 y1 u″ + 2 x2 y′1 u′ + x g y1 u′ + x2 y″1 + x g y′1 + h y1 u = 0 2 y′1 进而得到关于 u 的微分方程 ： u″ + u′ + y1 g x u′ = 0 （注：此时 y1 (x) 看成已知函数 ） 代入 g(x) 的 Taylor 展开式 ：g(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + …, 可得： u″ + 2 y′1 + g0 y1 y′1 代入式 ： = ρ1 y1 + q2(x) u′ = 0, 其中 q2(x) = g1 + g2 x + … ，仅含 x 的 0 次或正幂次 (1.18) + q1 (x)，并利用指标方程重根 ρ2 = ρ1 = (1 - g0) / 2，上式化为 ： x u″ + x g0 + 2 ρ1 x ρ1 = + 2 q1(x) + q2(x) u′ = 0 (1-g0 ) 2 u″ + 1 x + q3(x) u′ = 0 ， (1.19) q3(x) 仅含 x 的 0 次或正幂次 u″ u′ =- 1 x - q3 (x) 两边同积分 ln u′ = -ln x + q4(x) ， ⟹ u′ = 1 q4(x) = x 1 x q5(x)， 这里 q4(x) 和 q5(x) 都只含 x 的 0 次或正幂次子项 ， η0 ≠0 η0 + q6(x), 其中 q6(x) 仅含 x 的正幂次项 q5(x) 是 q4 (x) 的展开 ，q5(x) = u′ = 1 x [η0 + q6 (x)] ⟹ u = η0 ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … （其中：η0 ≠ 0, 而 κ0 来自积分常数 ） y2 (x) = u(x) y1(x) = η0 y1 (x) ln x + κ0 + κ1 x + κ2 x2 + … y1(x) 故指标方程重根时 ，微分方程的两个线性无关解写成 ：（思考：为何 η0 不见了 ？线性齐次方程 ，同除以 η0 ≠ 0） ∞ ∞ y1 (x) = xρ1 ak xk, a0 ≠ 0, y2 (x) = y1(x) ln x + xρ1 bk xk k=0 (1.20) k=0 ◼ 指标方程两根之差为整数：ρ2 = ρ1 - p, 其中整数 p > 0 类似上一种情况 ，我们仍有 (1.17) 及 (1.18)。 把 y′1 y1 = ρ1 x + q1(x) 代入 (1.18) 式， 并利用指标方程 (1.15) 的两根之和满足 ：ρ2 + ρ1 = 1 - g0 ， (1.18) 式化为 ： u″ + g0 + 2 ρ1 x ⟹ u′ = 1 xp+1 ⟹ u=y2(x) = u(x) y1 (x) ∞ κ0 p xp + q3(x) u′ = 0 q4(x) = - κ0 xp+1 + κ1 (p - 1) xp-1 利用：g0 +2 ρ1 = 1+p u″ u′ κ1 xp +⋯+ κp x =- 1+p + q3 (x) x + κp+1 + κp+2 x + ⋯ , + ⋯ + κp ln x + κp+1 x + 1 2 ∞ ⟹ ln u′ = -(1 + p) ln x + q4(x) κ0 ≠ 0 κp+2 x2 + ⋯ 注意最低幂次为 x-p ρ2 k y1(x) = xρ1 ak xk ⟹ y2 (x) = κp y1(x) ln x + x bk x ，其中利用了 ：ρ2 = ρ1 - p k=0 m=0 故指标方程两根之差为整数时 ，微分方程的两个解写成 ： 6 z06a.nb ∞ ∞ y1 (x) = xρ1 ak xk, a0 ≠ 0, y2 (x) = κp y1 (x) ln x + xρ2 bk xk ，b0 ≠ 0 k=0 (1.21) k=0 其中 κp 可能为 零 或 非零。可以猜想 ： ∞ ∞ 1 k=0 k=0 4 ∞ ∞ k=0 k=0 κp = 0 时： xρ1 ak xk 与 xρ2 bk xk 可能线性无关 ，例如：x2 y″ + x y′ + x2 - y=0 κp ≠ 0 时： xρ1 ak xk 与 xρ2 bk xk 可能线性相关 ，例如整数阶Bessel方程 （见下一节 ） 综合以上的讨论，对正则奇点，Frobenius & Fuchs 定理告诉我们必然有一个解为如下形式 ∞ y1 (x) = xρ1 ak xk, a0 ≠ 0, (1.22) k=0 另一个线性无关解的形式由指标方程两个根的关系确定，可能仍然是上式形式，也可能如 这就给实际应用带来不便，因而，对正则奇点，通常是利用Frobenius (1.20) 或 (1.21) 的是带对数形式。 & Fuchs 定理，求形如上式的第一个解， 再利用 Wronskian 行列式 ，由第一个解，求另一个线性无关的解。而不是直接求解带对数形式的解。 如何求出形如 (1.22) 的第一个解？代入微分方程，求出各系数 ak 之间的关系。将在下两节讨论。 解的解析延拓 通常，对二阶线性齐次常微分方程，人们总是在常点或正则奇点的邻域求解，为求方程在更大区域的解，需要做解析延 拓。 这就需要解决两个问题： ，后者还是不是原微分方程的解？ 1. 一个解 w1 经解析延拓成为 w 1 , w ，是否依然是线性无关？ 2. 两个线性无关解 w , w 经解析延拓成为 w 1 2 1 2 ✓ ✓ 以下例题回答着两个问题。 ☺ 是 w 在区域 G 内的解析延拓， 例题：设 w1 是二阶线性齐次常微分方程在区域 G1 内的解， w 1 1 2 仍是原微分方程的解。（可看成微分方程在区域 G 内的解） 试证 w 1 2 证明：为叙述简便 ，仅对 z = 0 邻域进行讨论 。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2 w″ + z g(z) w′ + h(z) w = 0, 因 z = 0 是常点或正则奇点 ，故 g(z) 和 h(z) 在 z = 0 点解析 。 满足： z2 w ″ + z g(z) w ′ + h(z) w = q(z)，需要证明 z ∈ G 时，q(z) = 0 设w 1 1 1 1 2 G2 G1 G3 = G 1 ⋂ G 2 G3 是 w 在 G 的解析延拓 ，故 w 在 G 除孤立奇点之外解析 ， 因为 w 1 1 2 1 2 而 g(z), h(z) 也在 G2 除孤立奇点之外解析 ， 故：q(z) 在 G2 除孤立奇点之外解析 。 是 w 在 G 的解析延拓 ，必存在 G = G ⋂ G ，在 G 内， w = w 又由于 w 1 1 2 3 1 2 3 1 1 因 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1， 故对 z ∈ G3 ：w1 是微分方程的解 ，z2 w″1 + z g(z) w′1 + h(z) w1 = 0 =w 对 z ∈ G3， w 1 1 ⟹ ″ + z g(z) w ′ + h(z) w =0 z2 w 1 1 1 即：对 z ∈ G3，q(z) = 0，由解析函数的唯一性 ，对 z ∈ G2 ，q(z) = 0 z06a.nb 7 仍是原齐次微分方程的解 。 ″ + z g(z) w ′ + h(z) w = q(z) = 0 ⟹ w 即： 对 z ∈ G2，z2 w 1 1 1 1 ☺ 例题：设 w1 和 w2 是二阶线性齐次常微分方程在区域 G1 内的两个线性无关解， 和 w 分别是 w 和 w 在区域 G 内的解析延拓 ，试证 w 和 w 仍然线性无关 。 w 1 2 1 2 2 1 2 证明：为叙述简便 ，仅对 z = 0 邻域进行讨论 。二阶线性齐次常微分方程可写成 z2 w″ + z g(z) w′ + h(z) w = 0, 因 z = 0 是常点或正则奇点 ，故 g(z) 和 h(z) 在 z = 0 点解析 。 和 w 仍原齐次微分方程的解 。如何判断两个函数线性无关 ？ 由上例知 ， w 1 2 若 w1 与 w2 线性相关 ，则 w2 = c w1, 从而 w1 和 w2 的 Wronskian 行列式为 0。证明如下 ： W (w1 , w2) ≡ w1 w2 w c w1 = 1′ =0 w′1 w′2 w1 c w′1 若 w1 和 w2 的 Wronskian 行列式为 0，则 w1 与 w2 线性相关 ，证明如下 ： w′2 w′1 w1 w2 = w1 w′2 - w2 w′1 = 0 ⟹ = ⟹ ln w2 = ln w1 + c ⟹ w2 = c w1 ′ ′ w1 w2 w w 2 1 故 Wronskian 行列式为 0 是线性相关的充要条件 （对 2 个以上的函数也是如此 ）。 , w ) ≠ 0。利用解析函数唯一性定理 。 现在需要从 W(w1, w2) ≠ 0 证明 W ( w 1 2 G2 G1 G3 G3 = G1 ⋂ G2 , w ) = q(z)， 显然 q(z) 在 G 内是解析函数 。现需要证明 z ∈ G 时，q(z) ≠ 0 令 W( w 1 2 2 2 用反证法 ：（与上一例题不同 ，这里要证明 q(z) ≠ 0，而非 q(z) = 0，故用反证法 ） = w , w = w ⟹ W (w , w ) = W(w , w ) ≠ 0， 由于在 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，w1 与 w2 线性无关 ，w 1 1 2 2 1 2 1 2 和 w 线性相关 ，只能在区域 G \ G 内线性相关 。（G \ G 表示 G 挖去 G 剩下的部分 ） 若w 1 2 2 1 2 1 2 3 和 w 在 区域 G \ G 线性相关 ，即：z ∈ G \ G 时，q(z) ≡ W( w , w ) ≡ 0 现在就设 w 1 2 2 1 2 1 1 2 由于 q(z) 在 G2 内是解析函数 ，在 G2 \ G1 区域 q(z) ≡ 0 必导致在整个 G2 区域 q(z) ≡ 0 , w ) = W (w , w ) ≠ 0 矛盾。 从而在 G3 = G1 ⋂ G2 ∈ G1，q(z) ≡ 0，这与在 G3 区域 W (w 1 2 1 2 , w ) 在整个 G 区域不为零 ，即 w 和 w 在整个 G 区域线性无关 。 故：W ( w 1 2 2 1 2 2 这两个例题表明，可以在一个小区域求微分方程的（线性无关）解，再通过解析延拓，得到大区域的（线性无关）解。 当然，前提是微分方程在大区域内存在解析解。 6.3 方程常点邻域的级数解 上一节讨论了微分方程解的存在性以及解的形式，本节与下一节通过一些例子讨论常点与正则奇点如何求解。 求以下 Legendre 方程在 x = 0 邻域的解，l 为已知常数。 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0， p(x) = - 2x 1 - x2 , q(x) = l(l + 1) 1 - x2 显然：x = 0 是方程的常点。由 Frobenius and Fuchs 定理，常点邻域存在 两个如下形式的线性独立解 ∞ y(x) = ck xk , 其中： c0 ≠ 0，在 x0 = 0 点的邻域 x < 1 k=0 (1.23) 8 z06a.nb 如何确定解？把上式代入微分方程，求得各系数 ck 之间的关系。 为此，上式求导 ，可得：（把出现在微分方程的每一项均化为 ∞ bk xk 形式，以便比较系数 ） k=0 ∞ ∞ y′ = k ck xk-1, x y′ = k ck xk k=0 k=0 ∞ ∞ k=0 k=0 ∞ y″ = k(k - 1) ck xk-2 = (k + 1) (k + 2) ck+2 xk , x2 y″ = k (k - 1) ck xk k=0 ∞ 各项均以 bk xk 的形式出现 ，代入微分方程 ： k=0 ∞ [(k + 1) (k + 2) ck+2 - k(k - 1) ck - 2 k ck + l(l + 1) ck ] xk = 0 k=0 据 Taylor 展开的唯一性知各幂次系数为 0 (k + 1) (k + 2) ck+2 - [k(k + 1) - l(l + 1)] ck = 0 从而得到系数之间的递推关系 ck+2 = k(k + 1) - l(l + 1) (k + 1) (k + 2) ck = (k - l) (k + l + 1) (k + 1) (k + 2) ck 利用这个递推关系，可得： c2 n = (2 n - l - 2) (2 n + l - 1) c2 n-2 = 2 n (2 n - 1) (2 n - l - 2) (2 n + l - 1) (2 n - l - 4) (2 n + l - 3) 2 n (2 n - 1) (2 n - 2) (2 n - 3) 总共有 n 项相乘 = c2 n = c2 n+1 = 总共有n 项相乘 (2 n - 2 - l) (2 n - 4 - l) ⋯(-l) (2 n - 2 + l + 1) (2 n - 4 + l + 1) ⋯(l + 1) (2 n) ! 22 n (2 n) ! l l+1 2 n 2 - 22 n - (2 n + 1) ! c2 n-4 c0 , c0 其中 (a)n 为 Pochhammer 符号，可表为 Γ 函数： (a)n = n l-1 l 2 n 2 + 1 c1 , Γ(a + n) Γ(a) 从 a 开始， = a(a + 1) ... ( 与 c2 n 类似地推导 n 所有的偶次幂项均由 c0 确定，奇次幂项由 c1 确定，Legendre 方程的通解 为： y(x) = c0 y0(x) + c1 y1 (x), 其中 y0 (x) 只含偶次幂项 ， y1 (x) 只含奇次幂项 。 ∞ y0 (x) = 22 k k=0 (2 k) ! - l l+1 2 k 2 ∞ x2 k , k y1(x) = 22 k k=0 (2 k + 1) ! - l-1 l 2 2 k + 1 x2 k+1, k 所以，Legendre 方程 (1.23) 有两个线性无关的解，一个是奇次幂级数，一个是偶次幂级数。 对于一般的 l，级数无法化简为初等函数形式，也就是说，Legendre 方程的解是Legendre 函数（特殊函数）。 由于Legendre 方程 (1.23) 是线性齐次微分方程， y0 (x) 是解，任意常数与y0(x) 的乘积，依然是解。 eq = (1 - x2 ) D[y[x], {x, 2}] - 2 x D[y[x], x] + n (n + 1) y[x]; DSolve[eq 0, y[x], x] {{y[x] C[1] LegendreP[n, x] + C[2] LegendreQ[n, x]}} 更多关于Legendre 方程的解的性质，将在后面的章节讨论。本章的内容主要是：微分方程的级数解法（ Frobenius 解法）。 z06a.nb 9 6.4 方程正则奇点邻域的级数解 Beseel 方程的解 求以下 Bessel 方程在 x = 0 邻域的解，v 为已知常数 1 x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0， p(x) = , q(x) = x2 - v2 (1.24) x2 x 显然：x = 0 是方程的正则奇点。由 Frobenius and Fuchs 定理，正则奇点邻域 必定存在一个如下形式的解 ∞ y(x) = xρ ck xk , 其中： c0 ≠ 0，在 x0 = 0 点的邻域 x > 0 k=0 比之于常点，求解过程多了一步：要推导并求解指标方程，若需要求解第二个解，还要看指标方程是否重根等等。 ∞ 先求指标方程 。形式解求导 ，可得：（把出现在微分方程的每一项均化为 bk xk+ρ 形式） k ∞ ∞ y′ = (k + ρ) ck xk+ρ-1, x y′ = (k + ρ) ck xk+ρ k=0 k=0 ∞ ∞ y″ = (k + ρ) (k + ρ - 1) ck xk+ρ-2, x2 y″ = (k + ρ) (k + ρ - 1) ck xk+ρ k=0 k=0 ∞ ∞ 化为 ∑ bk xk+ρ 形式 ∞ k=0 ∞ k x2 y = xρ+2 ck xk = ck xk+ρ+2 ck-2 xk+ρ k=0 k=2 代入微分方程： ∞ ∞ 2 k+ρ k+ρ (k + ρ) (k + ρ - 1) +(k + ρ) - v ck x + ck-2 x = 0 k=0 (1.25) k=2 由最低幂次 xρ （对应于 k = 0）的系数为 0 导出指标方程 c0 ≠0 ρ2 - v2 c0 = 0 ρ2 - v2 = 0 ⟹ ρ1 = v, ρ2 = -v 再由 xρ+1项（对应于 k = 1 项）的系数为 0，导出 若 ρ ≠ -1/2 利用指标方程 (ρ + 1)2 - v2 c1 = 0 (2 ρ + 1) c1 = 0 c1 = 0 最后，由 k ≥ 2 项的系数为 0，得递推关系 ck = - ck-2 利用指标方程 (k + ρ)2 - v2 ck = - 1 k(k + 2 ρ) ck-2 (1.26) 故对于 ρ = v，取 c1 = 0，故 c2 n = - 1 1 22 n(n + v) = (-1)n c2 n+1 = (-1)n c2 n-2 = (-1)2 1 1 22 n n ! (v + 1)n 1 1 1 1 24 1 1 n(n + v) (n - 1) (n + v - 1) c2 n-4 其中 (a)n 为 Pochhammer 符号，(a)n = c0 , 1 22 n (3 / 2)n (v + 3 / 2)n c1 = 0 从而，Bessel 方程有解： ∞ y1 (x) = c0 xv (-1)k k=0 k ! (v + 1)k 取 c0 = 1 ，则 2v Γ(v + 1) x 2k 2 ∞ = c0 xv k=0 (-1)k Γ(v + 1) k! Γ(k + v + 1) 2 x 2k Γ(a + n) Γ(a) 10 z06a.nb (-1)k ∞ y1 (x) = x 2 k+v k=0 k ! Γ(k + v + 1) 对于 ρ = -v，仍取 c1 = 0，同时取 c0 = ∞ y2 (x) = c0 x-v 2 ≡ Jv (x) Bessel 函数 (1.27) 1 ，则第二个解为： 2-v Γ(-v + 1) (-1)k x 2k k=0 k ! (-v + 1)k (-1)k ∞ = x 2 k-v k=0 k ! Γ(k - v + 1) 2 ≡ J-v (x) (1.28) 2 那么，我们是否求得了 Bessel 方程的 两个线性独立解：y1(x) 与 y2(x) ？还有三个问题： 1. 求解过程分别对指标 ρ = ± v 时取 c0 = ±v 1 ，若 c0 = 0，是否对应于平庸解? （即 0 解） 2 Γ(± v + 1) 因为我们将所有系数都表示为一些常数乘以 c0 2. 讨论中，我们总是取 c1 = 0。实际上仅当指标 ρ ≠ -1 / 2 时才保证 c1 = 0，讨论中总是取 c1 = 0 是否会导致“漏掉”一个解。 当然在求得两个线性独立解时 ，不可能漏解 ，但若求得的两个解线性相关 ，是否是因为取 c1 = 0 导致的漏解 ？ 3. 最重要的，这两个解是否线性无关？因为对正则奇点，Frobenius and Fuchs 定理只保证能求得一个解， 并不能保证求出的两个解线性无关 。实际上 ，当 ρ2 - ρ1 为整数时 ，两个解很可能是线性相关的 。 ◼ 先回答第一个问题， c0 = 1 = 0 是否对应于平庸解？（对线性齐次微分方程，零是方程的平庸解。） 2±v Γ(± v + 1) 因为指标解以 ± v 形式成对出现 ，不失一般性 ，可假设 Re v > 0。 当 v 为正整数 p > 0 时，Gamma 函数的宗量可能为负整数或 0，c0 = 0，是否对应于平庸解 ？非也！ 看 ρ = -v = -p 时 系数之间的递推关系 (1.26)，设 k > p 并令 k - p = m，从而：p = k - m c2 k = - 1 1 22 k(k - p) = (-1)m c2 (k-1) = (-1)2 1 c2 (k-2) 24 k(k - 1) (k - p) (k - p - 1) c2 p c2 (k-m) 1 22 m k(k - 1) ⋯(k - m + 1) (k - p) (k - p - 1) ⋯ (k - p - m + 1) 此项等于1 = (-1)m+1 1 c2 (p-1) 22 (m+1) k(k - 1) ⋯(k - m + 1) (k - m) (k - p) (k - p - 1) ⋯ (k - p - m + 1) (k - p - m) 此项等于0 上式最后一行的分母为 0，表明递推至 c2 p 为止，c2 (p-1) = c2 (p-2) = ⋯ = c0 = 0，这样求和就不能从 k = 0 项开始 。 即：当 v 等于正整数 p 时，对应于ρ = -v 的级数解的写法就复杂了 ，求和必须从 k = p 而非从 k = 0 项开始 。 1 为规避这个复杂性 ，利用 Gamma 函数，并令 c0 = c2 k = (-1)k (-1)k-1 1 ，把对应于ρ = -v 的级数解之系数 c2 k 写成 记得 ρ = -ν 22 k k ! Γ(k - v + 1) =- 2-v Γ(-v + 1) 2 k(2 k + 2 ρ) 22 (k-1) (k - 1)! Γ(k - v) =- c2 k-2 2 k(2 k + 2 ρ) 此式 （紫色表达式 ） 满足系数之间的递推关系 (1.26)，同时 此式还自动保证在 v 等于正整数 p 时，c2 (p-1) = c2 (p-2) = ⋯ = c0 = 0，从而求和仍可从 k = 0 项开始 。 ◼ 再回答第二个问题，当指标方程给出的解是 ρ = - 1 时，c1可以不为 0，取 c1 = 0 是否会导致”漏掉”解 2 对 Bessel 方程，当有一个指标为 - 1 时，另一个指标必为 + 2 ∞ y1 (x) = k=0 (-1)k k! Γ k + x 2 k+1/2 3 2 2 1 ，两个解 (1.27) 和 (1.28) 分别退化为 2 ∞ , y2(x) = k=0 (-1)k k! Γ k + x 2 k-1/2 1 2 2 z06a.nb 11 y1 (x) 的最低幂次项为 ：x1/2；y2(x) 的最低幂次项为 ：x-1/2 ，二者之比显然不会是常数 ，线性无关 。 因为二阶微分方程只有两个线性无关解 （见下一节的证明 ）， 所以，在 ρ = -1 / 2 时，即使取 c1 ≠ 0，求出的解也必然是 y1(x) 和 y2(x) 的线性组合 ， 也就是说 ，讨论中在 ρ = -1 /2 时，也取 c1 = 0，并没有漏掉线性无关解 。 1 有兴趣的同学不妨试试在 ρ = - 时，取 c1 ≠ 0，看看求出的解是否能表为 y1(x) 和 y2(x) 的线性组合 。 2 ◼ 现在我们来讨论最后一个问题，两个解 (1.27) 和 (1.28) 是否线性无关。 实际上 ，由 §6 .2 的讨论可知 ，当两个指标之差 ρ1 - ρ2 = 2 v 不为整数时 ，两个解必然线性无关 。 对 Bessel 方程，只要 v 不为整数 ，由以下两式的最低幂次项可知 (-1)k ∞ Jv (x) = k=0 k ! Γ(k + v + 1) (-1)k ∞ x 2 k+v 和 J-v (x) = x 2 k-v k=0 k ! Γ(k - v + 1) 2 2 也是线性无关的 。但是，当 v = n 为整数时 (-1)m ∞ y1 (x) = x 2 m+n m=0 m ! Γ(m + n + 1) x 2 m-n k=0 m ! Γ(m - n + 1) (-1)m x n+2 m m=0 m ! (m + n) ! 2 (-1)m ∞ y2 (x) = ∞ = ∞ = (-1)m x 2 m-n m=n m ! (m - n) ! 2 2 = Jn (x) = J-n (x) , 利用了 m < 0 时， 2 1 Γ(m) =0 由 第三章 ：J-n(x) = (-1)n Jn (x) ，故 y2(x) 与 y1(x) 线性相关 。 ∞ 由 §6 .2 的讨论 ，另一个解可以为含有对数项的 (1.21) 形式：y2 (x) = κp y1(x) ln x + xρ2 bk xk ，b0 ≠ 0。 k=0 那么是否需要将含对数项的 (1.21) 形式解代入微分方程 ，确定各系数 bk 间的关系以求得第二个线性无关解 ？ 太麻烦了 ，假道伐虢 。 寻求第二个（线性无关）解 对正则奇点，无论指标方程的解如何，据 Frobenius and Fuchs 定理，总有一个解是可以确定的，就是如下形式： ∞ y(x) = xρ ck xk , 其中： c0 ≠ 0， k=0 至于另一个线性无关解，当两个指标只差为整数时， Frobenius and Fuchs 定理告诉我们，解可能含有含对数项，显然不易直接代入微分方程求解系数。 据常微分方程理论，对二阶线性齐次常微分方程，最多只有两个线性无关解，并且可以从一个解求出另一个线性无关解。 1. 二阶线性齐次常微分方程最多只有两个线性无关解 这个性质可以用反证法证明。假设二阶线性齐次常微分方程有 3 个不同的解，证明这三个解必线性相关。 设 y1, y2, y3 为如下微分方程的解 y″ + p(x) y′ + q(x) y = 0 ⟹ y″ + p(x) y y′ = -q(x) y 任意两个解的Wronskian行列式为 Wi j = yi y′j - y j y′i ⟹ Wi′ j = (yi y′j - y j y′i )′ = yi y″j - y j y″i 由于 yi 与 y j 是微分方程的解，故 y″i yi + p(x) y′i yi = -q(x) = y″j yj + p(x) y′j yj ⟹ yi y″j - y j y″i + p(x) (yi y′j - y j y′i ) = 0 整理上两个等式，得到Wronskian行列式 Wij 满足的微分方程 12 z06a.nb Wij′ = -p (x) Wij ，对任意一对解都成立 。 另一方面，三个解是否线性相关的判据是以下 y1 y2 y 3 Wronskian 行列式是否为 0 ′ + y′ W ′ - y′ W ′ ，（其中行列式以第二行展开 ） W = y′1 y′2 y′3 = -y′1 W23 2 13 3 12 y″1 y″2 y″3 利用Wronskian行列式 Wij 满足的微分方程并写成行列式形式 y 1 y2 y 3 W = p(x) [y′1 W23 - y′2 W13 + y′3 W12] = -p(x) y′1 y′2 y′3 = 0 y′1 y′2 y′3 因此，若二阶线性齐次常微分方程有 3 个不同的解，这三个解必线性相关。 2. 从一个解求出另一个线性无关解 从 y1(x) 出发求 y2(x)，看Wronskian行列式 W12 满足的微分方程 W12 ′ = -p(x) W ⟹ = -p(x) x ⟹ W12 = -∫ p(x) x W12 12 W12 另一方面 y2 ′ y1 = y′2 y1 - y2 y′1 y21 等式两边同时积分 = W12 y21 = -∫ p(x) x ， y21 ⟹ y2 = y1 -∫ p(x) x y21 x 这种求解方法在求解 Lengendre 方程时会用到。 但是，对 Bessel 方程的解，依然太过麻烦。 寻求Bessel方程的第二个线性无关解 对 Bessel 方程，我们总可以求出两个解 ∞ Jv (x) = (-1)k k=0 k ! Γ(k + v + 1) x 2 k+v ∞ ， J-v(x) = (-1)k k=0 k ! Γ(k - v + 1) 2 x 2 k-v (1.29) 2 只不过，当 v = 整数 时，这两个解线性相关。 直接求解 (1.21) 形式（含对数项的级数）的线性无关解较为复杂，通过上一小节 利用 Wronskian 行列式来求解也不方便。 我们看不上 Frobenius and Fuchs，也抛弃 Wronskian 行列式法。 对 Bessel 方程，还可以有第三种解法。为介绍之，先从 Wronskian 行列式探讨这两个解何时线性相关。 从 Wronskian 行列式满足的微分方程出发： W ′ = -p(x) W = - W C ， x 1 其中利用了 Bessel 方程 (1.24) 中 p(x) = ： x ⟹ W= x x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0 另一方面，把级数 (1.29) 代入 Wronskian 行列式，求 x 负一幂次的系数 J J ′ ′ W = W[Jv , J-v ] = v′ -v ′ = Jv J-v - Jv J-v Jv J-v ∞ (-1)k x 2 k+v ∞ (-1)l (2 l - v) / 2 x 2 l-v-1 ∞ (-1)k (2 k + v) / 2 x 2 k+v-1 ∞ (-1)l x 2 l-v = - 2 2 k=0 k ! Γ(k + v + 1) 2 l=0 l ! Γ(l - v + 1) k=0 k ! Γ(k + v + 1) l=0 l ! Γ(l - v + 1) 2 ∞ ∞ = (-1)k+l (2 l - v)/ 2 k=0 l=0 k ! Γ(k + v + 1) l ! Γ(l - v + 1) x 2 k+2 l-1 2 ∞ ∞ - (-1)k+l (2 k + v) /2 k=0 l=0 k ! Γ(k + v + 1) l ! Γ(l - v + 1) x 2 k+2 l-1 2 仅 k = l = 0 项对含 x-1 z06a.nb =- 2v x-1 + h(x), Γ(v + 1) Γ(1 - v) 其中 h(x) 仅含 x 的正、奇幂次项 从而 C=- 2v =- Γ(v + 1) Γ(1 - v) ⟹W =- 2 2 Γ(v) Γ(1 - v) =- 2 （利用了 Γ 函数的互余宗量定理 ） sin v π π sin v π πx 原来，当 v 为整数时，W[Jv , J-v ] = 0，Jv 与 J-v 线性相关。 注意此线性相关来自 sin v π 因子，若取两个解为 J-v 2 y1 (x) = Jv ，y2(x) = , 则 W[y1, y2] = sin v π πx ⟹ 无论 v 是否整数 ，y1 与 y2 都线性无关 。 但，当 v 为整数时，y2 分母为 0，而分子不为 0。因此，进一步改取（这里利用线性齐次方程解的叠加原理） y2 (x) = c Jv (x) - J-v (x) sin v π ，这时仍有 ：W[y1, y2] = 2 πx ， y1 与 y2 依然线性无关 引入参数 c 之后，我们有了个自由度，可通过调节 c，使得当 v 为整数时，y2 的分子也趋于 0，但存在不恒为 0 的极限。 如何才能保证当 v 趋于整数时，分子也为 0？当 n 为整数时： J-n (x) = (-1)n Jn(x) ⟹ c = (-1)n = cos n π，从而选取 y2 (x) = (cos v π) Jv (x) - J-v (x) sin v π 称为 Neumann 函数或第二类 Bessel 函数 ≡ Nv (x) 这样既能保证 y1 与 y2 都线性无关 ，又保证 v n 时，分子分母同时趋于 0，可望用洛必达法则求其极限 。 以上定义的 y2 无论 v 是否整数，都是 Bessel方程的第二个线性无关解，并且对 v 整数，分子分母同时趋于 0。 然而，分子分母同时趋于 0 并不意味着极限一定存在，因此还需用 L′ Hospital 法则求 v 整数时的极限。 Nn(x) = lim Nv (x) = lim vn [(cos v π) Jv (x) - J-v(x)] / v vn (sin v π) / v = 1 ∂ Jv(x) lim π vn ∂v - (-1)n ∂ J-v (x) ∂v 利用 (1.29) 式 Bessel 函数的定义可求得（不失一般性，设整数 n > 0） ∂ Jv (x) ∂v = ∂ (-1)k ∞ x 2 k+v 利用在对数函数的主值分枝 arg a < π，有 ∂ v k=0 k ! Γ(k + v + 1) 2 (-1)k ∞ = x 2 k+v k=0 k ! Γ(k + v + 1) ln 2 x vn ∂ Jv (x) ∂v = Jn (x) ln x 2 (-1)k ∞ - = az ln a z - ψ(k + v + 1) , 2 其中digamma 函数 （终于派上用处了 ） ψ(k + v + 1) = lim az k=0 k ! (k + n)! x 2 k+n ψ(k + n + 1) Γ′(k + v + 1) Γ(k + v + 1) 果真出现 (1.21) 形式的 对数项 2 类似地 ∂ J-v (x) ∂v = ∂ (-1)k ∞ x 2 k-v ∂ v k=0 k ! Γ(k - v + 1) 2 ∞ = (-1)k x 2 k-v k=0 k ! Γ(k - v + 1) lim vn ∂ J-v (x) ∂v 利用在对数函数的主值分枝 arg a < π，有 = -J-n(x) ln = -J-n(x) ln x 2 x 2 2 ∞ + lim vn ∞ + = -(-1)n Jn(x) ln 2 x + ψ(k - v + 1) , 其中 ψ(k - v + 1) = 2 (-1)k ψ(k - v + 1) k=0 k! (-1)l+n l=0 l ! (l + n)! x -ln ∞ + x 2 k-n Γ(k - v + 1) ! 2 ψ (l +1) (-1)l+n l=0 l ! (l + n)! x 2 l+n 2 ψ (l +1) n-1 (-1)k x 2 l+n 2 z = az ln a Γ′ (k - v + 1) Γ(k + v + 1) , 令：l = k - n + k=0 az k! lim n-1 (-1)k + k=0 ψ(k - v + 1) x 2 k-n vn Γ(k - v + 1) k! 2 (-1)n-k (n - k - 1) ! x 2 k-n 2 13 14 z06a.nb 最后一步利用了：lim ψ(-v) = -(-1)n n !（见上一章 Psi 函数一节的例题，或以下证明）。从而，对 vn Γ(-v) 2 Nn(x) = π Jn (x) ln x - 2 arg x < π 有： 1 n-1 (n - k - 1) ! x 2 k-n 1 ∞ (-1)k x 2 k+n - [ψ(k + n + 1) + ψ(k + 1)] π k=0 k! π k=0 k ! (k + n) ! 2 2 由Wronskian行列式：W[Jv (x), Nv (x)] = 2 知 Neumann 函数与 Bessel 函数线性无关，无论 v 是否为整数。 πx 与 Bessel 函数线性无关的 Neumann 函数的确出现 (1.21) 形式的 对数项。这里只是取巧求出其具体形式。 ◼ lim ψ(z) = -(-1)n n ! 的证明 z-n Γ(z) PolyGamma[z] Limit Gamma[z] , z - n, Assumptions {n > 0, n ∈ Integers} - (- 1)n n ! 由 digamma函数的定义易证 ：ψ(z + 1) ≡ 从而：ψ(z) = ψ(z + n + 1) - 1 - z 1 z+1 Γ′(z + 1) Γ(z + 1) -⋯- = 1 Γ′ (z) + Γ(z) z 1 z+n-1 - 1 z+n = 1 + ψ(z) 递推关系 z , 这里因为 z -n，故把 ψ(z) 写成上式 ，以保证 ψ(z + n + 1) 在 z -n 时趋于 ψ(1) 是解析的 。 类似于 Γ(z)，ψ(z) 在 Re z > 0 解析，在 z 为 0 或负整数时是单极点 ，但留数为 - 1，与 Γ(z) 不同。 Residue[Gamma[z], {z, -n}, Assumptions {n ≥ 0, n ∈ Integers}] Residue[PolyGamma[z], {z, - n}, Assumptions {n ≥ 0, n ∈ Integers}] (-1)-n n! -1 另一方面 ：Γ(z) = Γ(z + n + 1) z(z + 1) (z + 2) ⋯(z + n) , 这里也因为 z -n 而把 Γ(z) 表为：Γ(z + n + 1) 从而 lim ψ(z) z-n Γ(z) ψ(z + n + 1) - 1 - 1 z z+1 Γ(z + n + 1) = lim z-n -⋯- 1 z+n z(z + 1) (z + 2) ⋯(z + n) z(z + 1) ⋯(z + n - 1) (z + n) ψ(z + n + 1) - z+n z = lim z-n - z+n z+1 -⋯-1 , 其中：ψ(z) 在 Re z > 0 解析 Γ(z + n + 1) = (-n) (-n + 1) ⋯(-1) = -(-1)n n ! 6.5 非齐次微分方程的解 对二阶线性齐次常微分方程，据 Frobenius & Fuchs 定理，在常点邻域，可以直接求出如下形式的两个线性独立解 ∞ w(z) = ck (z - z0)k , 其中： c0 ≠ 0 k=0 在正则奇点邻域，可求出如下形式的一个解 z06a.nb 15 ∞ y1 = w(z) = ck (z - z0)k+ρ , 其中：c0 ≠ 0 k=0 再利用 Wronskian 行列式，求出第二个线性无关解 -∫ p(x) x y 2 = y1 y21 x = y1 W[y1 , y2] y21 x 当然，对 Bessel 方程，可使用 特别技巧得到第二个线性无关解 Neumann 函数（也称第二类 Bessel 函数）。 因而原则上，二阶线性齐次常微分方程在常点或正则奇点邻域已可求解。（当然对具体问题，还可以有一些不同技巧。） 二阶线性齐次常微分方程两个线性无关解的线性组合，构成齐次方程的通解。 本节讨论非齐次方程如何求解。 从微分方程理论可知，要求非齐次方程的通解，只需求齐次方程的通解再加上非齐次方程的一个特解。 因而，问题就归结为如何求非齐次方程的一个特解。 还是利用Wronskian行列式 设 y1, y2 是齐次方程的两个线性无关解，而 y3 是非齐次方程的一个特解，即： y″1 + p(x) y′1 + q(x) y1 = 0, y″2 + p(x) y′2 + q(x) y2 = 0, y″3 + p(x) y′3 + q(x) y3 = f (x) 上述第一式乘 y3，第三式乘 y1 ，然后两式相减，得： W[y1, y3] + p(x) W [y1, y3] = f (x) y1 (x), （若 y1 与 y3 均为齐次方程的解 ，则右边为零 ） x 其中 Wrongskian 行列式 W [y1, y3 ] = y 1 y3 = y1 y′3 - y′1 y3 y′1 y′3 现令 W[y1, y3] = W[y1, y2] u(x)，上式可化为 W[y1, y2] u u f (x) y1 u + W [y1, y2 ] + p(x) W [y1, y2] u = f (x) y1(x) ⟹ = x x x W [y1, y2 ] 其中利用了 Wronskian 行列式 W[y1, y2] 满足微分方程： W [y1, y2 ] / x = -p(x) W[y1, y2]，故上式蓝色部分为零。 u x = f (x) y1 ⟹ u= W [y1, y2] f (x) y1(x) W[y1 , y2] x ⟹ W[y1 , y3] = W [y1, y2 ] f (x) y1(x) W[y1, y2] x 另一方面， (y3 /y1 ) x = W[y1, y3] y21 ⟹ y 3 = y1 W[y1 , y3] y21 x = y1 W[y1, y2] y21 f (x) y1(x) W [y1, y2 ] x x 因而，在求得齐次方程的两个线性无关解之后，原则上就可得非齐次方程的一个特解。 从而，非齐次方程的通解原则上就解决了。 利用分部积分，上式还可以化成较为对称的形式 y3 = y 1 = y1 此式视为u 此式视为v f (x) y1 (x) W[y1, y2] W[y1, y2] x y21 此式视为u 此式视为v f (x) y1(x) W[y1 , y2] W[y1, y2] x y21 x 看成 u v = u v - v u 此式视为v x - y1 f (x) y1(x) W [y1 , y2 ] W [y1, y2 ] y21 x x z06a.nb 16 = y2 f (x) y1(x) W[y1, y2] x - y1 f (x) y2(x) W [y1, y2 ] x， 其中利用了从 第一个解通过 Wronskian 行列式求解第二个线性无关解 的公式 ：y2 = y1 W [y1, y2] y21 x 因为 y3 的两个不定积分已包含两个待定常数，故 y3 本身就是非齐次方程的通解。 常数变易法 设 y1, y2 是齐次方程的两个线性无关解，即： y″1 + p(x) y′1 + q(x) y1 = 0, y″2 + p(x) y′2 + q(x) y2 = 0 令非齐次方程 y″ + p(x) y′ + q(x) y = f (x) 的解为 ： y3 = c(x) y1(x) + d(x) y2(x)，（注意若 c、d 为常数 ，y3 仍然是齐次方程的解 ） 从而： y′3 = c y′1 + d y′2 + c′ y1 + d′ y2，令 c′ y1 + d′ y2 = 0, ⟹ y′3 = c y′1 + d y′2 y″3 = c′ y′1 + d′ y′2 + c y″1 + d y″2 ，把 y′3 与 y″3 代入非齐次方程得 y1 是齐次方程的解，此项为0 y2 是齐次方程的解，此项为0 c [y″1 + p (x) y″1 + q (x) y1] + d [y″2 + p (x) y″2 + q (x) y2] + c′ y′1 +d′ y′2 = f (x) 从而我们得到两个关于 c′ 和 d′ 的方程（上面之两蓝色等式） y2 f (x) c′ = ′ ′ c y1 + d y 2 = 0 W[y1, y2] ⟹ ′ ′ ′ ′ c y1 + d y2 = f (x) y1 f (x) d′ = W [y1, y2] 其中 Wrongskian 行列式 W [y1, y2 ] = y 1 y2 y′1 y′2 ≠0 通过积分求出 c 和 d，得到 y3 y 3 = y2 此式为d(x) 此式为c (x) f (x) y1 (x) f (x) y2(x) W[y1, y2] x - y1 W[y1, y2] x 与上一小节用Wronskian行列式求出的结果完全相同。从齐次方程的两线性无关解，也可求得非齐次方程的一特解。 ☺ 例题：求方程 x2 y″ - 2 x y′ + 2 y = x ln x 的通解 2 2 ln x , x = 0 为正则奇点 ，由 Frobenius & Fuchs 定理 解：p(x) = - , q = , f (x) = x x x2 ∞ 齐次方程有解 ：y = xρ ck xk ， 代入齐次方程得 ： k=0 ∞ k k ck [(k + ρ) (k + ρ - 1) - 2 (k + ρ) + 2] x = 0，各 x 的系数为 0。 k=0 令 k = 0 项的系数为 0 得指标方程 ：ρ (ρ - 1) - 2 ρ + 2 = 0 ⟹ ρ = 1, 2 ρ = ρ1 = 1 代入上方程 ，有：k2 - k ck = 0 ⟹ 仅当 k = 0, 1 时，ck ≠ 0 ⟹ y1 = xρ1 (c0 + c1 x) = c0 x + c1 x2 ρ = ρ2 = 2 代入上方程 ，有：k2 + k ck = 0 ⟹ k ≠ 0，ck = 0 ⟹ y2 = c′0 xρ2 = c′0 x2 y1 与 y2 为齐次方程的线性无关解 ，令 y1 中的 c1 = 0 （为何可以这样做 ？） 得到两个新函数 ： z06a.nb 17 y1 = x, y2 = x2 仍然是齐次方程的线性无关解 。 Wronskian 行列式 W[y1 , y2] = x2 y 3 = y2 f (x) y1 W[y1, y2] x - y1 1 解出：y3 = c1 x + c2 x2 - x f (x) y2 W[y1, y2] x ln2 x + ln x + 1 2 Clear["Global`*"] y1 = x; y2 = x2 ; Log[x] fx = ; x y3 = y2 Integrate W = Wronskian[{y1, y2}, x]; fx y1 W , x - y1 Integrate fx y2 W ,x ; y3 = Simplify[%] ys = c1 y1 + c2 y2 + y3 DSolve[x2 y″ [x] - 2 x y′ [x] + 2 y[x] - x Log[ x] 0, y[x], x] - 1 2 x 2 + 2 Log[x] + Log[x]2 c1 x + c2 x2 - 1 x 2 + 2 Log[x] + Log[x]2 2 y[x] x C[1] + x2 C[2] + 1 2 - 2 x - 2 x Log[x] - x Log[x]2 6.5 超几何方程与合流超几何方程 物理问题中常见的常微分方程除：Legendre方程、Bessel方程外，还有 Laguerre方程、Hermite方程、Chebyshev方程、Hypergeometric方程和 Confluent hypergeometric 方程。 前面的方程，可看成 Hypergeometric方程或 Confluent hypergeometric 方程的特殊情况，因此有必要简要了解。 超几何方程 如下形式的二阶常微分方程称为超几何方程，也称为高斯方程。 x (1 - x) y″ + [c - (1 + a + b) x] y′ - a b y = 0, p(x) = c - (1 + a + b) x x(1 - x) , q(x) = - 其中 a, b, c 为实数。显然 x = 0, 1 和 ∞ 是方程的正则奇点。 1. 高斯方程在 x = 0 邻域的解 因为 x = 0 是正则奇点，据 Frobenius and Fuchs定理 ，方程必有一解为如下形式： ∞ y = xρ ck xk, 其中 c0 ≠ 0 k=0 代入微分方程， ∞ {(k + ρ) (k + ρ - 1) (1 - x) + [c - (1 + a + b) x] (k + ρ) - x a b} ck xk+ρ-1 = 0 k=0 ab x(1 - x) (1.30) 18 z06a.nb 由 xρ-1 的系数为 0，可得指标方程为： ρ(ρ - 1) + c ρ = 0 ⟹ ρ1 = 0, ρ2 = 1 - c 取 ρ = 0，可导出 ck 的递推关系： (k + 1) k ck+1 - k(k - 1) ck + c (k + 1) ck+1 - (1 + a + b) k ck - a b ck = 0 ⟹ ck+1 = (k + a) (k + b) (k + 1) (k + c) ⟹ ck ck = (a)k (b)k (c)k k ! c0 从而得解： ∞ y1 (x) = 2F1 (a, b; c; x) = k=0 (a)k (b)k xk (c)k k! c ≠ 0, -1, -2, -3, …, 称为超几何函数 。 超几何函数使用了左、右两个下标 m 和 n，分别代表分子和分母中Pochhammer符号的个数。 前 m 个参数用于分子的Pochhammer符号，后 n 个参数用于分母的Pochhammer符号，最后一个是自变量 x。 更一般的“广义”超几何函数写成， ∞ (a ) (a ) ⋯(ap ) 1 k 2 k k p Fq (a1 , a2 , …, ap ; b1 , b2 , …, bq ; x) = (b ) (b ) ⋯(b ) q k 1 k 2 k k=0 xk k! 其中左、右下标分别表示分子和分母中Pochhammer符号的个数。 可以证明，这种形式的函数可以表示任何相邻系数之比为有理式的级数，即 ∞ αk A(k) = , 其中 A(k) 和 B(k) 为 k 的多项式 。 f (x) = αk xk , αk-1 B(k) k=0 许多初等函数及特殊函数都可以用这种“广义”超几何函数表示。例如： 指数函数 ：x = 0 F0 ( ;; x), 对数函数 ： ln (1 + x) = x 2F1 (1, 1; 2; -x) 因此，某种意义上，“广义”超几何函数在数学分析中完成了像物理学中的大统一理论。 超几何函数与合流超几何函数作为超几何方程 (1.30) 和合流超几何方程的解，是“广义”超几何函数的两个物理上常用的特 例。 再回到超几何方程 (1.30) ，我们已得到一个解 2F1 (a, b; c; x)，另一个解可以由另一个指标 ρ2 = 1 - c 求出。 这里再用一点数学技巧，设： y2 (x) = x1-c g(x), 其中 g(x) 为 x = 0 邻域的解析函数 ，代入高斯方程 (1.30) 可得 g(x) 满足的方程 Clear["Global`*"] eq = x (1 - x) y″ [x] + (c - (1 + a + b) x) y′ [x] - a b y[x]; eqg = eq /. {y[x] x1-c g[x], y '[x] D[x1-c g[x], x], y ''[x] D[x1-c g[x], {x, 2}]}; Simplifyeqg x1-c // TraditionalForm -g′(x) (x (a + b + 3) - 2 c x + c - 2) + (a - c + 1) (-b + c - 1) g(x) - (x - 1) x g′′(x) c′ 1+a′+b′ a′ b′ (1 - x) x g′′(x) + g′(x) (2 - c) - x (a + b + 3 - 2 c) - (a - c + 1) (b - c + 1) g(x) = 0 这个方程又是超几何方程 (1.30)，故可解得：g(x) = 2F1 (a - c + 1, b -c + 1; 2 - c; x) y2 (x) = x1-c 2F1 (a - c + 1, b -c + 1; 2 - c; x), ∞ 比较：y1(x) = 2F1 (a, b; c; x) = k=0 (a)k (b)k xk (c)k k! c ≠ 2, 3, 4, …, 可知，以上所求之 y1 (x) 和 y2 (x) 在 c 为非整数时线性无关 。 当 c = 1 时，y2(x) = y1(x)；当 c 为不等于 1 的整数时， y1 (x) 和 y2 (x) 有一个可能出现分母为 0，舍去。 因而，当 c 为整数时， y1(x) 和 y2(x) 中仅剩一个解，方程的另一个解含对数项，形如 通常说的超几何函数指的是 ∞ 2 F1 (a, b; c; x) = k=0 (a)k (b)k xk (c)k k! 。 (1.21) 中的 y2(x) 形式。 z06a.nb 19 2. 超几何函数的收敛性 高斯方程：x (1 - x) y″ + [c - (1 + a + b) x] y′ - a b y = 0 的一个解可写成如下无穷级数形式： ∞ (a)k (b)k 2 F1 (a, b; c; x) = k=0 xk (c)k k! ck ⟹ lim c ≠ 0, -1, -2, -3, …, 称为超几何函数 。 其相邻系数之比 ck+1 = (k + a) (k + b) (k + 1) (k + c) k∞ ck-1 = 1，收敛半径 R = 1 ck 可以证明，当 a, b, c 和 x 均为实数时， 如 c > a + b, 级数在 - 1 ≤ x ≤ 1 收敛 如 a + b - 1 < c ≤ a + b, 级数在 - 1 ≤ x < 1 收敛 Clear[a, b, c, x]; Series[Hypergeometric2F1[a, b, c, x], {x, 0, 4}] 1+ abx + a (1 + a) b (1 + b) x2 + a (1 + a) (2 + a) b (1 + b) (2 + b) x3 2 c (1 + c) 6 c (1 + c) (2 + c) c a (1 + a) (2 + a) (3 + a) b (1 + b) (2 + b) (3 + b) x4 + O[x]5 24 c (1 + c) (2 + c) (3 + c) + 3. 用超几何函数表示其它特设函数—— 超几何函数表示 超几何方程通过变量代换，可化为许多微分方程。因而许多微分方程的解（对应于特殊函数），即可表为超几何函数。 作为例子，看Legendre方程 (1.2) 和 Gauss方程 (1.7) Legendre 方程： 1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 Hypergeometric 方程： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0，也称为Gauss方程 。 对Gauss方程做变量变换 x = (1 - t) ，并令：g(t) = y(x)，方程化为 2 hypgx = x (x - 1) y″ [x] + ((a + b + 1) x - c) y′ [x] + a b y[x]; sol = Solve[x (1 - t) / 2, t]; sim = {y[x] g[t], y '[x] D[g[t] /. sol[[1]], x], y ''[x] D[g[t] /. sol[[1]], {x, 2}]} hypgt = hypgx /. sim /. x (1 - t) / 2; Simplify[hypgt] // TraditionalForm {y[x] g[t], y′ [x] - 2 g′ [1 - 2 x], y′′ [x] 4 g′′ [1 - 2 x]} g′(t) (a (t - 1) + b (t - 1) + 2 c + t - 1) + a b g(t) + t2 - 1 g′′ (t) 1 - t2 g′′(t) + [a + b - 2 c + 1 - (a + b + 1) t] g′(t) - a b g(t) = 0 (1.31) 与Legendre方程：1 - x2 y″ - 2 x y′ + l(l + 1) y = 0 比较， a = -l，b = l + 1, c = 1 a+b-2c+1=0 当 (a + b + 1) = 2 时， ⟹ 当 a b = -l(l + 1) g(t) 所满足的方程 (1.31) 即为 Legendre方程，但是， 时 或 a = l + 1，b = -l, c = 1 20 z06a.nb g(t) = 2F1 (-l, l + 1; 1; x) = 2 F1 -l, l + 1; 1; 从而 g(x) = 2F1 -l, l + 1; 1; 1-x 2 1-t 2 = Pn(x) 满足Legendre方程。即：Legendre方程的解必可表为超几何函数 可以用超几何函数表示的特殊函数还有：超求函数 或 Legendre函数可以用超几何函数表示。 (ultraspherical functions)，连带 Legendre函数，Chebyshev 函数等等。 Clear[n]; Hypergeometric2F1[- n, n + 1, 1, (1 - x) / 2] LegendreP[n, x] FullSimplify[% - %%] Hypergeometric2F1 - n, 1 + n, 1, 1-x 2 LegendreP[n, x] 0 合流超几何方程 如下形式的二阶常微分方程称为合流超几何方程，也称为库默尔 (Kummer) 方程。 c-x a x y″ + (c - x) y′ - a y = 0, p(x) = , q(x) = x x (1.32) 其中 a, c 为实数。显然 x = 0 是方程的正则奇点，而 x = ∞ 是方程的非正则奇点。 1. 为何称为合流超几何方程？ 对超几何方程做变量代换：x = t ，有 β x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0 t x x= , g(t)=y β β t t β - 1 g″ + (1 + a + b) t β - c g′ + a b β y=0 这个方程的奇点为：t = 0, β 和 ∞，均为正则奇点。 现令 β = b ∞，方程退化为：-t g″ + (t - c) g′ + a y = 0 ⟹ x y″ + (c - x) y′ - a y = 0 , 此即 Kummer方程 而超几何方程的两个正则奇点 t = β 和 ∞ 就"同流合污"为一个非正则奇点 ∞，故称为合流超几何方程。 2. Kummer方程在 x = 0 邻域的解 因为 x = 0 是正则奇点，据 Frobenius and Fuchs定理 ，方程必有一解为如下形式： ∞ y = xρ ck xk, 其中 c0 ≠ 0 k=0 类似于超几何方程，可解得两个指标为： ρ1 = 0, ρ2 = 1 - c，对应的两个解为（解法与超几何方程类似） ∞ y1 (x) = 1F1 (a; c; x) = (a)k xk k=0 (c)k k! = M(a, c, x) c ≠ 0, -1, -2, -3, …, 称为合流超几何函数 、Kummer函数 。 y2 (x) = x1-c 1F1 (a - c + 1; 2 - c; x) = x1-c M(a - c + 1, 2 - c, x) c ≠ 2, 3, 4, …, 显然，这两个解继承了超几何方程两个阶段缺陷：c 为整数时，两个解要么线性相关，要么有一个分母出现 仿照 Bessel 方程中引入线性无关解 Neumann函数的方法，对 Kummer方程，第二个解取为 U (a, c, x) = π M(a, c, x) sin c π Γ(a - c + 1) Γ(c) - x1-c M(a - c + 1, 2 - c, x) Γ(a) Γ(-c) 0。 z06a.nb 3. Kummer函数的收敛性 Kummer方程的一个解可写成如下无穷级数形式： ∞ M(a, c, x) = 1 F1 (a; c; x) = (a)k xk k=0 (c)k c ≠ 0, -1, -2, -3, …, 称为合流超几何函数 。 k! 其相邻系数之比 ck+1 = (k + a) (k + 1) (k + c) ck ⟹ lim k∞ ck-1 = ∞，收敛半径 R = ∞ ck 一个很好的级数， c 为 0 或负整数除外。 4. 合流超几何函数表示 类似于高斯方程（超几何方程），通过变量代换，Kummer方程也可化为许多微分方程。 因而许多微分方程的解（对应于特殊函数），即可表为合流超几何函数（Kummer 函数）。 典型的有 Bessel函数、Hermite函数、Laguerre函数等。 Bessel 函数：Jv (x) = - x x v Γ(v + 1) 2 Hermite 函数：H2 n(x) = (-1)2 M v+ (2 n)! n! 1 , 2 v + 1, 2 x 2 M -n, 1 2 , x2 , H2 n+1 (x) = (-1)2 Laguerre 函数：Ln(x) = M(-n, 1, x) 由两个Kummer函数 M(a, b, x) 和 U(a, b, x)，可定义两个Whittaker 函数： Mκμ (x) = -x/2 xμ+1/2 M μ - κ + Wκμ(x) = -x/2 xμ+1/2 U μ - κ + 1 , 2 μ + 1, x 2 1 , 2 μ + 1, x 2 1 - μ2 它们满足自伴方程：y″ + - 1 + κ + 4 2 y=0 4 x x (2 n + 1) ! n! 2 x M -n, 3 2 , x2 , 21