渐近线和绘图.pdf
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数学是科学的女王 数学教研室 一、函数曲线的渐近线 定义: 1.垂直渐近线(垂直于 x 轴的渐近线) 如果 lim f ( x ) 或 lim f ( x ) x x0 x x0 那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线. 1 , 例如 y ( x 2)( x 3) 有铅直渐近线两条: x 2, x 3. 2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) 如果 lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数) x x 那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线. 例如 y arctan x , 有水平渐近线两条: y , 2 y . 2 3.斜渐近线 如果 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 x 或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) x 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线. 斜渐近线求法: f ( x) lim a , lim[ f ( x ) ax ] b. x x x 那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线. 2( x 2)( x 3) 的渐近线 例1：计算 f ( x) ( x 1) lim f ( x) x 1 x 1 是曲线的铅直渐近线. f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1) 2( x 2)( x 3) lim [ 2 x] x ( x 1) 2( x 2)( x 3) 2 x( x 1) 4, lim x x 1 y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线. 2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1 二、作业：求渐近线。 1 (1) y x x 2 1 (2) y 2 1 x 3x 2 2 x 3 (3) y x 1 三、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形. 确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, ' " f ( x ) f 求出函数的一阶导数 和二阶导数 ( x ) ; 第一步 第二步 求出方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间. ' " f ( x ) f 和 ( x ) 的符 第三步 确定在这些部分区间内 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ； 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近 线以及其他变化趋势; 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形. 第五步 注 描出图形上处于重要位置的点（峰、谷、拐点、 与坐标轴的交点等）掌握图形在各部分区间上 的主要性态（升降、凹凸等），比较准确地描 绘处函数图形的特性。 例2 解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性. 4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2, 令 f ( x ) 0, 得特殊点 x 3. 4( x 1) lim f ( x ) lim [ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x 4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x 得铅直渐近线 x 0. 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 (2,0) f ( x ) f ( x ) 0 拐点 f ( x) 0 极值 点 0 不存在 间 断 点 (0,) 补充点 : (1 3 ,0), (1 3 ,0); A ( 1,2), C ( 2,1). B (1,6), y 6 作图 1 3 2 1 o 1 2 3 2 x 四、作业：描绘函数的图形。 2x 1 (1) y ( x 1) 2 2 x (2) y 1 x