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数学分析课程中的几个反例 1．处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定 义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的 不可导点至多是可列集。虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一 段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅 仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反 例的。但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可 以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass 是一位研究级 数理论的大师，他于 1872 年利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结： ∞ f ( x) = ∑ a n sin ( b n x ) ， 0 < a < 1 < b ， ab > 1 。 n =0 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家 Van Der Waerden 于 1930 年给出的。 设 ϕ (x)表示 x 与最邻近的整数之间的距离， 例如当 x = 1.26， 则 ϕ (x) = 0.26；当 x = 3.67，则 ϕ (x) = 0.33。显然 ϕ (x)是周期为 1 的连续函数， 且 ϕ( x) ≤ 1 / 2 。 注意 1 2 1 2 当 x, y ∈ [k , k + ] 或 [k + , k + 1] 时，成立 | ϕ ( x) − ϕ ( y ) |=| x − y | 。 Van Der Waerden 给出的例子是： ϕ (10 n x) 。 ∑ n 10 n =0 ∞ f (x ) = ∞ ϕ (10 n x) 1 1 由 ≤ ，及 的收敛性，根据 Weierstrass 判别法， ∑ n n n 10 2 ⋅ 10 n = 0 2 ⋅ 10 上述函数项级数关于 x ∈ (−∞,+∞ ) 一致收敛。所以 f (x) 在 (−∞,+∞) 连续。 1 现考虑 f (x) 在任意一点 x 的可导性。由于 f (x) 的周期性，不妨设 0 ≤ x < 1 ，并将 x 表示成无限小数 x = 0.a1a2…an…。 若 x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0。然后我们取 ⎧ 10 − m , 当a m = 0,1,2,3,5,6,7,8, hm= ⎨ −m ⎩ − 10 , 当a m = 4,9, 例如设x = 0.309546…，则我们取h1 = 10 −1 ，h2 = 10 −2 ，h3 = − 10 −3 ， h4 = 10 −4 ，h5 = − 10 −5 ，h6= 10 −6 ，…。显然 hm → 0 ( m → ∞ )。 于是我们只要证明极限 mlim →∞ f ( x + hm ) − f ( x) 不存在。 hm f ( x + hm ) − f ( x) = hm ϕ (10 n ( x + hm )) − ϕ (10 n x) ∑ 10 n hm n=0 ∞ ϕ (10 n ( x + hm )) − ϕ (10 n x) ∞ ϕ (10 n ( x + hm )) − ϕ (10 n x) 。 =∑ +∑ 10 n hm 10 n hm n =0 n=m m −1 当 n ≥ m 时， ϕ (10n(x + hm)) = ϕ (10nx± 10 n− m ) = ϕ (10nx)，所以 f ( x + hm ) − f ( x) m −1 ϕ (10 n ( x + hm )) − ϕ (10 n x) =∑ . hm 10 n hm n =0 当 n = 0,1,2," , m − 1 ，在 10 n x 的表示中 am 的位置是第 m − n 位小数， 10 n x = a1 a 2 " a n . a n +1 " a m " , 10 n ( x + hm ) = a1 a 2 " a n . a n +1 " ( a m ± 1) " , 1 2 1 2 由 hm 的取法，可知 10n(x + hm)与 10 n x同时属于 [k , k + ] 或 [k + , k + 1] ， 因此 ϕ ( 10 n (x + hm )) - ϕ ( 10 n x) = ± 10 n hm ， 于是我们得到 f ( x + hm ) − f ( x) = hm 2 m −1 ∑±1 ， n=0 等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知极限 f ( x + hm ) − f ( x) m →∞ hm lim 不存在，也就是说， f (x) 在任意一点 x 是不可导的。这样，一个处处 连续，但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造 出来了。 电子课件演示 Weierstrass 的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为 对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又 一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对 这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生。 所谓“分形”，就是指几何上的一种“形” ，它的局部与整体按某种方 式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。 我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但 是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述 的“自相似性”。如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线； 蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线， 虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起，就 得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的 新的学科。 通过这个例子，同学们可以认识到数学家如何通过从提出猜想， 到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，希望学生在今后 的学习中重视对反例的探讨。 3 2. Peano 曲线 什么是曲线？曲线就是一个从实轴上的闭区间到平面（或空间） 的连续映射。如果这个映射具有非零的连续导数，则称曲线是光滑的， 大家已经知道光滑曲线是可求长的。否则的话，曲线有可能不可求长。 从常识来讲，曲线所绘出的图形的面积（或体积）似乎应该为零。但 事实上一条曲线所绘出的图形的面积（或体积）并不一定是零。不仅 如此，意大利数学家 Peano（1858 年 8 月—1932 年 4 月）发现，存 在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域（如三角形和正方 形）的连续映射。也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这 种曲线被称为 Peano 曲线。 在学习了函数序列一致收敛概念以后，我们就能在数学分析课程 中讲解这一数学上的经典结论。以下我们给出一个将 [0,1] 映满平面上 边长为 1 / 2 的正三角形的连续映射的构造方法。 设Δ为平面上边长为 1 / 2 的闭正三角形。作连续映射 f 1 : [0,1] → Δ ， 使得它的像是三角形的一个顶点到重心再到另一个顶点的折线，如图 1 所示。将Δ分为四个全等三角形，再作 f 2 : [0,1] → Δ ，使得 f 2 在每个 i i + 1⎤ ⎥ 上的像分别完全落在一个小三角形 Δ i（ i = 0,1,2,3 ）上，且 f 2 ⎣4 4 ⎦ 区间 ⎡⎢ , 的像在小三角形 Δ i 的部分恰如 f 1 的像，如图 2 所示。继续将每个小三 角形 Δ i 分为四个更小的全等三角形，作连续映射 f 3 : [0,1] → Δ ，使得在 i i + 1⎤ ⎥（ i = 0,1,2,3 ）上的像分别完全落在一个小三角形 Δ i 上， ⎣4 4 ⎦ 每个区间 ⎡⎢ , f 3 在这个区间上的构造完全类似于 f 2 在 [0,1] 上的构造，而且 f 3 的像在 4 更小的三角形的部分恰如 f 1 的像，如图 3 所示。如此继续下去，将正 三角形Δ等分为 4 n −1 个小全等三角形，用归纳法可作出连续映射 f n : [0,1] → Δ ，使得从 f n −1 到 f n 的构造完全类似于从 f 2 到 f 3 的构造，且 f n 的像在每个小三角形的部分恰如 f 1 的像。这样就可以构造一个连续映 射序列 { f n } 。 图2 图1 图3 设 m ≤ n ，由序列 { f n } 的构造可知，对于每个 t ∈ [0,1] ，若 f m (t ) 落在某 个 Δkm 中，则 f n (t ) 必然也落在这个 Δkm 中，也就是说可以找到边长为 1 / 2 m 的小三角形同时含有 f m (t ) 和 f n (t ) ，因此对一切 t ∈ [0,1] ，成立 | f m (t ) − f n (t ) |≤ 1 / 2 m ， 5 其中 m ≤ n 。这说明函数序列 { f n } 满足一致收敛的 Cauchy 收敛原理， 于是 { f n } 在 [0,1] 上一致收敛于一个连续映射 f : [0,1] → Δ ，且 f 满足 | f m (t ) − f (t ) |≤ 1 / 2 m ， t ∈ [0,1] 。 现在证明 f 的像为整个Δ。 先证明 Δ 上每一点都是 f 的像集的聚点。从 { f n } 的构造可知：f n 关 于 [0,1] 区间的像到Δ上任一点的距离不超过 1 / 2 n 。设 a 是 Δ 上任一点， 则对任意的 n ，存在 t n ∈ [0,1] ，使得 | a − f n (tn ) |≤ 1 / 2 n 。 因此 | a − f (tn ) |≤ | a − f n (tn ) | + | f n (tn ) − f (tn ) |≤ 1 / 2n + 1 / 2 n = 1 / 2 n −1 ， 由 n 的任意性，可知 a 是 f 的像集的聚点。 显然 f ([0,1]) ⊂ Δ 。而 f 为连续映射，所以 f ([0,1]) 为紧集，因此是闭 集，所以 f ([0,1]) 包含它的所有聚点，因此 f ([0,1]) = Δ ，即 f 的像为整个 Δ。 注 可以同样构造一条空间曲线，它通过某个空间区域的每一个点。 3. Schwarz 的反例 我们将光滑曲线的内接折线长度的极限定义为曲线的弧长，但这 一定义不能推广到光滑曲面的面积定义上去。Schwarz 曾举过一个例 子：即使对一段圆柱面，都无法用“内接多面形之面积的极限”来定 义它的面积。 设一圆柱面的高是 h ，半径是 r ，那么它的面积显然是 2πrh 。在 6 这个圆柱面上取三点 A ， B 和 C ，使得 A, B 在同一高度上，而 C 和 A, B 不在同一高度上，且 C 在 A, B 的连线上的投影 C ′ 恰是线段 AB 的的中点 (图 4)。 作三角形 ABC ，则它是圆柱面的一个内接多边形。再由图 2 那样， 作出圆柱面的内接多面形，它是由许多三角形连结起来的，每一个三 角形都如同三角形 ABC 。问题是当这些三角形的直径都趋于 0 时，它 们的面积之和的极限是否为圆柱面的面积 2πrh 呢？ 把圆柱面的底圆 m 等分，高 n 等分，这时图 5 中的三角形共有 2mn 个，并且都是全等的。易计算每个三角形的底边长是 2r sin π m ，高是 π ⎞ ⎛h⎞ ⎛ r ⎜1 − cos ⎟ + ⎜ ⎟ ,那么其面积为 m⎠ ⎝n⎠ ⎝ 2 2 2 图4 1 π ⋅ 2r sin 2 m 图5 π π h2 π ⎞ ⎛h⎞ ⎛ 4r 2 sin 4 + 。 r ⎜1 − cos ⎟ + ⎜ ⎟ = r sin m⎠ ⎝n⎠ m 2m n 2 ⎝ 2 2 2 于是所有小三角形组成的内接多面形的面积 S mn 为 7 S mn = 2mnr sin π m 4r 2 sin 4 π 2m + h2 n2 π ⎞ π ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ sin ⎟ π 4 r 2 ⎜ sin ⎟ n2 m m 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 2πrh +1 。 ⎜ π ⎟ 4h 2 ⎜ π ⎟ m 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ m ⎠ ⎝ 2m ⎠ 4 由于当 m → ∞ ， n → ∞ 时，上式中两圆括号 内的值都趋于 1，因此 S mn 的极限与 有关。当 存在；当 n 的极限 m2 n 的极限不存在时， S mn 的极限也不 m2 图6 n 有极限 l 时， S mn 的极限为 m2 π 4 r 2l 2 S (l ) = 2πr 4 + h2 。 这一极限与 l 有关，即与 m, n 同时趋于无穷大的方式有关。只有当 l ＝0 时它才是圆柱面的面积 2πrh 。 由于 m, n 可以各自独立地趋于无穷大，所以 S mn 确实没有一个与 m, n 增加方式无关的极限。也就是说，无法用“内接多面形之面积的 极限”来定义曲面的面积。 再来看一下 l ＝0 的几何意义：设 θ 是三角形所在平面与圆柱面母 n → 0 时，显然有 m2 线的夹角(图 6)，那么当 l = 0 ，即 π π ⎞ ⎛ r − r cos 2r sin ⎟ n 2 ⎜ sin π r⎜ m 2 m 2 m ⎟ tan θ = = = → 0， h h 2h ⎜ π ⎟ m 2 ⎜ ⎟ n n ⎝ 2m ⎠ 2 π 2 这说明只有当三角形所在的平面趋于切平面位置时， S mn 才可能以圆 柱面的面积为极限。 8