隐函数求导.pdf

数学是科学的女王 数学教研室 隐函数的求导法则 定义: y  f ( x ) 形式称为显函数. F ( x, y)  0 y  f ( x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 设F ( x, y )  0确定了一元隐函数 y  y( x ) 将 y  y( x )代入F ( x, y )  0得 du 则 0 dx 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 du 记 z  f ( y ) 将求出的这些导数代入  0 dx dy 得到关于 的代数方程， dx dy dy 解得  g( x , y )即为所求  f ( y )  dx dx d 要求的是 [ f ( y )] dx dz dz dy    dx dy dx 例1 解 方程两边对 x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx dy e x  y 解得  , y dx x  e 由原方程知 x  0, y  0, dy e y  1.  x0  y x0 dx x  e y0 x 例2 2 2 3 x  3 y y  3 y  3 xy 解 方程两边对 x求导, y  x2  y 3 3  2 ( , ) y x 2 2 3 3 ( , ) 2 2   1. 3 3 所求切线方程为 y   ( x  ) 即 x  y  3  0. 2 2 3 3 即 y  x, 法线方程为 y   x  显然通过原点. 2 2 例3.求隐函数的导数： (1) y  1  xe y (2) y  cos( x  y) (3) xy  e x y 求隐函数的导数作业： 1. ye  ln y  1 y 2 2 2.arctan  ln x  y x x 3. y  cos( xy ) 2