量子广义Kac-Moody代数的三角分解.pdf
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第 !" 卷 第 " 期 "(("年)月 中 国 科 学 技 术 大 学 学 报 !"#$%&’ "( #%)*+$,)-. "( ,/)+%/+ &%0 -+/1%"’"2. "( /1)%& #$% & !"，’$ & " *+, & " ( ( " 文章编号： （"(("） ("-!."//0 (".(1--.(2 量子广义 34567889: 代数的三角分解 黄华林，叶 ! 郁，傅广宇 （中国科学技术大学数学系，安徽合肥 "!(("3） 摘要：论文主要研究广义 456.7$$89 代数的量子包络代数的结构理论，特别地，我们 给出其三角分解形式，以及各部分详细的生成元和定义关系 & 关键词：广义 456.7$$89 代数；量子包络代数；三角分解 文献标识码：* 中图分类号：:1-" & （;<<<）,=>?@5A /B4CCDED54AD8F：1/;!/，13,8?［1］引进，并在 #>,@>A 5%B>C,5? 和 7$D?@,$E? F$$D?=GD> 上有重要应用 & 由于广义 456.7$$89 代数与 456.7$$89 代数的 相似性，我们很自然地希望研究广义 456.7$$89 代数的量子化 & 这种量子广义 456.7$$89 代 数首先由 45DB［"］于 122- 年提出，但本质上 45DB 文中只定义了特殊类型的广义 456.7$$89 代 数的量子包络代数，并且无论从定理的表述还是证明过程均没有得到其三角分解的各部分 的定义关系 & 在本文中，我们将采用适用范围更广的广义 456.7$$89 代数的量子包络代数的定义，并 考察其 H$+I 代数结构；采用 J5D@K>D［!］书中的处理方法并吸取 45DB 文的某些证明思想，给出 其三角分解并得到其各部分详细的生成元和定义关系 & 特别地，退化到 456.7$$89 代数的量 子包络代数的情形（即虚单根集为空集的情形），我们的证明也较 J5D@K>D［!］中的证明更为简 单& G 广义 34567889: 代数及其量子化 设 ! 是实向量空间，其上有一非退化的对称双线性型，且 ! 中有线性无关子集｛"# # " $ ｝，$ 是可数集（可以无限），满足： （1） （ "# ，"% ）是有理数，# # ，% " $ ； （"） （ "# ，"% ）$ (，# # % % ； （ " " ，" ） （!）如果（ "# ，"# ）& (，则对 # % ， # % 是整数 ’ （ "# ，"# ） "(((.1".12 ! 收稿日期： 基金项目：国家自然科学基金（122/1(0(）资助项目 万方数据 作者简介： 黄华林，男， 12/- 年 1 月生，博士研究生 & L.F5G%：=E5%GDM F5G% & E?@6& >8E& 6D 中国科学技术大学学报 #/9 第 $" 卷 （ " #$ ，#’ ） " 我们定义一个关于 ! 的实李代数 ) ，它由 （ #$ ，#$ ） 满足如下定义关系： *$ ，+（ $ $ ! , ）及 ! 生成， 给定 ! 如上 " 若（ #$ ，#$ ）% !，则记 &$’ ( ［ # ，#- ］( !，" # ，#- ! ! ； （#） （"） ［ # ，*$ ］(（ # ，#$ ）*$ ， ［ # ，+ $ ］( .（ # ，#$ ）+ $ ，" # ! ! ，$ ! , ； （$） ［ *$ ，+ ’ ］( !$’#$ ， !$’ 是 %&’()*+)& 符号； #. &$’ #. &$’ （,）若（ #$ ，#$ ）% !，则（ -.*$ ） *’ ( ! (（ -. + $ ） + ’ ，" ’ # $ ； （/）若（ #$ ，#’ ）( !，则［ *$ ，*’ ］( ! (［ + $ ，+ ’ ］" 我们称 ) 为关于 ! 的广义 %-*01’’.2 代数 3 令（ $ ，’ ）(（ #$ ，#’ ），则 ! 上的非退化对称双线性型诱导出/ !, 上的一个双线性型 " 容易 看 到 ) 是/ !, — 分次代数，其根格是 / !, " 我们称 , 中元为单根，并可以作 , 的分解 , ( ,0* $ ,$1 ， 其中 ,0* ( ｛$ ! , （ $ ，$ ）% !｝，,$1 ( ｛$ ! , （ $ ，$ ）% !｝，分别称为实单根集和虚单根集 3 注记 #：如果 ,$1 ( !且 ,0* 是有限集，则得到的即是通常的 %-*01’’.2 代数 3 注记 "：注意，这里我们并未假定｛#$ $ ! , ｝是 ! 的一组基，所以由 ! 上的非退化双线性型诱导出的 !, 上的双线性型不一定是非退化的 3 / 在给出广义 %-*01’’.2 代数的量子包络代数的定义之前，我们先回顾量子群理论里常 用的符号 3 令 2 是不定元，对 ! % 3 % 4 ，记 ［ 4 ］( [ ] 4 4 ［ 4 ］！ 24 . 2 . 4 ， ［ ］ ！ ［!］！( #， 4 " ( &［ 3 ］， (［ ］！ .# ［ 4 . 3 ］！ 3 2 . 2 3 3(# （ $ ，$ ） " 设" 为 2 的 4-5&)(6 多 " （ 65$ ）" 特别地，6$ ( 65$ " 项式，6 为正实数且对任意 $ ! ,0* ，6 "5$ ( 6（ #$ ，#$）# #，记"$ ( " 设给定指标集 , 和对称双线性型（ 7 ，7 ）同 # 3 # 3 广义 %-*01’’.2 代数 ) 的量子包络代 这些均是关于 2 的整系数 4-5&)(6 多项式 3 对于 $ ! , ，记 5$ ( 数 7 是含 # 结合 8 " . 代数，由 9$ ，:$ ，;$ ，;$ .#（ $ ! , ）生成并满足以下定义关系： （8#）;$; .# ; $; ’ ( ; ’; $ ； ( # ( ; .# $ $ ;$ ， .# ； （8"）9$:’ . :’9$ ( !（ $’ ;$ . ; $ ） （8$）;$9’; .# ( 6（ $，’）9’ ； $ （8,）;$:’; .# ( 6 .（ $，’）:’ ； $ （8/）若（ $ ，’ ）( !，则 9$9’ . 9’9$ ( !； （89）若（ $ ，’ ）( !，则 :$:’ . :’:$ ( !； [ # .3 & ] 9 9 9 #. & （8;）’（ . #）[ ] ::: 3 #. &$’ （8:）’（ . #）3 $’ 3(! #. &$’ 3 3(! 3 #. &$’ . 3 $ ’ $ ( !，" $ ! ,0* ，’ # $ ； 3 #. &$’ . 3 $ ’ $ ( !，" $ ! ,0* ，’ # $ " $ $’ $ 注记：由定义可知，若 ,$1 ( !且 ,0* 是有限集，则相应的量子广义 %-*01’’.2 代数即为通常的量子群 3 量子 <)&&) 关系（8:）和（8;）比较复杂 3 当 $ ! ,0* 且（ $ ，’ ）( ! 时， （8:）和（ 8;）分别包含 了（8/）和（89）3 一般我们先来考察代数( 7 ，它的生成元同 7 ，但定义关系只有（ 8#）—（ 8,）3 .# ( 我们仍记万方数据 9$ ，:$ ，;$ ，; $ （ $ ! , ）在( 7 及 7 中的象为相同的符号 " 记( 7<， 7 ! 和( 7 . 分别为 第%期 量子广义 6#78900&: 代数的三角分解 !54 ! ! 中由｛"# # " $ ｝，｛%# ，% &! # " $ ｝和｛’# # " $ ｝生成的子代数 ( 类似地，我们定义 ! ) ，!" # 和 ! & ( 由! ! 及 ! 的定义，我们容易得到以下简单事实： （ "# ）* ’# ， （ ’# ）* "# ，! （ %# ）* % &! 引理 ! （ #）! ! 及 ! 上有唯一自同构! 使得! ! # ( （ $）! （ "# ）* "# ， （ ’ # ）* ’ # ， （ %# ）* % &! ! 及 ! 上有唯一反自同构" 使得" " " # ( ! 由以上事实可知， ! )（或 ! ) ）和! ! &（或 ! & ）作为代数是同构的；并且引理中的 ! 和" 的阶 均是 %，即 !% * ! * "% ( " ! ! 及 ! 的 #$%& 代数结构 代数 ! ! 及 ! 均是+ !$, 分次的：首先，在由 "# ，’# ，%# ，% &! # （ # " $ ）生成的自由结合代数 上定义 &’("# * # ，&’(’# * & # 和 &’(%# * " * &’(% &! !$, 分次；再注意关系（)!） # 得到一个+ ! *（)+）都是齐次的，从而 ! ! 及 ! 均继承了这一分次 ( 子代数! !)， ! " 和! ! &（或 ! ) ，!" 和 ! & ） 均由齐次元生成，所以也都是分次的 ( 张量积代数 ! ! #! !（或 ! # ! ）也是分次的代数：设 （ - # . ）*（ &’(- ，&’(. ）( - ，. " ! !（或 ! ）均为齐次元，定义 &’( 0 设# " + !$ ， # * $### ，记 %# * %%## # ( 设 / *（ / ! ，…，/0 ）" $ 为有限单根序列，定义 # # （ / ）* / ! ) … ) /0 ，并记 ,"/ * "/! … "/0 ，’/ * ’/! … ’/0 ( 特别地，约定 "! * ! * ’!( 对 $ " 1 （ / ）* $｝( 由 "" $ ， $ $）* ｛/ ,$ * $$## ，我们定义 （ # 前面分次的定义，我们容易得到 ! ) * &$" 1"" $!$) ，! & * &$" 1"" $! &&$ ( 其中 !$) 和 ! &&$ 分别由｛"/ / " （ $ $）｝和｛’/ / " （ $ $）｝线性张成 ( 类似地，我们有! ! ) 和! !& 的分解 . 引理 " ! ! 上有唯一的 /012 代数结构（%， &，2 ）使得对 ’ # " $ （ "# ）* "# # ! ) %# # "# ，& （ "# ）* "，2（ "# ）* & % &! " # "# ， （ ’# ）* ’# # % &! （ ’# ）* "，2（ ’# ）* & ’#%# ， " & # ) ! # ’# ， （ %# ）* %# # %# ，& （ %# ）* !，2（ %# ）* % &! " # ( 证明 首先容易验证由 "# ，’# ，%# ，% &! # （ # " $ ）生成的自由结合代数上有引理给出的 /012 代数结构 . 我们只要验证由定义关系（ )!）*（ )3）生成的理想是 /012 理想，这相当于验 证生成元在（%， &，2 ）下的象满足关系（ )!）*（ )3）. 这里我们只验证（ )%），其它都比较明 显 . 对 # ( 3 时相当于要验证以下交换子为零： ［" （ "# ）， （ ’3 ）］*［ "# # !，’3 # % &! ! # ’3 ］) " 3 ］)［ "# # !， ［ %# # "# ，’3 # % &! ! # ’3 ］* 3 ］)［ %# # "# ， &! " ) " ) %#’3 # "#% &! 3 & ’ 3%# # % 3 "# ) " * &（ #，3） "#% &! 4 &（ #，3）’3%# # "#% &! * "， 3 & ’ 3% # # 4 3 万方数据 （ "# ）， （ ’3 ）］ *［"， ［& "］* "， & &! ［ 2（ ’3 ），2（ "# ）］* ’3%3% &! # " # & % # "#’3%3 * 中国科学技术大学学报 !(’ 第 *# 卷 "! （ ! "! !%&#! "! !% " ! "! # （ ! #$ %! # ） % ） # & #$ %!% ’ ! "! % ）｝$%(（ # ，% ）｝&#!% " ! "! # ( "（ # ， # &#$%!% ’ ! "! &# ］!% ’ " ) # ［ $% ， 当 # ’ % 时， ［! （ &# ）， （ $# ）］’［ &# ! !，$# ! ! "! ! ! $# ］* ! # ］*［ &# ! !， "! ［ !# ! &# ，$# ! ! # ］*［ !# ! &# ， ! ! $# ］’ （ &#$# " $#&# ）! !# * !# !（ &#$# " $#&# ） ’ "! "! （ !# " ! "! # ）! ! # * !# !（ !# " ! # ）’ "! （ !# ）" ! （ ! "! ， !# ! !# " ! "! ’! # ! !# # ） ［" （ &# ）， （ $# ）］ ’［"， "］’ "， " "! ［ +（ $# ），+（ &# ）］ ’ $#!#! "! # &# " ! # &#$#!# ’ （ !# ）" +（ ! "! $#&# " &#$# ’ ! "! ) # " !# ’ + # ） 引理 # 中的 + 实际上是" , 的反自同构：对 # # $ - ，我们定义 + "!（ &# ）’ " &#! "! + "!（ $# ）’ " !#$# ，+ "!（ !# ）’ ! "! # ， # ) 容易验证，++ "! ’ ! ’ + "! + ) 由归纳法容易得到对 # # $ - 且（ # ，# ）% "，. $ / !" . . ." 0 0 0 . " 0） （ & .#）’ & (（ & ! # ! & 0#， ! # 0 # [] [ .0] $ ! $ ! ， 0’" # . 0 . " 0） （ $ .#）’ & (（ ! # 0’" 0 # ." 0 " 0 # # # . . "!） " . . . . "!） . . +（ & .#）’（ " !）.(（ !# & # ，+（ $ .#）’（ " !）.( "# （ $ #! # ) # 若（ # ，# ）’ "，则对 # . $ / !" 有 &( 0) . . （ & .#）’ ! . ( & 0) $ ! $ ! ， . （ $ .#）’ &.# " 0! 0# ! & 0#，! 0’" 0 # ." 0 " 0 # # 0’" +（ & .#）’（ " !）.!#" .& .#，+（ $ .#）’（ " !）.$ .#! .# ) 这里的 ( .0) 是一般牛顿二项式系数 $ 设 # $ -.1 ，% % # ，记 [ ! "0 3 ] & & & !" 3 2 ’ &（ " !）[ ] $$$ 0 !" 3#% 2 *#% ’ &（ " !）0 #% 0’" !" 3#% 0 " #% 0’" 0 !" 3#% " 0 ， # % # # #% 0 !" 3#% " 0 ) # % # # 设 # % % 且（ # ，% ）’ "，记 4 *#% ’ &#&% " &%&# ，4 "#% ’ $#$% " $%$# ) 回忆 , 的定义便知道 2 *#% ，2 "#% 和 4 *#% ，4 "#% 分别是定义关系式（%&）， （%’）和（%(）， （%)）的左边 $ 引理 !［*］ 设 # $ -.1 ，% % # ) 记 . ’ ! " 3#% ，则有 * 万方数据! （ 2 *#% ）’ 2 *#% ! ! * ! .#!% ! 2 *#% ，+（ 2 *#% ）’ " !#" .! "! % 2 #% ， 第&期 量子广义 01234##56 代数的三角分解 !/. " （ ! "#$ ）% ! "#$ ! &#" ’& "! （ ! "#$ ）% " ! "#$ & ’#&$ * ! $ ( ! ! ! #$ ，) 命题 ! + 上有唯一的 "#$% 代数结构（!，"，) ），其作用公式同引理 & ’ & ’ 证明 设 , 为所有的 ! (#$ ，! "#$ 和 - (#$ ，- "#$ 在" + 中生成的双边理想 * 由 ! * & 和 ! * ( 的定义知 + %" + , * 我们只要证明 , 是代数" + 的 "#$% 理想，即证 （!）! （ , ）# " + ! , ( , !" +； （&）" （ , ）% )； （(）)（ , ）# , * ( " 由引理 & * &， （ # ，$ ） " 将所有生成元作用到 ) * 由引理 & * *，我们只须对生成元 - #$ ，- （ #$ # $ $ 且 % )）验证（!）和（(）* 当（ # ，$ ）% ) 时，由（ +(）和（ +*）知 .#&$ % &$.# ，.$&# % &#.$ ，/#&$ % &$/# ，/$&# % &#/$ * 于是我们容易得到下面的式子： （ - (#$ ）% - (#$ ! ! ( &#&$ ! - (#$ ， ! "! " （ - "#$ ）% - "#$ ! & "! ! # & $ ( ! ! - #$ ， "! ( )（ - (#$ ）% " & "! # & $ - #$ ， )（ - "#$ ）% " - "#$ &#&$ * 这些式子说明（!）和（(）成立 ’ " " ! 的三角分解 以下我们记 # 是所有有限单根序列的集合（包括 "）* 设 0 是实向量空间，有一组基 ｛12 2 % #｝* 设 2 %（ 2 ! ，…，23 ），45 %（ 4# ）# % 5 是一组非零实数 * 我们定义 " + 在 0 上的作用 .# · 12 % 1（ #，2）， &# · 12 % 4#6（ #，,-（ 2））12 ， / # · 12 % （ #， 7 ） （ #， 7 ） " $ （ 4 "! " 4#6 $ ）1（ 2 ，…，2 ，2 ，…，2 ）* # 6 & !’ 7 ’ 3，2 % # ! 7 "! 7 (! 3 7 3 其中，$7 % & 2’ * 以下引理的证明是显然的 ’ ’ % 7 (! 引理 # 0 在以上定义的作用下成为" +8 模，记作 0（ 45 ）* " " 由定义可知 " + ) 及 +) 均是交换代数，且均由｛&$ $ % 9 !5 ｝线性张成； +(， + " 分别由 ｛.2 2 % #｝和｛/2 2 % # ｝线性张成 * 进一步，我们有 " 引理 $ ｛.2 2 % # ｝， ｛&$ $ % 9 !5 ｝和｛/2 2 % # ｝分别是 " +(， + ) 和" + " 的基 * 证明 考虑｛.2 2 % # ｝在" +8 模 0（ 45 ）上的作用 * 由定义，.2 ·1" % 12 * 显然这一式 ｛/2 2 %# ｝也线性无关；从而分别是" 子说明｛.2 2 %#｝是线性无关的；由引理 !， + ( 和" +" 的基 * 下面我们来证明｛&$ $ % 9 （至多有限个不为 !5 ｝线性无关 * 设有一组实数｛:$ $ % 9 !5 ｝ )）使得 & :$&$ % ) * 用此式作用 1" 得 !5 $% 9 ) % & :$&$· 1" % & :$4$5 1"* !5 $% 9 万方数据 !5 $% 9 中国科学技术大学学报 #*! 第 %( 卷 其中 ! ! !!"" ，#!$ ! "#!" " % 由于 &! 是非 ! 向量，所以 ! (!#!$ ! ! % 此式的左边（通分后）可 " " !$ !# ’ 以看成是关于有限多个 #" 的多项式，而任意一组非 ! 实数（ #" ）" 都是它的根 % 这说明此多项式 只能是零多项式，从而 (! ! !，$! # ’ !$ % 这就证明了｛)! ! # ’ !$ ｝是线性无关的 " ! 记% 或 * &!）； 由 *（ 或 * ）中 由 ｛+" ，)" ，) ,# " # $ ｝生 成 的 子 代 数 为 % * &（ " ! ｛-" ，)" ，) ,# " # $ ｝生成的子代数为 % * ’（或 * ’!）% 我们有下面向量空间的同构： " 引理 ! % * &! ( % * ! )% * . ，% * ’! ( % * , )% *! % 证明 我们只要证明前一个同构，再由引理 # 即得后者 " 由定义关系（ $%）便知 % * &! 由 形如 )!+/ 的元素线性张成 " 所以乘法映射 % * ! )% * . *% * &! ，)! ) +/ * )!+/ 是满的线性映射 " 还要证明以上映射是单的 " 这只须证明 )!+（ !$ ，/ # "）是线性无关 / !# ’ 的% 设有一组实数 #!，/ 使得 ! #!，/)!+/ ! ! % 由分次性，我们有 !$，/#" !# ’ ! #!，/)!+/ ! ! % ! （ /）!#， "! $ &’ !$ ## 0 !# ’ 于是，对 $# # 0 "! $ 有 ! #!，/)!+/ ! ! % （ /）!#， &’ !$ !# ’ 由引理 ( 中 " 的定义，我们容易得到 （ +/ ）! +/ ) # .（…）. ) &’（ /）) +/ % $ 其中， （…）是次数不为（ &’ （ / ）， （ / ））的项 " 于是我们有 !）和（!，&’ ! ! $( ! #!，/)!+/ ) ! （ /）!#， &’ !$ !# ’ ! （ +/ ) # .（…）. )# ) +/ ）! #!，（ / )! ) )!） ! #!，（ % / )!+/ ) )! .（…）. )（#.!）) )!+/ ） （ /）!#， &’ !$ !# ’ （ /）!#， &’ !$ !# ’ 考虑上式中次数为（!， #）的项，我们得到 ! #!，/)（#.!）) )!+/ ! ! )（#.!）) ( ! #!，/)!+/ ) ! ! % （ /）!#， &’ !$ !# ’ !$ !# ’ （ /）!# &’ 由引理 )，)（#.!（ !$ ）线性无关，从而对任意的 ! # ’ !$ ，! #!，/)!+/ ! ! % 由于 )! 可 ）! # ’ （ /）!# &’ 逆，所以 ! #!，/+/ ! ! % 再由引理 ) 即知对任意的 / # "，! # ’ !$ ，#!，/ ! ! % 从而 )!+（ / !# （ /）!# &’ !$ ，/ # "）是线性无关的 " ’ 现在我们给出 % * 的三角分解，同时可以看到｛-1)!+2 1 ，2 # "， !$ ｝是 % * 的一 !# ’ 组基 " 命题 " 下面的乘法映射 % * , )% * ! )% * . *% * ，3 # ) 3 ( ) 3 % * 3 # 3 ( 3 % % * . )% * ! )% * , *% * ，3 # ) 3 ( ) 3 % * 3 # 3 ( 3 % 万方数据 " 是向量空间的同构 第’期 量子广义 0/123,,(4 代数的三角分解 证明 !#! 我们只须证明前一个同构，再由引理 ! 即得后一个同构 " 类似引理 # 的说明，我 们只须 证 明 ｛!"#!$% " ，% ! "，! ! & !’ ｝是 线 性 无 关 的 ( 设 有 一 组 实 数 )"，!，% 使 得 " )"，!，%!"#!$% * $ ( 由 # + 的分次性，我们可以将上式改写成对任意 # ! & !’ "，%!"， !’ !! & )"，!，%!"#!$% * $ ( " （!） （ %）, %& （ "）* # !’，%& !! & 由引理 ’ 中 ! 的定义，我们容易得到 （ $% ）* $% $ ! -（…）- # %&（ %）$ $% ， ! ,! （ !" ）* !" $ # %& ! （ "） -（…）- ! $ !" ( 于是我们有 $ * !( " )"，!，%!"#!$% ) * " （ %）, %& （ "）* # !! &’，%& ,! · )"，!，（ （ "） -（…）- ! $ !" ） % !" $ # %& （ %）, %& （ "）* # !’，%& !! & （ #! $ #!） （ $% $ ! -（…）- # %&（ %）$ $% ）( 在单根集 ’ 上规定一个排序，则我们可以按字典序给 . " $ ’ 定义一个全序 % ( 考虑出现在等式 （!）的非零项的下标中的所有有限单根序列的集合 "/ ( 在全序 % 下，我们可以在 "/ 中取到 两个子集 "$ 和 "! ，满足如果 " ! "$ ，则 %& （ " ）* , ()*!" 极大；如果 % ! "! ，则 ()*$% * （ % ）极大 ( 注意在 "（或 （ "） （或 %& （ % ））极大的单根序列 "（或 % ）可能不 %& "!）里的使得 %& $ 止一个 ( 若 %& （ % ）, %& （ " ）* #，则 " ! "$ 当且仅当 % ! "! ( 注意到上面式子中次数为（$， %）*（极大，极小）的项必须是 $ ( 于是我们得到 )"，!，%#!$% $ !"#! * $ ( " !’，"!"$ ，%!"! !! & 由引理 #，!"#! （ " ! "$ ， !’ ）是线性无关的，所以对任意 ! ! & !’ ，" ! "$ 有 !! & )"，!，%#!$% * $ ( " %!" ! 再由引理 # 即得对任意 ! ! & !’ ，" ! "$ ，% ! "! ，)"，!，% * $ ( 重复以上过程我们得到 )"，!，% * $ 对任意的 ! ! & !’ ，" ，% ! " ( ! ! 的三角分解 设（ 0 ， &， ’，1 ）是一个 +,-. 代数，我们可以考虑它的伴随表示 " 对任意 " ，% ! 0 ，设 （ " ）* ""2 $ "/ 2 ，定义 & 2 （ "） （ % ）* ""2%1（ "/ 2 ）( /( 2 特别地，考虑 0 * # + ( 则对任意 3 ! ’ ，4 ! # +有 （ $3 ）4 * $34 , #34# ,! /( 3 $3 ， （ !3 ）4 * （ !34 , 4!3 ）#3 ， /( （ #3 ）4 * #34# ,! /( 3 ( 由最后一个式子即有对 &! ! & !’ 万方数据 （ # ）4 * # 4# ,! ( /( ! ! ! 中国科学技术大学学报 !0( 引理 ! 第 &( 卷 设 ! ! "#$ ，% " ! & 记 # ’ ! ( )!% ，则 （ * #!） （ *% ）’ + ,!% ，"# （ - #!） （ -%.% ）’ + (!% .%. #! & "# 引理 " 设 ! ! "#$ ，% " ! & 则对任意 / ! " ［ -/ ，+ ,!% ］’ $， ［ */ ，+ (!% ］’ $ & 证明 我们只要证前一式，再由引理 ! % & 即得后一式 % 当 / " ! ，% 时，由（’(）有［ -/ ，*! ］ ’ $ ’［ -/ ，*% ］，从而［ -/ ，+ ,!% ］’ $ & 当 0 ’ ! 或 % 时，见参考文献［&］% , 记 1 ,（或 1 ( ）为所有 + ,!% ，2 （或 + (!% ，2 (!% ）在 # 3 ,（或 # 3 ( ）中生成的双边理想 % !% 引理 # , 所有的 + ,!% ，2 （或 + (!% ，2 (!% ）在# 3 中生成的双边理想是# 3 ( $# 3 $ $ 1 ,（或 1 ( $ !% # 3 $ $# 3 , ）在命题 ( 定义的乘法映射下的象 % 证明 我们只须证前一种情况；后一种情况再由引理 ! 即得 % 记 # 3 ( $# 3 $ $ 1 , 在乘法 映射下的象为 4 & 显然 4 包含在引理中的理想里；而它包含此理想的所有生成元，因此我们 只要证 4 是双边理想 & 作为向量空间，4 由所有形如 ++ ,!% *5 和 +2 ,!% *5 的元素线性张成 & 显然 4 是# 3 的左理想 & 要证 4 是右理想只须验证# 3 的生成元右乘保持 4 不变 & 设 / ! " ， !" 则 !! 6 有 ++ ,!% *5*/ ’ ++ ,!% *（ 5，/），++ ,!% *5.! ’ 7 (（!，)*（ 5）, #! , %）+.!+ ,!% *5 ， +2 ,!% *5*/ ’ +2 ,!% *（ 5，/），+2 ,!% *5.! ’ 7 (（!，)*（ 5）, ! , %）+.!2 ,!% *5 & 这里 # ’ ! ( )!% & 以上说明 4 在# 3 %$ 的右乘下不变 % 注意到 , ++ ,!% *5-/ ’ +-/+ ,!% *5 ( +［ -/ ，+ ,!% ］*5 ( ++ ［ *5 ］& !% -/ ， 由引理 + 上式右边的第二项为 $；由（ ’(） ［ -/ ，*5 ］! # 3 %$ ，这证明了 ++ ,!% *5-/ ! 4 & 最后注 意到 , , +2 ,!% *5-/ ’ +2 ［ -/ ］, +2 ,!% -/*5 ’ +2 ［ -/ ］, +-/2 ,!% *5 & !% *5 ， !% *5 ， 类似前面的说明，+2 ,!% *5-/ ! 4 & 以上证明了 4 是右理想 % 定理 （ "）乘法映射 3 ( $ 3$ $ 3 , & 3 ，+ ! $ + ( $ + & & + ! + ( + & 是向量空间的同构 % （ ,）代数 3 , 由｛*! ! ! " ｝生成且其定义关系恰是（’-）和（’.）% （ /）代数 3 ( 由｛ -! ! ! " ｝生成且其定义关系恰是（’0）和（’+）% （ #）｛.! ! ! 6 !" ｝是 3$ 的一组基 % 证明 # 设 "： 3 & 3 是自然满同态，其核为 1 & 则 1 是由所有 + ,!% ，+ (!% 和 2 ,!% ，2 (!% 生成的理 想 & 由引理 1，1 是（# 3 ( $# 3 $ $ 1 , , 1 ( $# 3 $ $# 3 , ）在乘法映射下的象 & 于是 1 ’ # 3$ 为 （# 3 ( $# 3 $ $ 1 , , 1 ( $# 3 $ $# 3 , ）’ 8 " $# 3$ $ 8 " ’ $ 9 3$ & 由引理 - 即得（ #）% 在乘法映射下的象，所以是 $ % 这样 " 诱导出同构# 3$ & 由引理 1，1 ’ # 3, 是 （# 3 ( $# 3 $ $ 1 , , 1 ( $# 3 $ $# 3 , ）’ 8 " $8 " $# 3, ’ 8 " $8 " $ 1, 9 3 , ，此即（ ,）% 至于（ /），可同样证 在乘法映射下的象，即是 1 , & 于是 " 诱导出同构# 3, 1, & 万方数据 9 3( & 我们得到同构 # 明 % 特别地， 3( 1( & 第&期 量子广义 8*(9:--); 代数的三角分解 %H" 注意到 同构于（! !" （! ! " "! ! ! "! ! # ）（! ! " "! ! ! " $ # # $ " "! ! ! "! ! #） $ " ）" ! ! ! "（! ! # $ # ），从而命题 " # $ 中定义的乘法映射诱导以下向量空间 同构： （! （ & % # $ " ）" & & "（ & " # $ # ）# & % & & & " # $ ’ ! " $ " ）" ! ! ! "（! ! # $ # ）% ! $， #! 由（ ’）、 （ (）、 （ )）即得（ *）# 类似于引理 + 和命题 %，我们还有以下的向量空间同构： % !， ! # " !! " ! " # % ! $! ，! " " !! # % ! %! ’ !! " ! # # 致谢：作者感谢章璞教授的悉心指导和对原稿的仔细修改 # 并感谢冯克勤教授的帮助和鼓 励# 参 ［% ］ 考 ,-.(/0.)1 2# 3040.*5670) 8*(9:--); *5<0’.*1 ［ =］# = >5<0’.*， %?@@， %%+： +!%9+%& # ［& ］ 8*4< A9=# BC*4DCE )0F-.E*D6-41 -F <040.*5670) 8*(9:--); *5<0’.*1［ =］# = >5<0’.*，%??+，%G+： %!$%9%!HH # 文 献 ［"］ =*4D704 = I# J0(DC.01 -4 KC*4DCE <.-CL1，3.*)C9 *D0 ADC)601 64 :*D/0E*D6(1，M-5# H［ :］# >E0.69 (*4 :*D/0E*D6(*5 A-(60D;，%??+ # ［$］ 8*( N 3# O4F646D0 )6E0416-4*5 J60 *5<0’.*1［ :］# 10(-4) 0)# I*E’.6)<0 P46M0.16D; Q.011，%?@+ # !"#$%&’($" )*+,-.,/#0#,% ,1 $ 2’$%0#3*4 5*%*"$(#3*4 6$+78,,49 :(&*;"$ RP>S3 RC*9564，TU TC，VP 3C*4<9;C （ !()*+,-)./ 01 23)+(3+ 4(5 6+37(0809/ 01 :7)(4 ，;+1+) ，&"!!&H） :;/0"$+0：W/0 1D.C(DC.0 -F * KC*4D670) <040.*5670) 8*(9:--); *5<0’.* 61 1DC)60) # O4 L*.D6(C5*.，D/0 D.6*4