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Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU Chapter 1 复数和复变函数 一、复数的基本概念 (Basic concepts of complex number) 形如 a  ib ( a, b  R ， i  1 )的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子） 1．复数（Complex number）的三种形式： 1) z  x  iy   cos   i sin    ei ，（ x, y  R,  ,   R ） 代数式： z  x  iy ;（缺点：无法表示多值函数的高相位） 三角式： z   cos  i sin   ;（极坐标系下的表示） 指数式： z  e i ，  1 i n . n 0 n! 其中 e i   e i  cos   i sin  称为欧拉公式。 2) 一些术语（terminology）和符号(notation): Re z  x , 实部（Real part）, Im z  y ，虚部（Imaginary part）. z  mod z    x 2  y 2 ，模（Modulus）,  称为幅角（Argument） ， 记作 Argz . 而将满足 0   0  2 或     0   的  值称为幅角的 主值或主幅角，记为 arg z ，因此有 Argz  arg z  2n n  0,1,2 . 当取    arg z   时，有关系 y  arctan x   2    arg z     2 y    arctan x     arctan y  x x0 x  0, y  0 x  0, y  0 x  0, y  0 x  0, y  0 3) z (or z * )  x  iy   cos   i sin    e i ， z (or z * ) 称为 z 的复共轭 或共轭复数(Complex conjugate of z )，当然，z 也是 z (or z * ) 的复共轭。 1 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 注意：* 复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。 ** z1  z2 的充要条件为 Re z1  Re z2 , Im z1  Im z2 (单值可以，多值时没有定义幅角); 1  2 ,1  2 . (可以) 2．复数的几何表示： 复平面（Complex plane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点 x, y  或  ,   与复数 x  iy 或 e i 做成一一对应， 此时的平面称为复平面, 其自由矢量为 （讨论： z 在哪里？） 3．复数的运算规则： 设 z1  x1  iy1  1 cos 1  i sin 1   1e i1 ， z 2  x2  iy 2   2 cos  2  i sin  2    2 e i 2 . 1) 加法： z1  z2  x1  x2   i y1  y2  满足交换律和结合律。 减法： z1  z2  x1  x2   i y1  y2  . 加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。 2) 乘法：（ i  i  i 2  1 ）——和多项式乘法一样 z1  z2   x1 x2  y1 y2   i x1 y2  x2 y1    1 2 cos 1   2   i sin 1   2    1 2ei 1  2 . z1  z 2  1  2  z1  z 2 , 乘积的模=模的乘积。 Arg( z1  z2 )  1  2  Argz1  Argz2 ，乘积的幅角=幅角的和。 特别地， zz  z . 2 乘法的几何解释： 在 0x 轴上取单位线段 0I， 作 0 z2 P 和 0Iz1 相似，那么 P 点就表示 乘积 z1  z2 , 这是因为 | z1 | /1 | z | / | z2 | . (| z || z1 || z2 |) 2 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 3) 除法：假设 z1  0 , z2 1 z x x  y1 y2 x y  x2 y1  z2   z2  12  1 22  i 1 22 2 z1 z1 x1  y1 x1  y12 z1  2 cos  2  1   i sin  2  1  1   2 ei   . 1  2  1 z2 z  z2  ， Arg  2   2  1  Argz2  Argz1 .  2  z1 1 z1  z1  几何解释（ z  1 ） ：先看(即设) z 1 z 1  2  cos   i sin   ，若 z  z z  1 ，过 z 点作射线 Oz 的垂线，交单 位圆周于 T，过 T 作单位圆周的切线， 这条切线与 Oz 的交点就是 z   关于 x 轴的对称点为 1 ，而它 z 1 . z 设 z 点到 z 点的距离为  ，则图示三个直角三角形之间存在如下关系： |Tz'|=(    )2  1  1   2   2 , 解得     1  | 1 |. z 若 z  1 ，只需先作切线，再作垂线。若 z  1 ， z   z . 4) 整数幂： z n   n cos n  i sin n    n e in , cos   i sin  n  cos n  i sin n ----De Moivre 公式。 4．（X）复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式） 1） z1  z 2  z1  z 2 ， z1  z 2  z1  z 2 ， 三角形两边之和大于第三边; 三角形两边之差小于第三边。 3 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 证明：利用 Re z  x  x 2  y 2  z , z1  z2  z1  z2  2 Re( z1 z2 )  2 z1 z2  2 z1 z2 ,  ( z1  z2 )( z1  z2 )  z1  z2  ( z1  z2  z1  z2 ) ( z1  z2 ) 2 . 2 2 2） z1  z 2  z1  z 2 . z  z 3） z1  z2  z1  z2 .  2   2 .  z1  z1 5．复球面与无穷远点： 考 虑 一 个 半 径 为 R 的 球 面 S （ x12  x 22  ( x3  R) 2  R 2 ），点(0,0,0)称为 南极，与复平面 Ox1 x2 的原点重合，点(0,0,2R) 称为北极，记为 N. 对于 C 中的任一有限远 点 z ，它与 N 连接的直线只与 S 交于一点  . 反之，球面 S 上任意一点  （N 点除外），它与 N 连接的直线也只与 C 交 于一点 z . 所以，除 N 点外，球面 S 上的点和复平面 C 上的点都是一一 对应的。对于 N 点，我们发现，当 z   时，   N ，因此在复平面 C 中引进一个理想点，作为与 N 对应的点，称为无穷远点，记为 z  . 加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为 C  C . 不包含无穷远点的复平面 C 称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样， C  与 S 建立起来的一一对应，称为球极射影。S 称为复球面。 注意：* 无穷远点只有一个，其模为   ，而幅角是不确定的。 **同样对于 z  0 点，其模为 0，幅角是不确定的。 *** z      1 1  0 ：作   变换，或复球面均是就 z 大而言， z z 其中  为 N 与  点之间的距离。 4 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 二、复变函数（Functions of complex variable） 1. 区域的概念（复习）： 点集 E：由复数点组成的集合。 例如， z  1 ，表示以原点为圆心，半径为 1 的圆（单位圆）的内部。 z  1  z  1  4 ，表示以  1 为焦点，半长轴为 2 的椭圆。 点 z 0 的邻域：对于实数   0 ，满足条件 z  z 0   的点的全体称为 z 0 点 的  邻域，记为 V z 0 ;   。  点的邻域：满足条件 z  R （R 是正实常数）的所有点 z 的集合，即 以点 z  0 为圆心，R 为半径的圆的外部，记为 V ; R 。 点集 E 的内点：设平面上给定一点集 E，如果 z 0 及其某邻域 V z 0 ;   的 点全部属于 E，则称 z 0 为点集 E 的内点。 点集 E 的外点：设平面上给定一点集 E，如果 z 0 及其某邻域 V z 0 ;   的 点全部不属于 E，则称 z 0 为点集 E 的外点。 点集 E 的边界点：设平面上给定一点集 E，如果 z 0 的任一邻域中都含有 E 和非 E 的点，则称 z 0 为点集 E 的边界点。 区域 D：满足下面两条的点集称为区域。 a） D 为开集: D 中的每一点都是内点  区域全由内点组成； b) D 是连通集: 对于 D 中的任意两点，总可以用某一曲线段连接 起来，而这条曲线上的所有点都属于该点集  区域内点连通。 闭区域 D ：由区域 D 及其全部边界点所组成的点集，闭域 D 通常记为 D . 单连通域：在连通域 D 中任作闭曲线，若该曲线内部的点全部属于 D， 则称 D 为单连通域。否则称 D 为复连通域！ （请讨论之！ ） 有界域 D：若存在有限大的圆 z  R ，使得 D  V 0; R ，则称 D 为有界 域，否则为无界域 （有界域离散量子数无界域连续量子数）。 5 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 2. 复变函数： （1） 复变函数定义：若对于复平面上区域 D 中的每一个复数 z ，按照 一定规律，都有一个（或几个）复数值 w 与之相对应，则称 w 为 z 的复变函数 (单值函数（或多值函数）)，区域 D 称为定义域。 复变函数有两种表示形式： w  f z  , （ z  x  iy, w    i ）, w  u( x, y)  iv( x, y) , [ (u , v ) 均为实变量 ( x, y) 的二元实函数]。 例如： （1） w  z  b 平移变换 （2） w  ei z 旋转变换 （3） w  rz 缩放变换 （4） w  az  b 设 a  rei ， 三步：1/旋转  ；2/缩放 r ；3/平移 b . （5）w  R 2 z （广义）反演变换。如果 R | z | ,则 w  R 2 z 就是 z 的复共轭；如果 R 与 | z | 是相同的量纲（例如长度）， 则 w 亦具有相同的量纲。 6 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU (2) 复变函数的极限：设 z 0 是函数 f (z) 的定义域内的一点，如果对 （隐含  ( ) ， ( z0 ) 和  ( z0 ) ）使得对于任意满足条   0 ，都   0 ， 件 0  z  z 0   的复数 z ，都有 f ( z)  A   ，那么复数 A（有限）称 为函数 w  f z  当 z 趋于 z 0 时的极限，记为 lim f ( z )  A . 如果复数 A z  z0 无 限 ， 则 称 函 数 f (z) 在 z 0 处 发 散 （ divergence ）。 设 f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) ， A  u 0  iv 0 ， z 0  x0  iy 0 ，则  lim u ( x, y )  u 0 x0  xy  y0 . lim f ( z )  A   z  z0 lim v ( x , y )  v 0  x  x0  y  y0 (3)复变函数的连续与一致连续：  ，   0 ，当 z  z0   ，恒有 f ( z)  f ( z0 )   ，那么称函数 w  f z  在点 z 0 连续（在点 z 0 邻域 连 续 ） [ 等 价 定 义 ： 设 z 0 是 函 数 f (z) 的 定 义 域 内 的 一 点 ， lim f ( z )  f ( z 0 ) ，那么称函数 w  f z  在点 z 0 连续]， z  z0 如 果 函 数 w  f z  在 区 域 D 上 的 每 一 点 都 连 续 ， 则 称 函 数 w  f z  在区域 D 上是连续的。 u ( x, y ) 注 ： f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) 在 z 0  x0  iy 0 处 连 续   均在 v( x, y ) ( x0 , y0 ) 处连续。  ，   0 ，对任何 z0  D ，只要 z  z0   ，且 z  D ，恒有 f ( z)  f ( z0 )   ，那么称函数 w  f z  在 D 上一致连续 [等价定义：如果  ，   0 ，只要 z1  z 2   ， z1 , z2  D ， 恒有 f ( z1 )  f ( z 2 )   ，那么称函数 w  f z  在 D 上一致连续]。 注：* 函数 f z  在区域 D 上一致连续，一定在 D 上连续。 7 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU **连续定义中的  不仅与  有关，还与 z 0 点有关。 一致连续定义中的  只与  有关，与 z 0 点无关。 例如， f ( z )  1 在区域 0  z   上连续，但不一致连续。 z 例：求函数 f ( z )  2 x  iy 2 在 z 0  2i 的极限，并判断在该点的连续性。  lim u ( x, y )  lim 2 x  0  x , y 0, 2   x , y 0, 2  解：因为，  ，因此， v( x, y )  lim y 2  4  x , ylim 0, 2   x , y 0, 2  lim  x , y 0 , 2  f ( z )  0  i 4  4i ，又 f ( z 0 )  f (2i )  2 x  iy 2  4i 所以， f ( z )  2 x  iy 2 在 z 0  2i 的极限存在，并连续。 例：求函数 f ( z )  1 z z    在 z 0  0 的极限，并判断在该点的连续性。 2i  z z  解：设 z  x  iy ，则 f ( z)  1  z z  1 4ixy 2 xy   u ( x, y)  iv ( x, y ) ，显然，    2i  z z  2i x 2  y 2 x 2  y 2 v( x, y)  0 在 (0,0) 点的极限存在并连续， 然而， lim  x , y 0, 0  u ( x, y)  2 xy 不存在，事实上，令 y  kx ，有  x , y 0, 0  x  y 2 lim 2 2 xy 2 x(kx) 2k 2k  lim  lim  ，对于不同 k 2 2 2 2 2 2  x , y 0 , 0  x 2  y 2 x 0 x 0 1  k 1  k   x  kx y  kx 0 y  kx 0 lim 值，极限不同，故知 u( x, y) 在 (0,0) 点的极限不存在。 所以， f ( z )  1 z z    在 z 0  0 的极限不存在。 2i  z z  （4） 复变函数的导数：设 z 0 是函数 f (z) 的定义域内的一点，当 z 在 z 0 的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点 z 0 时，即当 8 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU f ( z 0  z )  f z 0  具 z 0 z z  z  z0  0 时，若极限 lim 有同一有限值，则称函数 f (z) 在点 z 0 可导，称此极 限值为 f (z) 在 z 0 的导数，记为 f ( z 0 ) 或 df ( z ) . dz z  z 0 注意:* 与 z  0 的方式无关; **求导 f '( x) 最多有两个方向，而 w '( z) 可有  多个方向。 *** u( x, y) / x 是偏导， df ( x  iy) / dz 是全导。 （5） 复变函数可导的必要条件—Cauchy-Riemann(C-R)条件： 设 f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) 在 z 0  x0  iy 0 点可导，则 u( x, y) , v( x, y) 在 x0 , y 0  处必定满足  u ( x, y ) v( x, y )     x y  ( x0 , y0 )   .   v( x, y )   u ( x, y )   x y  ( x0 , y0 )  证明： f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) 在 z 0  x0  iy 0 点可导,根据定义， f ( z 0  z )  f z 0  存在，并且与 z  z 0 的路径无关。 z 0 z lim 下面选择两个特殊路径： 首先沿平行于实轴的直线（即 y  y0 为常数）， z  x  iy 0 , z  x , f ( z0  z )  f  z0  z  0 z  u ( x  x, y0 )  u  x0 , y0  v( x0  x, y0 )  v x0 , y0    lim  0 i  x  0 x x  lim  u ( x, y ) v( x, y ) i ; x  x0 , y 0  x  x0 , y 0  然后沿平行于虚轴的直线（即 x  x0 为常数） ， 9 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU z  x0  iy , z  iy , f ( z0  z )  f z0  z  0 z  u ( x , y  y )  u x0 , y0  v( x0 , y0  y )  vx0 , y0   lim  0 0 i  y  0 iy iy   lim  i u ( x, y ) v( x, y )  . y  x0 , y 0  y  x0 , y 0  既然 f (z) 在 z 0 点可导,那么上面两个极限应相等,于是  u ( x, y ) v( x, y )     x y  ( x0 , y0 ) ux  vy   简记为 .  v   u    v ( x , y )  u ( x , y ) x y    x y  ( x0 , y0 )  Cauchy-Riemann 条件不充分，例如： f ( z )   0 ( z  0) xy 2 z /( x 2  y 4 ) ( z  0) . 在 z  0 附近， 我们有 u  x y /( x  y ) , v  xy /( x  y ) [显然 f ( z)  0 ( z  0) 的定义多余]。 2 2 2 4 虽 然 u x  v y  0, vx  u y  0. 3 2 4 这不是固定点的导数，而是严格意义下的 f ' |x 0,y 0  0 : f ( z )  zg ( x, y)  zxy 2 / ( x 2  y 4 ). f '(0)  lim ( z  z )[ g ( x, y )  g x' x  g 'y y  z z 0  lim [ g ( x, y )  x , y 0 ]  zg ( x, y ) z  z ' ( g x x  g 'y y  z )]  0. y4 1  . 因此， z  0 附近 f ( z) 不可导！ 而 f '(0)  lim 4 4 2 ( x  y ) z 0 y  y 2 (6) 复 变 函 数 可 导 的 充 要 条 件 ： f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) 在 z 0  x0  iy 0 点可导的充要条件是: a) u( x, y) , v( x, y) 在 x0 , y 0  处具有一阶偏导数且满足 C-R 条件—必要条件; b) u( x, y) , v( x, y) 在 x0 , y 0  处具有一阶连续偏导数且满足 C-R 条件—充分条件. 证明：假设 u( x, y) , v( x, y) 在 x0 , y 0  处具有一阶连续偏导数，因此 u( x, y) , v( x, y) 在 x0 , y 0  处可微，即 10 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU u  u  x0  x, y0  y   u  x0 , y0     u u 2 x  y  O z , x  x0 , y0  y  x0 , y0  v  v  x0  x, y0  y   v  x0 , y0     v v 2 x  y  O z , x  x0 , y0  y  x0 , y0  其中 O( ) 是数量级比  更高阶的无穷小量，即 lim 2  0 O ( 2 )   0. f ( z0  z )  f  z0  z  0 z  u   v  u v 2  x  y   i  x  y   O z y  x0 , y0    x  x0 , y0  y  x0 , y0    x  x0 , y0      lim z  0 z  u  v i    x  iy  CRCs  x  x x , y x , y   0 0  0 0    lim  x  0 x  iy y  0 lim   u v i x  x0 , y0  x  x0 , y0   (由假设知) 存在  f ( z) 可导。反之，要 f '( z) 存在，则需要 u x , vx 存在并且连 续（有极限且邻域可导） ，同理（反用 CRCs） u y , v y 存在并且连续—充分条件。 (7)求导法则：与实函数的求导法则、公式相同。 例:判断 w  x 3  iy 3 何处可导。 解： u( x, y )  x 3 ， v( x, y )   y 3 , u x  3x 2 ， u y  0 ， v x  0 ， v y  3y 2 , u x  v y 3x 2  3 y 2 由 C-R 条件，  得，  . v   u 0  0 x y   解得， x  0, y  0 ，表明 w 除 z  0 点外处处不可导， 其次，四个偏导数在 x  0, y  0 点存在且连续，故 w 在 z  0 点可导。 11  Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 三、解析函数（Analytic functions） 1．定义: f (z) 在 z 0 及其某邻域内处处可导，称 f (z) 在 z 0 点解析。 f (z) 在 区域 D 内处处解析称为 f (z) 在区域 D 内解析。 * f (z) 在区域 D 内解析  f (z) 在区域 D 内处处可导。 ** 奇点（sinqularity）: 函数的不可导点称为该函数的奇点。 如 z  0是 1 的奇点，亦是 ln z 的奇点。 z 2．函数解析的充要条件：如果 u( x, y) , v( x, y) 在区域 D 内具有一阶连续 偏导数（此条件可放宽为： f (z) 在区域 D 内连续），且满足 C-R 条 件，则 f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) 在 D 内解析。 3. 解析可导的必要条件：(u , v ) x , y 存在且满足 CRCs；充分条件：(u , v ) x , y 存 在和连续且满足 CRCs. 例：研究函数 f ( z )  e x cos y  ie x sin y 的可导性、解析性。 解： f ( z )  e x cos y  ie x sin y  u ( x, y)  iv ( x, y) ， u( x, y)  e x cos y ， v( x, y)  e x sin y . u u v v u u  e x sin y   ，且 ,  e x cos y  ， 于全平面连 y x y x x y 因为 续，故 f (z) 于全平面（当然不包括 z   ，此函数在 z   无定义）处 处可导，处处解析。又 f ( z )  u v i  e x cos y  ie x sin y  f ( z ) ，其导数为其本身。 x x 注： f ( z )  e x cos y  ie x sin y  e x cos y  i sin y   e x e iy  e x iy  e z . 3．解析函数的简单性质： (1)同一区域 D 上的两个解析函数的和、差、积、商（分母不为 0）仍 为解析函数。 (2)解析函数 f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) 的实部等值线 u( x, y)  c 与虚部等 12 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 值线 v( x, y)  d （ c, d 为实常数）相互正交。    Grade in 3D real space ( x, y, z ):   i  x  j  y  k  z .     u  v  0 : ( i u x  j u y )  ( i vx  j v y )  u x vx  u y v y  u xu y  u yu x  0. For examples, see below. (3) 若 f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) 在区域 D 内解析，则在 D 内有  2u  2u   0， x 2 y 2  2v  2v   0, x 2 y 2 即它的实部和虚部都是 D 内的调和函数[具有二阶连续偏导数，且满足 Laplace 方程：2u  ( 2xx   2yy   2zz )u( x, y, z)  0 ],且称 u( x, y) , v( x, y) 为共轭 调和函数。 u x  v y , u y  vx .  u xx  v yx , u yy  vxy .  : u xx  u yy  0. 4．已知实部 u( x, y) [或虚部 v( x, y) ] 求解析函数： C-R 条件使得解析函数的实部和虚部相互关联。 例：已知某一个解析函数的实部 u( x, y)  2 y( x  1) ，且 f (2)  i , 求此 解析函数。 解法一： u( x, y)  2 y( x  1) ，因此，由 C-R 条件， v u   2 y ，把 x 作 y x 为参数，积分($)得 v( x, y )   2 ydy  C ( x)  y 2  C ( x) 再由 [ C (x) 为待定函数]. v u   ，得 C( x)  2( x  1) ，积分($)得 x y C ( x)    2( x  1)dx  C  ( x  1) 2  C （ C 为待定常数）. 所以 v( x, y)  y 2  ( x  1) 2  C .   f ( z )  u( x, y)  iv( x, y)  2 y( x  1)  i y 2  ( x  1) 2  C . x  2 令 z  2 ，即  ，得 f (2)  i(C  1)  i ，C  0 . y  0 13 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 于是，满足所给条件的解析函数为  f ( z )  2 y( x  1)  i y 2  ( x  1) 2   i( z  1) . 2 * 当 u( x, y) , v( x, y) 为有理函数时，令 y  0, x  z ，就可以把解析函数 u( x, y)  iv( x, y) 化成 f (z) 的形式。 这是因为有理函数总可以写成泰勒级 数： f ( z )  u ( x, y)  iv( x, y)   (anm  ibnm ) x n y m , 反过来用一次二项式展开 n,m 有， f ( z )   (anm  ibnm ) x n y m   cn ( x  iy) n  cn z n , 其中 cn 与 anm  ibnm n,m n n 之间存在二项式展开系数的关系。故 x  z : f ( x)  f ( z), 并 且 cn  an 0  ibn 0 . 当 z  z0  0 区域时此定理仍然成立。 解法二：Math： v( x, y) 有全微分形式；Phys：要求 v( x, y) 是态函数。 dv  v v u u dx  dy   dx  dy  2( x  1)dx  2 ydy  d  ( x  1) 2  y 2  . x y y x 配成全微分了，故有 v( x, y)  y 2  ( x  1) 2  C . ($): v( x, y)   ( x, y )  x0 , y0   2( x  1)dx  2 ydy   C ，积分与路径无关 [这是因为解 析函数有任意阶导数，因此 u( x, y) , v( x, y) 有任意阶偏导数且连续；在此 P Q  0 (See Adv. Math. Or 基础上此曲线积分满足与路径无关的条件：  y x Chapt 2 Cauchy Theorem， f ( x, y )   P( x, y )dx   Q( x, y )dy )；这是因为 2xy (u, v)   2yx (u, v) ，所以此条件在这里成立]. 5．解析函数的物理解释——空间无源、无旋的平面标量场： 标量场  : E   (梯度); 矢量场 A : B   A (旋度);  A (散度). Maxwell’s Eqs.:  D  0; E  B / t;  B  0;  H  j  D / t. 线性各向同性介质： D   0 E, B  0 H , j   E. 物理问题：无源、无 旋平面标量场。例如，静电场、温度场和流场等，它的势   x, y, z     x1 , x2 , x3  满足 Laplace 方程（see part II），  2  0 . 如果 14 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 它与三维空间的某一方向（如 z  x3 方向）无关，那么，这种场称为平 面场。此时  x, y  满足二维 Laplace 方程， 2   2  2   0 . 梯度、 x 2 y 2 散度和旋度的定义 see chapter 12. 解析函数的实部（或虚部）可以解释为某无源平面静电场的势。解 析函数的实部和虚部之梯度是相互正交的，而我们知道平面静电场的等 势线簇和电力线簇是相互正交的， u  v  0. 因此，如果我们将解析 函数的实部 u( x, y) [或虚部 v( x, y) ]解释为某平面静电场的势，则其虚 部 v( x, y) [或实部 u( x, y) ]将描述它的电力线。这些等势线族和电力线 族是无旋的射线族，磁力线族才是有旋的同心圆族。 例 1：考虑解析函数 f ( z)  ln z （其中 z  e i ,   0,0    2 ）所对应的平 面静电场，即问它是什么样平面静电 场的复势？ 解： f ( z)  ln z  ln  i , u  ln, v  , u  v  0. 1） 如果将它的实部 u  ln  看作 静电场的势，那么其虚部 v    C 则 表示电力线簇（ E  u    /  2 ），这是以原点为端点的一组射线（如 图中的虚线所示） 。等势线簇为 u  ln  C ' ，即   eC ，它是以原点为 ' 圆心的一组同心圆（如图中的实线所示）。 物理意义：这是与 z  x3 轴重合的无穷长均匀带电直导线周围的静电场。 由高斯定理   1   E  dS 和 E  u   e , 容 易 求 得 线 电 荷 密 度 为  0 Q   Q / Lz  2 0 .[   i  x  j  y  k  z  er  r  r -1e   (r sin  )-1 e   e     -1e   ez  z , dS  2 e dz,Q  2 0 z |z  Lz .] 15 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 2）如果将它的虚部 v   看作静电场 的势，那么其实部 u  ln  C ，即   C 则 表示电力线簇，（ E  v  ˆ / ，如图中 的虚线所示），等势线簇为   C ' ，（如图 中的实线所示） 。这是以正实轴为割线，上 岸电势为 0，而下岸电势为 2 时的平面静电场。（Home Work） 例 2：已知一平面静电场的电力线簇{C}是抛物线簇 y 2  C 2  2Cx C  0 ， 求等势线簇，并求此电场的复势。（见习题 1.11） 解：从电力线方程解出参数 C   x  x 2  y 2 ，（ C  0 ，因此取“+” ）。 不可以直接令 v( x, y )   x  x 2  y 2 ，这是因为  x  x 2  y 2 不是调和  2v  2v 函数，即它不满足 Laplace 方程 2  2  0 ，而解析函数要求 v( x, y) 是 x y 调和函数。 那么，如何寻找 v( x, y) 呢？做法如下： 令 v( x, y)  F (t ) ， t   x  x 2  y 2 ，[取 v  t 而是 t 的函数， C 是参数， t 是参数方程的解；正因为如此，如果满足 v( x, y)  F (t )  C（即等值线簇） ， 那么一定有 t   x  x 2  y 2  C （另外一个等值线簇） ，此正好是题意给 定的电力线簇---一种新方法]。这样 x  x2  y2 v dF t ,   F (t ) x dt x x2  y2 2  x  x2  y2   2v y2       F ( t )  F ( t ) . 3 2 2 2 2 2 x 2   x y  x y   2    2v y x2      F (t ) 同理， 2  F (t )  , 3 y  x 2  y 2  x2  y2 2   16 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU x2  y 2  x  2v  2v 1 于是， 0  2  2  2 F (t )  F (t ) ， x y x2  y 2 x2  y 2   即 2 x 2  y 2  x F (t )  F (t )  0 ，或 2tF (t )  F (t )  0 . 解之得， F (t )  C1 t  C 2 . 因此 v( x, y)  F (t )  C1 x 2  y 2  x  C2 . 下面求 u( x, y) ，改用极坐标系 ( 1  cos   2sin 2 v(  ,  )  C1 2  sin  2  2  2 sin   , [0,  ]) 2 2 ，  C 2 ，又极坐标下的 C-R 条件（Home Work）  u 1 v 1  C     C1 cos  1 cos ,     2 2 2 2 C  u v 1         C1 sin   1 sin . 于是，   2 2 2 2 du  C  C u u     d  d  1 cos d  1 sin d  d  C1 2  cos  .   2 2 2 2 2  所以 u  C1 2  cos  2  C3 ，即 u ( x, y)  C1 u  C '' 等势线族: y 2  C 2  2Cx C  0 ; v  C ' 电力线族: y 2  C 2  2Cx C  0 . x 2  y 2  x  C3 . 由此解得 复势为 f ( z)  u( x, y)  iv( x, y)  C1 2 z  iC2  C3 . 三、初等函数（Elementary functions） 1. 整数幂函数： z n （ n  0,1,2）. 当 n  1,2,3,时， z n 在除了 z  0 点外处处解析;当 n  0 时， z n  1 ，为 常数，在闭平面全解析（在闭平面解析的函数一定为常数, 0 | z |  ，并 且一般函数总是可以展开成级数的，只能为常数）; 当 n  1,2, 时，z n 在 全平面解析，奇点： z   ( z n 在 z   不可导，  不定）。 2. 指数函数： 17 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU e z  e x iy  e x (cos y  i sin y) ，在全平面解析，奇点： z   . 和实函数形式一样，其导数为， d z e  e z ，它是周期为 2i 的周 dz 期函数，即 e z 2ki  e z k  0,1,2, e z  0 . 3. 三角函数： * e iz  e  iz e iz  e  iz cos z  ， sin z  .（并非 eiz & eiz 之线性组合） 2i 2 因为 e iz , e iz 在全平面解析，所以，cos z 和 sin z 也在全平面解析， z   是它们唯一的奇点。 和实三角函数一样， cos z 和 sin z 都是周期为 2 的周期函数。 和实三角函数不同， cos z 和 sin z 的模可以大于 1:       1 iz 1 (e  e iz )(e iz  eiz )  [ei ( z  z )  e i ( z  z )  ei ( z  z )  e i ( z  z ) ] 4 4 y  x  0 时 1 1 1 1 2y  （e2 y +e2 y +ei 2 x +ei 2 x） =  （e2 y +e2 y）  e  . 4 2 4 4 cos z  2 其他三角函数， tan z, cot z, sec z, csc z 可以用 cos z 和 sin z 定义，形式和 实数时一样。如 tan z  sin z 等等。 cos z 实三角函数中的各种恒等式对于复三角函数仍成立，如 sin 2 z  cos 2 z  1, sin( z1  z2 )  sin z1 cos z2  cos z1 sin z2 . 4. 双曲函数：cosh z  e z  ez e z  ez ，sinh z  ，全平面解析，奇点：z   . 2 2 双曲函数和三角函数之间可互化,如 sinh z  i sin iz ， cosh z  cos iz , 它们的导数为：  sinh z  '  cosh z ，  cosh z  '  sinh z. 四、多值函数(Multi-value functions)： 1．根式函数——正整数幂函数的反函数（实数 a 2 | a | ，复数 z  | z |ei /2 ） n 1 n z  z (n  2,3, 4 1 n 1 n ), w  z  z e i Argz n 1 n  z e i arg z  2 k n , (k  0, 1, 2, ) . 18 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 1 n 多值函数 z ,对任意 z （ z  0, z   除外），有 n 个 w 与之对应。 为了更清楚地看出多值函数的性质，现在仔细分析一下函数 w  z  a . 如果记 w  e i ， z  a  rei (0    2 ) ，根据定义有  2 e i2  re i ， 所以  2  r ， 2    2k ，   r ，    2  k . 因此，对于给定的一个 z 值，有两个 w 值与之对应： i  w1 ( z )  r e 2 i （相当于上面的 k  0, 2, 4, ）; （相当于上面的 k  1, 3, ）.  w2 ( z )   r e 2 这里，函数的多值性来源于幅角的多值性，准确地说，来源于宗量 z  a （而不是自变量 z ）幅角的多值性。多值性的表现则是 w 的幅角。为明 确起见，可以把 w  z  a 表示为： w  z  a ， arg w  1 arg( z  a ) . 2 为了更进一步说明多值函数 w  z  a 的性质，现在不妨规定好 z 平面上某一点 arg( z  a) 的值，而后研究 z 沿一定曲线连续变化时，相应 的 w 值的连续变化。当 z 沿一定简单闭曲线运行一周回到原处时，我们 发现，可能出现两种情形。一种是闭曲线内不包含 a 点，当 z 运行一周 回到原处时， arg( z  a) 也还原，因此对应的 w 值不变；另一种情形是 闭曲线内包含 a 点，当 z 运行一周回到原处时， arg( z  a) 增加 2 ，而 在 w 平面上， w 值并不还原。 现象 1：从上面的分析可以看出， a 点在多 值函数 w  z  a 中具有特殊的地位：当 z 绕 a 点转一圈回到原处时，对应的函数值不还原；而 当 z 不绕 a 点转一圈回到原处时，函数值还原。 因此我们把 a 点称为多值函数 w  z  a 的支点 (这里是一阶支点，因为绕两圈后 w 还原)。 现象 2：同样可以看出， z   也是多值函数 w  z  a 的支点。这 是因为，如果作一个足够大的闭曲线，当 z 沿这个闭曲线变化一周回到 19 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 原处时， w 值一定不还原（只要这个闭曲线足够大，就一定会把 a 点包 含在内）。而这样的闭曲线，又可以看成是绕  点转一圈。也就是说， 当 z 绕  点转一圈 回到 原 处时， 函数值 也不 还 原 。因 此  点也是 w  z  a 的支点。 解决办法：这样看来，为了完全确定多值函数 w  z  a 的函数值 与自变量 z 值之间的对应关系，我们可以采用规定宗量 z  a 的幅角变 化范围。当宗量 z  a 的幅角限制在某个周期内时，w  z  a 的幅角也 就唯一地确定，因而 w 值也就唯一的确定了。例如，规定 0  arg( z  a)  2 或 2  arg( z  a)  4 ，等等。 作为一个例子，设 w( z )  z  1 ，规定 0  arg( z  1)  2 ， 求 w(2) ， w (i ) ， w(0) 和 w(i ) . 解： arg w  1 arg( z  1) . 因为 0  0  arg( z  1)  2 ，所以 2 arg( z  1) z 2  0, w(2)  1 . 3 arg( z  1) z i  , 4 w(i )  2e 4 i i 3 8 .  arg( z  1) z 0   , w(0)  e 2  i . 5 arg( z  1) z i  , 4 w( i )  2e 4 i 5 8 . 显然，在规定幅角 0  arg( z  a)  2 下，w 的幅角一定限制在 0  arg w   ， 即被限制在 w 平面的上半平面。在这样的限制下， w  z  a 的值与自变量 z 值 之间存在一一对应关系。如果规定 2  arg( z  a)  4 ，则   arg w  2 ， w 将 限制在下半平面， w 值与自变量 z 值之间又有新的一一对应关系。在 4  arg( z  a)  6 ， 6  arg( z  a)  8 ， … 或  2  arg( z  a)  0 ，  4  arg( z  a)  2 ，…的规定下，还会重复出现这些结果。由于它们并不给 出新结果，所以就不必讨论了。 20 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 这样看来，只要适当规定宗量的幅角变化范围，就可以将多值函数单值化。 幅角变化的各个周期，给出多值函数的各个单值分支。每个单值分支都是单值函 数，整个多值函数就是它的各个单值分支的总和。在上面的讨论中，多值函数 w  z  a 有两个单值分支，分别是 w 的上半平面和下半平面： 0  arg( z  a)  2 给出单值分支 I： 0  arg w   ， 2  arg( z  a)  4 给出单值分支 II：   arg w  2 . 将多值函数划分为若干个（甚至无穷个）单值分支，其实质就是限制 z 的变 化方式，在上面的例子中，就是限制 z 不得绕 a 点或  点转圈。这种规定可以用 几何方法形象化地表现出来（Riemann 面） ：在 z 平面上平行于实轴从 z  a 点向 右作一条割线，一直延续到  点。如果规定在割线的上岸（接近这个实轴） arg( z  a)  0 ，就给出单值分支 I；如果规定在割线的下岸 arg( z  a)  2 ，就给 出单值分支 II。这两个单值分支合起来，就得到一个完整的 w 平面，即整个多值 函数 w 。割线的作用就是限制 z 的变化方式。由于割线连接了多值函数的两个支 点， z  a 和  ，因此， z 不再能够绕一个支点转圈了（这时，绕两个支点转一 圈还是允许的）。更进一步地，我们可以将两个割开的 z 平面粘接起来，第一个 面的割线下岸（ arg( z  a)  2 ）和第二个面的割线上岸（ arg( z  a)  2 ）相连， 第一个面的割线上岸（ arg( z  a)  0 ）和第二个面的割线下岸（ arg( z  a)  4 ） 相连。这就构成了二叶 Riemann 面。对于函数 w  z  a 来说，二叶 Riemann 面 上的 z 点和 w 平面上的点是一一对应的。这种做法的好处是， z 的变化路线不受 限制，可以从一个单值分支运动到另一个单值分支。因此，只要规定了 w 在某一 点 z 0 的值，并明确说明 z 的连续变化路线，我们就可以得到唯一确定的 w 值。 注意： * 单值分支的划分不是唯一的，或者说，宗量幅角变化范围的规定不是 唯一的。例如，也可以规定：    arg( z  a)   和   arg( z  a)  3 ， （即相当于从 a 点沿负实轴方向到  点作割线），或  5 3   ，  arg( z  a )  和  arg( z  a )  2 2 2 2 （即相当于从 a 点沿虚轴正方向到  点作割线）。 21 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU **割线的做法多种多样，甚至不必是直线。在一般情况下，割线可能不止一条， 也不一定需要用一条割线把全部支点都连接起来。 *** 支点必为奇点。这是因为在支点的邻域内无法把各单值分支分开，支点对各 单值分支来说是共有的，这点的导数无法定义。 ****奇点不见得是支点。例如 1/ z  ei / r , z  0 是奇点但不是支点。 多值复变函数不能象实分析中那样分解为多个独立的单值函数，而是通过 Riemann 曲面 单值化。关于 Riemann 曲面，可以用“时钟面”来帮助理解。即问当长针指在“1-12”圈的 “3”时短针指在“0-12”的何处？这一关系可理解为多值（12 个值）函数。为指出短针的 确切位置，可如此分析：长针走 12 圈，短针走一圈。假定长针从“12”开始走完第一圈进 入第二圈时不是原来的平面，而是第二个平面。再第三、第四圈…亦如此，直至十二个平面。 长针走第 13 圈时才进入第一个平面，这时短针也回到原来的位置。虽然实际上长针所走的 这十二个平面是重叠的，但不是孤立的，而成螺旋状，中心点（以及  点）为这十二个面 所共有。同时想象第十二平面的终了与第一平面的开始连接起来，这样一个几何实体（从正 面看是一个平面，从侧面看有十二叶）就是一个 Riemann 曲面。中心点（与  点）称为支 点，且为 12  1  11阶支点，在 Riemann 曲面上函数单值。例如，长针指在第 5 叶的“3” 上，则短针必然在“4”与“5”间的某处。 2．对数函数——指数函数的反函数 对给定的 z ( z  0) ，满足方程 e w  z 的 w 称为对数函数，记为 w  Lnz . 令 w  u  iv ， z  rei ，就得到 eu  eiv  re i .所以， u  ln r  ln z ， v    2n （ n  0,1,2,）. 多值函数， Lnz  ln z  iArgz ，有时也称 ln z  ln z  iargz 为其主值。 其多值性的来源是宗量 z 幅角的多值性，多值性的 表现则是函数值 w 的虚部。对应每一个 z 值，有无穷多 个 w 值，它们的实部相同，虚部相差 2 的整数倍。 w  Lnz 的支点是 z  0 和  .作割线连接 0 和  ，并规定割线一侧的 arg z 值，即可得到 w  Lnz 的单值分支。 22 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU w  Lnz 有无穷多个单值分支，相应地， w  Lnz 的 Riemann 面是无穷 多叶的。每个单值分支内，都有 双曲函数还有 tanh z  d 1 ( Lnz )  . dz z sinh z e z  e  z  z ，奇点： ez  e z  0  e2 z  1 z cosh z e  e 1 1 1 ln(1)  i(2n  1)  i(n  ) (n  0, 1, 2, ) ， 2 2 2 1 2 1 以及 sech z  ，奇点： zn  i (n  ) .  z z cosh z e  e 2  zn  z 3．一般幂函数：z   eLn（ z  0, 任意复常数），多值函数，支点：z  0,  .   4．反三角函数： arcsin z  iLn iz  1  z 2 ;   arccos z  iLn z  z 2  1 ;（双多值函数， z 2  1 只能取一个） arctan z  1 1  iz .（单多值函数） Ln 2i 1  iz 例 1．判断函数 w  ln( z  a)( z  b) 的支点，其中 a, b 是不同的复常数。 解：分析：可能的支点为 z  a, b,0,  . 常用方法：设  是其内部包含 a 点而不包含 b 点的简单曲线，当 z 沿  绕 a 一圈时， z  a 的幅角增量为 2 . 常用技巧：设 z  a  e i ，即 z  a  ei （   1，且 0    2 ），则 w  ln( z  a)( z  b)  ln( a  ei  a)(a  ei  b)  ln ei (a  b)  ln   i  ln( a  b). 当 z 沿  绕 a 一圈后，即  增加 2 后， w 不还原，说明 a 点为 w 的支点 （其实为超越支点---无穷阶支点）。同理，b 点也是 w 的超越支点。 对 z  0 点， z  e i ，   1，此时， w  ln( z  a)( z  b)  ln( ei  a)( ei  b)  ln ab  ln a  ln b ， 当 z 绕原 点转一圈后，即  增加 2 后， w 值还原，说明 z  0 点不是 w 的支点。 对于  点， z  e i ，   1 ，此时， w  ln( z  a)( z  b)  ln( ei  a)( ei  b)  ln  2 ei 2  2 ln   i 2 ， 23 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 当 z 绕  点转一圈后，即  增加 2 后， w 值不还原，说明  点是 w 的支 点，而且也是超越支点。 1  z 3  1 的支点，求 f ( x) ， f (i) ？ 例 2．判断函数 f ( z )  z 1 z 0 0 解：可能的支点为 z  0,1,  .（ 1/ ( z  1)  ei /  , z  1 是奇点但不是支点。） 1） z  0 点邻域， z  e i ，   1， 1  e   f ( z)  i 3 e 1 i i e  1  1  e i / 2 ，一阶支点； 2） z  1 点邻域， z  1  ei ，   1， 1  1   e   f ( z)  i 3 1 e i 1 1   3 ei 3 /2i 3 /2 ，一阶支点； i 1  e 1 2 3） z   点邻域， z  ei ，   1 ， 1  e   f ( z)  i 3 e i 1 i e  1  ei 3 / 2 ，不是支点； 因此， z  0, z  1 是 f (z) 的两个支点。 从 0  1 作割线，f (z) 有两个单值分支。我们选定 f (z) 的一个单值分支 f 0 ( z ) 如下：规定在割线的上岸 I：  arg z  0 ，  arg(1  z )  0 [’ arg( z  1)   ], 则 在割线的上岸有 z  z ei 0  xei 0 ， 1  z  1  z ei 0  (1  x)ei 0 , x[0,1] ，因此， f 0 ( x)  1  x 3  1 x x 1 （上岸 I）. 当 I 上的点 z  x 绕过左端点（ z  0 ）回到下岸 II 上具有相同坐标 x 点时，   arg z  2 ，   arg(1  z)  0 ，即在割线的下岸 II 上，有 z  z ei 2  xei 2 ， 1  z  1  z ei 0  (1  x)ei 0 . 因此， f 0 ( x)  1  x 3  1 xei 2 x 1 3  1  x 1   x x 1 （下岸 II）. 练习：当然，我们也可以从 I 上的 x 点绕过割线的右端点 z  1 回到 II 上的 x 24 Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 点。这时，   arg z  0 ，   arg(1  z)  2 . 即有 z  z ei 0  xei 0 ， 1  z  1  z e i 2  (1  x)ei 2 . 1  xe   1   1  x  1 因此， f ( x)  i 2 3 0 3 x 1 xei 0 x 1 x 现在来求 f 0 (i ) 的值。在点 z  i 处，  arg z  上岸绕过点 z  0 到 z  i ）. 因此， z  1  e i 3 2 （下岸 II）. 结果一样。 3  ，  arg(1  z )  （从 2 4 ，1  z  1  z e i  4 i   2e 4 . 3  i    2e 4  3  3 1     1  2 4 e i 8  1  2 4 e i 8 . 因此， f 0 (i )   3 i  i 1 1 i 1 e 2 [ 练 习 ： 如 果 从 上 岸 绕 过 点 z  1 到 z  i ， 则 有   arg z   7   2 ， 7 i i i 7 . 因此， z  1  e 2 ， 1  z  1  z e 4  2e 4 .   arg(1  z )   4 3 7 i    2e 4  3  3 1   i i 1 1   8 4 4 因此， f 0 (i )   2 e   2 e 8 .]  i  i  1 1  i 1 e 2 例 3．判断函数 f ( z )  z  z 2  1  z  z  1z  1 的支点，并求 f0 ( z )  ? 解：可能的支点为 z  0, 1, 1,  . 1） z  0 点邻域， z  e i ，   1， i f ( z )  e   e  1e  1  e  e ， i i i i 2 不是支点； 2） z  1 点邻域， z  1  e i ，   1， f ( z )  1   ei   1   e  1 1   e  1 i i  1   ei  2  ei / 2i / 2 , 一阶支点； 3） z  1 点邻域， z  1  ei ，   1， 25 Methods of Mathematical Physics (2014.03) f ( z )  1   ei  Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 1   e  11   e  1 一阶支点； i i  1   ei  2  ei / 2 , 4） z   点邻域， z  ei ，   1 ， f ( z )  e i  e  1e  1  e  e ，不是支点； i i i i 因此， z  1, z  1 是 f (z) 的两个支点。从  1  1 作割线， f (z) 有两个单 值分支。我们选定 f (z) 的一个单值分支 f 0 ( z ) 如下： 规定在割线的上岸 I：   argz  1  0 ，   arg(z  1)   ，则在割线的上 岸有， z  1  z  1ei 0  x  1ei 0 ， z  1  z  1ei  (1  x)ei . 因此， f 0 ( z)  x  x  1e 1  x e i0 i i   x  1  x e 2  x  i 1  x 2 （上岸 I）. 2 当 I 上的点 z  x 绕过左端点（ z  1 ）回到下岸 II 上具有相同坐标 x 点时，   argz  1  2 （转 2 ），   arg(z  1)   （不变），即在割线的下岸 II 上， 有 z  1  z  1ei 2  x  1ei 2 ， z  1  z  1ei  (1  x)ei . 因此， f 0 ( z)  x  x  1e 1  x e i 2 i  x  1 x e 2 i 3 2  x  i 1  x 2 （下岸 II）. 练习：当然，我们也可以从 I 上的 x 点绕过割线的右端点 z  1 回到 II 上的 对应点，这时，   arg z  0 ，   arg(1  z)   ，即有， z  1  z  1ei 0  x  1ei 0 ， z  1  z  1e i  (1  x)e i . 因此， f 0 ( z)  x  x  1e 1  x e i0 i i   x  1  x e 2  x  i 1  x 2 （下岸 II）. 2 再当然，绕过两个支点转一圈亦是允许的，这相当于绕无穷远点转一圈（此例中 没有留下效果） 。 1n  1, (n  0, 1, 2, ，实数空间); i arg a   | a |e 2 , (  1/ 2，+: n=even，-: n=odd); a   i (2 n  arg a ) , (  任意实数,n  0, 1, 2, ，复数空间).  | a | e 1  Home work: 1.1(2), (3) ; 1.4(6);1.5; 1.8(4). 链接：http://pan.baidu.com/s/1gf1AbSZ 密码：pcfx 26