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条件概率、相互独立事件等在高考中的考查 一、山东省高考大事记： 2003--2007 年前，大纲版，山东适用两省一市试验修订本教材，过度 2007 年新课标（2007 版）第一年高考山东、广东自主命题（2007-2017） ，海南、宁夏新课 标全国卷，适用必修 5 本+选修 3 本教材，一纲多本，人教 A 版、B 版、北师大版等 2017 年新高考第一年上海、浙江， （北京、天津、山东、海南启动新课标（2017 版）老高考） ， 老教材 2018、2019 两年山东适用新课标（2017 版）全国 1 卷（河北、河南、山东、山西、安徽、 江西、湖南、湖北、福建、广东）过度，老高考，老教材 2020 年新高考全国 1 卷（仅山东适用） 、2 卷（仅海南适用），老教材 2021 年新高考全国 1 卷（山东、河北、江苏、湖北、湖南、广东、福建适用）、2 卷（海南、 辽宁、重庆适用） ，老教材 2022 年新高考全国 1 卷（山东、河北、江苏、湖北、湖南、广东、福建适用）、2 卷（海南、 辽宁、重庆适用）首次新教材 2023 年新高考全国 1 卷（山东、河北、江苏、浙江、湖北、湖南、广东、福建适用） 、2 卷 （海南、辽宁、重庆适用） 二、2018、2019 两年新课标Ⅰ卷概率统计综合题： （2018 年新课标Ⅰ卷山东，22 题是二选一题）新课标、老高考、老教材 20． （12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对 产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作 检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都 为 p(0  p  1) ，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点 p0 ． （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每 件不合格品支付 25 元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ， 求 EX ; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作 检验？ 20.解： （1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p)  C20 p (1  p) .因此 2 2 18 f ( p)  C220 [2 p(1  p)18  18 p 2 (1  p)17 ]  2C220 p(1  p)17 (1  10 p) . 令 f ( p)  0 ，得 p  0.1 .当 p  (0,0.1) 时， f ( p)  0 ；当 p  (0.1,1) 时， f ( p)  0 . 所以 f ( p) 的最大值点为 p0  0.1 . （2）由（1）知， p  0.1 . （i）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y B(180,0.1) ， X  20  2  25Y ，即 X  40  25Y . 所以 EX  E(40  25Y )  40  25EY  490 . （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于 EX  400 ，故应该对余下的产品作检验. （2019 年新课标Ⅰ卷山东压轴题，22 题是二选一题）新课标、老高考、老教材 21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物 试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一 只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药 治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为 了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则 甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分， 甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi (i  0,1, ,8) 表示“甲药的累计得分为 i 时， 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0  0 ， p8  1 ， pi  api 1  bpi  cpi 1 (i  1, 2, ,7) ，其中 a  P( X  1) ， b  P( X  0) ， c  P( X  1) ．假设   0.5 ，   0.8 ． (i)证明： { pi 1  pi } (i  0,1, 2, ,7) 为等比数列； (ii)求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】 （1）见解析； （2） （i）见解析； （ii） p4  1 . 257 【解析】 【分析】 （1）首先确定 X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列； （2）   （i）求解出 a, b, c 的取值，可得 pi  0.4 pi 1  0.5 pi  0.1 pi 1 i  1, 2, ,7 ，从而整理出 符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的 方式，结合 p8 和 p0 的值可求得 p1 ；再次利用累加法可求出 p4 . 【详解】 （1）由题意可知 X 所有可能的取值为： 1 ， 0 ， 1  P  X  1  1     ； P  X  0     1   1    ； P  X  1   1    则 X 的分布列如下： （2） X 1 0 1 P 1       1   1     1      0.5 ，   0.8  a  0.5  0.8  0.4 ， b  0.5  0.8  0.5  0.2  0.5 ， c  0.5  0.2  0.1 （i） pi  api 1  bpi  cpi 1  i  1, 2, , 7   即 pi  0.4 pi 1  0.5 pi  0.1 pi 1 i  1, 2, ,7  整理可得： 5 pi  4 pi 1  pi 1 i  1, 2, , 7    pi 1  pi  4  pi  pi 1  i  1, 2, , 7   pi 1  pi   i  0,1, 2, , 7  是以 p1  p0 为首项， 4 为公比的等比数列 （ii）由（i）知： pi 1  pi   p1  p0   4i  p1  4i  p8  p7  p1  47 ， p7  p6  p1  46 ，……， p1  p0  p1  40 1  48 48  1 作和可得： p8  p0  p1  4  4    4  p1  p1  1 1 4 3   p1  0 1 7  3 4 1 8 1  44 44  1 3 1 1  p4  p4  p0  p1  4  4  4  4  p1   8  4  1 4 3 4  1 4  1 257  0 1 2 3  p4 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4  1  0.0039 ，此时得出错误结论的概率非常小， 257 说明这种实验方案合理. 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求 解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求 解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高. 三、2021、2022 年条件概率、相互独立在新高考中的考查： 试题一： （2021 年新高考Ⅰ卷）新课标、新高考、老教材 8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2” ，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8” ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和 是 7” ，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 1 1 5 6 1 ，P(乙)  ，P(丙)  ，P(丁)   ，， 6 6 36 36 6 1 P(甲丙)  0  P(甲) P(丙)，P(甲丁)   P(甲) P(丁)， 36 【详解】 P(甲)  P(乙丙)  1  P(乙) P(丙)，P(丙丁)  0  P(丁) P(丙)， 36 故选：B 【点睛】判断事件 A, B 是否独立，先计算对应概率，再判断 P( A) P( B)  P( AB) 是否成立 试题二： （2022 年新高考Ⅰ卷）新课标、新高考、新教材 四、相互独立事件等概念在教材中的变迁： （一）大纲版《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）第二册下 A》2001.6 第十章排列、组合和概率 10.7 相互独立事件同时发生的概率 事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两个 事件叫做相互独立事件 独立重复试验 （二）2007 课标版《普通高中课程标准实验教科书·数学·选修 2-3·B 版》2007.4 第二章概率， 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.1 在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用 P （B｜A）表示 2.2.2 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，即 P（B｜A）=P（B） ， 这时，我们称两个事件 A，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 第三章统计案例 3.1 独立性检验 统计量  2 推导，根据概率的统计定义，事件的概率都可用相应的频率来估计 《普通高中课程标准实验教科书·数学·选修 2-3·A 版》2006.4 第二章随机变量及其分布 2.2.1 条件概率   P( AB) 为事 P( A)   一般地，设 A，B 为两个事件，且 P( A)  0 ，称 P B A  件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，一般把 P B A 读作 A 发 生的条件下 B 的概率 2.2.2 事件的相互独立性 设 A，B 为两个事件，如果 P( AB)  P( A) P( B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立， P ( B A)  P( B), P( AB)  P( A) P( B A)  P( A) P( B) 2.2.3 独立重复试验与二项分布 第三章统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 2 统计量 K 推导，根据概率的统计定义，频率近似于概率 （三）2017 课标版《普通高中教科书·数学·必修 2·B 版》2019.4 第五章统计与概率 5.3.5 随机事件的独立性 一般地，当 P( AB)  P( A) P( B) 时，就称事件 A 与 B 相互独立（简称独立） ， 事件 A 与 B 相互独立的直观理解是，事件 A 是否发生不会影响事件 B 发生的 概率，事件 B 是否发生也不会影响事件 A 发生的概率 《普通高中教科书·数学·选择性必修 2·B 版》2019.4 第四章概率与统计 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.1 条件概率 一般地，当事件 B 发生的概率大于 0 时（即 P( B)  0 ） ，已知事件 B 发生的   条件下事件 A 发生的概率，称为条件概率，记作 P A B ，而且 P  A B  P( A B) P( B) 4.1.3 独立性与条件概率的关系   当 P( B)  0 时，A 与 B 独立的充要条件是 P A B  P( A) 4.3.2 独立性检验 统计量  2 推导，根据两个事件相互独立的定义， P( A) P( B) 看做 P( AB) 的近似值 《普通高中教科书·数学·必修 2·A 版》2019.4 第十章概率 10.2 事件的相互独立性 对任意两个事件 A 与 B，如果 P( AB)  P( A) P( B) 成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立。简称为独立 《普通高中教科书·数学·选择性必修 3·A 版》2019.4 第七章随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式   一般地，设 A，B 为两个事件，且 P( A)  0 ，我们称 P B A  P( AB) 为 P( A) 在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率   当 P( A)  0 时，当且仅当事件 A 与 B 相互独立时，有 P A B  P( A) . 第八章成对数据的统计分析 8.3 列联表与独立性检验 统计量  2 推导，由条件概率的定义提出零假设，进而等价于分类变量相互独立，最后根据 频率稳定于概率的原理得出.