2018年全国第十六届现代数学和力学学术会议....pdf

第十六届现代数学和力学学术会议 2018年8月24-27日云南昆明 微积分教学中的 体系 与 传播 研究 体系自身的研究：方法化、思想化、通识化 体系传播的研究：图示化，要义分解，课程工程 课程体系网站 微积分的一流化进程 http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.htm 谢锡麟 谨致 复旦大学 航空航天系（原力学与工程科学系） 2018年08月26日 知识体系自身的研究 知识体系研究 方法化 归纳可适用于一类问题的流程 清晰、效率高效的分析或解决 方法 方法化 事例 一致连续性的判定方法 观点 基于知识的方法化，实现学问 向能力的深化 一定要改变：上课就 是为了考试，考试就是为了考试，考 完基本忘记 的应试模式。哲学家 冯 契：化理论为方法，化理论为德性。  f  x, y, z  d    x  x  y  , ,   det D  y  , ,  d d d         z   z  f E  S Exyz y 零测集修正 S xyz  零测集修正 S 方 法 化 事 例 体 积 分 换 元 公 式 E E xyz  x z o  o  x      y      C1 E  S ; E  S    xyz xyz      z       r  H  K  H  A G H E z  K  F E xyz   E z      z   1  H  G    E  G    K  G    F  G  z z H D  E  A    B  A   F  A    C  A G  A    D  A   E  o 1  E z E xyz  S xyz o C y  B o 1  x o  x  R    cos   y    R  sin    E  S xyz xyz         z   z x  x Exyz   y   z      f  x, y, z      g x, y, z   E            h  x, y, z     E        f  x, y, z   A2 z A2 y R   2  1   x  R  ,  sin  cos   y    R ,  sin  sin    E  S  xyz xyz       z   R  ,  cos    R  ,  2 h  x, y, z   C2 E xyz g  x, y, z   B1 A1 C1 B1 g  x, y, z   B2 z y o x h  x, y, z   C1 f  x, y, z   A1  B2 E  C2  r o  x  E xyz  S xyz o y E  1    知识体系研究 思想化 观点 方法化之上归纳思想化,思 想化指导方法化。微积分的诸多 思想自然地贴合自然辩证法，此 方面可以应用与课程思政。 思想化 变换的思想 —— 基于微分同胚 换个眼光看世界 物理域上分布 f  xˆ  参数域上分布 f  xˆ  :=f  X  xˆ   参数域 Dx 物理域 DX 双射：物理域上 分布 对应至 参 数域上分布 X : X  xˆ  ˆ : X  x  X Xm X xm X1 o 物理域上分布 f  x  X  xˆ  x m 可微性：物理域 上 分 布 的 PDE 转换至 参数域 上分布的PDE x̂ x 物理域 DX X  xˆ  X  x x m Xm X o X1 X  x xi o x1 参数域上分布 f  x  :=f  X  x   参数域 Dx X  xˆ  x j X  xˆ  x1 xm  线 X x x i X  x x1 xi  线 x x1  线 xm xi o x1 xm  线 xi  线 x̂ x1  线 f  x   C1 s.t. rankDf  x   r f  x f f x 变 换 的 思 想 事 例 秩 定 理 yn xm yr xi x1 o   m r o 1 y1 o  1    1       1    r            = r 1 1 r g  , ,       m          n 1 r   g   , ,     1      m      f  1  n r o 1 f  1 f  1    1         r      =    m    0         0   xi  Vxi  x, t  , i  1,  i i x t      0 变换的思想 事例 动力系统 V Xm X  X  x V xm t X  V i  V1    0 , m , V        0  i  Vi  , t  , i  1,  i i  t     0  0 V V m m i i o 1 1  0  , m , V        0  t t V Vx x1 o   V  , t  , i  1,  i i  t      0 0 i t xi X1 o ,m o 1 V xm Dx y0  x2 x1 o ! y x  B  y0   o y 1 隐映照 B  x0   x x0  : f  x1 , x  B  x0  y0 y  x 隐映照定理 Dx r 分布 :   x1 , 1 o x x0 x B  x0  观点 微积分的研究对象：可由有限个数刻画的事物 , xm   l          1 , , xm   0  B  y0  y  x   yx  B  y0  xm 因果分解:约束上分布的最值 xm , yn s.t. F  x, y x   0 yn y2 y1 , , r 思想化 因果分解  0     0 x   mr xi o x  1 1 o 0 0  分布 :   ,    :     B  0  知 识 体 系 研 究 通 识 化 知识点 具有一定独立性的知识 （思想与方法）的集合。每一知 识点再由若干 知识要素 组成，知 识要素 可以是等式、不等式、特 定结构或者特定处理。 数学通识/通识性结构 隶属不同 知识点的相同的知识要素——融 会贯通、触类旁通 通识化 结构是事物的本质，本质是有限的，但可以驱动诸多结果；通识 性结构就是数学通识 典则基下表示 e3  t  i3 e2  t  b t  b t  i2 e1  t  i1 o i  b1  i i b  t    i1 , i 2 , i 3  b2  : i b  t  i b3    运动基下表示 e  b1  e e b  t   e1 , e 2 , e3  b2  : e  t  b  t  e b3  数学通识 事例 单参数向量值映照的绝对变化率与相对变化率的关系   db t  dt  i i d b  t  b  t  t   b  t   dt lim  e e t 0 t e  db db T t   ω  b  t  e  P P   t  b  e dt dt  运动合成原理 速度合成原理 e3  t  i3 i2 o e2  t  rr  t  r t  rp  t  r  rp  rr  e1  t  p t  e   d r V  Vp  ω  rr  r  t     dt   : Vp  ω  rr  Vr 牵连速度 相对速度 i1 加速度合成原理 e e     d r d V r V  Vp  ω  rr  Vr  a  a p  ω  ω  rr  r  t    ω  Vr   t      dt dt      a p  ω   ω  rr   2ω  Vr  a r 相对加速度 牵连加速度 柯氏加速度 Coriolis 惯性力 e 加速度变化率合成原理 da p d ar da 2  3ω   ω  v r   ω  ω  rr   3ω  a r  t   dt dt dt 通识化 以 结构 驱动 结论 2015年秋季学期《数学分析》 通识化 以 结构 驱动 结论 正本清源 事例 Rolle定理 （朴素形式：二端一样高） 等斜率定理（内部速率不为零） Fermat引理 极限保号性 Cauchy中值定理（水平速度不为零） y     y   y     ，   ,   x     x   x      y  t  , x  t   C  ,    2 2 x  y  t   0, t   ,       y  t  , x  t   C  ,      x  t   0, t   ,   知识体系传播的研究 传播方法研究 图示化研究 概念、思想、结论、分析、架构的图示化 x  B  x0  Dx B  x0  x m f  x   B  y0  B  y0  yn x0 y0 x2 概 念 的 图 示 化 事 例 向 量 值 映 照 的 极 限 Dx x1 o y2 y1 o Dx \ x0   xn  x0 xm x 1 o x x  B  x0  Dx xm f  x1  xˆ  B  x0  Dx   0 f  x 2 x1 y yn x0 x f  xn  y2 Dx x1 1 B  x0  o y0 x2 xn o f  x2  yn x0 2 f  xn   y0 y2 Dx o f  xˆ  y1 d  f  x  , f  xˆ     f  x0  h   f  x0   A  h  f  x0  h  x0  h 定义域 DX f  x0  x0 x 概 念 的 图 示 化 事 例 向 量 值 映 照 的 可 微 性  m y x0  hˆ xi y 1 x o m  Dx  x f  x  在 x0  int Dx 点可微，指 A  L  f  x0  h   f  x0   A  h   o  h   n  m ; n  , 成立  f  x0  h   f  x0   A  h   0 hlim m 0 h m  L  0   L  n Γ  0   dΓ  0    0   d m L  Γ  0   xm o 0 n 切线向量值映照 Γ  xi 0 y1 o 向量值映照 f  x  :   f  x  hˆ   f  x   A hˆ  f x0  hˆ n 0    x1 Γ     L     o    0   m 曲线向量值映照 Γ    :   ，    Γ   n Γ     Γ   0   DΓ   0     0   o     0   m  在  0   ，  点可微，指  dΓ Γ     Γ  0  lim  DΓ   0   m  d    0   0    0  x f  A  t  B  A  m B 思想的图示化 事例 直线单 参数化 x1 o A 0 t B 要求：f  x  在  A, B  可微 分 析 的 图 示 化 事 例 可 微 的 充 分 性 条 件   t  : f  A  t  B  A  A  t  B  A x2 f  B   f G   f  B   f  A  Df  A    B  A    B  A G  3  B  G  A    B  A 1 t f G  3  B  G    x3 3  x x3 x2 G E  2  G  E  A E A  1  E  A x1 f G   f  E   f  E   f  A  f E  2  G  E    x3 3  x f A  1  E  A   x3 3  x  分析的图示化 事例 Lebesgue 定理的分析 f  x  I      0  1  n , n   x  I   f ; x    n  n 1   假设     0   n*  0 1    f ; x0     f ; B  x0      f ; I   n* B  x0   1 x0   n*   x  I   f ; x    n  * x0 I x0 I I   f ; B  x0  I   1 或 2n*   f ; B  x0  I    1 2n*  I  1  f ; I    m 2 n*   1   n*  0, P 2m n* B  x0     x  I   f ; x           0       0 x   x  I   f ; x    N I o k 1 2 J k  ;   N k 1 Jk  N o k 1 2 Jk 体积控制  N I x      0  f  x    I  N    Jk   N  k 1   0, J k k 1 s.t.  N   J  k  k 1 现有I k 1 o 2 J k  ，则有 I  N k 1 3J k , 当diamI    N Jk I 2Jk k 1 o 2 J k  ，亦即 I   I  I x  K , s.t.   f ; x    3J k Cantor定理  振幅控制 N k 1 o 2 J k : K 现有 x  K , s.t.   f ; x   , 则有   f ; I        2, 当diamI     振幅有界   f ; I      f ; I    N     f ; I    I  ~ 体积有界 I    3J k  3m     N o N  o k 1 I 2 J k   I k 1 2 J k  N   k 1  f ; I   I ~   1 振幅可控   f ; I    2        f ; I    I  ~ 体积有界 o I   I N  I N 2 Jo   I 2 J k =   k 1 k  k 1 N lim    f ; I    I   0 P 0 1 传播方法研究 复杂过程的要义分解 复杂过程的要义分解 事例 体积分换元公式 要义1 数学机制 微分同胚/变形的简单微分同胚/单向变形的分解/复合 x  y  , ,      z          z  o y  o  z           ,   x 体积分换元公式  x     y    x, y    f  x, y, z  d Exyz           ,    x     y    x, y    o E y           x     y          z   z  ,   o Exy x  x  x   f  y   , ,    detD  y   , ,   d E  z   z  要义2 有界闭集的有限覆盖定理 要义3 零测集修正 复 隐杂 映过 照程 定的 要 理义 的分 证解 明事 例 F  x, y   C  Dx  Dy ; 1 x m Dx x y  隐映照 B  x0   x f  xˆ  f x 压缩性 f  x   f  xˆ  m   x  xˆ m xm 要义1 x1 要义2 求解问题 n 对任意确定的 x  B  x0 ， 求解 y x  B  y 0  , s.t. f  x, y x  =0  n 映照不动点 B  y 0  B  x0  E Dx   !x*  f  x*  x̂ y  x   yx  B  y0  φ x  y  : B  y 0   y x0 φx  y   y   Df   x0 , y 0   f  x, y  , x  B  x0 ，其不动点 y x  B  y 0  , s.t. φ x  y x  = y x 1   要义3 φ  x, y  : y   Dy f  1 f  x  E xp y0 x0 x x  B  x0  x0 Dy  m f  x : E  x o y1 o Dx   n y2 x  xˆ m s.t. F  x, y x   0 x1 o  F  x0 , y0   0  n   Dy F  x0 , y0   nn非奇异  ! y x  B  y0  y0 2 n  x0 , y 0   f  x, y   C1  B  x0   B  y 0  ;   n ，有 1  φ  x, y   φ  x  h, y   D φ  x  h, y   x0 , y 0  nn Dxf  x  h, y  nm h m m   Dy f  n nm h x   M h m   1  φ  x, y   φ  x, y +k  n  Dy φ  x, y  k  nn k n   Dy f   x 0 , y 0  Dy f  x 0 , y 0   Dy f  x, y  k  nn k nn     k n ,    0,1  y0 n    复杂过程的要义分解源 事例 Stokes公式   V  x, y, z   dl     o n   C xyz z     V   i  V   j   ,    dl 要义1 y x C n o  x   ,     y   ,     C t        t   z  Cxyz  t    C  t    t a     t b  n E  n 要义2          d d =  V   i  V   j   ,    dl   要义3 旋转的通识性结构   DV  DV T  0 U y  Vx U z  Wx   0    Vx  U y 0 Vz  Wy    3 Wx  U z Wy  Vz 0   2  3 0 1 2  1  0   观点 对于复杂的分 析过程，首先进行 要义分解，然后对 要义的本质进行图 示化。图示化可以 有效地展示事物的 本质，追求 揭示上 一目了然、理解上 立竿见影 Possion括号  X, Y  m 原始定义  X, Y   f  结论的图示化 事例 Frobenius定理 , X Y f   Y X f  j  i Y j   i  j   i X  坐标计算  X, Y   f  =  X , Y f  X  Y  f    i j  i i  j   x  x  x  x  x     1 , V  Xm X m  V= m   X o  -线    3, o , m V2  -线 V2 1 -线 1  -线    3, 2 V1  m1 -线  m1 V 1  V1 , V2   C1V1  C 2 V2 2 -线 2 -线 X 2 -线 2 -线 2 -线 V1 1 -线 1 -线 m m X o 向量组 V1 , V2  对合 , m 2 -线 V2 V1 , m1  常数 1 -线  1 -线 X1 1 -线  =常数    3, , m 1 -线 2 o  1 1 -线  -线    3, , m ω  -线 2 , m 2 -线 2 -线 2 -线 V ω  -线    3, ω 2 -线 2 -线 2 -线 V V m X3 X Frobenius o 1 -线 1 -线 1 -线 2 1 -线 X1 1 -线  =常数    3, 1 -线 2 o 1 -线  1 , m   : T   span V ,   Pfaff 方程 V ,   span V ,  定 理 的 应 用 ： 流 体 力 学      V   V ,      V     V      V  V V  V : V  V  Pfaff 方程    V  V  0 X3 V X2 o X1 实践形式：课程工程 课程工程 在线资源 课程体系网站：微积分的一流化进程 一元微积分 2018年度上海市级精品课程 著述《微积分讲稿—— 一元微积分》，2016年 在线课程“数学分析—— 一元微积分”，2016年 高维微积分 2018年度上海市级精品课程 著述《微积分讲稿——高维微积分》，2017年 在线课程“数学分析——高维微积分”，2018年 微积分的深化 著述《微积分讲稿——高等微积分》，计划出版 在线课程“数学分析——高等微积分”，2018年 课程工程 在线资源 课程体系网站：现代连续介质力学及其应用 2017年度上海市级精品课程 课程体系网站 现代张量分析及其在连续介质力学中的应用 http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201354/main.htm 课程工程 文本支持（讲稿） 观点 讲稿按知识点划分，随着 认识的变化而需要经常更新；积 累到一定程度可以正式出版。进 一步的认识与讲稿修订，作为再 版的基础。 课程工程 实体课堂 2018年春季学期《数学分析》 课程工程 研讨课（包括习题课）与研讨日志 课程工程 学业/ 课程讲座/报告 俄罗斯相关教学参考 “自然在我笔下” — 学问至能力的进阶 柯尔莫哥洛夫的开创性工作在数学的一系列重要领域中提 供了新方法，打开了新思路，开辟了新方向，揭示了不同数学 领域间的本质联系，并广泛地提供了它们在物理、化学、气象、 生物、力学、工程、人工神经网络、金属结晶学、控制论、计 算机、比较语言学等学科中的应用前景。他创造的大量构造方 法和基本引理至今在不同领域中经常引用，其中绝大部分都已 成为教科书和专著中的经典内容。 柯尔莫哥洛夫进行科学研究的特点是：几乎在他所关心 的所有领域，都首先创建了几个基本原理，接着让他的学生继 续进行研究，达到深入完备的程度，最后吸引大量研究人员加 入，写综合报道，出专集，开交流会议，形成科学方向和学派。 他是他的学生领导的许多学派的奠基人。 柯尔莫哥洛夫 A ． H ． ( А н д р е й Николаевич Колмогоров) 1903年4月25日生于俄国坦波 夫(Тамбов)；1987年10月20 日卒于苏联莫斯科 柯尔莫哥洛夫把创造性才能分为演算性的、几何性的与逻 辑性的。他非常善于与学生们交往，并把他们自己未意识到的 能力发挥出来．他喜爱旅行、滑雪、俄国诗与美术，尤其热爱 油画与建筑。 柯尔莫哥洛夫从不夸谈自己的成就、衔头与地位，并不 看重金钱与物质条件，他把巴尔桑奖的奖金捐给了学校图书馆， 而沃尔夫奖金他未曾去领取．柯尔莫哥洛夫为科学事业无私地 贡献了他的光辉的一生． 柯尔莫哥罗夫认为，数学需要特别的才能这种观念在多数情况下是被夸大了，学生觉得数学 特别难，问题多半出在教师身上。当然，的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在： （a）算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。 （b）几何直观能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。 （c）一步一步进行逻辑推理的能力。但是柯尔莫哥罗夫也指出，仅有这些能力，而不对研究的 题目有持久的兴趣，不做持久的努力，也是无用的。 柯尔莫哥罗夫认为，在大学里好的教师要做到以下几点：（a）讲课高明，特别是能用其他 科学领域的例子来吸引学生，增进理解，培养理论联系实际的能力。（b）以清楚的解释和广博 的知识来吸引学生运动。（c）善于因材施教。柯尔莫哥罗夫以为以上三条都是有价值的，特别 是（c），这是一个好教师必须做到的。 那么对于数学力学系或计算数学与控制论系的学生又应当怎样做呢？柯尔莫哥罗夫以为除了 通常的要求外，有两点要特别强调：（1）要把泛函分析这样的重要学科（他说的重要学科恐怕 还包括拓扑学和抽象代数）当成日常工具一样应用自如。（2）要重视实际问题。 莫大的老师上课，基本不按教学大纲讲课（其实教学大纲也说教师在满足大纲的基本要求的 情况下，应当按自己的理解讲课），也没有什么固定的教材，教师往往同时指定好几本书为教材， 其实就是没有教材，只有参考书！主要课程都有讨论课，讨论课和讲课的比例至少是1:1。 学生做习题的时候就要注意进行科研训练了！这也是莫大数学成功秘诀之一。莫斯科大学讨 论课上的习题根本没有我们常见的套公式，套定理的题目。他们经常叫学生证明一些后续课程中 的定理，据他们认为这样做基本等于叫学生做小论文，算是模拟科研，对以后做科研是有好处的。 践行数理观点 俄罗斯 国立莫斯科大学 力学数学系：力学专业（专家种类 力学家） 教学计划 职业课程 3890 1 数学分析 1--4 1--4 768 512 256 256 256 8 2 分析几何 1 1 202 144 72 72 58 8 3 线性代数和 几何 2 2 179 128 64 64 51 4 代数学 1 1 151 108 54 54 43 5 微分几何 4 3 190 136 68 68 54 6 数学物理方 程 6 5 190 136 68 68 54 4 4 7 复分析 5,6 5 190 136 68 68 54 4 4 8 概率论 7 7 101 72 36 36 29 9 数理统计和 随即过程 8 8 90 64 32 32 26 10 微分几何与 拓扑 4 90 64 32 32 26 5,6 190 136 68 68 54 4 4 5-8 286 204 82 3 3 3,5 3,4,5 361 258 138 120 103 连续介质力 学基础 4 4 134 96 64 32 38 连续介质力 15 学 （ 数 学 模 型） 5,6 5,6 238 170 102 68 68 16 控制系统力 学 8 7 143 102 68 34 1 离散数学 7,8 190 136 68 3 101 72 36 7,8 95 68 11 泛函分析 12 物理力学实 习 13 理论力学 14 2 3 5,6 经典微分几何 计算机实习 3 204 68 8 8 6 4 4 8 6 4 4 4 3 3 41 3 3 68 54 4 4 36 29 2 2 27 5 6 4 6 5 5 4 专门课程（译 者注：主要是 各个教研室 开设的不同 研究方向的 专业课程） 1000 全年的专门 课程 6,8 204 136 136 68 半年的专门 课程 7,9 108 72 72 36 挑选大学生 的专门课程 10 102 68 68 34 586 204 科研工作 6,8,9, 6,8,10 10 204 2 2 2 2 2 382 2 2 2 2 2 2 4 2 4 还包括：专门 的讨论班 课程作业 毕业论文 学期分布 教学工作量/小时 年级和学时分配 一年级 学科名称 考试 测验 课程 工作 设计 量 包括课堂作业 总数 讲课 实习 讨论 实验 二年级 三年级 四年级 五年级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 独立 学习 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 16 周 18 周 周学时 10 8周 可 作 为 一 种 世 界 观 的 数 理 观 点 力 学 与 数 学 为 核 心 “按照近代观点，物理、化学、天体物理、地球物理、 生物物理可以全部归纳为物理科学。力学是物理科学的， 数学又是所有学科的共同工具，力学和数学原是科学发 展史上的孪生子，因此，形象的可以认为，物理科学是 一根梁，力学和数学是它的两根支柱。” —— 谈镐生先生 数学是物理的一部分；物理是自然科学，且是实验科学； 数学是物理中“做实验”比较“便宜”的那部分。 —— （俄）V.I.Arnold 谈镐生 Arnold “数理观点” — 基于坚实 数理基础之 上的“融会 贯通、触类 旁通”，以 此实现“学 问”向“能 力”的进阶； 表现为按数 量方式，认 知自然世界 及非自然世 界的一种具 有统一性的 世界观 传教 播学 研的 究二 ；方 后面 者 以体 前系 者研 为究 基与 础 观点 （1）高等教学的本质在于知识体系 研究，其次才是教学方式与方法、教师的 敬业程度等。（2）教学注重传授思想与方 法，隶属方法论层面。由此，教学研究与 实践是高度学术化的活动。