最大值和最小值.pdf

数学是科学的女王 数学教研室 一、最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考 虑在一定的条件下，怎样才能是用料最省，费用最 低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学 上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值 问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性 ； 最值的求法。 假定f ( x )在[ a , b ]上连续，除去有限个点外处 处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们就在 这样的条件下讨论f ( x )在[ a , b ]上的最值的求法。 二、最值的求法 首先由闭区间上连续函数的性质f ( x )在[ a , b ]上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得， 则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是 驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点 处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是 y o y x o y x o x 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值, 比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那 个就是最小值; ymax  max f (a ), f (c1 ),, f (cm ), f (d1 ),, f (d n ), f (b) (min) (min) 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值 就是最值.(最大值或最小值) 三、应用举例 例1 解  f ( x )  6( x  2)( x  1) 解方程 f ( x )  0, 得 x1  2, x2  1. 计算 f ( 3)  23; f (1)  7; f ( 2)  34; f (4)  142; 例2 解  1 3  2 3 2 1 2 f ( x )  x  ( x  1)  2 x 3 3 2 3 2 ( x  1)  x   1 2 3 2 3 x ( x  1) 3 2 4 3 1 令 f ( x )  0 得驻点 x   ( x2  1   x2 ) 2 易知，在x  0, x  1处 f ( x )不存在 这些点处的函数值为： 这些点处的函数值为： f ( 0)  1 f ( 1)  1 1 f ( )  4 2 1 3 1 3 f ( 2 )  4  3 1 3 比较以上各点处的函数值可知 1 fmax  f (  )  4 2 1 3 1 3 fmin  f ( 2)  4  3 1 3 在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况： f( x )在一个区间内可导，且只有一个驻点x0，并且 这个驻点x0同时也是 f(x)的极值点，则当 f(x0)是极大 （小）值时， f( x0 )是函数 f( x ) 在该区间上的最大 （小）值。 这是因为此时在 x0 的左、右两侧 f ( x ) 的符号 必定相反，亦即在 x0 的左、右两侧 f ( x )的单调性 必定相反。 例3 解 如图, y 设所求切点为P ( x0 , y0 ), B 则切线PT为 o y  y0  2 x0 ( x  x0 ), A C x  y0  x ,  A( 1 x0 , 0), C (8, 0), B(8, 16 x0  x02 ) 2 0 2 1 令 S   ( 3 x02  64 x0  16  16)  0, 4 16 解得 x0  , x0  16 (舍去). 3 16  s( )  8  0. 3 16 4096  s( )  为极大值. 3 27 16 4096 故 s( )  为所有三角形中面积的 最大者. 3 27 四、作业：求最值 (1) y  x  8 x  2 x[1,3] (2) y  x  1  x x[5,1] 4 2