数学学校测试样题.pdf

Ñîâìåñòíûé óíèâåðñèòåò ÌÃÓ-ÏÏÈ â Øýíü÷æýíå Äîïîëíèòåëüíîå âñòóïèòåëüíîå èñïûòàíèå ïî ìàòåìàòèêå Äåìîíñòðàöèîííûå çàäà÷è 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x2 − 8x + 2 − x2 = 2x + 2. Îòâåò: x ∈ {0; 1; 2; 5}. 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî √ −2x − 4 − 3 < √ 9 + 2x − 2 + 1.   9 13 Îòâåò: x ∈ − ; − . 2 4 2π 6π 2 sin 2x.    π 3 π 3 − + 2πk; arcsin + 2πk ∪ + 2πk; π − arcsin + 2πk , k ∈ Z. 2 4 2 4 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2 arcsin x = arccos(2 − 5x). Îòâåò: x = 5− √ 17 4 . 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå log4x−x2 x = log12−3x x. Îòâåò: x = 1, x = 3. 8. Èçîáðàçèòå íà äåêàðòîâîé ïëîñêîñòè Oxy ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê (x, y), óäîâëåòâî- ðÿþùèõ íåðàâåíñòâó logx2 +y2 (x + y) > 1, è âû÷èñëèòå ïëîùàäü ïîëó÷åííîé ôèãóðû. Îòâåò: 1. 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå

logx+5 x3 + 10x2 + 20x · log3 (x + 5) = log3 3x2 + 8x . Îòâåò: x = −3. 10. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî logx+1 Îòâåò: x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ [5; +∞). x2 + 3x − 4 6 1. 2x − 4 11. Ðåøèòå óðàâíåíèå √ 3 x + 4 = 5 − 2|x + 2|. 15 7 Îòâåò: x = − , x = −3, x = − . 4 4 12. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî √ √ 1 1−x− x> √ . 3 " √ ! 3− 5 Îòâåò: x ∈ 0; . 6 13. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî √ Îòâåò: x ∈ (−∞; 0) ∪ [1; 2]. 2 − x + 4x − 3 > 2. x 14. Èç ïóíêòà A â ïóíêò C , ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 20 êèëîìåòðîâ, âûåõàë ãðóçî- âèê. Îäíîâðåìåííî ñ íèì èç ïóíêòà B , êîòîðûé íàõîäèòñÿ ìåæäó A è C íà ðàññòîÿíèè 15 êèëîìåòðîâ îò A, â ïóíêò C âûøåë ïåøåõîä, à íàâñòðå÷ó èì èç ïóíêòà C âûåõàë àâòîáóñ. Çà êàêîå âðåìÿ ãðóçîâèê äîãíàë ïåøåõîäà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ýòî ïðîèçîøëî ÷åðåç 30 ìèíóò ïîñëå âñòðå÷è ãðóçîâèêà ñ àâòîáóñîì, à ïåøåõîä äî âñòðå÷è ñ àâòîáóñîì íàõîäèëñÿ â ïóòè â òðè ðàçà ìåíüøå âðåìåíè, ÷åì ãðóçîâèê äî ñâîåé âñòðå÷è ñ àâòîáóñîì? Îòâåò: 45 ìèíóò. 15. Íàéäèòå âñå ïàðû öåëûõ ÷èñåë (m, n), ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ
m2 + n2 · (m + n − 3) = 2mn. Îòâåò: (0, 0), (0, 3), (3, 0), (2, 2). 16. Ãèïîòåíóçà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà c, îäèí èç åãî îñòðûõ óãëîâ ðàâåí α. Âíóòðè ýòîãî òðåóãîëüíèêà íàõîäÿòñÿ äâå îêðóæíîñòè îäèíàêîâîãî ðàäèóñà, êàæäàÿ èç êîòîðûõ êàñàåòñÿ îäíîãî èç êàòåòîâ, ãèïîòåíóçû è äðóãîé îêðóæíîñòè. Íàéäèòå ðàäèóñû ýòèõ îêðóæíîñòåé. c Îòâåò: . α 2 + ctg 2 + ctg( π4 − α2 ) 17.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíû ìåäèàíà BM è áèññåêòðèñà AL. Îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ AOM è BOL ðàâíî 5/9. ×åìó ðàâíî îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêà AOB è ÷åòûðåõóãîëüíèêà CM OL? 15 Îòâåò: . 11 18. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ èìååò ðåøåíèÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé  y(ax + 1) + 13x − a(y + 1) = 0, x − xy + |y + 2| = 0. Îòâåò: a ∈ (−∞; −10] ∪ (1/2; +∞). 19. Ðåáðî êóáà ABCDA1 B1 C1 D1 ðàâíî a, òî÷êà E  ñåðåäèíà ðåáðà DD1 . Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ýòîãî êóáà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òî÷êó C ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîé BE . 9a2 . Îòâåò: 8 20. Íàéäèòå âñå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ π   p 2 cos 3x − 9x + 160x + 800 = 1. 8 Îòâåò: x = −31, x = −7.