第二十三讲[2009].pdf

第 二 十 三 讲 上次课   m2 n2    波导中的模式： k g  1   c  ， cmn  c  2  2  c b   a  截止频率：  波导中模式均为平面电磁波的相干叠加（以满足合适的边界条件）  谐振腔 -  2 TE10 (TE01 ) ， TM 11 只允许分立的频率（对应一定的驻波模式）存在 mnp  c m2 n2 p 2   ，基模为（110）模式 a2 b2 d 2 第十二章 电磁波的辐射 我们在第 8-9 两章中已经介绍了电磁波在不同的媒质中的传输行为，然而， 我们对电磁波如何产生的却仍然不知道。这一章中，我们将详细介绍电磁波如何 从源（电荷、电流分布）区产生出来的，这个过程叫做电磁辐射。 § 12.1 势、规范、及其满足的方程 1．势的定义    原则上讲，对确定的电荷分布  (r ,t ) 和电流分布 j (r ,t ) ，我们求它的辐射电 磁场就是求解 Maxwell 方程 1     E   / 0       E   B   t  B  0         B  0 j  0 0 E t  （12.1.1）   直接求解 E,B 场的方程通常比较麻烦，可以使用并矢格林函数的方法（参考 JA Kong 的书）。类似处理静电、静磁时的情况，我们在处理与源有关的辐射问题时 解“势”的问题更加方便。与静电、静磁时相比，在一般情况下标势、矢势的定 义有所不同。根据 Maxwell 方程第三式，可定义矢势 A 为    A  B （12.1.2） 将其带入 Maxwell 方程第二式，可得       E  A  0 t   （12.1.3） 因此可以定义标势，其满足    E  A   t     E   A   t （12.1.4） 2．规范条件（Gauge）  （12.1.2）与（12.1.4）所定义的势并不唯一。给定任意一个标量函数  (r ) ，由 此定义一对新的标势和矢势： '   , t   A '  A   （12.1.5）     将上式代入（12.1.2）和（12.1.4） ，我们发现 A ',  ' 给出与 A,  完全一样的 E , B     场。在经典电动力学的范畴内，后者对应着真实的物理场，前者（标、矢势）并  不对应真实的物理场。因此对于同样的物理体系， A,  的选择并不唯一，必须   在某一个条件的约束下才可能为唯一确定下来。这个条件称为规范条件。通常使 用的规范是库仑规范   A  0 （12.1.6） 和洛仑兹规范  1   A 2 0 c t （12.1.7） 2 值得注意的是：洛仑兹规范在静电静磁条件下与库仑规范一致。 3．势所满足的方程 将（12.1.2）与（12.1.4）带入 Maxwell 方程中的第一和第四式，我们得到对势的 方程：     A   / 0 t       1 A  2 A  (  A)  0 j  2 (  ) c t t   2   （12.1.8）  这组方程是 A,  耦合在一起的，使用起来不方便。利用 Lorentz 规范条件可以   将其化简成相当对称而标准的有源波动方程的形式 1 2    2 2     0 , c t   1 2   2 A  2 2 A   0 j c t 2 （12.1.9） 因此，我们首先根据源的情况求解（12.1.9）得到势，然后再由势求出电磁场。 § 12.2 推 迟 势  由于 A 和  满足同样的方程，因此我们只要讨论一个标量方程  2 1 2       2 2   (r , t )    (r , t )  0 c t   （12.1.9’） 的解。求解上述方程的标准方法是定义一个格林函数，满足  2 1 2         2 2  G (r  r ', t  t ')   (r  r ') (t  t ') c t   （12.2.1）  这 个 函 数 其 实 就 是 当 t' 时 刻 在 r ' 处 做 一 个 扰 动 时 空 间 所 激 发 的 场 。 定 义    R  r  r ', T  t  t ' ，则发现电势可以表示为：   (r , t )  1 0    G ( R  , T )  (r ', t ')dr ' dt ' （12.2.2） 将（12.2.1）代入上式，很容易证明上式是（12.1.9’）的解。因此知道了格林函 数，则具有任意时空分布的源激发的场都可以知道。下面求解格林函数。在 R， T 空间求解非常不方便，利用 Fourier 变换可得 3  G ( R, T )      ik  R  iT ( , ) G k  e e dkd  4  1 (2 )     1 ik  R  iT  ( R, T )   e e dkd (2 ) 4  （12.2.3）  带入（12.2.1）可以解得 (k ,  ) 空间的格林函数的解为  G (k ,  )  1 k  k02 2 （12.2.4） 其中, k02   2 （12.2.5）  因此，将（12.2.4）带回（12.2.3）可得 ( R, T ) 空间的格林函数为  G ( R, T )    ik  R  iT  e e dkd  (2 ) 4  k 2  k02 1 (12.2.6) 求解这个积分并不容易。先计算对 k 的积分：  G ( R,  )     eik R 1 eikR cos 2 dk  k dk sin  d (2 )3  k 2  k02 (2 ) 2  k 2  k02 1  ikR   k  ikR ikR 1 e  e ikR 1 kdk     k 2  k02    e  e  dk (2 ) 2 iR 0 k 2  k02 2(2 )2 iR    1 1 1  ikR  ikR       e  e  dk 2  4(2 ) iR   k  k0 k  k0      （12.2.7） 1  4(2 ) 2 iR   1 1  ikR     k  k0 k  k0  e dk    1 1  ikR  e dk     k  k0 k  k0      上面的积分中有奇点，若想得到收敛的结果，必须假设 k0 具有一个很小的虚部。 但这个虚数的符号应当取 + 还是取 - 呢？ 选择的依据是“因果关系”！--- 在正常介质中这个虚部必须为正。 “因果关系”要求电磁波在介质中向前传播（能流的方向）时应当产生焦耳热 从而使得能量被耗散。而 k0 是介质中向前传播的波矢，假设 k0  Re( k0 )  i ， ik r  i t 则e 0 e  ei Re( k0 ) r e  r e  it ，因此  一定为正。 对上面的两个积分分别选择如下图所示的闭合回路，将被积函数解析延拓到 4 复平面，则利用留数定理容易推出 Case 1 k>0 Part 1  G ( R,  )  k0+i . k0+i . . . -k0-i Part 2 -k0-i 1 1 eik0 R ik0 R ik0 R e  2 i  e  (2 i )  4(2 ) 2 iR 4(2 ) 2 iR 4 R (12.2.8) 在（12.2.8）式中加入时间振荡因子 e iT ，则发现这个解对应这样一个单频波， eik0 R  iT e ，其物理意义为一个点源的“出射波”--- 即从源点向外发射的球面波。 4 R 显然这是符合“因果关系”的解。若选择 k0 的虚部为负，则结果为不符合因果 关系的“会聚波”。进而将（12.2.8）代入（12.2.6）可得最终的格林函数  1 eik0 R  iT 1    R / c T  G ( R, T )  e d 2  4 R 4 R （12.2.9） 这个解的物理意义更加明晰 – 在原点处 0 时刻作一个激发，则激励的波以球面 波的形式传播出去 – 波振幅以 1/R 形式衰减，且只在 R=ct 处有值。将格林函数 形式（12.2.9）带入（12.2.4）得到   (r , t )  1 1    1  ( R / c  T )  (r ', t ')dr ' dt '  d  4  R 4  R 0 式中方括号[ ]表示 t   t  （12.2.10） 0 R ，同理可得 c     j  A(r , t )  0    d  （12.2.11） 4 R  我们注意到  , A 的表达式在形式上与静态时 的解一致，只是在动态时 t 时刻的辐射场是由 此时刻前的一个时刻的扰动贡献的，而这个 推迟的时间正是从源到观测点光信号传播所需 t1 t2 t3 5 的时间。这就是推迟势，其物理的根据是因果关系。 § 12. 3 多 极 辐 射 很多情况下辐射源电流、电荷分布于空间一很小区域内，而我们则关心远场 的行为，此时类似静电、静磁时的处理方法，我们可以作多极展开。 1．推迟势的多极展开  我们讨论的是远离源的场，即 r  l （图 12.2） ， l 为源的线度。被积函数是 R 的  函数，我们可以将它在 r 处展开为级数，即         0    0  Rr     r      ...  R R r r r R  R  R  r      R   (12.3.1) r  式中   0 表示   r , t   ，以后为简便起见，脚标 0 不再写出。同理可得 c      j   j    j    r    ... R r r 故    d   ... 1     d    r     4 0  r r     0  j   j  0  A d   r   d    r 4  r 4   我们下面分别研究 A、 展开式中各项的物理意义，以及它们所代表的辐射场的  性质。 2．电偶极辐射  展开式中的第一项 0      d   4 0 r 1 Q   d   4 r  4 r 0 （12.3.2） 0 Q 是系统的总电荷量，一般情况下不随时间变化，没有辐射。第二项 6   p    1    r   d     4 0 r 4 0 r (12.3.3)   式中  p    r     d  ，表示系统总的电偶极矩。  A 展开式中的第一项：   0  j       A1  d   0   v   d   0   qi vi   4 4 r 4 r  i r   0 d      qi ri   0  p    4 r dt  i  4 r    (12.3.4)  所以，电偶极矩系统所产生的 A 和  为（12.3.3）及（12.3.4）。下面考虑单频的       辐射源，  (r ', t ')   (r ')e  it ' , j (r ', t ')  j (r ')e it ' （任意情况总可以展开成单频结   果的叠加） 。从联系 B 与 A 的公式，我们得到电偶极辐射场中的磁场部分为      0  p  p i0  B    r r 4 4 (12.3.5) 电场当然也可以由势推出。但在无源区，电场可以更简单地由磁场导出    p  c2 1 E    B   (12.3.6) 4 0 i r 下面仔细分析一下在（12.3.5）和（12.3.6）式中要用到的一项：  p   1  1         p         p   r r  r  （12.3.7）   it i c r 考虑第一项，因为  p   p0 e e ，则微分运算可以代换成 i  c  er  iker （12.3.8） 1  1 再考虑第二项，因      2 er ，最终，（12.3.7）变为 r r i 因此，    1 1   1 er  [ p]   er  [ p]   c r r  r （12.3.7’）  1 和 的比较决定了哪一项大，哪一项小。下面我们分三个区域来讨论。 c r 7 (1) 远区：不仅要求 r  l ，而且 r   ， 为辐射场的波长，此时，公式(12.3.7)  中第一项远大于第二项。因此在计算电磁场时，只需计算  算子作用到  p  上即 1 可，无需计算其作用到 上。这等价于做代换（12.3.8） 。因此，远区场强的公式 r 为   2 0   B er   p  4 cr  2    E er   er   p  , 4 0 c 2 r (12.3.9) (2) 近区： r   ，但仍满足 r  l 。这时公式(12.3.5)和(12.3.6)中的旋度算子 1 只要对分母运算即可。因为每对分母运算一次得到一个 因子，而对分子运算得 r 1 1 1 到一个 因子，显然 比 贡献大。于是我们得到近区的场强为   r  i0   B e   p, 2 r 4 r (12.3.10)  1     E 3er  er   p    p  4 0 r 3   我们注意到此时电场和静态时的电偶极子的电场形式上完全一样，只不过时间上 推迟了一个辐射时间而已 – 事实上在这个条件下， “准静态”近似适用（参考第 6 章）。 (3) 中间区域：虽然 r  l ，但 r   ，这时我们必须同时保留对分母运算的项 1  1 和对分子运算的项。这是因为对两者运算得到的因子 和  是同数量级。 r c  习题 P． 343， 12.1 补充 （1）仿照课件中对真空中格林函数的解（12.2.9）的推导，利用因果关系，推导 出一个均匀的负折射介质（   0,   0 ）中的格林函数的解，并解释所得的格林 函数的物理意义。 （2）推导（12.3.10）式，计算一个偶极振子在近场条件下的能流分布的时间平 均值；（选作）证明（12.3.10）满足准静态近似下的 Maxwell 方程。 8