单调与极值.pdf
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数学是科学的女王 数学教研室 Lagrange定理 y f ( x0 x ) x 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点 处的导数之间的关系，为利用导数反过来研究函 数的性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我 们就来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、 极值最值、凹凸、拐点和渐近线等。 一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经 给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义 来判定函数的单调性却是很不方便的。 y y B B A o a A b x o a b x 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。 进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负）， 即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的。 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性 ？回答 是肯定的。 定理 设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在( a, b )内可 导（ . 1）如果在( a, b )内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调增加； ( 2) 如果在 ( a, b )内 f ( x ) 0， 那末函数 y f ( x ) 在[a, b]上单调减少. 证 x1 , x2 (a , b ), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x2 x1 0, 若在(a, b)内，f ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加. 若在(a, b)内，f ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少. 注 ①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 f ( x ) 0( f ( x ) 0) 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用 例1 解 y e x 1. 又 D : ( ,). 在( ,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符 号来判别一个区间上的单调性． 单调区间求法 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该 区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点 来划分函数 f ( x )的定义区间, 然后判断区间内导 数的符号. 例2 解 D : (,). f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]， [2,). 例3 解 D : (,). f ( x ) 2 3 3 x , ( x 0) 当x 0时, 导数不存在. 当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加； 单调区间为 (,0]， [0,). 二、函数的极值及其求法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知， 曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数 在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的 函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论 上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们 作一般性的讨论。 函数极值的定义 y a o b y o x y x o x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值 的点称为极值点. 函数极值的求法 定理1(必要条件) 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x ) 0 的实根)叫 做函数 f ( x ) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点. 3 y x , y x 0 0, 例如, 但x 0不是极值点. 注 ①这个结论又称为Fermat定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点 可疑极值点：驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即 可得到解决。 定理2(第一充分条件) y y o x0 x o x0 x (是极值点情形) y y o x0 x 求极值的步骤: o x0 x (不是极值点情形) (1) 求导数 f ( x ); (2) 求驻点(即方程 f ( x) 0 的根)和不可导点 ( 3) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点; (4) 求极值. 例4 f ( x ) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3) 解 令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论 x f ( x ) f ( x) ( ,1) 1 0 极 大 值 极大值 f (1) 10, (1,3) 3 ( 3,) 0 极 小 值 极小值 f (3) 22. f ( x ) x 3 x 9 x 5图形如下 3 2 定理3(第二充分条件) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 0, 证 (1) f ( x0 ) lim x 0 x 故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号， 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 所以,函数 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 例5 解 f ( x ) 3 x 2 6 x 24 3( x 4)( x 2) 令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x ) 6 x 6, f ( 4) 18 0, 故极大值 f (4) 60, f ( 2) 18 0, 故极小值 f (2) 48. f ( x ) x 3 x 24 x 20 图形如下 3 2 注意: f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值, 仍用定理2. 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例6 解 2 f ( x ) ( x 2 ) 3 1 3 ( x 2) 当x 2时, f ( x )不存在. 但函数f ( x )在该点连续. 当x 2时， f ( x ) 0; 当x 2时， f ( x ) 0. f ( 2) 1为f ( x )的极大值. 三、作业：求单调区间和极值 (1) y x ln(1 x) x 2x 2 (2) y x 1 2 2x 1 (3) y ( x 1) 2 (4) y ( x 1) x 2 3