复合函数求导.pdf
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数学是科学的女王 数学教研室 前面我们已经会求简单函数——基本初等函数 经有限次四则运算的结果——的导数，但是像 2x ln tan x , e , sin 2 x 1 x2 等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数 先看一个例子 例6 例1 y (1 x ) 2 2 1 2x x 2 4 y 4 x 4 x 4 x(1 x ) 3 2 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x ) 2 5 求导数，展开就不是办法，再像 y 1 x 2 1000 求导数，根本无法展开，又该怎么办？ 仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构 我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。 y (1 x ) 是由y u 和u 1 x 复合而成的 yu 2u ux 2 x 2 2 2 yu ux 2u ( 2 x ) 4 x(1 x 2 ) yx 2 再如 y sin 2 x y ( 2 sin x cos x ) 2[(sin x ) cos x sin x(cos x )] 2(cos x sin x ) 2 cos 2 x 注意到 y sin 2 x y sin u, u 2 x 2 2 yu cos u ux 2 yu ux 2 cos u 2 cos 2 x yx 由以上两例可见：由 y f ( u), u ( x ) 复合 而成的函数 y f [ ( x )] 的导数 yx 恰好等于 y 对中间变量 u 的导数 yu 与中间变量 u 对自变量 x 的导数 u 的乘积 x ——这就是链式法则 定理 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求 导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 若u ( x )在I上可导，y f ( u)在I1上可导 x I , u ( x ) I1 , 则复合函数y f [ ( x )] dy dy du 在I上可导，且有 dx du dx 注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导” 2.注意中间变量 推 广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ), 则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx 例2 解 y ln u, u sin x . dy dy du 1 cos x cos x cot x dx du dx u sin x 例3 解 dy 2 9 2 10( x 1) ( x 1) dx 2 9 2 9 10( x 1) 2 x 20 x( x 1) . 例4 解 2 x 2 a x 2 y ( a x ) ( arcsin ) 2 2 a 2 2 1 2 1 x a 2 a x 2 2 2 2 a x 2 a2 x2 a x . 2 2 例5 1 1 2 解 y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 y 2 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2) 例6 解 1 x 1 y e (sin ) e x 1 sin 1 1 x 2 e cos . x x sin sin 1 x 1 1 cos ( ) x x 注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则 是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握 2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层 3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。 求下列复合函数的导数： (1) f ( x) (2 x 3) 2 1 (3) f ( x) arccos x 2 1 x (2) f ( x) 1 x (4) f ( x) sin 1 x 3x 2 2 dy (5) y f ( ), f ( x) arcsin x , |x 0 3x 2 dx 2