陕西中医药大学高等数学精品课程-第一章 极限与连续.pdf 
陕西中医药大学高等数学精品课程-第一章 极限与连续.pdf
第一章 函数的极限与连续 极限概念是高等数学中最基本、最重要的概念，是微积分理论的基础。本章将在复习高 中所学的极限概念的基础上，进一步介绍两个重要极限，无穷小与无穷大的概念以及函数的 连续性。 函数的极限 §1-1 一、函数的极限： 1、当 x → 时，函数 f (x) 的极限 定义 1 当 x 无限增大（即 x → ）时，如果函数 f (x) 无限地趋近于一个确定的常 数 A，那么常数 A 就叫做当 x → 时，函数 f (x) 的极限 。记作 lim f ( x) = A x → 或 当x → 时 例如：当 x → 时 ， f ( x) = f ( x) → A 1 →0 x 便可记作 1 =0 x → x lim 定义 2 当 x → + （或 x → − ）时，如果 f (x) 无限地趋近于一个确定的常数 A， 那么常数 A 就叫做当 x → + （或 x → − ） 时，函数 f (x) 的极限，记作 lim f ( x) = A （ lim f ( x) = A ） x → − x → + 或 x → + （ x → − ） f ( x) → A 例如：函数 y = arctan x 当 x → + 时， arctan x → 2 当 x → − 时， arctan x → − 记作 2 记作 lim arctan x = x → + 2 lim arctan x = − x → − 2 lim f ( x) = A 存在的充分必要条件是： lim f ( x) = lim f ( x) = A x → + x → x → − 2、当 x → x 0 时，函数 f (x) 的极限 定义 3 当 x → x 0 （ x 可以不等于 x 0 ）时 ，若函数 f (x) 无限地趋近于一个确定的常 数 A，那么常数 A 就叫作当 x → x 0 时函数 f (x) 的极限。记作 x → x0 时 lim f ( x) = A x → x0 或 当 f ( x) → A 定义 4 无限地趋近于一个确定的常数 A，那么常数 A 就叫做函数 f (x) 当 x → x 0 时的 -1- 左极限（或右极限） ，记作： 左极限： lim f ( x) = A 或 f ( x0 − 0) = A 右极限： lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A x → x0 − 0 x → x0 + 0 lim f ( x) = A 存在的充分必要条件是： f ( x0 − 0) = f ( x0 + 0) = A x → x0 − 0 x − 1 , x 0 例如 函数 f ( x) = 0 , x=0 x +1 , x 0 左极限 右极限 因为 所以 lim f ( x) = lim− ( x − 1) = −1 x →0 − x →0 lim f ( x) = lim+ ( x + 1) = 1 x →0 + x →0 lim f ( x) lim f ( x) x → x0 − 0 x → x0 + 0 lim f ( x) 不存在 x→0 二．极限的运算法则： 设 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B 法则 1 lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = A B 法则 2 lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) = A B 法则 3 lim kf ( x) = k lim f ( x) = k A 法则 4 lim f ( x) lim f ( x) A = = g ( x) lim g ( x) B （其中 k 为常数） (lim g ( x) = B 0) 说明：1、法则 1 和法则 2 可以推广出有限个函数的情形； 2、由法则 2 可以得出：若 lim f ( x) 存在， n 为正整数， 则： lim f ( x) = lim f ( x) n n 3、法则 4 在使用时，分子分母的极限都必须存在且分母的极限不能为零。 lim (2 x 2 − 3 x + 1) 例1 求 x →3 解 根据极限四则运算法则，得 lim (2 x 2 − 3 x + 1) = lim 2 x 2 − lim 3 x + lim 1 x →3 x →3 x →3 x →3 = 2(lim x) − 3 lim x + 1 = 2 3 − 3 3 + 1 = 10 2 x →3 -2- 2 x →3 例2 求 解 x3 −1 x→2 x 2 − 5 x + 3 lim (lim x) 3 − 1 x3 −1 23 − 1 7 x→2 lim 2 = = − = x→2 x − 5 x + 3 3 (lim x) 2 − 5 lim x + 3 2 2 − 5 2 + 3 x→2 x →2 x2 −1 例 3 求 lim x → −1 x + 1 解 因为分母的极限 lim ( x − 1) = 0 ，因此不能应用商的极限运算法则，但分母 2 x →1 x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) ，而且当 x → −1 时 x + 1 0 ，故分式可以约去公因式 ( x + 1) ，所以 x2 −1 ( x + 1)( x − 1) lim = lim = lim ( x − 1) = −2 x → −1 x → −1 x + 1 x → −1 x +1 1 3 − 3 ) x →1 x − 1 x −1 解 当 x → 1 时，两个分式分母的极限都为零，两项均无极限，不能直接应用求极限的 例4求 lim ( 法则。可以先通分，约去非零因子 ( x − 1) ，再求极限 ( x − 1)( x + 2) x+2 1 1+ 2 3 = lim 2 = 2 − 3 ) = lim =1 2 x →1 x − 1 x − 1 x →1 ( x − 1)( x + x + 1) x→1 x + x + 1 1 + 1 + 1 lim ( 2x 2 − 2x + 3 lim x → 3x 2 + 1 例5求 解 2 由于分子，分母极限都不存在，因此不能用商的极限运算法则。先用 x 去除分子， 分母，然后求极限，得 2x − 2x + 3 = lim x → x → 3x 2 + 1 2 2 3 + x x2 = 2 1 3 3+ 2 x 2− lim 3x 2 − 2 x + 1 lim 3 x → 2 x − x 2 + 5 例6求 3 解 分子，分母同除以 x ，然后取极限，得 3 2 1 − 2 + 3 3x − 2 x + 1 x x x = 0 =0 lim 3 lim = x → 2 x − x 2 + 5 x → 1 5 2 2− + 3 x x 2 -3- 2x3 − x 2 + 5 x → 3 x 2 − 2 x − +1 例7求 lim 解 利用例 6 的结果，并根据第 3 节中无穷小与无穷大的关系，得 2x3 − x 2 + 5 lim 2 = x → 3 x − 2 x − +1 由例 5，例 6，例 7 所给出的方法和结果，可以得出下列结论： a0 b , m = n m m −1 a0 x + a1 x + + a m 0 lim = 0 , m n x → b x n + b x n −1 + + b 0 1 n , m n 1 2 n 例 8 求 lim ( 2 + 2 + + 2 ) n → n n n 1 1 2 n 解 lim ( 2 + 2 + + 2 ) = lim 2 (1 + 2 + + n) n → n n → n n n 1 1 1 n(n + 1) 1 = lim 2 = lim ( + )= n → 2 n → n 2n 2 2 习题 1-1 1、 指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1） y = sin( 2 x + 1) （2） y = ln tan （3） y = sin (e ) （4） y = 2 x x 2 ln(1 − 3x) 2、 求下列极限： 3x + 1 x → −1 x 2 + 1 （1） lim ( x − 5 x + 6) （2） lim 2x 2 + x + 1 （3） lim x → 3x 2 + 1 x2 −1 （4） lim x →1 2 x 2 − x − 1 2 x →1 （5） lim x→4 2x + 1 − 3 x −2 （7） lim ( x + 1 − x →+ -4- （6） lim x →0 x) x+4 −2 x 3x 2 + x − 1 （8） lim x → 2x 3 + 1 §1-2 无穷小与无穷大 一、无穷小 1、无穷小的定义 如果当 x → x 0 （或 x → ）时，函数 f (x) 的极限为零，即 lim f ( x) = 0 x → x0 （或 lim f ( x) = 0 ） x → 则称函数 f (x) 是当 x → x 0 （或 x → ）时的无穷小量，简称无穷小。 例如：函数 f ( x) = x − 1 是当 x → 1 时的无穷小，又如函数 f ( x) = 当 x → 时的无穷小。 在无穷小的定义中要注意以下的问题： （1）要指明自变量的变化过程，如 f ( x) = f ( x) = 1 是 x 1 是当 x → 时的无穷小；但当 x → 2 时， x 1 就不是无穷小。 x （2）极限为零的函数都是无穷小，但无穷小并不一定都等于零。 （3）不能说绝对值非常小的常数是无穷小，常数中只有零可以当作无穷小。 2、无穷小的性质 （1）有限个无穷小的代数和仍为无穷小； （2）有限个无穷小的乘积仍为无穷小； （3）有界函数与无穷小之积仍为无穷小； （4）常数与无穷小的乘积仍为无穷小。 sin x x → x 例 1 求 lim 解 当 x → 时，分子分母的极限都不存在，但 sin x 1 1 = sin x ，当 x → 时， 是 x x x 无穷小，而 sin x 是有界函数，所以根据无穷小的性质 3 可知 sin x =0 x → x lim 3、无穷小与函数极限的关系 定理 在自变量的同一变化过程中 x → x 0（或 x → ） ，具有极限的函数等于它的极 限与一个无穷小之和；反之，如果函数可以表示为一个常数与无穷小之和，那么该常数就是 这个函数的极限。 即 lim f ( x) = A 的充要条件为 f ( x) = A + （其中，A 是常数， 是当 x → x0 （或 x → ）时的无穷小，即 lim = 0 ） -5- 二、无穷大 1、无穷大的定义： 如果当 x → x 0 （或 x → ）时，函数 f (x) 的绝对值无限增大，则称函数 f (x) 是当 x → x0 （或 x → ）时的无穷大量，简称无穷大。 当 x → x 0 （或 x → ）时为无穷大的函数，按通常的定义来说，极限是不存在的，但 为了便于叙述函数的这一状态，我们也说“函数的极限是无穷大” ，记作 （或 lim f ( x) = ） lim f ( x) = x → x0 x → 例如， f ( x) = x 是当 x → 时的无穷大， f ( x) = 1 是当 x → 1 时的无穷大。 x −1 在无穷大定义中要注意以下问题： （1）要指明自变量的变化趋势； （2）不能说一个非常非常大的常数为无穷大，无穷大表示一个变量，在变化过程中， 其绝对值可变得比任何一个很大的正数还大。 2、无穷小与无穷大的关系： 定理 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无穷大，则 如果 f (x) 为无穷小，且 f ( x) 0 ，则 1 为无穷大 f ( x) 例如，当 x → + 时， 2 是无穷大，而 x 而 f ( x) = 1 为无穷小；反之， f ( x) 1 是无穷小；当 x → 0 时 f ( x) = x 是无穷小， 2x 1 是无穷大。 x x 4 + 2x − 1 x → x 3 + 3 x 2 + 2 例 2 求 lim 解 当 x → 时，分子分母的极限都不存在，不能用商的法则求极限，但是 1 3 2 + 2 + 4 x + 3x + 2 x =0 lim 4 = lim x x x → x + 2 x − 1 x → 2 1 1+ 3 − 4 x x 3 2 所以根据无穷小与无穷大的关系有 x 4 + 2x − 1 lim 3 = x → x + 3 x 2 + 2 三、无穷小的比较 由无穷小的性质可知，两个无穷小的和、差、积仍是无穷大小，但两个无穷小的商却会 -6- 出现不同的情况。例如，当 x → 0 时， 3 x , x , sin x 都是无穷小，但 2 x2 sin x 1 3x lim = 0 , lim = , lim 2 = x →0 3 x 3x 3 x →0 x x →0 这些情形说明，不同的无穷小趋近于零的快慢程度不同。为了描述无穷小的这种重要关 系，我们有如下的定义。 定义 设 , 是同一变化过程中的无穷小； = 0 ，则称 是比 较高阶的无穷小，记为 = o( ) （2） 如果 lim = ，则称 是比 较低阶的无穷小； （3） 如果 lim = C (C 0) ，则称 是与 同阶的无穷小； （4） 如果 lim = 1 ，则称 是与 等价的无穷小，记作 ~ （1） 如果 lim 等价无穷小必然是同阶无穷小，但同阶无穷小不一定是等价无穷小。 关于等价无穷小有下面重要的性质： 定理 设 , , , 为统一变化过程中的无穷小，若 ~ , ~ ，且 lim 存在，则有 lim = lim 这个定理告诉我们，在求两个无穷小之比的极限时，可将分子，分母用等价无穷小 来代替，这样做，可以简化极限计算。 sin 3x x →0 x 解 当 x → 0 时， sin 3x ~ 3x 3x sin 3x 所以 = lim lim =3 x →0 x x →0 x tan x − sin x 例 4 求 lim x →0 x3 例 3 求 lim 解 tan x − sin x = tan x(1 − cos x) x2 当 x → 0 时， tan x ~ x , 1 − cos x ~ 2 所以 x2 x tan x(1 − cos x) tan x − sin x 2 =1 = lim lim = lim 3 3 3 x →0 x →0 x →0 2 x x x 应用等价无穷小求极限，要注意以下两点： （1）分子、分母都是无穷小； （2）用等价无穷小代替时，只能换掉整个分子或分母，而不能只换分子或分母中的一 -7- 部分。 习题 1-2 1、 当 x → 0 时， 2 x − x 与 x − x 相比，那一个是高阶无穷小？ 2 2 3 2、证明：当 x → 0 时，有 （2） 1 − cos x ~ （1） arcsin x ~ x x2 2 3、求下列函数的极限： sin x x → x tan 2 x （3） lim x →0 sin 3 x sin x x →0 x 2 + 3 x sin 3x （4） lim x →0 x （1） lim （2） lim §1-3 两个重要极限 一、极限存在的准则 准则 1（单调有界准则）单调有界数列必有极限 准则 2（夹逼准则）设函数 g ( x) , f ( x) , h( x) 在点 x 0 的某个去心邻域内有定义，且 满足下列条件： (1) g ( x) f ( x) h( x) (2) lim g ( x) = lim h( x) = A x → x0 则有 x → x0 lim f ( x) = A x → x0 证明从略 二、两个重要极限 sin x =1 x →0 x 1、 lim 这个极限有以下两个特征： (1)分子分母均为 x → 0 时的无穷小 (2)分子中正弦符号后的变量与分母在形式上必须一样。如等等。当分子，分母趋于零 时，它们的极限都等于 1，否则极限不等于 1。 sin 3x x →0 x sin 3x sin 3x sin 3x 解 lim = lim 3 = 3 lim = 3 1 = 3 x →0 x →0 x →0 x 3x 3x x 例 2 求 lim x →0 sin x 例 1 求 lim -8- 1 1 x = lim = =1 x →0 sin x x →0 sin x sin x lim x →0 x x 解 lim tan x x →0 x sin x sin x 1 tan x sin x 1 解 = lim = lim = lim lim lim =1 x →0 x →0 x cos x x →0 x cos x x→0 x x→0 cos x x 1 − cos x 例 4 求 lim x →0 x2 x x x 2 sin 2 2(sin ) 2 (sin ) 2 1 − cos x 2 = lim 2 =1 2 = 1 lim lim 解 = lim 2 x→ 0 x →0 x →0 x 2 x →0 x 2 2 x x2 4 ( )2 ( ) 2 2 例3 求 lim 2、 lim (1 + x → 1 x ) =e x e = 2、 7182881828459045 其中 e 是常数，且是无理数 1 x x 列表观察函数（1 + ） ，当 x → 时的变化趋势。 x 1 1 + x 10 102 103 104 105 106 … … 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828 … … -10 -102 -103 -104 -105 -106 … … 2.86797 2.73200 2.71964 2.71841 2.71830 2.71828 … x x 1 1 + x … x 1 x x 由上表可知，当 x → 时，（1 + ） → e 即 lim (1 + x → 1 x ) = e 这个极限有如下特征： x （1）函数括号内是两项的和，第一项是 1，第二项是无穷小； （2）括号外的指数是括号内无穷小的倒数（即指数趋于 ） 。 1 t 令 x = 即t = 1 当 x → 时， t → 0 ，可以得到该极限的另一种形式 x 1 t lim (1 + t ) = e 即 t →0 例 5 求 lim (1 + x → 1 x lim (1 + x) = e x →0 2 x ) x -9- x 解 2 2 x 1 1 2 x 2 lim (1 + ) = lim 1 + = [lim (1 + ) ] 2 = e 2 x → x → x → x x x 2 2 例6 求 lim (1 + x → 1 x+2 ) x 1 1 1 1 1 lim (1 + ) x + 2 = lim (1 + ) x (1 + ) 2 = lim (1 + ) x lim (1 + ) 2 = e 1 = e x → x → x → x → x x x x x x 2 x−2 例 7 求 lim ( ) x → x − 1 x − 1 + 1 2( x −1) x 2 x−2 1 2( x −1) 解 = lim ( = lim (1 + lim ( ) ) ) x → x → x → x − 1 x −1 x −1 1 ( x −1) 2 1 ( x −1) 2 = lim [(1 + ) ) ] = e2 ] = [lim (1 + x → x → x −1 x −1 解 习题 1-3 1、计算下列极限： （1） lim tan 2 x x →0 sin 5 x （2） lim sin x 2 （3） lim x →0 x （4） lim 1 x （6） lim （5） lim x sin x → sin x x → x − arcsin x x →0 x 1 − cos 2 x x →0 x sin x 2、计算下列极限： （1） lim (1 − x) 1 x x →0 （2） lim (1 + cos x) x→ 2 2 x + 3 x +1 ) x → 2 x + 1 x 2x ) x → 1 − x （4） lim ( x2 x ) x → x 2 − 1 （6） lim (1 + 3 x) x （3） lim ( 3 sec x 1 （5） lim ( x →0 §1-4 函数的连续性 一、函数的连续性 1、函数的改变量（或增量） 定义 如果变量 u 从初值 u1 变到终值 u 2 ，那么终值 u 2 与初值 u1 的差叫做变量 u 的增量 （或改变量） 。记为 u ， 即 -10- u = u 2 − u1 （1） 增量 u 可以是正的，也可以是负的，当 u 为正时，变量 u 是增加的；当 u 为负 时，变量 u 是减少的。 （2） u 并不表示 与 u 的乘积，而是一个不可分割的整体。 设函数 y = f (x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义。当自变量 x 从 x 0 变到 x 0 + x 时，函数 y 的值相应地由 f ( x 0 ) 变到 f ( x 0 + x) ，因此函数 y 的相应增量为 y = f ( x0 + x) − f ( x0 ) 2、函数 y = f (x) 在点 x 0 的连续性 定义 1 设函数 y = f (x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x 0 的增量 x 趋近 于零时，函数 y = f (x) 相应的增量 y = f ( x 0 + x) − f ( x 0 ) 也趋近于零，即 lim y = 0 x →0 称函数 y = f (x) 在点 x 0 处是连续的。 例 1 证明函数 y = 2 x + 1 在点 x = 1处是连续的。 证 函数的定义域为 (− , + ) ，设自变量在 x = 1 处有增量 x ，则函数相应的增量 y = f (1 + x) − f (1) = [2(1 + x) + 1] − (2 1 + 1) = 2x 为 因为 所以 lim y = lim 2x = 0 x →0 x →0 由定义 1 知函数 y = 2 x + 1 在点 x = 1处是连续的 在 定 义 1 中 ， 如 果 设 x = x 0 + x ， 则 x → 0 就 是 x → x 0 ， y → 0 就 是 f ( x) → f ( x0 ) ， lim y = 0 就是 lim f ( x) = f ( x0 ) 。因此函数在点 x 0 的连续性的定义又 x →0 x → x0 可叙述如下： 定义 2 设函数 y = f (x) 在点 x 0 的某一邻域内有定义，如果函数 f (x) 当 x → x 0 时的 极限存在，且等于它在点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ) ，即 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 那么，就说函数 y = f (x) 在点 x 0 是连续的，点 x 0 叫做函数的连续点。 例 2 用定义 2 证明函数 y = 2 x + 1 在点 x = 1处是连续的。 证 函数的定义域为 (− , + ) lim f ( x) = lim (2 x + 1) = 3 x →1 x →1 -11- f (1) = 2 1 + 1 = 3 lim f ( x) = f (1) 即有 所以 x →1 y = 2 x + 1 在点 x = 1处是连续的 下面给出左、右连续的概念： 定义 3 设函数 y = f (x) 在区间 (a , b] 内有定义，如果左极限 lim f ( x) 存在且等于 x →b − 0 f (b) ，即 lim f ( x) = f (b) ，就说函数 f (x) 在点 b 左连续。 x →b − 0 定义 4 设函数 y = f (x) 在区间 [a , b) 内有定义，如果右极限 lim f ( x) 存在且等于 x→a +0 f (a) ，即 lim f ( x) = f (a) ，就说函数 f (x) 在点 a 右连续。 x→a + 0 3、函数 y = f (x) 在区间内的连续性 在区间 (a , b) 内每一点都连续的函数叫做该区间内的连续函数；区间 (a , b) 叫做函数 的连续区间。如果 f (x) 在 [a , b] 上有定义，在 (a , b) 内连续，且在右端点 b 左连续，在左 lim f ( x) = f (a ) 端点 a 处右连续，即 x→a + 0 lim f ( x) = f (b) x →b − 0 那么函数就在闭区间 [a , b] 上连续。 连续函数的图像是一条不间断的曲线。 二、函数的间断点 根据函数在点 x 0 的连续性的定义可知，要使函数 y = f (x) 在点 x 0 的连续，必须满足以 下三个条件： （1） 在点 x 0 的某一邻域内有定义 （2） lim f ( x ) 存在 x→ x0 （3） lim f ( x ) = f ( x 0 ) x → x0 不满足以上三个条件之一者，就称函数 y = f (x) 在点 x 0 处的是不连续的，或是间断的。 点 x 0 称函数 f (x) 的不连续点，或是间断点。 例 3 函数 f ( x) = -12- x2 −1 在点 x = 1处没有定义，所以 x = 1 是函数 f (x) 的间断点。但 x −1 x2 −1 = lim ( x + 1) = 2 x →1 x − 1 x →1 lim x − 1 , x 0 例 4 函数 f ( x) = 0 , x = 0 在点 x = 1处有定义，且 f (0) = 0 x + 1 , x 0 但左极限 右极限 lim f ( x) = lim− ( x − 1) = −1 x →0 − x →0 lim f ( x) = lim+ ( x + 1) = 1 x →0 + x →0 左、右极限不相等，所以 lim f ( x) 不存在， x = 0 是函数 f (x) 的间断点。 x→0 例 5 正切函数 y = tan x 在点 x = k + 点 x = k + 2 2 (k = 0 , 1 , 2 , 3,) 处没有定义，所以 (k = 0 , 1 , 2 , 3,) 是函数的间断点。 通过上述几个间断点的例题可以看出，间断点有着不同的类型，我们通常把间断点分成 两类： （1）如果函数 y = f (x) 在间断点 x 0 处的左右极限都存在，则称 x 0 为函数的第一类间断 点。在第一类间断点中若当 lim f ( x) = lim f ( x) （即 lim f ( x ) 存在），称 x 0 为可去间 x → x0 − 0 x → x0 + 0 x→ x0 断点，如例 3。若 lim f ( x) lim f ( x) ，称 x 0 为跳跃间断点，如例 4。 x → x0 − 0 x → x0 + 0 （2）除第一类间断点外的任何间断点都称为第二类间断点。第二类间断点又可分为无穷 型、振荡型等，如例 5 为无穷型（在间断点处 f (x) 的左右极限中有一个为无穷大） 。 三、初等函数的连续性 由极限的四则运算法则及函数点 x 0 是连续性的定义可得下面定理： 定 理 1 若 f ( x) g ( x) , f ( x) g ( x) , f ( x) , g ( x) 均 在 点 x0 处 连 续 ， 则 f ( x) ( g ( x0 ) 0) 也都在点 x 0 处连续。 g ( x) 定理告诉我们，连续函数的和（差） ，积，商（分母不为零）仍是连续函数。 我们还可以得到连续函数的复合函数的连续性定理 定理 2 连续函数的复合函数仍是连续函数。 由定理 1 和定理 2 及初等函数定义可得出 定理 3 一切初等函数在其定义域内是处处连续的。 定理 3 给我们提供了求初等函数求极限的一个重要而简单的方法，如果 f (x) 是初等函 -13- lim f ( x) = f ( x0 ) 数，且 x 0 是定义域内的点，则 x → x0 并且求复合函数的极限时，函数符号“ f ”和极限符号“ lim ”可以交换次序。 例 6 求 lim (e + 4 x + 1) x x →0 解 因为 f ( x) = e + 4 x + 1 是在 (− , + ) 内是连续的初等函数，而 x = 0 是定义区 x 间内的一点，因此有 lim (e x + 4 x + 1) = e 0 + 4 0 + 1 = 2 x →0 例 7 求 lim arcsin( x + 1) 2 x →0 解 lim arcsin( x 2 + 1) = arcsin[lim ( x 2 + 1)] = arcsin 1 = x →0 x →0 2 四、闭区间上连续函数的性质 性质 1（最大值与最小值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 [a , b] 上连续，则它在这个区间上一定有最大值与最小值 性质 2（介值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 [a , b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在闭区间 [a , b] 上的最 大值与最小值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 c （即 m c M ），至少存在一点 (a , b) ，使得 f ( ) = c 推论（根的存在定理） 如 果函 数 f (x) 在 闭区 间 [a , b] 上 连 续， 且 f (a) 与 f (b) 异 号 ，则至 少 存在 一点 (a , b) ，使得 f ( ) = 0 例 8 证明方程 x − 3x − 1 = 0 在区间 (1 , 2) 内至少有一个实根 5 证 且 f ( x) = x 5 − 3 x − 1 是初等函数，它在 [1 , 2] 上是连续的， f (1) = −3 0 f (2) = 25 0 根据根的存在定理可知，至少存在一点 (1 , 2) ，使得 即 5 − 3 − 1 = 0 f ( ) = 0 (1 2) 上式说明，方程 x − 3x − 1 = 0 在区间 (1 , 2) 内至少有一个实根。 5 -14- 习题 1-4 x 2 − 1 , 0 x 1 1 1、 讨论函数 f ( x) = 在x = , x = 1 , x = 2 各点的连续性，并画出它 2 x +3 , x 1 们的图像。 2、 求下列函数的间断点： （1） y = x2 −1 x 2 − 3x + 2 x − 1 , x 1 2 − x , x 1 （2） y = 3 + x2 , x 0 （3） y = sin 3 x , x0 x 3、 求下列极限： （1） lim x →0 x 2 − 2x + 5 sin 2 x x → 2 cos( − x ) （2） lim 4 （3） lim x →1 5x − 4 − x x −1 （5） lim ln( 2 cos 3 x) x→ 9 （7） lim ( x + x − x) 2 x → + ln(1 + 3x) x →0 x （4） lim et + 1 （6） lim t → −2 t ex −1 （8） lim x →0 x 4、证明方程 x − 4 x + 1 = 0 在区间 (0 , 1) 内至少有一个实根。 3 2 -15-