历年数学校测样题答案（含解答过程）.pdf
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. 《数学》测试样题讲解 . 深圳北理莫斯科大学，计算数学与控制系 . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 1 / 15 . Example 1 . 解方程式a . a x2 − 8x + 2 − x2 = 2x + 2. (1) { 2x + 2 ≥ 0, ⇒ x2 − 8x + 2 − x2 = ± (2x + 2) . (2) x2 − 8x + 2 = x2 ± (2x + 2). (3) { [ ] x2 − 8x + 2 = ± x2 ± (2x + 2) , ⇒ x2 ± 2x + 2 ≥ 0. (4) 答案：x ∈ {0; 1; 2; 5} . Solution 1 . . . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 2 / 15 . Example 2 . 解方程式b cos 7x − . b √ √ 3 sin 7x = − 2 (5) 53π 59π 答案：x = 35π 84 , x = 84 , x = 84 . Solution 2 . 利用和差角公式： cos (a + b) = cos (a) cos (b) − sin (a) sin (b) (6) sin (a − b) = sin (a) cos (b) − cos (a) sin (b) (7) √ √ 1 3 2 cos (7x) − sin (7x) = − 2 2 2 (8) ( ) ) 3 + 7x = cos ± π + 2kπ 3 4 (9) 因此，可得： cos (π π 3 + 7x = ± π + 2kπ 3 4 . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 (10) . . . . . 2021年4月 . 3 / 15 当 当 π 3 + 7x = π + 2kπ 时，解得： 3 4 ( ) 5 2k 24k + 5 x= + π= π 84 7 84 53 x = 84 π ⇒ k=2 (11) (12) π 3 + 7x = − π + 2kπ时，解得： 3 4 ( x= 1 2k − 1 − + 84 7 35 x = π 84 ⇒ k=2 ) π= 24k − 13 π 84 59 x = π 84 k=3 (14) . BMK (SMBU) (13) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 4 / 15 . Example 3 . 从地点A往地点C行驶一辆卡车，两地距离20千米。同时从位于A和C之间，距离 点A为15千米的地点B，往地点C走着一个行人，迎面从点C行驶来一辆汽车。多久 卡车能追上行人？已知这件事发生在卡车和汽车相遇30分钟后。并且路途上行人 和汽车相遇所需时间是卡车和汽车相遇时间的三分之一。c . c 答案：45分钟 . Solution 3 . 15 v1 t = v2 t + 15 ⇒ t = v 1 − v2 20 20 t= + 30 + 30 ⇒ t = v1 + v3 4 (v1 − v2 ) 5 1 20 = · ⇒ v3 = 3v1 − 4v2 v2 + v3 3 v1 + v3 . . . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 (15) . . . 2021年4月 . 5 / 15 . Example 4 . 解不等式d log √6+√3 log 1 log5 x > 0. (16) √ √ √ √ √ √ √ 3>2 6· 3=2 18 > 2 16 = 4 > π (17) π . d 答案：x ∈ 3 ( √ ) 1; 3 5 . Solution 4 . √ 6+ √ ⇒ log 1 log5 x > 1 ⇒ 0 < log5 x < 1 3 (18) ⇒ log 1 log5 x > 1 ⇒ 0 < log5 x < 1 3 (19) 3 . 3 . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 6 / 15 . Example 5 . 5.直角三角形斜边为c，一个锐角为α。此三角形中有两个相同半径的圆，每一个 都同一个直角边，斜边和另一个圆相切。找出圆的半径。e e . 答案： c 2 + cot α 2 + cot (π α 4 − 2 ) . Solution 5 . 假设圆半径为r, 根据题意可得： cot l2 α = , 2 r cot ) 1 (π l1 −α = . 2 2 r (20) (π ( (π α) α α )) α − = r cot + 2 + cot − . c = l1 + 2r + l2 = r · cot + 2r + r · cot 2 4 2 2 4 2 . . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 7 / 15 . Example 6 . 找出参数a的所有数值使得方程组有解f { y (ax + 1) + 13x − a (y + 1) = 0, x − xy + |y + 2| = 0. . f (21) 答案：a ∈ (−∞; −10] ∪ (1/2; +∞) . Solution 6 . 如果y = 1, 则x − xy + |y + 2| = 0不成立，所以一定有y ̸= 1，且x = |y+2| 。 y−1 代入方程式中，化简得 将x = |y+2| y−1 ( ) ay |y + 2| + y (y − 1) + 13 |y + 2| − a y2 − 1 = 0。 (i). 当y ≥ −2时, 则|y + 2| = y + 2，代入上述方程得 y2 + 2 (a + 6) y + a + 26 = 0。 我们需要该方程在[−2; 1) ∪ (1; +∞)上至少有一个根,所以应满足 1 ∆ = (a + 6)2 − (a + 26) = a2 + 11a + 10 ≥ 0。 4 √ 解得 a ∈ (−∞; −10) ∪ [−1; +∞) 。 y1,2 = − (a + 6) ± a2 + 11a + 10 。 . . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 8 / 15 √ 如果a ≤ −10, 显然y2 = − (a + 6) + a2 + 11a + 10 ≥ 4 + 0 = 4, 满足y 成立条件。 √ 如果a ≥ −1, 则y1 = − (a + 6) − a2 + 11a + 10 ≤ −5 − 0 = −5, 显然y1 ∈ / [−2; 1) ∪ (1; +∞)。 √ 故我们需要分析当y2 = − (a + 6) + a2 + 11a + 10 ∈ [−2; 1) ∪ (1; +∞)时, a是否≥ −1. √ y2 ≥ −2 ⇒ a2 + 11a + 10 ≥ a + 4 ⇒ a2 + 11a + 10 ≥ a2 + 8a + 16 ⇒ a ≥ 2。 √ y2 ̸= 1 ⇒ a2 + 11a + 10 ̸= a + 7 ⇒ a2 + 11a + 10 ̸= a2 + 14a + 49 ⇒ a ̸= −13。 因此，对于任意 a ∈ (−∞; −10] ∪ [2; +∞) ， 我们至少可以得到一组解 x = |y + 2| y−1 √ y = a2 + 11a + 10 − a − 6 . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 9 / 15 (ii). 当y ≤ −2时, 则|y + 2| = −y − 2，代入方程式得 y2 (1 − 2a) − 2 (a + 7) y + (a − 26) = 0. 通过(i)的分析，我们只需要考虑a ∈ (−10; 2)时的情况。 如果a = 12 , 则有−15y(− 51 = )0, (解得y 2 ) = −1.7， 不满足y ≤ −2, 舍去。 如果a ̸= 12 , 则对∀a ∈ −10; 12 ∪ 12 ; 2 ，成立 ( ) ∆ = (a + 7)2 − (1 − 2a) (a − 26) = 3a2 − 39a + 75 = 3 a2 − 13a + 25 > 0. 4 令 f (y) = y2 (1 − 2a) − 2 (a + 7) y + (a − 26) , 利用函数图像分析： ( ) (a). 当a ∈ 21 ; 2 时, 则1 − 2a < 0, a − 26 < 0, a + 7 > 0。 f (−2) = 4 (1 − 2a) + (a + 7) + a − 26 = 6 − 2a > 0; a+7 且对称轴 1−2a < −2, 所以根据函数图像可知，对于∀y ∈ (−∞; −2), (1 ) 当a ∈ 2 ; 2 时, 函数都有一个零点比−2小，满足条件! . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 10 / 15 ( ) (b). 当a ∈ −10; 12 时, 同样地，f (−2) > 0, f (0) = a − 26 < 0; a+7 在这种情况下函数图像对称轴 1−2a > −2,根据函数图像可知， ( ) 对于∀y ∈ (−∞; −2),当a ∈ −10; 12 时 函数所有零点都比−2大，不满足条件，舍去. 综上，a ∈ (−∞; −10] ∪ (1 2 ) ; +∞ 。 . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 11 / 15 . Example 7 . 立方体ABCDA1 B1 C1 D1 的边长为a，点E为边DD1 的中点。找出经过点C并垂直 于直线BE的截面面积。 g g . 答案： 9a2 8 . Solution 7 . h2 = 12 + ( √ )2 2 9 = 4 8 (22) (√ S= . BMK (SMBU) ) 9a2 2 √ 1 + 2 · h · a2 = 2 2 8. 《数学》测试样题讲解 (23) . . . . 2021年4月 . 12 / 15 . Example 8 . 找出方程的所有整数解h cos . h (π ( )) √ 3x − 9x2 + 160x + 800 =1 8 (24) 答案：x = −31, x = 7 . Solution 8 . (π ( )) ) √ √ π( cos 3x − 9x2 + 160x + 800 = 1 ⇐⇒ 3x − 9x2 + 160x + 800 = 2πn 8 8 { √ 3x − 16n ≥ 0, ⇐⇒ 9x2 + 160x + 800 = 3x − 16n, n ∈ Z ⇐⇒ 160x + 800 = −96nx + 256n2 . x ≥ 16n 16n 3 x≥ 3 解得： ⇐⇒ 25 2 9n2 − 25 − 25 −25 8 8 98 x = x = 8n3n+5 = 3n − 5 − 3n + 5 3n + 5 16n x≥ 3 ⇐⇒ 25 9x = 8 (3n − 5) − 3n+5 . . . . . . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 2021年4月 13 / 15 分类讨论所有情况： 3n + 5 = −25 ⇒ n = −10, x = 800 − 25 16n = −31, 满足x ≥ −25 3 20 ⇒∅ 3 10 3n + 5 = −5 ⇒ n = − ⇒∅ 3 3n + 5 = 25 ⇒ n = 16n , 舍去 3 16n 3n + 5 = −1 ⇒ n = −2, 9x = −63, x = −7, 满足x ≥ 3 4 3n + 5 = 1 ⇒ n = − ⇒ ∅ 3 3n + 5 = 5 ⇒ n = 0, 9x = −45, x = −5, 不满足x ≥ 综上，x = −31, x = −7。 . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 14 / 15 谢谢！ 祝你们成功！ . BMK (SMBU) 《数学》测试样题讲解 . . . . 2021年4月 . 15 / 15