《线性代数》课程标准（本科3+2）.pdf

《线性代数》课程课程标准（专本连读 3+2） 课程代码：15000105 学时：34 学时 学分：2 分 适用对象：理工类各专业（专本连读 3+2） 先修课程：初等数学 考核要求：闭卷 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《线性代数》，高等教育出版社，2007 年 戴斌祥主编， 《线性代数》 ，北京邮电大学出版社，2009 年 一、课程的性质和任务 线性代数是理工科院校各专业教学计划中的一门基础理论课，它 是研究有限维线性空间理论的一门学科，内容丰富。由于线性问题广 泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转 化为线性问题，因此本课程所介绍的理论与方法广泛地应用于各个学 科，尤其在计算机应用日益普及的今天，该课程的地位与作用显得重 要。通过教学，要使学生掌握该课程的基本理论与基本方法，培养分 析和解决问题的能力，并为学习各专业后续课程提供基本的数学工 具，扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、教学目的与要求 线性代数是讨论有限维空间线性理论的一门学科，它的理论和问 题的处理方法是许多非线性问题处理方法的基础，且广泛地应用于各 学科专业的领域中。本课程以线性方程组解的讨论为核心内容，介绍 行列式、矩阵理论、向量的线性相关性、线性方程组、二次型的理论 及其有关知识。通过本课程的教学，使学生掌握线性代数的基本概念， 了解其基本理论和方法，从而使学生初步掌握线性代数的基本思想和 方法，具有比较熟练的运算能力、一定的逻辑推理能力和抽象思维能 力，培养学生运用线性代数的方法分析和解决实际问题的能力。 三、学时分配 章节 课程内容 学时 1 n 阶行列式 6 2 矩阵 10 n 维向量与向量空间 3 6 4 线性方程组 6 5 矩阵的特征值与二次型 6 四、教学中应注意的问题 《线性代数》是一门高度抽象数学课程，在教学过程中应以启发 式讲授为主，要着力培养学生抽象思维能力，要使学生丢弃三维直观 空间的习惯束缚，逐步建立 n 维空间的概念；还要着力培养学生的科 学计算能力，使学生熟练掌握教材中所给出的各种解题的一般方法。 在教学中，应注意我校学生的实际，不过分追求学科的数学性、 完整性，比如可适当弱化定理性质的抽象证明、弱化各种解题技巧、 适当删减实用性较差的内容。 五、教学内容及教学大纲要求 第一章、行列式 1.基本内容 1.1 全排列及逆序数 1.2 n 阶行列式的定义 1.3 对换 1.4 行列式的性质 1.5 行列式按行（列）展开 1.6 克拉默（Cramer）法则 2.教学基本要求： ⑴理解 n 阶行列式的定义，能运用定义计算具有特殊形状的 n 阶 行列式； ⑵理解并熟练掌握 n 阶行列式的基本性质，能熟练运用化三角形 法计算纯数字行列式和简单的字母行列式； ⑶理解并熟练掌握 n 阶行列式的一行一列展开公式，能熟练运用 依一行（列）展开法计算纯数字行列式和稍复杂些的字母行列式； ⑷掌握 Gramer 法则的条件、结论，能熟练运用它求解特殊的 n 元线性方程组。 3.教学重点难点： 教学重点：行列式、子式、余子式、代数余子式定义、行列式性 质、计算、克莱姆法则的应用。 教学难点：行列式各种计算方法及应用、克莱姆法则的应用。 4.教学建议： 对二元方程组的解法做复习性的总结，行列式的定义做叙述性说 明，重点讲解行列式的性质和运算。熟练掌握克莱姆法则，以便和后 续内容的方程组解法作比较。 第二章、矩阵 1.基本内容 2.1 矩阵的定义 2.2 矩阵的运算 2.3 矩阵的性质 2.4 逆矩阵 2.5 矩阵的初等变换 2.6 矩阵的秩 2.教学基本要求： ⑴了解矩阵概念； ⑵掌握矩阵的基本运算及其相应性质，对矩阵乘法及其特殊性质 更要在理解的基础上熟练掌握，并能熟练地进行矩阵的这些基本运 算； ⑶熟练掌握一些特殊的矩阵，如：单位矩阵、数量矩阵、对角矩 阵、三角矩阵、对称矩阵的形状及其基本性质；熟练掌握取方阵行列 式的方法及其运算法则； ⑷理解逆矩阵的概念，会判定一个矩阵是否可逆，并能熟练运用 伴随矩阵法求一个可逆矩阵的逆矩阵； *⑸了解分块矩阵的基本知识，其中应着重于矩阵乘法及其分块 规则的理解和掌握； ⑹掌握矩阵的初等变换及其表示方法，理解矩阵等价的概念，能 熟练运用矩阵的初等变换化简矩阵；掌握矩阵初等变换与初等矩阵的 关系，能熟练进行初等变换与初等矩阵的转换，并能熟练运用初等变 换法求一个矩阵的逆矩阵； ⑺掌握矩阵的秩的概念，能熟练运用初等变换化行阶梯形法求一 个矩阵的秩。 3.教学重点难点： 教学重点：矩阵的定义、运算、逆矩阵定义与求法、初等变换与 初等阵的定义以及初等变换与初等阵的相互关系、矩阵的初等变换 法。 教学难点：矩阵的乘积、逆矩阵求法、矩阵的初等阵乘积表示、 矩阵的初等变换法。 4.教学建议： 强调矩阵运算的条件，重点讲解矩阵的运算（包括求逆）及矩阵 的秩。 第三章、 n 维向量 1.基本内容 3.1 n 维向量及其线性运算 3.2 向量组及其线性组合 3.3 向量组的线性相关与线性无关 3.4 向量组的线性相关性的判定 3.5 向量组的秩 3.6 向量空间 3.7 向量空间的基、维数、坐标 2.教学基本要求： ⑴了解向量与向量组的概念； ⑵理解向量组线性组合、线性表出、线性相关及线性无关的概念， 能熟练运用向量组线性相关性判定的一般方法——讨论其对应的齐 次线性方程组有无非零解的方法来讨论一个向量组是否线性相关； ⑶理解掌握向量组秩的概念，能熟练运用矩阵的初等变换法求一 个向量组的秩及其的一个极大线性无关组； ⑷了解线性空间、线性子空间、基底、维数、坐标等概念；知道 基变换公式和坐标变换公式，会求过渡矩阵；了解线性变换的概念及 其矩阵表示。 3.教学重点难点： 教学重点：向量的定义、线性关系的判断、极大无关组、秩的求 法、向量空间定义、向量空间基的求法、生成子空间的求法。 教学难点：向量的线性组合、判别线性关系的方法、极大无关组 的求法、秩的求法、向量空间基的求法、生成子空间的求法。 4. 教学建议： 明确判断向量组相关性的等价命题。向量组的秩可由矩阵的秩的 求法求出。 第四章、线性方程组 1.基本内容 4.1 基本概念 4.2 非齐次线性方程组有解的充要条件 4.3 线性方程组解的结构 4.4 利用矩阵的初等变换解线性方程组 2.教学基本要求： ⑴理解线性方程组解的概念，能熟练运用求线性方程组解的一般 方法，对线性方程组是否有解、有解时有多少解及有解时具体求解进 行讨论； ⑵掌握齐次线性方程组解的结构；熟练掌握求齐次线性方程组的 一个基础解系的一般方法，会通过求一个基础解系的方法求齐次线性 方程组的全部解； ⑶掌握非齐次线性方程组解的结构；熟练掌握求非齐次线性方程 组全部解的又一个一般方法——求其对应的齐次线性方程组的一个 基础解系及其一个特解的方法。 3.教学重点难点： 教学重点：线性方程组解的结构、齐次线性方程组解的性质、基 础解系、通解的求法、非齐次线性方程组解的性质、特解、通解的求 法。 教学难点：齐次线性方程组通解的求法、非齐次线性方程组通解 的求法。 4.教学建议： 基础解系的求法，线性方程的解作重点讲解。 第五章、相似矩阵及二次型 1.基本内容 5.1 向量的内积、长度、正交性 5.2 特征值与特征向量 5.3 相似矩阵 5.4 二次型及其标准形 2.教学基本要求 ⑴掌握向量的内积、长度、正交等概念，能用施密特（Schmidt） 正交化法——把线性无关向量组正交单位化的一般方法——化为正 交单位向量组； ⑵掌握相似矩阵、矩阵的特征值与特征向量等概念，能熟练运用 特征值与特征向量的一般求法求矩阵的全部特征值及其全部特征向 量； ⑶掌握实矩阵的对角化的概念，能熟练运用判定实矩阵相似于对 角阵的一般方法判定一个实矩阵能否相似于一个对角矩阵；在相似 时，能正确求出所相似于的对角矩阵及其可逆变换矩阵； ⑷掌握实对称矩阵一定正交相似于对角阵的定理，能熟练运用判 定实对称矩阵正交相似于对角阵的一般方法，找出使实对称矩阵正交 相似于对角阵的正交矩阵； ⑸掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念； ⑹掌握实二次型的标准形式及其求法；了解惯性定理（对定理的 证明不作要求）和实二次型的规范形； ⑺掌握正定二次型、正定矩阵的概念及它们的判别法，会判断二 次型的正定性。 3.教学重点难点： 教学重点：向量的内积、正交化方法、正交阵的性质、特征值、 特征向量的求法、求相似阵与变换阵的方法、求标准实二次型的方法、 判别正定二次型与正定阵的方法。 教学难点：正交向量及其性质、正交化方法、正交阵的判别、求 标准实二次型的方法、判别正定二次型与正定阵的方法。 4.教学建议： 相似矩阵与正交矩阵的区别，对角化针对的是实对称矩阵，明确 指出二次型的标准形的求法，对正定二次型要讲清概念，并会判断， 对于惯性定律只作简单说明。 六、课后习题及自学要求 第 1 章习题是教材中习题一及辅助资料中关于矩阵部分的习题。 通过自学及练习进一步掌握矩阵的线性运算及其初等变换。 第 2 章习题是教材中习题二及辅助资料中关于行列式部分的习 题。通过自学及练习进一步掌握行列式的性质及其计算方法。 第 3 章习题是教材中习题三及辅助资料中关于向量组的线性关 系部分的习题。通过自学及练习进一步理解和掌握向量线性相关性的 概念及判定方法。 第 4 章习题是教材中习题四及辅助资料中关于线性方程组部分 的习题。通过自学及练习进一步掌握线性方程组解的判定及其求解方 法。 第 5 章习题是教材中习题五及辅助资料中关于矩阵对角化部分 的习题。通过自学及练习进一步掌握求矩阵特征值、特征向量的方法 和把实对称矩阵对角化的方法。 第 6 章习题是教材中习题六及辅助资料中关于二次型部分的习 题。通过自学及练习进一步掌握二次型的概念及判定二次型正定的方 法。 七、课程教学基本要求 课堂教学：采取黑板讲授和多媒体演示相结合的方法。重要定 理、例题要以黑板书写为主，抽象概念要尽量通过多媒体直观演示。 作业：采用练习册，每章习题必做。定期收取学生作业，至少 批改任课班级学生总数的二分之一，并且每次给出作业成绩，可按 A,B,C,D 等分类。 成绩考核：最后总评成绩按期终考试成绩占 70%，平时成绩(包 括出勤、作业、回答问题等)占 30%计算。 八、推荐教材和教学参考书 教材： 1.线性代数简明教程，方小娟、王敏、侯仁民，科学出版社，2005 年. 2.线性代数，同济大学，高等教育出版社,1999 年.第三版. 参考书： 1.高等代数，北京大学，高等教育出版社,1988 年.第三版. 2.线性代数及应用, 谢国瑞,高等教育出版社,1999 年. 3.线性代数, 吴赣昌,人民大学出版社,2006 年. 4.大学数学教程，韩旭里，科学出版社，2004 年.