洛必达法则.pdf
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数学是科学的女王 数学教研室 一、L.Hospital法则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存 在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一 运算法则。这种极限称为未定式 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 0 和 0 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0 , ,0 , ,1 0 0 等其它类型的未定式的极限 0 1、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 定义 tan x , 例如, lim x 0 x ln sin ax lim , x0 ln sin bx 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极 限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 注 ①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ( x ) f ③ 若 lim 还是未定式，且f ( x ), g( x )满足 x x 0 g ( x ) 定理中对f ( x ), g( x )所要求的条件，则可继续 使用法则，直到不再是未定式为止 f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x x0 g ( x ) x x0 g( x ) x x0 g( x ) 关于 型的极限，有下述定理 定理 设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g ( x ) x x0 x x0 ( 2) f ( x ), g ( x )可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x x0 g ( x ) x x 0 g ( x ) 0 0 将x x0换成x x , x x , x , x , x 结论仍成立 例1 3 x2 3 解 原式 lim 2 x 1 3 x 2 x 1 6x 3 lim . x 1 6 x 2 2 e x e x 2 lim x 0 1 cos x 例2 e x e x lim x 0 sin x e x e x 2 lim x 0 cos x 注 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则。 例3 1 2 2 x 解 原式 lim 1 x lim 1. 2 x 1 x 1 x 2 x 例4 a cos ax sin bx cos ax 解 原式 lim lim 1. x 0 b cos bx sin ax x 0 cos bx 例5 解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则 tan x sin x cos 3 x lim lim x tan 3 x x sin 3 x cos x 2 2 sin x cos 3 x cos 3 x lim lim sin 3 x cos x lim x x x cos x 2 2 3 sin 3 x 3 lim sin x x 2 2 例6 1 1 2 x sin cos x x lim x 0 ex 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效” 1 2 x sin x 1 x 但 lim x lim x x sin 1 0 0 x 0 e 1 x 0 e 1 x 注 分式中出现 1 1 x 时, sin x, cos x或x 0时, sin , cos x x 时，不能使用L.Hospital法则 例7 sec x 1 tan x x lim 原式 lim 2 3 x 0 x 0 3 x x 2 解 2 2 sec x tan x 1 tan x 1 lim lim . x 0 6x 3 x 0 x 3 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代 换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更 好，使用起来也更有效。 2.作业：利用洛必达法则求极限 e 1 (1) lim x 0 cos x 1 x2 ln(sin 3 x) (4) lim x 0 ln(sin 2 x ) n e sin x 1 (2) lim x 0 ln(1 x) x 2 x x 2 arctan x (3) lim x (5) lim x x e x arcsin x (6) lim x 0 (arcsin x )3 1 x (1 x) e (7) lim x 0 x 二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法 0 0 关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为 洛必达法则可解决的类型 . 仍可使用L.Hospital法则来求极限 步骤: 即将其中之一个因子下放至分母就可转化为 0 或 型 0 例8 ln x lim 1 x 0 x 1 lim x lim x 0 1 x 0 x 0 2 x 注意：对数因子不下放，要放在分子上 步骤: 例9 解 x sin x 原式 lim x 0 x sin x 1 cos x lim x 0 sin x x cos x sin x lim x 0 2cos x x sin x 0. 步骤: 例10 ln x x 0 1 x lim 解 原式 lim e x ln x x 0 e 1 lim x x 0 1 x2 e lim x ln x x 0 e e 0 1. 例11 解 原式 lim e x 1 1 ln x 1 x e ln x x 11 x lim e 1 lim x x 1 1 1 e . 例12 解 取对数得 (cot x ) 1 ln x e 1 ln(cot x ) ln x , 1 1 2 1 lim ln(cot x ) lim cot x sin x x 0 ln x 1 x 0 x x 1 1, 原式 e . lim x 0 cos x sin x 例13 1 sin x lim (1 sin x ). 解 原式 lim x x 1 极限不存在 洛必达法则失效。 1 原式 lim (1 cos x ) 1. x x 注意：洛必达法则的使用条件． 几点说明 ① L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充 分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为∞，当 定理的条件不满足时，主要是指（3）不成立，即导数之比的 极限不易求出，或不存在但不∞，函数之比的极限未必不存 在，此时L.Hospital法则：“失效” 1 1 x 时, sin x, cos x或x 0时, sin , cos x x 不能使用洛必达法则 0 ②L.Hospital法则只能对 ， 这两种基本未定式 0 才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化 ③L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用 效果会更好 ④使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别 是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极 限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次 乘积极限的运算法则） ⑤可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以 简化计算 作业：利用洛必达法则求极限： (1) lim x cot x 2 2 x 0 (2) lim( arctan 2 x ) x x 2 1 1 2 (3) lim( x ) x x 0 x (4) lim ( arctan x) e 1 x 1 sin x x2 1 tan x (5) lim( ) (6) lim( ) x 0 x 0 x x 1 x (7) lim x(e 1) x x 1 （9）lim( ) x 1 x 1 ln x 1 (8) lim(cot x ) x 0 x x (10) lim (cos x ) x 0