金融工程专业李繁荣—线性代数.pdf
金融工程专业李繁荣—线性代数.pdf
矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是 数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到 了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各 个领域。 第一节 矩阵 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、内容小结 上完这节课我能做到 1.会表述矩阵的定义 2.会识别特殊矩阵 1、某班级同学早餐情况 姓名 馒头 包子 鸡蛋 稀饭 周星驰 4 2 2 1 章子怡 0 1 1 1 奥巴马 4 9 8 6 为了方便，常用下面的数表表示 4 0 4 2 2 1 1 9 8 1 1 6 这个数表反映 了学生的早餐 情况. 2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图 东京 北京 南京 上海 其中√ 表示有航班. 为了便于计算,把表中 到站 南京 东京 北京 上海 的√ 改成１,空白地方 0 11 1 0 填上０,就得到一个数表: 1 南京 1 这个数表反映 0 1 0 0 1 东京 发站 了四城市间交 00 1 北京 1 00 1 通联接情况. 上海 0 00 0 11 为了方便，常用下面的数表表示 a11 x1 a12 x2 a1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 3、线性方程组 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm 系数 aij i, j 1,2,, n(m) , 的解取决于 常数项 bi i 1,2,, m 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 a11 a12 a1 n a a22 a2 n 21 am 1 am 2 amn b1 b2 bm 对线性方程组 的研究可转化 为对这张表的 研究. a11 a21 A a m1 a12 a22 am 2 , , a1n a2 n amn (1) 主对角线 a11 a 21 A 副对角线 a m 1 简记为 a12 a 22 am1 a1 n a2n a mn A Amn aij mn aij . 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 矩阵 A的 m , n 元 例如 1 0 3 5 9 6 4 3 13 6 2i 2 2 2 2 2 2 2 3 5 9 是一个 2 4 实矩阵, 是一个 3 3 复矩阵, 是一个 1 4 矩阵, 1 2 4 是一个 3 1 矩阵, 4 是一个 1 1 矩阵. • 矩阵有什么用？ 行列式与矩阵的区别与联系 ： 1 Dn n , 2 数 , Am n ; 数表 ; 3 , 4 An n A det A . 单选题 1分 1 2为 4 A B C D 提交 几种特殊矩阵： (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 方阵.也可记作 An . 例如 13 6 2i 2 2 2 2 2 2 A 称为方阵的行列式. 是一个3 阶方阵. (2)只有一行的矩阵 A a1 , a2 ,, an , 称为行矩阵(或行向量). 只有一列的矩阵 a1 a2 B , an 称为列矩阵(或列向量). 不全为0 1 0 0 2 形如 （3） O 0 0 称为 记作 0 O 0 的方阵, n (或 ）. diag 1 , 2 , , n . 3 0 0 例如 diag(3,1,2) 0 1 0 . 0 0 2 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零 矩阵记作 omn 或 o . 注意 例如 不同阶数的零矩阵是不相等的. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 (5) 单位矩阵 1 0 0 1 E En O 0 0 0 O 0 1 称为单位矩阵（或单位阵）. 全为1 (6)数量矩阵 主对角线上的所有元素全为 的对角阵称为数量阵. 0 0 0 O0 记作 E . O 0 0 全为 (7) 三角矩阵 a11 a12 a22 形如 a11 a a22 21 形如 a n1 a n 2 a1 n a2 n 的矩阵称为 上三角矩阵. ann 的矩阵称为 下三角矩阵. ann 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵. 记作 tria A . 单选题 1分 13 0 3 0 2 2 称为 0 0 2 A 三角行列式 B 对角行列式 C 三角矩阵 D 对角矩阵 提交 在方阵 A = ( aij )n 中, 如果 aij = aji (i, j = 1, 2, ···, n) ,则称 A 为 称A为 . 如果 A 还是实矩阵,则 . 如果 aij = -aji (i, j = 1, 2, ··· , n) , 则称 A 为 . 例如 2 1 5 1 3 7 , 5 7 4 0 2 3 2 0 7 . 3 7 0 同型矩阵与矩阵相等的概念： 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵. 1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9 2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即 aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n , 则称矩阵 A与B 相等,记作 A B . 1 1 3 例如 2 0 2 1 1 3 两矩阵相等 2 0 2 例1 设 1 2 3 A , 3 1 2 1 B y 已知 A B , 求 x , y , z . 解 A B, x 2, y 3, z 2. x 3 , 1 z (1)矩阵的概念 m 行n列的一个数表 a11 a 21 A am1 a12 a 22 am1 a1 n a2n a mn a1 a2 方阵 m n ; B , 行矩阵与列矩阵;A a1 , a2 ,, an , an 1 0 0 单位矩阵; (2) 特殊矩阵 ; 零矩阵. 0 1 0 . 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 0 n 作业：见雨课堂作业链接 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、内容小结 上完这节课我能做到 1.会计算矩阵的加、减、数乘运算 2.会计算矩阵乘矩阵，并掌握其运算性质 3.会求方阵的行列式 4.会用方阵行列式的运算性质计算相关行列式的值 5.会求矩阵的伴随矩阵 某公司生产三类产品G1，G2，G3，销售给两 个客户C1，C2.这些物品一月份的月销售如下表 物品月销售 销售给客 户 G1 G2 G3 C1 7 3 4 C2 1 5 6 7 3 4 A , 1 5 6 6 2 1 类似地，月份的销售可能为B 2 , 0 4 4 两个月的销售矩阵为 7 3 4 6 2 1 C A B 1 5 6 0 4 4 7 6 3 2 4 1 , 1 0 5 4 6 4 13 5 5 1 9 10 一、矩阵的加法 １、定义 设有两个 m n 矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为 a11 b11 a 21 b21 A B a m 1 bm 1 a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2 a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn 注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 例如 12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 3 2 1 6 8 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 . 6 3 3 6 2 8 9 81 2 1 1 例如，A 与B 不能相加. 1 1 1 2、 矩阵加法的运算规律 1 A B B A; 2 A B C A B C . a11 a 21 3 A am1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , a mn 称为矩阵A的负矩阵 . 4 A A 0, A B A B . (5) A + O = O + A = A, 其中 O 与 A 是同型矩阵. 单选题 1分 3 1 已知A 2 0 A 7 2 B 3 5 求A B ? 10 3 1 5 B 10 3 1 5 C 10 1 1 5 D 4 1 5 5 提交 某公司生产三类产品G1，G2，G3，销售给两 个客户C1，C2.这些物品一月份的月销售如下表 物品月销售 销售给客 户 G1 G2 G3 C1 7 3 4 C2 1 5 6 7 3 4 假设每个月的销售是相同的，则一年的 A , 销售矩阵为 1 5 6 12 7 12 3 12 4 84 36 48 B 12 1 12 5 12 6 12 60 72 B=12A 二、数与矩阵相乘 1、定义 数与矩阵 A的乘积记作 A或A , 规定为 a11 a21 A A am 1 a12 a22 am 1 a1n a2 n . amn 单选题 1分 3 已知A 2 6 4 2 0 B 6 4 2 0 C 3 4 1 0 6 2 2 0 A D 1 ，则2 A 0 提交 多选题 1分 已知D 3 1 2 0 6 4 2 0 B 6 4 2 0 C 3 4 1 0 D 6 2 2 0 E 6 1 4 0 A ，则2D 提交 2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B 为 m n 矩阵， , 为数） 1 A A; 2 A A A; 3 A B A B . 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算. 0 0 1 2 3 2 例1 已知 A 2 2 2 , B 3 2 1 0 1 0 1 0 1 求 2 A, 2 A B . 解 1 2 3 2 4 6 2A 2 2 2 2 4 4 4 0 1 0 0 2 0 2 A B 2 A ( B ) 2 A ( 1) B 6 2 4 6 2 0 0 0 4 4 4 4 3 2 1 1 2 3 . 0 2 0 1 0 1 1 2 1 某公司生产三类产品G1，G2，G3，三类产品分别 以5元，3元，2元的价格销售给两个客户C1，C2. 这些物品的月销售如下表 物品月销售 销售给客 户 G1 G2 G3 C1 7 3 4 C2 1 5 6 5 7 3 4 引入价格列矩阵P 3 , A , 1 5 6 2 5 7 3 4 7 5 3 3 4 2 52 总价为A P 3 1 5 6 1 5 5 3 6 2 32 2 某公司生产三类产品G1，G2，G3，三类产品分别 以5元，3元，2元的价格销售给两个客户C1，C2. 这些物品的月销售如下表 物品月销售 销售给客 户 C1 G1 G2 G3 7 3 4 2 7 3 4 A , 引入质量列矩阵Q 3 , 2 1 5 6 C2 1 5 6 2 7 3 4 7 2 3 3 4 2 31 总质量为 A Q 3 1 5 6 2 1 2 5 3 6 2 29 某公司生产三类产品G1，G2，G3，三类产品分别 以5元，3元，2元的价格销售给两个客户C1，C2. 这些物品的月销售如下表 物品月销售 销售给客 户 G1 G2 G3 C1 7 3 4 C2 1 5 6 7 3 4 A , 1 5 6 5 2 引入价格、质量矩阵B 3 3 , 2 2 5 2 7 3 4 总价为A B 3 3 1 5 6 2 2 7 5 3 3 4 2 7 2 3 3 4 2 52 31 1 5 5 3 6 2 1 2 5 3 6 2 32 29 三、矩阵与矩阵相乘 １、定义 B bij 是一个 设 A a ij 是一个m s 矩阵， s n 矩阵，那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中 s c ij a i 1 b1 j a i 2 b2 j a is bsj a ik bkj i 1,2, m; j 1,2,, n , 并把此乘积记作 C AB . k 1 ( 2) 2 4 ( 3) 例2 ? 16 32 4 2 4 2 C 1 2 22 3 6 22 8 16 2 2 例3 设 0 1 0 1 2 1 A 1 1 3 0 B 3 0 5 1 4 1 求 AB . 3 4 2 1 1 1 2 1 解 A aij 34 , C cij 33 . B bij 43 , 0 1 0 1 2 1 C AB 1 1 3 0 0 5 1 4 3 1 故 5 6 7 10 2 6 . 2 17 10 3 4 2 1 1 1 2 1 主观题 10分 1 3 10 8 ，B ，求AB 已知A 12 2 7 5 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 110 (3) 12 1 (8) (3) (2) AB 7 (8) 5 (2) 7 10 5 12 26 2 130 66 注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 1 2 3 1 6 8 不存在. 3 2 1 5 8 9 6 0 1 3 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 10 . 1 单选题 1分 2 1 0 已知A 3 1 2 3 1 B 2 1 ，请思考这两个矩阵能相加吗？ 5 0 A 可以 B 不可以 提交 主观题 10分 2 0 0 1 1 0 x 已知A ,B , C= ,X 0 2 1 0 0 0 y 求AX , BX , CX 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 ２、矩阵乘法的运算规律 1 AB C A BC ; 2 A B C AB AC , B C A BA CA; 3 AB A B AB （其中 为数）; 4 AE EA A; 5 若A是 n 阶矩阵，则 A k 为A的 k 次幂，即 k A k A A A 并且 A m A k A m k , Am Amk . k个 另外还规定: Ａ0 = E. 1 1 1 1 A B 1 1 1 1 例 设 则 0 0 AB , 0 0 故 AB BA. 注意 2 2 BA , 2 2 矩阵乘法不满足交换律，即： AB BA , AB Ak Bk . k k k ( AB ) ( AB )( AB ) ( AB ) A B k个 k 主观题 10分 3 已知A 1 2 3 ，B 2 ，求 AB, BA 1 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 但也有例外，比如设 2 0 A , 0 2 则有 1 1 B , 1 1 2 2 AB , 2 2 2 2 BA 2 2 AB BA. 此时称矩阵A,B可交换 主观题 10分 1 1 设A , 1 -1 2 1 B , 求AB 2 1 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 证： 1 1 2 1 AB 1 1 2 1 1 ( 2) 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 O 主观题 10分 1 1 , A 1 - 1 1 5 2 3 C , D , 求AC, AD 1 3 2 5 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 1 1 2 3 3 0 AC 1 1 1 3 3 0 3 1 3 0 1 ( 3) ( 1) 2 3 ( 1) 1 ( 1) 3 ( 1) ( 3) 0 1 2 1 1 1 1 1 5 3 0 AD 1 1 2 5 3 0 1 13 1 2 (1) 1 (1) 2 3 故 AC ＝ AD 0 ( 1) ( 5) ( 1) 5 0 1 ( 5) 1 5 比较： Ø在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0 在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O 两个非零矩阵乘积可能为O。 Ø在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立) 在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D (消去律不成立) ? BA 1、无交换律 AB 2、无消去律 AM AN 3、若 AB O ? ? MN A O .or . B O 3. 线性方程组的矩阵表示 设方程组为 a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm 可表示为 a11 a 21 a m1 简记为 a12 a 22 am 2 AX＝B a1n x1 b1 a 2 n x 2 b2 a mn x n bm m n n 1 m 1 其中 a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn 称为由线性方程组所确定的系数矩阵， b1 b2 B b m 称为线性方程组的右端向量。 四、矩阵的其它运算 １、转置矩阵 某公司生产三类产品G1，G2，G3，销售给两 个客户C1，C2.这些物品的月销售如下表 物品月销售 销售给客 户 G1 G2 G3 C1 7 3 4 C2 1 5 6 7 3 4 A , 1 5 6 四、矩阵的其它运算 １、转置矩阵 某公司生产三类产品G1，G2，G3，销售给两 个客户C1，C2.这些物品的月销售如下表 销售给客户 物品月销 售 C1 C2 G1 7 1 G2 3 5 G3 4 6 7 3 A 1 5 7 1 4 T , A 3 5; 6 4 6 四、矩阵的其它运算 １、转置矩阵 定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A . 例 1 2 2 A , 4 5 8 1 4 T A 2 5 ; 2 8 B 18 6, 18 B . 6 T 转置矩阵的运算性质 1 A A; T T 2 A B AT BT ; T 3 A A ; T T 4 AB B A . T (5) T T 若 A 为 n 阶方阵, 则 (Am)T = (AT)m . 例 已知 1 7 1 T 2 0 1 A , B 4 2 3 , 求 AB . 1 3 2 2 0 1 解法1 1 7 1 0 17 2 0 1 T AB 4 2 3 AB 14 13. 1 3 2 3 10 2 0 1 0 14 3 , 17 13 10 解法2 AB BT AT T 1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13. 1 3 1 1 2 3 10 2、方阵的行列式 定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A. 2 3 例 A 6 8 运算性质 则A 2 3 6 8 2. 1 AT A ; 2 A n A ; 3 AB A B ; AB BA . 1 例如： A 3 2 , 4 1 AB 7 而 | A | 所以 1 2 3 4 1 B 1 5 , 5 10 , 有 | B | 1 2 | AB | 1 1 1 2 1 5 7 5 3 |AB|=|A||B| 推广： | A 1 A 2 … A m | = | A 1| | A 2 | … | A m | | Am| = | A| m 30 单选题 1分 A -4 B 4 C -64 D 64 提交 单选题 1分 A 512 B -512 C 64 D -64 提交 填空题 1分 [填空1] 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 作答 伴随矩阵: 定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所 构成的如下矩阵 A11 A12 A A1n A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann a11 a21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann 称为矩阵 A 的伴随矩阵. 求方阵A的伴随矩阵 1 2 3 A 2 1 2 , 1 3 3 1 2 A11 3, 3 3 2 2 A12 4, 1 3 A13 2 1 1 3 同理可求得 3 3 1 A 4 0 4 5 1 3 5, A21 3 , A22 0 , A23 1 , A31 1 , A32 4 , A33 3. 主观题 10分 求方阵 1 1 A 1 1 的伴随矩阵 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 求方阵A的伴随矩阵 1 1 A 1 1 A11 1 1 1 11 A12 1 1 1 12 A21 1, A22 1 1 1 A 1 1 主观题 10分 1 1 1 1 A ，A ，求AA 和A A 1 1 1 1 作答 性质 AA A A A E . a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2n A12 A22 An2 21 AA a A a A a A A 11 12 12 1n 1n 11 A A A aann11Ana1n 2 a Aann 1 n 2 n ann Ann Ann n2 n2 A A O O A , A 五、内容小结 加法 矩阵运算 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵 注意 （1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. （2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算 不同. 作业：见雨课堂作业链接 第三节 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、矩阵多项式 五、内容小结 上完这节课我能做到 1.会判断一个矩阵是否可逆 3.会求可逆矩阵的逆矩阵 4.会运用逆矩阵的性质求相关矩阵的逆矩阵 5.会用逆矩阵求线性方程组的解 一、概念的引入 在数的运算中，当数a 0 时， 有 aa 1 a 1a 1, 其中 a1 1 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； a 在矩阵的运算中， 单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1, 使得 1 1 AA A A E , 1 则矩阵 A 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. 1 1 1 2 1 2 , B , 例 设 A 1 1 1 2 1 2 AB BA E , B是A的一个逆矩阵 . 二、逆矩阵的概念和性质 定义 ,使得 对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵 B AB BA E , 则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1 . 对角矩阵 1 0 0 A 0 2 0 0 0 3 0 1 0 B 0 1/ 2 0 0 0 1 / 3 0 1 0 0 1 0 0 1 0 AB 0 2 0 . 0 1 / 2 0 0 1 0 BA 0 0 3 0 0 1 / 3 0 0 1 0 1 0 B A 1 0 1 / 2 0 0 0 1 / 3 一般 设 a11 a22 … ann 0, 由于： a 11 a 22 0 所以 a11 0 a22 a 1 11 a nn 0 0 0 1 1 1 a11 ann 0 a 22 0 a22 1 En 1 a nn 1 ann 0 现在的问题是： 1.矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 2.可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？ 3.可逆矩阵有什么性质？ 这是本节要讨论的问题． 定理 1 如果 n 阶矩阵Ａ可逆，则它的逆 定理1 若A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 矩阵是唯一的． 则有 A 的可逆矩阵， 若设 BB和 证明 设矩阵 与CC 是 都是 A 的逆矩阵，则有 AB BA E , AC CA E , AB = BA = E， AC = CA = E ， CA B C AB CE C . 可得 B EB 因而 B =ABE = B(AC) = (BA)C = EC = C ． 所以 的逆矩阵是唯一的,即 B C A 1 . 证毕 伴随矩阵: 定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所 构成的如下矩阵 a11 A a21 a 31 性质 a12 a22 a32 a13 a23 a33 AA A A A E . A11 A21 A31 A A12 A22 A32 A A A 13 23 33 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A 定理2 其中 A 为矩阵 A的伴随矩阵 . 证明： 当 A 0时, A A AA A A A E A A E, A A 按逆矩阵的定义得 A A . A 1 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当 A 0时, A称为奇异矩阵 ,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵 . 由此可得 A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵 . 推论 若 AB E 或 BA E , 则 B A . 1 A B E 1, 证明 故 A 0, 1 因而 A 存在 , 于是 B EB A1 AB A1 AB 1 1 A E A . 证毕 方阵求逆矩阵的步骤 • 1、计算方阵的行列式 A 。 • 2、判断逆矩阵是否存在。 A 0 • 3、计算方阵的伴随矩阵 A*。 * • 4、根据公式 1 A 给出方阵的逆矩阵。 A A 求方阵A的逆矩阵 A1 A 1 1 A 1 1 1 1 A , A A 2 A11 1 1 1 11 A12 1 1 1 12 A21 1, A22 1 A 1 1 A A 1 1 2 1 1 1 A 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 , 1 2 1 1 1 2 1 2 A , B , 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 AB 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 BA 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 B是A的一个逆矩阵 . 1 2 1 2 1 0 I 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 I, 1 2 1 2 三、逆矩阵的求法 例 求二阶矩阵 A a b 的逆阵 c d 解 因为|A|adbc A11d A12c A21b A22a 所以 A* d b c a 所以当|A|0时 有 A1 1 A* 1 d b | A| ad bc c a 主观题 10分 1 2 求方阵 P 的逆矩阵 1 4 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 求方阵P的逆矩阵 P 1 1 2 P 1 4 1 4 2 P 2, P 2 1 1 1 例3 1 2 3 求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3 解 1 A 2 2 1 2 0, A 存在 . 3 4 3 A11 2 1 4 3 2, A12 2 1 3 3 3, 同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2, 得 故 6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2 3 2 6 4 1 2 1 1 A1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2 主观题 10分 判定矩阵A是否可逆 ? 若可逆, 求出其逆矩阵. 1 2 3 A 2 1 2 , 1 3 3 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 下列矩阵 A, B是否可逆 ? 若可逆 , 求出其逆 例4 矩阵 . 1 2 3 A 2 1 2 , 1 3 3 1 2 3 解 2 3 1 B 1 3 5 . 1 5 11 1 2 3 A 2 1 2 0 3 4 1 3 3 0 1 0 1 2 3 0 3 4 0 1 A11 A13 0 1 2 3 3 2 1 1 3 同理可求得 3 4 1 3, 0 4 0, 所以 A可逆 . A12 2 2 1 3 4, 5, A21 3 , A22 0 , A23 1 , A31 1 , A32 4 , A33 3. A A A 11 21 31 A 1 1 A A12 A22 A32 A A A13 A23 A33 1 3 3 1 4 0 4 . 4 5 1 3 2 3 由于 B 1 3 1 1 5 0, 5 11 故 B不可逆 . 逆矩阵的运算性质 1 若A可逆 , 则A 亦可逆 , 且 A A. 1 1 1 2 若A可逆 , 数 0, 则A可逆 , 且 1 A A1 . 1 3 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆 , 且 1 1 1 B A A B 证明 ABB A ABB A 1 1 1 1 AEA 1 AA1 E, 1 AB B 1 A1 . 1 1 1 1 推广 A1 A2 Am Am A2 A1 . (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数. 4 若A可逆 , 则A 亦可逆 , 且 A A . T 1 T 证明 A A T A A E 1 T A A T 1 1 T . 1 T 另外, 当 A 0时, 定义 0 A E, A k A . 1 k T 1 T E, 5 若A可逆 ,则有 A A . 1 1 证明 AA E 1 AA 1 因此 A 1 1 1 A . 单选题 1分 A B C D 提交 单选题 1分 A B C D 提交 填空题 1分 [填空1] 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 作答 填空题 1分 [填空1] 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 作答 填空题 1分 [填空1] 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 作答 单选题 1分 A AC B CA C D 提交 1. 解线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 设方程组为 可表示为 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm a11 a 21 a m1 a12 a 22 am 2 a1 n x1 b1 a 2 n x 2 b2 a mn x n b m m n n 1 m 1 简记为 AX＝B 若 |A| 0，A－1存在，则 X＝A－1B x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1 例5 解方程组 2 x1 + 2 x2 + x3 = 1 3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3 解：方程组简记为 其中 AX=B 1 2 3 A 2 2 1, 3 4 3 x1 X x 2 , x3 由于 | A | = 2 0, A可逆，故 X = A1 B 1 B 1, 3 3 2 1 而 A 1 3 2 3 5 2, 1 1 1 3 2 1 8 1 x1 1 3 2 3 5 2 1 X x2 A B 9 1 x3 1 1 3 3 即 x1= 8, x2= 9, x3= 3. 主观题 10分 求矩阵X 2 5 4 6 AX B, A , B 1 3 2 1 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 2 解矩阵方程 例6 1 2 3 1 3 2 1 设 A 2 2 1 , B , C 2 0 , 5 3 3 4 3 3 1 求矩阵 X使满足 AXB C . 1 2 3 解 A 2 2 1 2 0, B 3 4 3 1 1 A , B 都存在 . 2 1 5 3 1 0, 3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1 1 B 1 1 3 1 , 5 2 1 又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1 1 3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 5 2 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4 1 A 注意: ①由于矩阵乘法不满足交换律,用矩阵 乘方程AXB=C两边时,必须同时在左边乘. ②对于高阶矩阵 A 是比较麻烦的. 1 A ,用伴随矩阵法求 例4 2 设方阵 A满足方程 A A 2 E 0, 证明 : A, A 2 E都可逆 , 并求它们的逆矩阵 . 证明 由 A 2 A 2 E 0, A 1 A E E 得A A E 2 E A 2 A E A 1 A 0, 故 A 可逆 . 2 1 A A E . 2 1 又由 A A 2 E 0 2 A 2 E A 3 E 4 E 0 1 A 2 E A 3 E E 4 1 A 2E 1 A 2 E A 3 E 1, 故A 2 E可逆 . 4 1 3E A 1 且 A 2E A 3E . 4 4 单选题 1分 A B C 2E-A D A+2E 提交 求方阵A的逆矩阵 A1 A2 A3 4 0 0 A 0 2 0 . 0 0 3 0 1 / 4 0 1 A 0 1/ 2 0 . 0 0 1 / 3 42 2 A 0 0 43 3 A 0 0 4n n A 0 0 0 3 2 0 0 0 . 33 0 22 0 0 2n 0 0 0 . 32 0 0 . 3n An 设 (x) = a0 + a1x + ··· + amxm 为 x 的 m 次多 项式，A 为 n 阶方阵，记 (A) = a0 E + a1 A + ··· + am A m ， (A) 称为 . 因为矩阵 Ak、 Al 和 E 都是可交换的，所以 矩阵 A 的两个多项式 (A) 和 f (A) 总是可交换的， 即总有 (A) f (A) = f (A) (A)， 从而 A 的多项式可以像数 x 的多项式一样相乘或 分解因式. 例如 ( E + A )( 2E – A ) = 2E + A – A2 , ( E – A )3 = E – 3A + 3A2 – A3 . 如果 A = P P –1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + ··· + am Am = Pa0EP –1 + Pa1P –1 + ··· + PammP –1 = P ()P –1 . 如果 = diag(1 , 2 , ··· , n)为对角矩阵, 则， k = diag(1k , 2k , ··· , nk)，从而 () = a0 E + a1 + ··· + am m 1m 1 1 m 2 2 1 a0 a1 am m 1 n n (1 ) (2 ) . ( ) n 1 0 1 2 n , , A 设 P AP P , 求 0 2 1 4 例 1 4 2 P 2, P 2 1 1 解 1 1 2 1 1 2 1 n n 1 , A P P , A PP , A PP PP P P , 而 故 1 0 1 0 1 0 1 0 2 , , 2 0 2 0 2 0 2 0 2 1 0 n , , n 0 2 1 2 1 0 1 4 2 A n 1 4 0 2 2 1 1 n 1 1 2 4 2 n 2 2 1 2 1 1 n 1 n 1 1 4 2 2 4 2n 2 2 n 1 n n 2 2 2 2 1 n 2 n 1 n 1 2 2 2 2 2 1 练习题 3 1 2 2 3 A 1 3 0 40 32 48 40 0 3 2 3 (2) 1 1 思考题 若 A 可逆 , 那么矩阵方程 AX B 是否有唯一解 1 X A B ? 矩阵方程 YA B 是否有唯一解 Y BA 1 ? 思考题解答 答 1 是的 . 这是由于 A 的唯一性决定的 . 五、内容小结 逆矩阵的概念及运算性质. 逆矩阵 A1 存在 A 0. 逆矩阵的计算方法 A 1 1待定系数法 ; 2利用公式 A ; A 3初等变换法 下一章介绍 . 作业：见雨课堂作业链接 第 四节 克拉默法则 一、克拉默法则 二、重要定理 三、内容小结 上完这节课我能做到 1. 会用克拉默法则求线性方程组的解 2.会用线性方程组解的定理判定线性方程组的解 一、克莱姆法则 用消元法解二元线性方程组 a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . 1 2 1 a22 : a11 a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 , 两式相减消去 x2，得 （a11 a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ; 类似地，消去 x1，得 （a11 a22 a12a21）x2 a11 b2 b1a21 , 当 a11 a22 a12a21 0 时， 方程组的解为 b1a22 a12b2 a11 b2 b1a21 x1 ， x2 . a11 a22 a12a21 a11 a22 a12a21 由方程组的四个系数确定. （3） a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 . 若记 系数行列式 D a11 a12 a21 a22 , a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . D a11 a12 a21 a22 , D1 b1 a12 b2 a22 a11 b1 a21 b2 , a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . D a11 a12 a21 a22 , D2 . b1a22 a12b2 a11 b2 b1a21 x1 ， x2 . a11 a22 a12a21 a11 a22 a12a21 （3） 则二元线性方程组的解为 b1 a12 D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22 注意 a11 b1 D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22 分母都为原方程组的系数行列式. 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1. 解 D1 D 3 2 2 12 2 1 1 1 3 ( 4 ) 7 0, 14, D2 3 12 2 1 21, D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7 例 解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3 由于方程组的系数行列式 1 2 1 D 2 1 3 5 1 1 1 同理可得 2 2 1 1 2 1 D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10, 0 1 1 0 1 1 2 2 D3 2 1 1 5, 1 1 0 故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D 1 D3 x3 1. D 非齐次与齐次线性方程组的概念 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 若常数项 b1 , b2 ,, bn不全为零 , 则称此方程组为非 非齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则 如果线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn (1) a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 的系数行列式不等于零，即D a n1 a n 2 a nn 那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , x n . D D D D 其中D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即 a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn 主观题 10分 用克拉默则求解方程组 2 x1 4 x2 x3 1 x1 5 x2 3x3 2 x x x 1 3 1 2 作答 例 用克拉默则解方程组 2 x1 4 x2 x3 1 x1 5 x2 3x3 2 x x x 1 3 1 2 解 2 4 1 D 1 5 3 10 12 1 5 6 4 8 0 1 1 1 1 4 1 2 4 1 2 1 1 D1 2 5 3 11 D2 1 2 3 9 D3 1 5 2 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x1 , x2 , x3 T D1 D2 D3 , , D D D T 9 3 11 , , 8 4 8 T 注意：通过上述例子, 我们看到用克拉默法则求解 线性方程组时,要计算 n+1 个 n 阶行列式,这个 计算量是相当大的, 所以, 在具体求解线性方程 组时, 很少用克拉默法则,但经济中经常出现的情 况是，变量中仅有几个是实际需要的，尤其是当其 余变量的值不需要时，克莱姆法则就更简便。 另外, 当方程组中方程的个数与未知量的个数 不等时,就不能用克拉默法则求解. 克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件, 并 且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关 系. 二、重要定理 定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1 一定有解,且解是唯一的 . 定理1′如果线性方程组 1 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.(逆否命题) 齐次线性方程组的相关定理 a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0 2 如果齐次线性方程组 2 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 只有一组零解. 定理2 定理2′ 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它 的系数行列式必为零 D 0 .(逆否命题) 反之：以后将证明：若系数行列式 D 0 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 有非零解. (1 ) x 1 2 x 2 4 x 3 0 2 x1 ( 3 ) x 2 x 3 0 x x (1 ) x 0 2 3 1 例 齐次方程组 有非零解，问 取何值时？ 解 1 D 2 1 1 2 1 2 3 1 4 1 1 2 1 1 3 ( 1)(1 ) 4 1 2( 1) 1 0 0 3 4 1 1 0 1 3 2 2 3 1 2 1 ( 3) 1 ( 1) 1 2 1 1 0 ( 3) 1 2 2 ( 3)(2 2 ) ( 2)( 3) 齐次方程组有非零解，则 0, 或 2 或 3 D0 时齐次方程组有非零解. 单选题 1分 A 2 B 0 C -1 D -2 提交 单选题 1分 A 1 B 2 C 1或2 D 1或2或3 提交 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 思考题解答 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 三、内容小结 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 上完这节课我能做到 会求分块对角阵的行列式与逆阵 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 例 a 0 A 1 0 1 0 0 B1 a 0 0 B2 , 0 b 1 B3 1 1 b 即 a 0 A 0 0 1 0 0 B 1 a 0 0 B2 1 1 b B 3 1 1 b a 0 A 1 0 即 1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b a 0 A 1 0 1 a 0 1 C2 , C4 0 0 0 0 C1 C 2 b 1 C 3 C 4 1 b a 0 A 1 0 a 0 A 1 0 1 0 0 a 0 0 A O a0 b1 01 , 其中O B E A 0 b 1 E B 1 0 0 b a 1 1 1 b 1 0 0 a10 a0 a 0 0 A1 A2 A3 A4 ,其中 A 2 4 1 3 01b 0 b 1 1 1 b 1b0 二、分块矩阵的运算规则 1 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , 采用 相同的分块法 , 有 A11 A1 r B11 A , B A B A s1 s1 sr 其中 A ij 与 B ij的行数相同 , 列数相同 , 那末 A11 B 11 A B A B s1 s1 B1 r B sr A1 r B 1 r . A sr B sr A11 A1r 2 设 A , 为数, 那末 A A s1 sr A11 A1 r A . A A s1 sr 例 1 2, A 3 4 2 3 2 1 5 6 1 2 2 2 3 2 2 A 3 2 2 2 1 2 4 2 5 2 6 2 4 4 6 6 4 2 . 8 10 12 3 设 A 为 m l矩阵 , B 为 l n 矩阵 , 分块成 A11 A A s1 A1 t , A st B 11 B B t1 B1 r , B tr 其中 Ai 1 , Ai 2 , , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , , Bij 的行数 , 那末 C 11 AB C s1 t 其中 C ij A ik B kj k 1 C 1r C sr i 1 , , s ; j 1 , , r . T TT T A A A Ass11 11 A1111 A 1r TT 4 设 A , 则 则 A A .. As1 A TT TT AA A Asrsr sr 1r1r 5 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线 上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非零子块都 是方阵 .即 A1 O A 2 A , O As A1 O A2 A , O As 其中 Ai i 1, 2 , s 都是方阵 , 那末称 A 为分块 对角矩阵 . 分块对角矩阵的行列式具有下述性质: A A1 A2 As . A1 6设 A o A2 o , As 若 Ai 0 i 1, 2 , , s , 则 A 0 , 并有 o A11 1 A2 1 A . 1 A s o A1 0 0 B1 0 0 0 A2 0 0 B2 0 7 0 0 As 0 0 Bs A1B1 0 0 A2B2 0 0 0 0 . As Bs 例1 设 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 A , B , 1 2 1 0 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 2 0 求 AB . 解 把A, B分块成 1 0 1 0 00 00 E O 0 0 1 1 00 00 A A , 1 1 2 2 1 1 00 A1 E 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 B 1 0 1 1 E 则 AB A1 1 0 0 1 B E 11 4 1 B21 B22 2 0 O B11 E B21 E B22 B11 A1 B11 B21 E . A1 B22 B11 AB A1 B11 B21 又 E . A1 B22 1 2 1 0 1 0 A1 B11 B21 1 1 1 2 1 1 0 2 4 3 4 1 , 0 2 1 1 1 1 1 2 4 1 3 3 A1 B22 , 1 1 2 0 3 1 于是 B11 AB A1 B11 B21 1 1 2 1 E A1 B22 0 1 0 4 0 1 . 4 3 3 1 3 1 例2 a 0 设 A 0 0 1 0 0 a 0 0 , 0 b 1 0 1 b a 1 B 0 0 0 0 0 a 0 0 0 b 0 0 1 b 求 A B, ABA. 解 将 A, B分块 a a 1 0 0 A1 0 A 0 0 a 0 0 1 , 其中 A 0 0 b 1 0 A2 b A2 0 0 1 b 1 1 , a 0 0 0 a B1 a 0 0 B1 0 1 , 其中 0 b 0 0 B2 b B2 0 1 b 1 0 , a a 1 B 0 0 1 ; b 0 ; b A1 A B 0 0 B1 A2 0 A1 B1 0 0 B2 0 , A2 B2 a 1 a 0 2a 1 A1 B1 , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 B2 , 1 b 1 b 2 2b A1 A B 0 0 B1 A2 0 A1 B1 0 0 B2 0 A2 B2 2a 1 0 0 1 2a 0 0 . 0 0 2b 1 0 2 2b 0 A1 ABA 0 0 B1 A2 0 A1 B1 A1 0 0 A1 B2 0 0 , A2 B2 A2 a3 a 2a2 1 , A1B1 A1 2 3 a a a b3 2b 2b2 1 , A2B2 A2 2 3 b 2b 3b 0 A2 A1 0 B1 0 A1 0 ABA 0 A2 0 B2 0 A2 0 A1B1 A1 A2B2 A2 0 a 3 a 2a 2 1 0 0 2 3 a a a 0 0 . 3 2 0 0 b 2b 2b 1 2 3 0 0 3 b b 2b 例3 5 0 0 设 A 0 3 1 , 求 A 1 . 0 2 1 解 5 0 0 A1 A 0 3 1 O 0 2 1 A1 5 , 1 A ; 5 1 1 O , A2 3 1 A2 , 2 1 1 A ; 5 1 1 A ; 2 3 1 1 1 A 1 1 A O 1 2 O 1 A2 1 0 0 5 0 1 1. 0 2 3 三、小结 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵 , 采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵 A, 需k乘A的每个子块 (3) 乘法 若A与B相乘 , 需A的列的划分与 B的划分相一致 (4) 转置 A11 A As1 T A11 AsT1 A1r T A AT AT Asr sr 1r (5) 分块对角阵的行列式与逆阵 A1 O A A A1 A2 As . 2 A O As A1 O A2 A O As A可逆 Ai 可逆 i 1,2,, s且 A diag A , A ,, A 1 1 1 1 2 1 s . 作业：见雨课堂作业链接 上完这节课我能做到 1.会判断矩阵是否为行阶梯型矩阵、行最简型矩阵 2.会用初等变换化矩阵为行阶梯型矩阵、行最简型 矩阵 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵 的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利 用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非 零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有 解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线 性方程组的方法．内容丰富，难度较大. 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组 2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 1 2 3 2 4 (1) 解 (1) 1 2 3 2 2 3 3 21 4 31 x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x 2 5 x 3 3 x 4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3, 1 2 3 ( B1 ) 4 1 2 3 4 ( B2 ) 1 2 2 3 52 4 32 3 4 4 23 x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x 4 6, x 4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x 4 3, 0 0, 用“回代”的方法求出解： 1 2 3 ( B3 ) 4 1 2 3 4 ( B4 ) x1 x3 4 于是解得 x2 x3 3 x 3 4 其中x3为任意取值 . 或令 x3 c , 方程组的解可记作 x1 c 4 x2 c 3 x , x3 c x4 3 1 4 1 3 即x c 1 0 0 3 （2） 其中c为任意常数 . 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ） 3．上述三种变换都是可逆的． 若( A) 若( A) 若( A) i j i k i k j (B ), 则(B ) (B ), 则(B ) (B ), 则(B ) i j i k i k j ( A); ( A); ( A). 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算． 若记 1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B ( A b) 4 6 2 2 4 6 9 7 9 3 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程 组（1）的增广矩阵）的变换． 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 1 对调两行（对调 i , j 两行 , 记作 ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ; （第 i 行乘 k , 记作 ri k） 3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行 对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作 ri kr j）. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类 型相同． ri r j 逆变换 ri r j ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k ; k ri kr j 逆变换 ri ( k )r j 或 ri kr j . 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 用矩阵的初等行变换 解方程组（1）： 1 2 1 1 1 2 1 1 B ( A b) 4 6 2 2 6 9 7 3 1 2 1 1 r1 r2 2 1 1 1 r3 2 2 3 1 1 6 9 7 3 2 4 4 9 4 2 B 1 2 9 r2 r31 1 12 r3 2r21 01 21 B1 03 51 2 r4 3r1 3 06 39 12 4 1 12 2 2 15 23 73 9 4 r2 2 4 1 1 0 B 3 0 2 6 0 1 3 r3 5r5 r4 3r2 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 r2 4r3 r3 02r1 B2 r4 63r1 3 1 0 B3 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 4 1 1 0 r3 r4 0 2 6 r4 2r3 0 1 3 1 2 1 1 0 0 4 1 1 0 B 4 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 r1 r2 r2 r3 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 4 1 1 0 B 4 0 1 3 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 B5 0 0 1 3 0 0 0 0 x1 x3 4 B 5 对应的方程组为 x2 x3 3 x 3 4 或令 x3 c , 方程组的解可记作 x1 c 4 1 4 x2 c 3 1 3 x c 1 0 x3 c 0 3 x4 3 其中 c为任意常数 . 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵. 特点： （1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零； （2）、每个台 阶 只有一行， 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 4 1 1 0 B 4 0 1 3 0 0 0 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元． 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵. 行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵 特点： 1 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 B 5 0 0 1 3 0 0 0 0 （1）非零行的第一个非零元为1，且这些非零元 所在列的其他元素都为0. （2）这些非零元所在列的其他元素都为0. 行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非 零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列 的其他元素都为0. 对于任何矩阵A mn , 总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形. 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的非零行数也是由方程组唯一确定 的． 单选题 1分 判断下面的矩阵是否为阶梯型矩阵 A 是 B 不是 1 2 1 0 0 0 1 3 0 0 2 5 提交 单选题 1分 判断下面的矩阵是否为阶梯型矩阵 A 是 B 不是 1 3 0 2 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 3 0 0 1 3 0 1 0 0 0 提交 单选题 1分 判断下面的矩阵是否为阶最简型矩阵 A 是 B 不是 1 1 0 1 A2 0 1 1 1 , 0 0 0 0 提交 单选题 1分 判断下面的矩阵是否为阶最简型矩阵 A 是 B 不是 1 1 0 1 A4 0 0 1 1 . 0 0 0 0 提交 1 2 3 化矩阵 A 2 3 5 为行阶梯形矩阵 4 7 0 1 2 3 A : 0 1 11 0 0 1 主观题 10分 1 3 2 2 化矩阵 A 0 2 1 3 为行阶梯形矩阵 2 0 1 5 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 1 3 2 2 化矩阵 A 0 2 1 3 为行阶梯形矩阵 2 0 1 5 1 3 2 2 A : 0 2 1 3 0 0 0 0 主观题 10分 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 1ri r j ci c j ; 1.初等行(列)变换 2 ri k ci k ; 3 ri kr j ci kc j . 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 2. A 初等变换 B A ~ B . 3.矩阵等价具有的性质 1反身性 ; 2 对称性 ; 3传递性 . 作业：见雨课堂作业链接 上完这节课我能做到 1.会用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 2.会用初等行变换求线性方程组的解 一、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去． 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 观察： 1 0 k a11 a12 a11 ka31 a12 ka32 (1) 0 1 0 a21 a22 a21 a22 0 0 1 a a a a 31 32 31 32 1 0 0 a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n (2) 0 k 0 a21 a22 ... a2n ka21 ka22 ... ka2n 0 0 1 a a ... a a a ... a 31 32 3n 32 3n 31 b11 b12 b13 1 0 0 b11 b13 b12 (3) b21 b22 b23 0 0 1 b21 b23 b22 b b b 0 1 0 b b b 31 33 32 31 32 33 初等矩阵的应用 定理1 设 A 是一个 mn 矩阵，对 A 施行一 次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 左乘行变 , 右乘列变 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等 方阵 P1 , P2 ,, Pl , 使A P1 P2 Pl . 证 A ~ E , 故 E 经有限次初等变换可变 A, 即存在有限个初等方阵 P1 , P2 , , Pl , 使 P1 P2 Pr EPr 1 Pl A 即 A P1 P2 Pl . 推论 m n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q , 使 PAQ B . 利用初等变换求逆阵的方法： 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有 Pl 1 Pl 11 P11 A E , 及 Pl 1 Pl 11 P11 E A1 , Pl 1 Pl 11 P11 A E P P P A P P P E E A l 1 1 l 1 1 1 l 1 1 l 1 1 1 1 即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 初等行变换 －1 ) 1 ( A E ) ( E A 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A . 利用初等变换求逆阵的方法： 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有 即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 1 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A . (A E) 初等行变换 ( E A－1 ) 1 2 3 例１ 设 A 2 2 1 , 求 A1 . 3 4 3 1 2 3 1 0 0 解 A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2 r1 r2 r3 r2 r1 2r3 r2 5r3 1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r （ 2） 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1 r3 （ 1） 3 2 1 0 0 1 r2 （ 2） 3 5 3 0 1 0 2 2 r3 （ 1） 1 1 0 0 1 1 3 2 1 0 0 1 r2 （ 2） 3 5 3 0 1 0 2 2 r3 （ 1） 1 1 0 0 1 1 3 2 1 3 5 1 A 3 . 2 2 1 1 1 练习：求下列矩阵的逆矩阵 3 2 0 1 (1) A 1 1 0 0 0 1/ 3 1 0 6 ( 2 )B 1 0 1 2 0 0 1 主观题 10分 0 2 1 1 A 3 0 2 设 求A 2 3 0 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 0 2 1 设A 3 0 2 求A1 2 3 0 0 2 1 1 0 0 解 (A E) 3 0 2 0 1 0 2 3 0 0 0 1 ~ 1 1 1 1 1 1 r1r2 3 0 2 0 1 0 r1r3 2 3 0 0 0 1 ~ 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 r23r1 0 3 1 3 2 3 r22 0 1 0 4 2 3 r32r1 0 5 2 2 2 3 r2r3 0 5 2 2 2 3 ~ 1 1 1 1 1 1 r35r2 0 1 0 4 2 3 0 0 2 18 8 12 ~ 1 1 1 1 1 1 r2(1) 0 1 0 4 2 3 r3(2) 0 0 1 9 4 6 ~ 1 0 0 6 3 4 r1r2 0 1 0 4 2 3 r1r3 0 0 1 9 4 6 6 3 4 所以 所以 A1 4 2 3 9 4 6 利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵 A1 B . A 1 ( A B ) ( E A 1 B ) 即 ( A B) 初等行变换 E A 1 B 例２ 求矩阵 X , 使 AX B，其中 1 2 3 2 5 A 2 2 1 , B 3 1 . 3 4 3 4 3 解 若 A 可逆，则 X A1 B . 1 2 3 2 5 ( A B) 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3 r2 2r1 r3 3r1 r1 r2 r3 r2 r1 2r3 r2 5r3 3 2 5 1 2 0 2 5 1 9 0 2 6 2 12 1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3 0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3 r1 2r3 r2 5r3 0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3 2 r2 （ 2） 1 0 0 3 0 1 0 2 3 ， r3 （ 1） 0 0 1 1 3 2 3 X 2 3 . 1 3 三、小结 1. 单位矩阵 一次初等变换 初等矩阵. 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: A 1 构造矩阵 A E 或 ; E 2 对 AME 施行初等行变换, 将A化为单位矩阵E 后, 右边E 对应部分即为A 1 作业：见雨课堂作业链接 上完这节课我能做到 1.会表述矩阵秩的定义 2.会用初等变换化矩阵为行阶梯型矩阵法 求矩阵的秩 1 2 1 1 1 1 2 1 B ( A b) 4 6 2 2 3 6 9 7 1 1 0 1 0 0 0 0 2 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 4 4 9 4 0 B4 3 0 4 3 B5 3 0 一、矩阵秩的概念 任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 . 矩阵的秩 定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（ k m , 2 k n），位于这些行列交叉 处的个 k 元素 , 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式 . 如：矩阵 3 9 3 1 A 0 1 3 4 2 3 9 6 取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，组成的 二阶子式是 1 3 2 6 12 易见 A 的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式. 而在这个矩阵中, 9 1 3 9 3 0 1 3 4 都是矩阵 A 的子矩阵. 3 1 0 1 2 3 1 3 2 2 例如： A 0 2 1 3 2 0 1 5 1 3 2 2 例如： A 0 2 1 3 2 0 1 5 二阶子式 3 2 0 5 3 2 2 三阶子式 2 1 3 0 注： (1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式 (2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A | 1 5 m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C mk C nk 个. 定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零. m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 . T T 对于 A ， 显有 R( A ) R( A). 例1 解 1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩 . 4 7 1 在 A 中， 1 2 2 3 0. 又 A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A 0， R ( A ) 2. 单选题 1分 A B C D 提交 3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 的秩 . 例2 求矩阵 B 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0 解 B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有 3行， B 的所有 4 阶子式全为零 . 2 1 3 而0 3 2 0, 0 0 4 R ( B ) 3. 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数. 1 3 2 2 例3 已知 A 0 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 2 0 1 5 1 3 解 2 0, 计算A的3阶子式， 0 2 1 0 3 2 2 0 0. 3 2 3 2 2 1 2 2 20, 1 3 00, 1 3 0, 2 3 2 0 5 0 1 5 2 1 5 1 2 1 00, 1 R A 2. 1 3 2 2 另解 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5 1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0 显然，非零行的行数为2， R A 2. 此方法简单！ 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数. 二、矩阵秩的求法 因为对于任何矩阵 Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶 梯形 . 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定理 1 若 A ~ B , 则 R A R B . 方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 单选题 1分 A B C D 提交 初等变换求矩阵秩的方法： 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 , 求矩阵 A 的秩. 例4 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵： 0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 r1 r4 1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 0 5 0 3 2 0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 r1 r4 r2 r4 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 0 5 0 3 2 0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1 6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12 r3 3r2 r4 4r2 r4 r3 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 4 8 0 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 例5 设A , b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵 A 及矩阵 B ( A b )的秩 . 解 ~ ~ ~ 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B ( A, b ), ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ). 1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 2 3 4 r2 2r1 1 2 2 1 r3 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3 1 0 5 1 r2 2 r3 r2 r4 3r2 r3 5 r4 r3 1 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 0 0 0 5 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 R ( A ) 2, R ( B ) 3. 主观题 10分 练习： 将下列矩阵利用初等行变换化为行阶梯形,再化为行 最简形, 并求其秩. 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9 正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂 作答 1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 1 1 2 1 4 r1 r2 2 1 1 1 2 A 4 6 2 2 4 r3 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 6 9 7 9 3 1 4 r2 r3 1 1 2 r2 2 0 2 2 2 0 r3 2r1 r3 5r2 0 5 5 3 6 r4 3r1 r4 3r2 3 3 4 3 0 4 1 1 2 1 1 1 2 1 4 r r 3 4 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 B1 0 0 0 2 6 r4 2r3 0 0 0 1 3 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 B1 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 4 r1 r2 0 0 0 r r 3 2 3 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 B 2 0 0 1 3 0 0 0 0 B1 , B2 依次为行阶梯形和行最简形矩阵。 秩显然为３. 单选题 1分 A 0 B 1 C 4 D 5 提交 单选题 1分 A 1 B -1 C 0 D 2 提交 三、矩阵秩的性质 矩阵的秩有以下性质： （1） 0 ≤ R(Amn) ≤ min{ m , n } . （2） R(AT) = R(A) . （3） 若 A ~ B, 则 R(A) = R(B) . （4） 若 P，Q 可逆，则 R(PAQ ) = R(A) . （5） max{R(A) , R(B) } ≤ R(A, B) ≤ R(A) + R(B), 特别地，当 B = b 为列向量时，有 R(A) ≤ R(A, b) ≤ R(A) +1 . （6） R(A + B) ≤ R(A) + R(B). （7） R(AB) ≤ min{R(A) , R(B)} . （8）若 Amn Bnl = O，则 R(A) + R(B) ≤ n . 定理 设 A (a ij )nn， 则 A 0 R( A) n ; (降秩矩阵) A 0 R( A) n (满秩矩阵) 若A为n阶可逆矩阵 , 则 (1) A的最高阶非零子式为 A ; (2) (3) R ( A ) n; A ~ E； (4) A为满秩矩阵; (5) A为非奇异矩阵。 1 1 2 例. 设方阵 A 0 2 1 2 3 1 1 1 判断A是否可逆. 2 解法1: 因为 | A | 0 2 1 5 0 , 所以，A满秩(可逆). 2 3 1 解法2: 用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 r3 2 r1 r3 2 r2 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 3 1 0 1 3 0 0 5 2 所以r(A)=3，A满秩，故A可逆. 填空题 1分 [填空1] 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 作答 小结 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). 作业：见雨课堂作业链接 第三节 线性方程组的解 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结 上完这节课我能做到 1.会用初等变换化矩阵为 行阶梯型矩阵、行最简型矩阵法求解线性方程组 2.会表述齐次、非齐次线性方程组解的定理 3.会用线性方程组解的定理对未知参数讨论，确定线性方 程组的解 齐次线性方程组的解 例 求解齐次线性方程组 2 x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0 x 2x x 0 2 3 1 . 1.当R(A)=n时,方程组只有零解 例 求解齐次线性方程组 x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2 . 对系数矩阵 A 施行初等行变换： 1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4 解 2.当R(A)