对数求导法.pdf

数学是科学的女王 数学教研室 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦 ( x  1)3 x  1 sin x 观察函数 y  , y  x . 2 x ( x  4) e 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方 法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导 运算。 --------对数求导法 适用范围: 多个函数相乘、乘方、开方和幂指函数 u( x )v ( x )的情形. 例1 解 等式两边取对数得 1 ln y  ln( x  1)  ln( x  1)  2 ln( x  4)  x 3 上式两边对 x求导得 y 1 1 2    1 y x  1 3( x  1) x  4 ( x  1)3 x  1 1 1 2  y  [    1] 2 x x  1 3( x  1) x  4 ( x  4) e 例2 解 等式两边取对数得 ln y  sin x  ln x 上式两边对x求导得 1 1 y   cos x  ln x  sin x  y x 1  y   y(cos x  ln x  sin x  ) x sin x sin x  x (cos x  ln x  ) x 对数求导法的作业： (1) y  sin x (2) y  (1  x ) 2 tan x cos x (3) y  x sin x 1  e (5) y  (arcsin x) (7) y  x 1 y tan x x (4) y  x 2x 2  x xx x2 x  1(2  x) (6) y  4 ( x  1) （8）x  y  1 y x 3 初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 (C )  0 (sin x )  cos x ( x  )  x  1 (cos x )   sin x (tan x )  sec x (sec x )  sec x tan x (cot x )   csc 2 x (csc x )   csc x cot x (a x )  a x ln a 1 (log a x )  x ln a (e x )  e x 1 (ln x )  x 2 (arcsin x )  1 1  x2 1 (arctan x )  2 1 x (arccos x )   1 1  x2 1 ( arccot x )   1  x2 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设u  u( x ), v  v( x )可导，则 （1）(u  v )  u  v , （2）(cu)  cu ( C 是常数) v  uv  u u    （3）(uv )  u v  uv , （4）( )  (v  0). 2 v v