体积上张量场场论-06-非完整基理论及应用.pdf
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非完整基理论及应用 复旦大学 力学与工程科学系 麟 谢锡麟 1 知识要素 2 完整基之间的相互关系 谢 锡 2015 年 4 月 2 日 (i) m m 定理 2.1. 设 {xi }m i=1 和 {x }i=1 为 R 中的两个完整系, 则相应有如下坐标转换关系: g g =: C (j) g j (i) =: C(i) g j , g (i) =: C (i) g j , j i 稿 i 此处 (j) , g i =: C i g (j) . (j) 析 讲 ∂xi i C := , (j) ∂x(j) (i) C (i) := ∂x . j ∂xj (i) m m 证明 由于 {xi }m i=1 和 {x }i=1 为 R 中的两个完整系, 可认为两者之间存在微分同胚. 对 量 分 协变基向量, 有 g (i) , ∂X ∂xj ∂X ∂xj j = g j =: C(i) gj , = j (i) (i) (i) ∂x ∂x ∂x ∂x 对逆变基向量, 有 g (i) , ∇x(i) = ∂x(i) ∂x(i) ∂xj ∂x(i) j (i) i = i = g =: Cj g j . α α ∂X α ∂xj ∂X α ∂xj 张 同理, 有 进一步, 考虑到 ∂x(j) (j) g (j) =: Ci g (j) , i ∂x ∂xi (j) i gi = g =: C(j) g (j) . ∂x(j) gi = ) ( ) )( ) ( ( i ∂x(k) ∂x (k) i = = δji = I m , C(k) Cj j (k) ∂x ∂x (i) i }m m 亦即, 坐标转换系数 {C(j) i,j=1 与 {Cj }i,j=1 仅有一组独立, 两者之间满足互逆关系. 图1为完整基示意. 按简单张量的基本性质, 易得相对不同基的张量分量之间的转换关系. 1 非完整基理论及应用 谢锡麟 Xm g (j) (ỹ) y j -楫 xi -楫 (x̃ X 麟 )= X (ỹ ) g i (x̃) X g i (x̂) α X X (x̂) = (ŷ ) xi -楫 g (j) (ŷ) X1 O xm ym y j -楫 xi -楫 ỹ x̃ x̂ i Dx 讲 x1 稿 xi -楫 x O 谢 锡 y j -楫 O y j -楫 yj ŷ Dy y1 析 Figure 1: 完整基示意 定理 2.2 (张量分量间的坐标转换关系). 以 Φ = Φi· j g i ⊗ g j ∈ T 2 (R3 ) 为例, 有如下关系: (i) Φ = Φi· j g i ⊗ g j = Φ (j) g (i) ⊗ g (j) ; (i) 量 分 ∇ ⊗ Φ = ∇k Φi· j g k ⊗ g i ⊗ g j = ∇(k) Φ (j) g (k) ⊗ g (i) ⊗ g (j) . 张 所以有分量之间的转换关系 (p) (p) j Φ (q) = Ci C(q) Φi j ; (p) (p) j k ∇(l) Φ (q) = C(l) Ci C(q) ∇k Φi j . 定理 2.3 (第一类 Christoffel 符号的坐标转换关系). (l) (l) (l) (l) i j j ∂Cj k i = Γ(q)(p) . Γ(p)(q) = Ck C(p) C(q) Γij − C(p) C(q) i ∂x 2 非完整基理论及应用 谢锡麟 证明 考虑到 ∂Φi· j i k + Γlk Φ· j − Γljk Φi· k ∂xl ) ∂x(r) ∂ ( i (n) (m) (n) (m) (n) (m) i k k i = C C Φ · (n) + Γlk C(m) Cj Φ · (n) − Γlj C(m) Ck Φ · (n) (m) j l (r) ∂x ∂x (n) (m) i ∂C(m) ∂Cj (n) (r) i (n) ∂Φ· (r) (n) (m) (r) i (m) = Cl C(m) Cj + Cl Cj Φ · (n) + Cl C(m) (r) Φ· (n) (r) (r) ∂x ∂x ∂x (n) (m) (n) (m) i k k i + Γlk C(m) Cj Φ · (n) − Γlj C(m) Ck Φ · (n) , 可有 (p) (p) j l ∇(s) Φ · (q) = C(s) Ci C(q) ∇l Φi· j [ (p) j l = C(s) Ci C(q) (m) i ∂C(m) (r) i (n) ∂Φ · (n) (r) (n) (m) Cl C(m) Cj + Cl Cj Φ · (n) (r) (r) ∂x (n) ∂Cj (p) = ∂Φ · (q) (m) ∂x(r) (p) + Ci Φ· ∂x (n) (p) (m) (m) (p) j ∂Cj i k l C(m) C(s) Ci Φ · (q) Φ · (q) + C(q) (s) Φ · (n) + Γlk (s) i ∂C(m) 析 讲 ∂x(s) ∂x ∂x (n) (p) j k l − Γlj C(s) C(q) Ck Φ · (n) [ ] (p) i ∂C ∂Φ · (q) (m) (p) (p) (m) i k l = + Γlk C(m) C(s) Ci + Ci Φ · (q) (s) (s) ∂x ∂x [ ] (n) (n) (p) j j ∂Cj k l − Γlj C(s) C(q) Ck − C(q) (s) Φ · (n) ∂x [ ] (p) (p) ( ) ∂Φ · (q) ∂Ci ∂ (p) i (m) (p) i k l i = + Γlk C(m) C(s) − C(m) Φ · (q) Ci + (s) Ci C(m) (s) (s) ∂x ∂x ∂x [ ] (n) (n) (p) j j ∂Cj k l l − Γlj C(s) C(q) Ck − C(s) C(q) Φ · (n) ∂xl ] [ (p) (p) ∂Φ · (q) ∂C (m) (p) i l k l k k = Φ · (q) + Γlk C(s) C(m) Ci − C(s) C(m) l (s) ∂x ∂x ] [ (n) (p) (n) j j ∂Cj k l l Φ · (n) − Γlj C(s) C(q) Ck − C(s) C(q) l ∂x 量 分 张 ] (n) (m) (n) (m) k i i k (n) + Γlk C(m) Cj Φ · (n) − Γlj C(m) Ck Φ · (n) 稿 (r) i + Cl C(m) 谢 锡 麟 ∇l Φi· j = (p) = ∂Φ · (q) ∂x(s) (p) (m) + Γ(s)(m) Φ · (n) (p) (q) − Γ(s)(q) Φ · (n) . 由此便有 Christoffel 的坐标转换关系 (p) (p) (p) i l k l k ∂Ck Γ(s)(m) = Γlk C(s) C(m) Ci − C(s) C(m) ∂xl (p) i l k = Γlk C(s) C(m) Ci l k − C(s) C(m) 3 ∂x(p) (p) = Γ(m)(s) . k l ∂x ∂x 非完整基理论及应用 谢锡麟 3 非完整基一般理论 j 麟 m 按线性代数, Rm 中任意二组基 {g i }m i=1 和 {g (i) }i=1 可以相互表示, 如下所示: g := C (j) g , g := C j g , i (j) (i) i (i) j g i := C i g (j) , g (i) := C (i) g j , (j) (i) (i) 间的对偶关系. 谢 锡 m k = δ i , 基转换系数 {C j }m 此处, Ck C(j) j (i) i,j=1 与 {Cj }i,j=1 之间的关系式源于协变基与逆变基之 g (j) (x̃) Xm xm g (i) (x̃) x -楫 i xj -楫 g j (x̃) xj -楫 g i (x̃) x̃ xi -楫 x̂ Dx xj -楫 x1 xi -楫 g j (x̂) j x -楫 Xα g (i) (x̂) ) X (x̂ O g i (x̂) X1 x -楫 讲 O 稿 xi X (x̃ ) g (j) (x̂) i 析 Figure 2: 非完整基示意 图2为非完整基示意图. m 本节研究这样的情形, {g i }m i=1 为完整基, 亦即由曲线坐标系诱导; {g (i) }i=1 为非完整基, 亦 即由完整基及基转换系数确定, 其中转换系数可自由确定. 对任意张量场, 可以基于完整基定义 量 分 其梯度, 以三阶张量 Φ ∈ T 3 (R3 ) 为例, 有 Φ ⊗ ∇ := ∇l Φi·jk g i ⊗ g j ⊗ g k ⊗ g l ∈ T 4 (R3 ), 张 现需获得 Φ ⊗ ∇ 在非完整基下的表达形式. 按基转化关系可有 [ ] [ ] [ ] [ ] (p) j i (q) k (r) l (s) Φ ⊗ ∇ : = ∇l Φ·jk Ci g (p) ⊗ C(q) g ⊗ C(r) g ⊗ C(s) g (p) j k l = Ci C(q) C(r) C(s) ∇l Φi·jk g (p) ⊗ g (q) ⊗ g (r) ⊗ g (s) (p) = [Φ ⊗ ∇] ·(q)(r)(s) g (p) ⊗ g (q) ⊗ g (r) ⊗ g (s) , (p) (p) j k C l ∇ Φi . 亦即有 [Φ ⊗ ∇] · (q)(r)(s) = Ci C(q) C(r) (s) l · jk (p) 非完整基理论实质为提供一套 “形式运算”, 以获得 [Φ ⊗ ∇] · (q)(r)(s) , 具体包括 1. 定义形式偏导数 ∂ k ∂ ; ≡ ∂(l) , C(l) (l) ∂xk ∂x 2. 定义形式 Christoffel 符号 (l) (l) (l) i (l) j j ∂Cj k i Γ(p)(q) , Ck C(p) C(q) Γij − C(p) C(q) ̸= Γ(q)(p) ; i ∂x 4 非完整基理论及应用 谢锡麟 3. 定义形式协变导数 (p) l ∇(s) Φ · (q)(r) , C(s) ∂ (p) (p) (k) (k) (p) (k) (p) Φ · (q)(r) + Γ(s)(k) Φ · (q)(r) − Γ(s)(q) Φ · (k)(r) − Γ(s)(r) Φ · (q)(k) , ∂xl (p) (p) 通过直接计算可验证 ∇(s) Φ · (q)(r) = [Φ ⊗ ∇] · (q)(r)(s) . 麟 首先, 对向量 A = Ai g i = A(j) g (j) , 可有 i Ai = C(j) A(j) , Cs(l) 谢 锡 由形式偏导数的定义可有 ∂ ∂ (l) k ∂ k ∂ . = C C = δ = s s (l) ∂xs ∂xk ∂xk ∂x(l) 考虑到 ( ) ∂Ai (k) ∂ i s i (j) s + Γ A = C C A + Γlsi C(j) A(j) ls (j) l ∂xl ∂x(k) i (j) ∂C(j) (k) (k) i ∂A (j) s = Cl A + Cl C(j) (k) + Γlsi C(j) A(j) , (k) ∂x ∂x 所以, 有 稿 ∇l Ai = [ (n) (n) (n) (k) l = C(m) Ci Cl = ∂x(m) i ∂C(j) ∂x i ∂C(j) (n) + Ci [ ∂A(n) ∂x(m) + (j) (k) i ∂A (j) s A + C C + Γlsi C(j) A(j) (j) l ∂x(k) ∂x(k) (n) (k) l i A(j) + C(m) Ci Cl C(j) (k) ∂x(m) ∂A(j) (n) s l + Γlsi C(j) C(m) Ci A(j) (k) ∂x (n) s l A(j) + Γlsi C(j) C(m) Ci A(j) 析 = ∂A(n) Cl 讲 l l ∇(m) A(n) = C(m) Ci (∇l Ai ) = C(m) Ci i ∂C(j) (k) ( ∂ (n) i Ci C(j) (m) ∂x ) (n) (n) i ∂Ci s l − C(j) (m) + Γlsi C(j) C(m) Ci ∂x ] A(j) 量 分 ] [ (n) s ∂C ∂A(n) ∂x (n) s l i i = + Γlsi C(j) C(m) Ci − C(j) A(j) ∂xs ∂x(m) ∂x(m) [ ] (n) ∂C ∂A(n) (n) s l s i i = + Γlsi C(j) C(m) Ci − C(m) C(j) A(j) ∂xs ∂x(m) 张 = ∂A(n) (n) + Γ(m)(j) A(j) . (m) ∂x (i) 对仿射量 Φ = Φi· j g i ⊗ g j = Φ · (j) g (i) ⊗ g (j) , 可有 (n) (m) i Φi· j = C(m) Cj Φ · (n) . 考虑到 ∂Φi· j i k + Γlk Φ · j − Γljk Φi· k l ∂x ( ) (n) (m) (n) (m) (n) (m) (r) ∂ i i k i C(m) Cj Φ · (n) + Γlk C(m) Cj Φ · (n) − Γljk C(m) Ck Φ · (n) = Cl (r) ∂x (n) (m) i ∂C(m) ∂Cj (r) i (n) ∂Φ · (n) (r) (n) (m) (r) i (m) = Cl C(m) Cj + Cl Cj Φ · (n) + Cl C(m) (r) Φ · (n) (r) (r) ∂x ∂x ∂x (n) (m) (n) (m) i k k i + Γlk C(m) Cj Φ · (n) − Γlj C(m) Ck Φ · (n) , ∇l Φi· j = 5 ] 非完整基理论及应用 谢锡麟 所以, 有 (p) (p) j l ∇(s) Φ · (q) = C(s) Ci C(q) ∇l Φi· j [ (p) j l = C(s) Ci C(q) (m) i ∂C(m) (r) i (n) ∂Φ · (n) (r) (n) (m) Cl C(m) Cj + Cl Cj Φ · (n) (r) (r) ∂x ∂x 麟 ] (n) ∂Cj (r) i (m) (n) (m) (n) (m) i k i + Cl C(m) (r) Φ · (n) + Γlk C(m) Cj Φ · (n) − Γljk C(m) Ck Φ · (n) ∂x = (p) + Ci (n) (m) (p) (p) (m) j ∂Cj i k l Φ · (q) + C(q) (s) Φ · (n) + Γlk C(m) C(s) Ci Φ · (q) (s) i ∂C(m) 谢 锡 (p) ∂Φ · (q) 析 讲 稿 ∂x(s) ∂x ∂x (n) (p) j k l − Γlj C(s) C(q) Ck Φ · (n) [ ] (p) i ∂C(m) ∂Φ · (q) (p) (p) (m) i k l = + Γlk C(m) C(s) Ci + Ci Φ · (q) (s) (s) ∂x ∂x [ ] (n) (p) (n) j j ∂Cj k l − Γlj C(s) C(q) Ck − C(q) (s) Φ · (n) ∂x ] [ (p) (p) ( ) ∂Φ · (q) ∂C ∂ (m) (p) (p) i k l i i i = Φ · (q) + Γlk C(m) C(s) Ci + (s) Ci C(m) − C(m) (s) (s) ∂x ∂x ∂x [ ] (n) (n) (p) j ∂Cj j l k l − Γlj C(s) C(q) Ck − C(s) C(q) Φ · (n) l ∂x [ ] (p) (p) ∂Φ · (q) ∂C (p) (m) i l k l k k = + Γlk C(s) C(m) Ci − C(s) C(m) Φ · (q) l (s) ∂x ∂x [ (n) ] (n) (p) j j ∂Cj k l l − Γlj C(s) C(q) Ck − C(s) C(q) Φ · (n) l ∂x 量 分 (p) = ∂Φ · (q) ∂x(s) (p) (m) + Γ(s)(m) Φ · (n) (p) (q) − Γ(s)(q) Φ · (n) . 由此便对向量和仿射量的情形进行了验证. 对于更高阶的张量, 可以用类似的步骤进行. 张 4 从完整的正交系到非完整的单位正交系 在实际应用非完整基理论时, 完整基常为完整的正交基, 亦即 (g i , g j )R3 = 0, 当 i ̸= j, 且非 完整基构造为原完整正交基的单位化, 即 g =: C j g , (i) (i) j g (i) =: C (i) g j , j 式中 1 √ , j gii C(i) , 0, 当 i = j, 当 i ̸= j, 1 √ √ = gii , (i) g ii Cj , 0, 当 i = j, 当 i ̸= j. ( ) 上式中对 i 不求和. 由此非完整基为单位正交基, 亦即有 g (i) , g (j) 3 = δij . R 6 非完整基理论及应用 谢锡麟 定理 4.1 (单位正交基中 Christoffel 符号À ). (l) 谢 锡 证明 首先, 计算完整正交系下第二类 Christoffel 符号： ( ) ∂gqr ∂gpq 1 1 ∂gpr r rs rr Γpq = g Γpq,s = g Γpq,r = + − , grr 2 ∂xq ∂xp ∂xr 麟 Γ(p)(q) = g (l)(k) Γ(p)(q),(k) =: Γ ⟨pql⟩ √ 1 ∂ ln gpp Γ ⟨pqp⟩ = −Γ ⟨ppq⟩ = √ , 当 l = p ̸= q, gqq ∂xq = 0, 其他情况. 分以下几种情况进行讨论: r = 0; 1. p ̸= q ̸= r, 此时 Γpq 讲 稿 2. p = q ̸= r 或者 p = r ̸= q 或者 q = r ̸= p 时, 有 ( ) 1 1 ∂gpp 1 1 1 ∂gpp r Γpp,r = − Γpp = (x) = − (x), r grr grr 2 ∂x 2 grr ∂xr √ ∂ ln gpp 1 1 1 ∂gpp 1 1 ∂gpp p p Γqp = Γpq = Γpq,p = (x) = (x) = (x); gpp gpp 2 ∂xq 2 gpp ∂xq ∂xq 3. p = q = r 时, 有 √ ∂ ln gpp 1 1 1 ∂gpp Γpp,p = (x) = (x). gpp 2 gpp ∂xp ∂xp 析 p Γpp = 然后, 计算对应的非完整单位正交系下的第二类 Christoffel 符号 (在处理中仍先保留协变与逆变 量 分 之间的区别): (r) 张 1. p ̸= q ̸= r 时, 有 Γ(p)(q) = 0; 2. p = q ̸= r 或者 p = r ̸= q 或者 q = r ̸= p 时, 有 ( ) √ grr 1 √ 1 1 ∂gpp (r) r Γ(p)(p) = grr Γpp = − gpp gpp 2 grr ∂xr 1 1 1 ∂gpp 1 ∂ √ =− √ (x) = − ln gpp √ r r 2 grr gpp ∂x grr ∂x √ = −∂(r) ln gpp , ( ) 1 1 1 1 ∂gpp (p) p Γ(p)(q) = √ Γpq = √ (x) gqq gpp 2 gpp ∂xq √ 1 ∂ ln gpp √ (x) = ∂(q) ln gpp , =√ q gqq ∂x √ 1 1 1 ∂ gqq (q) q Γ(p)(q) = √ Γpq − √ √ gpp gpp gqq ∂xp √ √ 1 ∂ ln gqq 1 ∂ ln gqq =√ (x) − √ (x) = 0; gpp ∂xp gpp ∂xp À 在单位正交系中, 协变基与逆变基重合, 藉此张量的协变和逆变分量亦无差别. 7 非完整基理论及应用 谢锡麟 3. p = q = r 时, 有 √ √ √ 1 ∂ ln gpp 1 ∂ ln gpp =√ −√ (x) = 0. gpp ∂xp gpp ∂xp 综上, 有 √ gpp = Γ(p)(q),(p) , √ (q) Γ(p)(p) = −∂(q) ln gpp = Γ(p)(p),(q) . (p) 谢 锡 Γ(p)(q) = ∂(q) ln 麟 1 1 ∂ gpp (p) p Γ(p)(p) = √ Γpp − (x) gpp gpp ∂xp 按郭仲衡《张量 (理论和应用)》中的记号, 将上式中的 Christoffel 符号记作 (r) Γ(p)(q) = Γ(p)(q),(r) = Γ ⟨pqr⟩. (p) ∇(s) Φ · (q)(r) = ∇⟨s⟩ Φ⟨pqr⟩ 稿 定理 4.2 (单位正交基中张量分量协变导数). 以三阶张量为例, 有 讲 1 ∂ =√ Φ⟨pqr⟩ + Γ ⟨skp⟩Φ⟨kqr⟩ + Γ ⟨skq⟩Φ⟨pkr⟩ + Γ ⟨skr⟩Φ⟨pqk⟩. gss ∂xs 按上所述, 可将在完整基下定义的场论微分运算在非完整基下表示, 现以 Φ = Φi· j g i ⊗ g j ∈ T (R3 ) 为例, 则可有 析 ∇ · Φ , ∇p Φp·j g j = ∇⟨p⟩ Φ⟨pj⟩ g⟨j⟩, Φ · ∇ , ∇j Φij g i = ∇⟨j⟩ Φ⟨ij⟩ g⟨i⟩, 量 分 ∇ ⊗ Φ , ∇p Φi·j g p ⊗ g i ⊗ g j = ∇⟨p⟩ Φ⟨ij⟩g⟨p⟩ ⊗ g⟨i⟩ ⊗ g⟨j⟩, Φ ⊗ ∇ , ∇p Φi·j g i ⊗ g j ⊗ g p = ∇⟨p⟩ Φ⟨ij⟩g⟨i⟩ ⊗ g⟨j⟩ ⊗ g⟨p⟩, ∇ × Φ , εpij ∇i Φ·k j g p ⊗ g k = ε⟨pij⟩∇⟨i⟩ Φ⟨jk⟩g⟨p⟩ ⊗ g⟨k⟩, Φ × ∇ , εpij ∇i Φ·k j g k ⊗ g p = ε⟨pij⟩∇⟨i⟩ Φ⟨jk⟩g⟨k⟩ ⊗ g⟨p⟩. 张 进一步, 可获得张量分量的具体表达式. 5 应用事例 5.1 弹性力学中的应用事例 5.1.1 基本方程 应变可以表示为 1 E , (u ⊗ ∇ + ∇ ⊗ u) ∈ T 2 (R3 ). 2 其在单位正交基下的分量方程为 1 E = (∇⟨j⟩u⟨i⟩ + ∇⟨i⟩u⟨j⟩)e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩, 2 8 非完整基理论及应用 谢锡麟 以 E⟨12⟩ 分量为例, 有 应变协调方程可以表示为 谢 锡 ∇ × E × ∇ = 0 ∈ T 2 (R3 ). 麟 1 E⟨12⟩ = (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨2s1⟩u⟨s⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ ⟨1s2⟩u⟨s⟩) 2 1 = (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨221⟩u⟨2⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ ⟨112⟩u⟨1⟩). 2 上式左端在一般曲线坐标系中可以表示为 ∇ × E × ∇ = ∇k ∇l Eij εlip εjkq g p ⊗ g q = ε⟨lip⟩ε⟨jkq⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩e⟨p⟩ ⊗ e⟨q⟩, 由此可得单位正交基下的分量方程 稿 ε⟨lip⟩ε⟨jkq⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩ = 0. ∇ × E × ∇ 对 e⟨1⟩ ⊗ e⟨2⟩ 的分量, 可计算如下： 讲 ε⟨li1⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨l⟩E⟨ij⟩ = ε⟨231⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨2⟩E⟨3j⟩ + ε⟨321⟩ε⟨jk2⟩∇⟨k⟩∇⟨3⟩E⟨2j⟩ = ε⟨231⟩(ε⟨132⟩∇⟨3⟩∇⟨2⟩E⟨31⟩ + ε⟨312⟩∇⟨1⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩) 析 + ε⟨321⟩(ε⟨132⟩∇⟨3⟩∇⟨3⟩E⟨21⟩ + ε⟨312⟩∇⟨1⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩) = −∇⟨3⟩∇⟨2⟩E⟨31⟩ + ∇⟨1⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩ + ∇⟨3⟩∇⟨3⟩E⟨21⟩ − ∇⟨1⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩. 量 分 Michell 应力协调方程可以表示为 ∆T + 1 ν ∇ ⊗ (∇Θ) + (∇ · f )I + (f ⊗ ∇ + ∇ ⊗ f ) = 0 ∈ T 2 (R3 ), 1+ν 1−ν 式中 Θ := trT . 其 e⟨i⟩ ⊗ e⟨j⟩ 分量为 张 ∇⟨p⟩∇⟨p⟩T ⟨ij⟩ + 1 ν ∇⟨i⟩∇⟨j⟩T ⟨pp⟩ + ∇⟨p⟩f ⟨p⟩δ⟨ij⟩ 1+ν 1−ν + (∇⟨j⟩f ⟨i⟩ + ∇⟨i⟩f ⟨j⟩) = 0. Navier 方程可以表示为 ∆u + 1 1 ∇(∇ · u) + f = 0 ∈ R3 , 1 − 2ν ν 其对应于 e⟨j⟩ 分量方程为 ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩ + 1 1 ∇⟨j⟩∇⟨i⟩u⟨i⟩ + f ⟨j⟩ = 0. 1 − 2ν ν 9 非完整基理论及应用 5.1.2 谢锡麟 球坐标系 基本几何量 球坐标系具有向量值映照表示 麟 r r sin θ cos ϕ 3 X(x) : R3 ⊃ Dx ∋ x = θ 7→ X(x) = r sin θ sin ϕ ∈ R , ϕ r cos θ 谢 锡 其 Jacobi 矩阵可以表示为 sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ ) ( DX(x) = = gr gθ gϕ . sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ −r sin θ 0 故度量张量协变分量的矩阵可确定如下: 稿 ( ) gij (x) = (DX)T (DX)(x) (g , g ) 3 (g r , g θ )R3 r r R = (g θ , g r )R3 (g θ , g θ )R3 (g ϕ , g r )R3 (g ϕ , g θ )R3 讲 (g r , g ϕ )R3 析 即有 1 0 2 (g θ , g ϕ )R3 = 0 r (g ϕ , g ϕ )R3 1 0 ) ( √ gij = 0 r 0 0 0 0 (r sin θ)2 0 0 , 量 分 0 0 r sin θ 其单位正交基中 Christoffel 符号非零的有： 1 ∂ ln r 1 = , 1 ∂r r 1 1 1 ∂ ln(r sin θ) = sin θ = , Γ ⟨313⟩ = −Γ ⟨331⟩ = 1 ∂r r sin θ r 1 ∂ ln(r sin θ) 1 1 1 Γ ⟨323⟩ = −Γ ⟨332⟩ = = r cos θ = cot θ. r ∂θ r r sin θ r 张 Γ ⟨212⟩ = −Γ ⟨221⟩ = 几何方程 对于球坐标系, 应变的 E⟨12⟩ 分量为 1 E⟨12⟩ = (∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨221⟩u⟨2⟩ + ∂⟨1⟩u⟨2⟩ + Γ ⟨112⟩u⟨1⟩) 2( ) 1 1 ∂ur 1 ∂uθ = − uθ + . 2 r ∂θ r ∂r 应变协调方程 10 , 非完整基理论及应用 谢锡麟 ∇⟨3⟩∇⟨2⟩E⟨31⟩ = ∂⟨3⟩(∇⟨2⟩E⟨31⟩) + Γ ⟨3s2⟩∇⟨s⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨3s3⟩∇⟨2⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨3s1⟩∇⟨2⟩E⟨3s⟩ + Γ ⟨323⟩∇⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨313⟩∇⟨2⟩E⟨11⟩ + Γ ⟨331⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩ 麟 = ∂⟨3⟩(∂⟨2⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨2s3⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨2s1⟩E⟨3s⟩) + Γ ⟨332⟩∇⟨3⟩E⟨31⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨2⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨221⟩E⟨32⟩) + Γ ⟨332⟩(∂⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨3s3⟩E⟨s1⟩ 谢 锡 + Γ ⟨3s1⟩E⟨3s⟩) + Γ ⟨323⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨2s2⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨2s1⟩E⟨2s⟩) + Γ ⟨313⟩(∂⟨2⟩E⟨11⟩ + Γ ⟨2s1⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨2s1⟩E⟨1s⟩) + Γ ⟨331⟩(∂⟨2⟩E⟨33⟩ + Γ ⟨2s3⟩E⟨s3⟩ + Γ ⟨2s3⟩E⟨3s⟩) = ∂⟨3⟩(∂⟨2⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨221⟩E⟨32⟩) + Γ ⟨332⟩(∂⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨313⟩E⟨11⟩ + Γ ⟨323⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨331⟩E⟨33⟩) + Γ ⟨323⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨212⟩E⟨11⟩ + Γ ⟨221⟩E⟨22⟩) + Γ ⟨313⟩(∂⟨2⟩E⟨11⟩ + Γ ⟨221⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨221⟩E⟨12⟩) 析 ∇⟨1⟩∇⟨2⟩E⟨33⟩ 讲 稿 + Γ ⟨331⟩(∂⟨2⟩E⟨33⟩) ) ( ( cot θ ∂ 1 ∂ 1 1 ∂ 1 cot θ 1 Eϕr − Eϕθ − Eϕr + Err + Eθr = r sin θ ∂ϕ r ∂θ r r r sin θ ∂ϕ r r ) ) ) ( ( 1 1 1 1 ∂ 1 ∂ 1 1 1 1 − Eϕϕ + cot θ Eθr + Err − Eθθ + Err − Eθr − Erθ r r r ∂θ r r r r ∂θ r r ) ( 1 1 ∂ − Eϕϕ ; r r ∂θ = ∂⟨1⟩(∇⟨2⟩E⟨33⟩) + Γ ⟨1s2⟩∇⟨s⟩E⟨33⟩ + Γ ⟨1s3⟩∇⟨2⟩E⟨s3⟩ + Γ ⟨1s3⟩∇⟨2⟩E⟨3s⟩ 量 分 = ∂⟨1⟩(∂⟨2⟩E⟨33⟩ + Γ ⟨2s3⟩E⟨s3⟩ + Γ ⟨2s3⟩E⟨3s⟩) = ∂⟨1⟩∂⟨2⟩E⟨33⟩ ) ( ∂ 1 ∂ = Eϕϕ ; ∂r r ∂θ ∇⟨3⟩∇⟨3⟩E⟨21⟩ = ∂⟨3⟩(∇⟨3⟩E⟨21⟩) + Γ ⟨3s3⟩∇⟨s⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨3s2⟩∇⟨3⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨3s1⟩∇⟨3⟩E⟨2s⟩ 张 = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨3s2⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨3s1⟩E⟨2s⟩) + Γ ⟨313⟩(∇⟨1⟩E⟨21⟩) + Γ ⟨323⟩∇⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨332⟩∇⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨331⟩∇⟨3⟩E⟨23⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨332⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨331⟩E⟨23⟩) + Γ ⟨313⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨2s2⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨2s1⟩E⟨2s⟩) + Γ ⟨323⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨2s2⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨2s1⟩E⟨2s⟩) + Γ ⟨332⟩(∂⟨3⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨3s3⟩E⟨s1⟩ + Γ ⟨3s1⟩E⟨3s⟩) + Γ ⟨331⟩(∂⟨3⟩E⟨23⟩ + Γ ⟨3s2⟩E⟨s3⟩ + Γ ⟨3s3⟩E⟨2s⟩) = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨332⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨331⟩E⟨23⟩) + Γ ⟨313⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩) + Γ ⟨323⟩(∂⟨2⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨212⟩E⟨11⟩ + Γ ⟨221⟩E⟨22⟩) + Γ ⟨332⟩(∂⟨3⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨332⟩E⟨31⟩ + Γ ⟨331⟩E⟨21⟩) + Γ ⟨331⟩(∂⟨3⟩E⟨23⟩ + Γ ⟨332⟩E⟨33⟩ + Γ ⟨313⟩E⟨21⟩ + Γ ⟨323⟩E⟨22⟩) ( ) ( ) ∂ 1 ∂ cot θ 1 1 1 ∂ 1 Eθr − Eϕr11 − Eθϕ + Eθr = r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ r r r r ∂θ ( ) 非完整基理论及应用 谢锡麟 Michell 应力协调方程 对于球坐标, 则有 ∇⟨1⟩∇⟨1⟩T ⟨12⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩T ⟨12⟩) = 麟 = ∂⟨1⟩(∇⟨1⟩T ⟨12⟩) + Γ ⟨1s1⟩∇⟨s⟩T ⟨12⟩ + Γ ⟨1s1⟩∇⟨1⟩T ⟨s2⟩ + Γ ⟨1s2⟩∇⟨1⟩T ⟨1s⟩) ∂2 Trθ ; ∂r2 谢 锡 ∇⟨2⟩∇⟨2⟩T ⟨12⟩ = ∂⟨2⟩(∇⟨2⟩T ⟨12⟩) + Γ ⟨2s2⟩∇⟨s⟩T ⟨12⟩ + Γ ⟨2s1⟩∇⟨2⟩T ⟨s2⟩ + Γ ⟨2s2⟩∇⟨2⟩T ⟨1s⟩) = ∂⟨2⟩(∂⟨2⟩T ⟨12⟩ + Γ ⟨212⟩T ⟨11⟩ + Γ ⟨221⟩T ⟨22⟩) + Γ ⟨212⟩(∂⟨1⟩T ⟨12⟩) + Γ ⟨221⟩(∂⟨2⟩T ⟨22⟩ + Γ ⟨212⟩T ⟨12⟩ + Γ ⟨212⟩T ⟨21⟩) + Γ ⟨212⟩(∂⟨2⟩T ⟨11⟩ 稿 + Γ ⟨221⟩T ⟨21⟩ + Γ ⟨221⟩T ⟨12⟩) ) ) ) ( ( ( 1 ∂ 1 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 1 1 1 = Trθ + Trr − Tθθ + Trθ − Tθθ + Trθ + Tθr r ∂θ r ∂θ r r r ∂r r r ∂θ r r ) ( 1 1 ∂ 1 1 + Trr − Tθr − Trθ ; r r ∂θ r r 讲 ∇⟨3⟩∇⟨3⟩T ⟨12⟩ = ∂⟨3⟩(∇⟨3⟩T ⟨12⟩) + Γ ⟨3s3⟩∇⟨s⟩T ⟨12⟩ + Γ ⟨3s1⟩∇⟨3⟩T ⟨s2⟩ + Γ ⟨3s2⟩∇⟨3⟩T ⟨1s⟩) = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩T ⟨12⟩ + Γ ⟨331⟩T ⟨32⟩ + Γ ⟨332⟩T ⟨13⟩) + Γ ⟨313⟩(∂⟨1⟩T ⟨12⟩) 析 + Γ ⟨323⟩(∂⟨2⟩T ⟨12⟩ + Γ ⟨221⟩T ⟨22⟩ + Γ ⟨212⟩T ⟨11⟩) + Γ ⟨331⟩(∂⟨3⟩T ⟨32⟩ + Γ ⟨313⟩T ⟨12⟩ + Γ ⟨323⟩T ⟨22⟩ + Γ ⟨332⟩T ⟨33⟩) 张 量 分 + Γ ⟨332⟩(∂⟨3⟩T ⟨13⟩ + Γ ⟨331⟩T ⟨33⟩ + Γ ⟨313⟩T ⟨11⟩ + Γ ⟨323⟩T ⟨12⟩) ) ) ( ( 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 cot θ = Trθ − Tϕθ − Trϕ + Trθ r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ r r r ∂r ( ) cot θ 1 ∂ 1 1 + Trθ − Tθθ + Trr r r ∂θ r r ( ) 1 1 ∂ 1 cot θ cot θ − Tϕθ + Trθ + Tθθ − Tϕϕ r r sin θ ∂ϕ r r r ( ) cot θ 1 ∂ 1 1 cot θ − Trϕ − Tϕϕ + Trr + Trθ . r r sin θ ∂ϕ r r r Navier 方程 先处理 Laplace 项 ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩: ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩ = ∂⟨i⟩(∂⟨i⟩u⟨j⟩ + Γ ⟨isj⟩u⟨s⟩) + Γ ⟨isi⟩(∂⟨s⟩u⟨j⟩ + Γ ⟨isj⟩u⟨s⟩) + Γ ⟨isj⟩(∂⟨i⟩u⟨s⟩ + Γ ⟨its⟩u⟨t⟩). 将哑标 i 展开: ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨j⟩ = ∇⟨1⟩∇⟨1⟩u⟨j⟩ + ∇⟨2⟩∇⟨2⟩u⟨j⟩ + ∇⟨3⟩∇⟨3⟩u⟨j⟩. 12 非完整基理论及应用 谢锡麟 以 e⟨1⟩ 分量为例: ∇⟨1⟩∇⟨1⟩u⟨1⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨1s1⟩u⟨s⟩) + Γ ⟨1s1⟩∇⟨s⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨1s1⟩∇⟨1⟩u⟨s⟩ ∂ 2 ur ; ∂r2 ∇⟨2⟩∇⟨2⟩u⟨1⟩ = ∂⟨2⟩(∇⟨2⟩u⟨1⟩) + Γ ⟨2s2⟩∇⟨s⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨2s1⟩∇⟨2⟩u⟨s⟩ = 麟 = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩) 谢 锡 = ∂⟨2⟩(∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨2s1⟩u⟨s⟩) + Γ ⟨212⟩∇⟨1⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨221⟩∇⟨2⟩u⟨2⟩ = ∂⟨2⟩(∂⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨221⟩u⟨2⟩) + Γ ⟨212⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩) + Γ ⟨221⟩(∂⟨2⟩u⟨2⟩ + Γ ⟨212⟩u⟨1⟩) ( ( ) ( ) ) 1 1 ∂uθ 1 ∂ 1 ∂ur 1 1 ∂ur 1 = − uθ + − + ur ; r ∂θ r ∂θ r r ∂r r r ∂θ r ∇⟨3⟩∇⟨3⟩u⟨1⟩ = ∂⟨3⟩(∇⟨3⟩u⟨1⟩) + Γ ⟨3s3⟩∇⟨s⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨3s1⟩∇⟨3⟩u⟨s⟩ 稿 = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨3s1⟩u⟨s⟩) + Γ ⟨313⟩∇⟨1⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨323⟩∇⟨2⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨331⟩∇⟨3⟩u⟨3⟩ = ∂⟨3⟩(∂⟨3⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨331⟩u⟨3⟩) + Γ ⟨313⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩) + Γ ⟨323⟩(∂⟨2⟩u⟨1⟩ 综上, 整理可有 析 讲 + Γ ⟨221⟩u⟨2⟩) + Γ ⟨331⟩(∂⟨3⟩u⟨3⟩ + Γ ⟨313⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨323⟩u⟨2⟩) ) ) ( ( ) ( 1 ∂ur ∂ 1 ∂ur 1 cot θ 1 ∂ur 1 1 − uϕ + + − uθ = r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ r r ∂r r r ∂θ r ) ( 1 1 ∂uϕ 1 cot θ − + ur + uθ . r r sin θ ∂ϕ r r 张 量 分 ( ) ( ) 1 ∂ 1 ∂ ∂ur 1 ∂ 2 ur 2 ∂ur ∇⟨i⟩∇⟨i⟩u⟨1⟩ = 2 r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2 ] [ 2 1 ∂ 1 ∂uϕ − 2 ur + (sin θuθ ) + . r sin θ ∂θ sin θ ∂ϕ 13 非完整基理论及应用 谢锡麟 以下处理 ∇⟨1⟩∇⟨i⟩u⟨i⟩, 有 ∇⟨1⟩∇⟨1⟩u⟨1⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨1s1⟩u⟨s⟩) + Γ ⟨1s1⟩∇⟨s⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨1s1⟩∇⟨1⟩u⟨s⟩ ∂ 2 ur ; ∂r2 ∇⟨1⟩∇⟨2⟩u⟨2⟩ = ∂⟨1⟩(∇⟨2⟩u⟨2⟩) + Γ ⟨1s2⟩∇⟨s⟩u⟨2⟩ + Γ ⟨1s2⟩∇⟨2⟩u⟨s⟩ = = ∂⟨1⟩∂⟨2⟩u⟨2⟩ + Γ ⟨212⟩u⟨1⟩ ( ) ∂ 1 ∂uθ 1 = + ur ; ∂r r ∂θ r 谢 锡 = ∂⟨1⟩(∂⟨2⟩u⟨2⟩ + Γ ⟨2s2⟩u⟨s⟩) 麟 = ∂⟨1⟩(∂⟨1⟩u⟨1⟩) ∇⟨1⟩∇⟨3⟩u⟨3⟩ = ∂⟨1⟩(∇⟨3⟩u⟨3⟩) + Γ ⟨1s3⟩∇⟨s⟩u⟨3⟩ + Γ ⟨1s3⟩∇⟨3⟩u⟨s⟩ = ∂⟨1⟩(∂⟨3⟩u⟨3⟩ + Γ ⟨3s3⟩u⟨s⟩) 稿 = ∂⟨1⟩∂⟨3⟩u⟨3⟩ + Γ ⟨313⟩u⟨1⟩ + Γ ⟨323⟩u⟨2⟩ ) ( 1 ∂uϕ 1 cot θ ∂ + ur + uθ . = ∂r r sin θ ∂ϕ r r 综上, 有 ( 讲 ∂ 2 ur ∂ ∇⟨1⟩∇⟨i⟩u⟨i⟩ = + 2 ∂r ∂r 1 ∂uθ 1 + ur r ∂θ r ) ∂ + ∂r ( ) 1 ∂uϕ 1 cot θ + ur + uθ . r sin θ ∂ϕ r r 量 分 析 由此, Navier 方程对应于 er 分量的方程为 ( ) ( ) [ 1 ∂ 1 ∂ ∂ur 1 ∂ 2 ur 2 1 ∂ 2 ∂ur r + 2 sin θ + 2 2 − 2 ur + (sin θuθ ) 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ ] [ 2 ( ) ( 1 ∂uϕ 1 ∂ ur 1 ∂ 1 ∂uϕ 1 ∂ 1 ∂uθ + + + ur + + ur + 2 sin θ ∂ϕ 1 − 2ν ∂r ∂r r ∂θ r ∂r r sin θ ∂ϕ r )] 1 cot θ + fr = 0. + uθ r ν 流体力学中的应用事例 5.2.1 基本方程 张 5.2 不可压黏性 Newton 流体, 具有如下本构关系及守恒律微分方程 1. Newton 流体本构关系 t = −pI + 2µD = −pI + µ(V ⊗ ∇ + ∇ ⊗ V ) ∈ T 2 (R3 ). 2. 连续性方程 ∇ · V = 0. 3. 动量方程 (Navier-Stokes 方程) ∂V 1 1 (x, t) + V · (∇ ⊗ V ) = − ∇p + ∆V ∈ R3 . ∂t ρ Re 14 非完整基理论及应用 5.2.2 谢锡麟 球坐标系 速度旋度 ω , ∇ × V = ε⟨ijk⟩∇⟨i⟩V ⟨j⟩, 其分量分别为 麟 定义 谢 锡 ω⟨1⟩ = ε⟨231⟩∇⟨2⟩V ⟨3⟩ + ε⟨321⟩∇⟨3⟩V ⟨2⟩ = ∇⟨2⟩V ⟨3⟩ − ∇⟨3⟩V ⟨2⟩ = ∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨2s3⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨3⟩V ⟨2⟩ − Γ ⟨3s2⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + 0 − ∂⟨3⟩V ⟨2⟩ − Γ ⟨332⟩V ⟨3⟩ = 1 ∂Vϕ 1 ∂Vθ cot θ − + Vϕ ; r ∂θ r sin θ ∂ϕ r ω⟨2⟩ = ε⟨312⟩∇⟨3⟩V ⟨1⟩ + ε⟨132⟩∇⟨1⟩V ⟨3⟩ = ∇⟨3⟩V ⟨1⟩ − ∇⟨1⟩V ⟨3⟩ 稿 = ∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨3s1⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨1⟩V ⟨3⟩ − Γ ⟨1s3⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨331⟩V ⟨3⟩ − ∂⟨1⟩V ⟨3⟩ − 0 ∂Vϕ 1 1 ∂Vr − Vϕ − ; r sin θ ∂ϕ r ∂r 讲 = ω⟨3⟩ = ε⟨123⟩∇⟨1⟩V ⟨2⟩ + ε⟨213⟩∇⟨2⟩V ⟨1⟩ = ∇⟨1⟩V ⟨2⟩ − ∇⟨2⟩V ⟨1⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨1s2⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨2⟩V ⟨1⟩ − Γ ⟨2s1⟩V ⟨s⟩ 析 = ∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + 0 − ∂⟨2⟩V ⟨1⟩ − Γ ⟨221⟩V ⟨2⟩ = 量 分 速度散度 1 ∂Vr 1 ∂Vθ + + Vθ . ∂r r ∂θ r 速度散度可以计算如下: ∇ · V = ∇⟨i⟩V ⟨i⟩ = ∇⟨1⟩V ⟨1⟩ + ∇⟨2⟩V ⟨2⟩ + ∇⟨3⟩V ⟨3⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨1s1⟩V ⟨s⟩ + ∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨2s2⟩V ⟨s⟩∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨3s3⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + ∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨212⟩V ⟨1⟩ + ∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨313⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨323⟩V ⟨2⟩ ∂Vr 1 ∂Vθ Vr 1 ∂Vϕ Vr cot θ + + + + + Vθ ∂r r ∂θ r r sin θ ∂ϕ r r 1 ∂ 1 ∂Vϕ 1 ∂ ( 2 ) r Vr + (sin θVθ ) + . = 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 张 = 对流项 在球坐标系下处理对流项： V · ∇ ⊗ V = V ⟨i⟩∇⟨i⟩V ⟨j⟩. 15 非完整基理论及应用 谢锡麟 1. 处理 j = 1: V ⟨1⟩∇⟨1⟩V ⟨1⟩ + V ⟨2⟩∇⟨2⟩V ⟨1⟩ + V ⟨3⟩∇⟨3⟩V ⟨1⟩ = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨1s1⟩V ⟨s⟩) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨2s1⟩V ⟨s⟩) = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + 0) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨221⟩V ⟨2⟩) 谢 锡 + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨331⟩V ⟨s⟩) ( ) ( ) ∂Vr 1 ∂Vr 1 1 ∂Vr 1 = Vr + Vθ − Vθ + Vϕ − Vϕ ∂r r ∂θ r r sin θ ∂ϕ r ) Vϕ ∂Vr ∂Vr Vθ ∂Vr 1( 2 + + − Vθ + Vϕ2 . = Vr ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r 麟 + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨3s1⟩V ⟨s⟩) 2. 处理 j = 2: V ⟨1⟩∇⟨1⟩V ⟨2⟩ + V ⟨2⟩∇⟨2⟩V ⟨2⟩ + V ⟨3⟩∇⟨3⟩V ⟨2⟩ 稿 = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨1s2⟩V ⟨s⟩) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨2s2⟩V ⟨s⟩) + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨3s2⟩V ⟨s⟩) = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + 0) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨212⟩V ⟨1⟩) 3. 处理 j = 3: 析 讲 + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨332⟩V ⟨3⟩) ( ( ) ) 1 ∂Vθ 1 ∂Vθ 1 cot θ ∂Vθ + Vθ + Vr + Vϕ − Vϕ = Vr ∂r r ∂θ r r sin θ ∂ϕ r Vϕ2 cot θ Vϕ ∂Vθ ∂Vθ Vθ ∂Vθ Vr Vθ = Vr + + + − . ∂r r ∂θ r r sin θ ∂ϕ r 量 分 V ⟨1⟩∇⟨1⟩V ⟨3⟩ + V ⟨2⟩∇⟨2⟩V ⟨3⟩ + V ⟨3⟩∇⟨3⟩V ⟨3⟩ = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨1s3⟩V ⟨s⟩) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨2s3⟩V ⟨s⟩) + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨3s3⟩V ⟨s⟩) 张 = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨3⟩ + 0) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + 0) + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨313⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨323⟩V ⟨2⟩) ( ) ∂Vϕ 1 ∂Vϕ 1 ∂Vϕ 1 1 + Vθ + Vϕ + Vr + cot θVθ = Vr ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r r ∂Vϕ Vθ ∂Vϕ Vϕ ∂Vϕ Vϕ Vr Vθ Vϕ cot θ = Vr + + + + . ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r r 5.2.3 抛物线柱坐标系 基本几何量 抛物线柱坐标系具有向量值映照表示: 1 (ξ 2 − η 2 ) ξ 2 7→ X(x) = ∈ R3 , X(x) : R3 ⊃ Dx ∋ x = η ξη z z 16 非完整基理论及应用 其 Jacobi 矩阵可以表示为 谢锡麟 ξ η 0 , DX(x) = −η ξ 0 0 0 1 麟 故度量张量协变分量的矩阵可确定如下: 谢 锡 ( ) gij (x) = (DX)T (DX)(x) ξ η 0 ξ −η 0 ξ2 + η2 0 0 2 + η 2 0 , η ξ 0 = 0 = −η ξ 0 ξ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 即有 其单位正交基中 Christoffel 符号非零的有 稿 √ 2 + η2 ξ 0 0 ) ( √ √ 2 + η 2 0 . gij = ξ 0 0 0 1 ∂ ln √ ξ2 + η2 ξ = 3 , ∂ξ ξ2 + η2 (ξ 2 + η 2 ) 2 √ 1 η ∂ ln ξ 2 + η 2 Γ ⟨121⟩ = −Γ ⟨112⟩ = √ = 3 . 2 2 ∂η ξ +η (ξ 2 + η 2 ) 2 讲 1 析 Γ ⟨212⟩ = −Γ ⟨221⟩ = √ 速度旋度 量 分 ω⟨1⟩ = ε⟨231⟩∇⟨2⟩V ⟨3⟩ + ε⟨321⟩∇⟨3⟩V ⟨2⟩ = ∇⟨2⟩V ⟨3⟩ − ∇⟨3⟩V ⟨2⟩ = ∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨2s3⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨3⟩V ⟨2⟩ − Γ ⟨3s2⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + 0 − ∂⟨3⟩V ⟨2⟩ − 0 =√ ∂Vη ∂Vz − ; ∂z ξ 2 + η 2 ∂η 1 张 ω⟨2⟩ = ε⟨312⟩∇⟨3⟩V ⟨1⟩ + ε⟨132⟩∇⟨1⟩V ⟨3⟩ = ∇⟨3⟩V ⟨1⟩ − ∇⟨1⟩V ⟨3⟩ = ∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨3s1⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨1⟩V ⟨3⟩ − Γ ⟨1s3⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + 0 − ∂⟨1⟩V ⟨3⟩ − 0 = ∂Vξ 1 ∂Vz −√ ; 2 2 ∂z ξ + η ∂ξ ω⟨3⟩ = ε⟨123⟩∇⟨1⟩V ⟨2⟩ + ε⟨213⟩∇⟨2⟩V ⟨1⟩ = ∇⟨1⟩V ⟨2⟩ − ∇⟨2⟩V ⟨1⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨1s2⟩V ⟨s⟩ − ∂⟨2⟩V ⟨1⟩ − Γ ⟨2s1⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨112⟩V ⟨1⟩ − ∂⟨2⟩V ⟨1⟩ − Γ ⟨221⟩V ⟨2⟩ =√ ∂Vξ ∂Vη η 1 ξ − + 3 Vξ − √ 3 Vη . ξ 2 + η 2 ∂ξ ξ 2 + η 2 ∂η (ξ 2 + η 2 ) 2 (ξ 2 + η 2 ) 2 1 17 非完整基理论及应用 谢锡麟 速度散度 ∇ · V = ∇⟨i⟩V ⟨i⟩ = ∇⟨1⟩V ⟨1⟩ + ∇⟨2⟩V ⟨2⟩ + ∇⟨3⟩V ⟨3⟩ 麟 = ∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨1s1⟩V ⟨s⟩ + ∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨2s2⟩V ⟨s⟩ + ∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨3s3⟩V ⟨s⟩ = ∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨121⟩V ⟨2⟩ + ∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨212⟩V ⟨1⟩ + ∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + 0 ∂Vξ ∂Vη η ξ 1 ∂Vz + + 3 Vη + √ 3 Vξ + ∂z ξ 2 + η 2 ∂ξ ξ 2 + η 2 ∂η (ξ 2 + η 2 ) 2 (ξ 2 + η 2 ) 2 ) ) ∂V 1 ∂ (√ 2 1 ∂ (√ 2 z 2V 2V = 2 ξ + η + ξ + η . η + ξ ξ + η 2 ∂ξ ξ 2 + η 2 ∂η ∂z 1 谢 锡 =√ 对流项 在抛物线柱坐标系下处理对流项. 稿 1. 处理 j = 1: V ⟨1⟩∇⟨1⟩V ⟨1⟩ + V ⟨2⟩∇⟨2⟩V ⟨1⟩ + V ⟨3⟩∇⟨3⟩V ⟨1⟩ = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨1s1⟩V ⟨s⟩) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨2s1⟩V ⟨s⟩) 讲 + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨3s1⟩V ⟨s⟩) = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨121⟩V ⟨2⟩) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨1⟩ + Γ ⟨221⟩V ⟨2⟩) 量 分 析 + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨1⟩ + 0) ( ) ( ) ∂Vξ ∂Vξ 1 η 1 ξ = Vξ √ + + Vη √ − 3 Vη 3 Vη ξ 2 + η 2 ∂ξ ξ 2 + η 2 ∂η (ξ 2 + η 2 ) 2 (ξ 2 + η 2 ) 2 ( ) ∂Vξ + Vz ∂z Vξ ∂Vξ ∂Vξ ∂Vξ Vη η ξ 2 =√ + − . 3 Vξ Vη + √ 3 Vη + Vz ∂z ξ 2 + η 2 ∂ξ ξ 2 + η 2 ∂η (ξ 2 + η 2 ) 2 (ξ 2 + η 2 ) 2 2. 处理 j = 2: 张 V ⟨1⟩∇⟨1⟩V ⟨2⟩ + V ⟨2⟩∇⟨2⟩V ⟨2⟩ + V ⟨3⟩∇⟨3⟩V ⟨2⟩ = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨1s2⟩V ⟨s⟩) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨2s2⟩V ⟨s⟩) + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨3s2⟩V ⟨s⟩) = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨112⟩V ⟨1⟩) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨2⟩ + Γ ⟨212⟩V ⟨1⟩) + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨2⟩ + 0) ( ) ( ) ∂Vη ∂Vη η ξ 1 1 − + = Vξ √ + Vη √ 3 Vξ 3 Vξ ξ 2 + η 2 ∂ξ ξ 2 + η 2 ∂η (ξ 2 + η 2 ) 2 (ξ 2 + η 2 ) 2 ) ( ∂Vη + Vz ∂z Vξ Vη ∂Vη ∂Vη ∂Vη η ξ 2 =√ − + . 3 Vξ + √ 3 Vξ Vη + Vz ∂z ξ 2 + η 2 ∂ξ ξ 2 + η 2 ∂η (ξ 2 + η 2 ) 2 (ξ 2 + η 2 ) 2 18 非完整基理论及应用 谢锡麟 3. 处理 j = 3: V ⟨1⟩∇⟨1⟩V ⟨3⟩ + V ⟨2⟩∇⟨2⟩V ⟨3⟩ + V ⟨3⟩∇⟨3⟩V ⟨3⟩ + V ⟨3⟩ (∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨3s3⟩V ⟨s⟩) 麟 = V ⟨1⟩ (∂⟨1⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨1s3⟩V ⟨s⟩) + V ⟨2⟩ (∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + Γ ⟨2s3⟩V ⟨s⟩) = (V ⟨1⟩∂⟨1⟩V ⟨3⟩ + 0) + (V ⟨2⟩∂⟨2⟩V ⟨3⟩ + 0) + (V ⟨3⟩∂⟨3⟩V ⟨3⟩ + 0) Vξ Vη ∂Vz ∂Vz ∂Vz +√ + Vz . ∂z ξ 2 + η 2 ∂ξ ξ 2 + η 2 ∂η 谢 锡 =√ 6 建立路径 • 张量场的梯度运算必须基于完整基才能定义, 但求了梯度运算的张量场已经成为一个新的 张量, 就此可以在其它基 (可以是非完整基) 下获得它的分量形式. 完整基下张量场梯度的 分量与非完整基下张量场梯度的分量自然满足一般的张量分量转换关系. 但是, 可以针对 稿 非完整基设计出形式上的对坐标系的形式偏导数, 形式 Christoffel 符号, 形式张量分量的 协变导数, 使得按形式处理的结果完全一致与按转换关系的结果. • 需要指出, 当完整基为正交基, 而非完整基为完整基的单位化 (由此非完整基为单位正交 讲 基), 此时形式偏导数, 形式 Christoffel 符号以及形式张量分量的协变导数都能得到很大程 张 量 分 析 度的化简. 理论分析上, 一般也常在这种情形利用非完整基理论. 19