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§3 函数的极限 ＊数列极限是定义在正整数集上的函数当自变量 趋于无穷大时的极限。 ＊函数极限是定义在实数集上的函数当自变量连 续地趋于某个值(有限或无限)时的极限。 海豹 1 一.自变量趋于有限值时函数极限 定义: （精确的） 如果对任意给定的正数   0 ，总存在   0 ， 使得当 0  x  x0   时，有 f ( x )  A   则称 f ( x ) 在 x  x0 时，以 A 为极限。 记为 lim f ( x )  A x  x0 定义: （通俗的） 设函数 f 在 U ( x0 ,  ) 有定义（点 x0 可除外）， 当 x  x0 时，函数 f (x) 无限地接近于常数 A ， 即 f (x)- A 趋于 0 ， 则称 f ( x ) 在 x  x0 时，以 A 为极限。 2 定义: （数列极限的形式） lim f ( x )  A  对任意收敛于 x0 的数列  xn  ， x  x0 其中 xn  x0 , n  1, 2, 均有 lim f ( xn )  A n 邻域的定义: 对 A 的任何  邻域，存在 x0 的某个  邻域，当x 属于该邻域而非 x0 时，f (x)落在A 的 y y  f ( x)  邻域中，也即： A 对    0,   0, A 当x  U ( x0 ,  )且 x  x0时， f ( x )  U ( A,  )  lim f ( x )  A x  x0 A o x0     x0 x0   x 3 二.极限的性质 1、定理(极限的四则运算) f ( x ) 与 lim g( x ) 均存在， 若 xlim x x x 0 0 f ( x )  g( x )  lim f ( x )  lim g( x )  则：1) xlim x x x x x 0 0 0 2) lim  f ( x )  g( x )  lim f ( x )  lim g( x ) x  x0 x  x0 x  x0 lim f ( x ) f ( x ) x  x0 (只要 lim g( x )  0)  3) lim x  x0 x  x0 g ( x ) lim g( x ) x  x0 海星 4 f ( x)  A 证明：1）设 xlim x 0 lim g( x )  B x  x0 由数列极限形式的定义得： 对  xn  xn  x0 lim xn  x0 n  f ( xn )  A lim g( xn )  B 均有 lim n n lim f ( xn )  g( xn ) n   lim f ( xn )  lim g( xn )  A  B n  n  再由数列极限形式的定义得： lim f ( x )  g( x )  A  B lim f ( x )  lim g( x ) x  x0 同理可证 2）、3）. x  x0 x  x0 5 利用有限次的运算法则可求得 n Pn ( x )   ai x i i 0 n 次多项式 n n x  x0 i 0 n i 0 lim Pn ( x )  lim  ai x i   ai ( lim x i ) x  x0 x  x0   a i x  Pn ( x0 ) i 0 i 0 也可求得 Pn ( x ) Pn ( x0 ) (只要 Qm ( x0 )  0) lim  x x0 Q ( x ) Qm ( x0 ) m m 次多项式 6 x  6x  8 例1、求 lim x 4 x 2  5 x  4 2 x 1 1 例2、求 lim x 0 x 7 2、夹逼性（定理）质 设对某 r > 0 ，当 0  x  x0  r 时， f ( x )  g( x )  h( x ) 且 lim f ( x )  lim h( x )  A x  x0 g( x )  A 则 xlim x x  x0 0 f ( x )  lim h( x )  A 证明： xlim x x x 0 0 由数列极限形式的定义： lim f ( xn )  limh( xn )  A n  n  f ( xn )  g( xn )  h( xn ) 由数列的夹逼性 又 lim g( xn )  A 由 xn  的任意性， n  g( x )  A 及数列极限形式的定义  xlim x 0 8 3、有界性（定理） 如果 lim f ( x ) 存在 ， x  x0 则    0,  0  x  x0   时， 函数 f (x) 有界（点 x0 除外）. 4、保号性 设 lim f ( x )  A , lim g( x )  B 且 A  B x  x0 x  x0 则    0,  0  x  x0   时， f ( x )  g( x ) 9 A B 证：取   0 2  lim f ( x )  A  1  0  0  x  x0   1时 x x 0 f ( x)  A    lim g( x )  B  2  0  0  x  x0   2时 x  x0 g( x )  B   A B A B A    f ( x)  A    A   f ( x)  A  2 2 A B A B B    g( x )  B    B   g( x )  B  2 2 A B A B A B A B B  g( x )  即  f ( x)  A  2 2 2 2 A B  f ( x)   g ( x ) 即 f ( x )  g( x ) 10 2 f ( x)  A  B 推论1 设 xlim  x0 则    0,  0  x  x0   时， f ( x )  B 推论2 如果 lim f ( x ) 和 lim g( x ) 均存在， x  x0 x  x0 且当 0  x  x0  r 时，f ( x )  g( x ) . 则 lim f ( x )  lim g ( x ) x  x0 x  x0 f ( x )  lim g( x ) 证明（反证法） 假设 xlim x x x  A B 0 0 A B 由保号性  r  0,  0  x  x0  r 时， f ( x )  g( x ) 与条件 f ( x )  g( x ) 矛盾，  lim f ( x )  lim g( x ) x  x0 x  x0 11 三.单侧极限 1、定义: 如果存在实数A ，对  给定  0 ,   0 , 当 x0    x  x0 时， f ( x )  A   (    x  x0  0 ) x0  x  x0   ( 0  x  x 0   ) 则称A为f 在x0 处的左极限 ( x  x0 , x  x0 ) 右极限 ( x  x0 , x  x0 ) 记作 lim f ( x )  A or x  x0 f ( x0  0)  A lim f ( x )  A or f ( x0  0)  A x  x0 x0 左 右 12 2、极限、左右极限的关系 f ( x )  A  lim f ( x )  lim f ( x )  A 定理: xlim x 0 x  x0  1  例3、对于符号函数 sgn( x )   0 1  x  x0 x  ( , 0) x0 x  (0,   ) 讨论点 x = 0 处的极限。  1 0 x 1  例4、求常数 a , 使函数 f ( x )   x  ax  2 x 1 在 x = 1 处的极限存在。 13 四、自变量趋于无穷时函数的极限 1、定义: 如果对任意给定的   0, X  0, 当 x  X 时， f ( x )  A   则称x 趋于无穷大时，f (x)以A 为极限， 记作 lim f ( x )  A x  sin x 观察函数 当 x   时的变化趋势 x 14 2、定义: x   : ( x  )    0  X  0 当 x  X 时，f ( x )  A   (x  X) 则称x 趋于正无穷大时，f (x)以A 为极限， （负无穷大） 记作 lim f ( x )  A x  ( lim f ( x )  A) x   定理: lim f ( x )  A  lim f ( x )  lim f ( x )  A x  x   x   15 3、几何解释: sin x y x  A X  X 当 x <-X 或 x >X 时，函数y =f (x) 图形完全落在 以直线 y = A 为中心线，宽为2ε的带形区域内。 16 sin x 0 例5、证明 lim x  x 例6、f ( x )  2arctan x   例7、 求 lim x  求 lim f ( x ) x  x 1  x x  x 1 17 五、无穷小量与无穷大量 (一)无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量。  ( x)  0 对于函数： 若 lim x ( ) 则称在相应的变化过程中， ( x ) 为无穷小量。 1、定义    0,   0 ( X  0) , 当 0  x  x0   (x X)   ( x)   , 则称α(x) 当x  x0（当 x  ）时的无穷小量 记作 lim  ( x )  0 ( lim  ( x )  0 ) x  x0 x  18 2、无穷小量与函数极限的关系 f ( x)  A  f ( x)  A   ( x) 定理：lim x ( ) 其中α(x) 是当 x  ( ) 时的无穷小量 3、无穷小量的运算性质 1）有限多个无穷小量的代数和是无穷小量； 无穷多个无穷小量的代数和是如何呢？ 2）有界量与无穷小量的乘积是无穷小量； 3）两个无穷小量的乘积是无穷小量； （可推广到有限多个） 思考： 两个无穷小量之比将会出现什么情况？ 19 (二) 无穷大量 是个绝对值无限增大(趋于∞)的变量(变化趋势) 对于函数：  M  0 （无论多么大），总   0 ( X  0) 当 0  x  x0   (  x  X )  f ( x)  M 则称 f (x) 当 x  x0（当 x   ）时的无穷大量 记作 lim f ( x )   ( lim f ( x )   ) x  x0 x  正无穷大量 负无穷大量 lim f ( x )    lim f ( x )    x  x0 ( x  ) x  x0 ( x  ) 20 (三)无穷小量与无穷大量的关系 定理： 1  lim f ( x )  0 ( f ( x )  0)  lim x ( ) f ( x ) x ( ) 意义： 关于无穷大量的讨论都可归结为无穷小量 的讨论。 安康鱼 21 结论: 当 a0  0, b0  0, m 和n 为非负整数时有  a0  b 当n  m 0 m m 1  a0 x  a1 x    a m  lim   0 当n  m n n  1 x  b x  b x    bn 0 1   当n  m   22 C 六.两个重要极限 sin x 1、 lim 1 x 0 x B o x D A sin x 证明： 函数 对于一切 x  0 都有 x  定义，作单位圆，记圆心角 AOC  x (0  x  ) 2 作点A 的切线，得 AOC . 扇形AOB 的圆心角为 x ，AOB的高为BD ，  sin x  BD , x  AB , tan x  AC , 又 AOB  扇形AOB  AOC 1 1 1 即 OA  BD  OA  AB  OA AC 2 2 2 23  sin x  x  tan x sin x x tan x   两边除以 sin x ( 0)： sin x sin x sin x x 1 sin x  即 1  cos x   1 () sin x cos x x 上式对于 x  (   2 再证 limcos x  1 x 0 , 0) 也成立；   x  (  2 2 , 0)  ( 0 ,  2 ) 2 x x x 有 0  1  cos x  2 sin2  2    0( x  0) 2 2  2  lim(1  cos x )  0  limcos x  1 x 0 x 0   sin x  lim  1 x  (  , 0)  ( 0 , ) 24 x 0 x 2 2 sin( ) 结论: lim 1 ( ) 0 ( ) 注意：（）中的变量、函数必须相同且为无穷小量。 sin mx 例8：求 lim x 0 sin nx 1 例9：求 lim x sin x  x 1 x sin x 例10：求 lim x 0 sin x tan x  sin x 例11：lim x 0 x3 2 25 1 x 2、 lim (1  )  e x  x 1 x 证：1）先证 lim (1  )  e x  x 对于  正实数 x ，有  x   x   x   1 1 1 1 当 x  1 时，  x   1  x   x  1 x 1 x 1  x 1 )  (1  )  (1  ) 即 (1  x   1 x  x 1 n 利用 lim(1  )  e 得 n n 1  x 1 1 1 1 x ) (1  ) e lim (1  )  lim (1  x  x  x   1 x   1 x   1 1  x 1 1  x 1 同理可得 lim (1  ) (1  )26e )  lim (1  x  x   x  x  x 1 x 由夹逼性得 lim (1  )  e x  x 1 x 2）再证 lim (1  )  e x  x 令 y   x 当 x   时，y   1 y y y 1 x 1 y ) )  (1  (1  )  (1  )  ( y 1 y 1 x y 1 x 1 y  lim (1  )  lim (1  ) x  y  x y 1 1 y 1 1  lim (1  ) (1  )e y  y 1 y 1 1 1 x 1 y  lim(1  )  e or lim(1  y )  e ( y  ) x  y 0 x x 27 ()  1 结论: lim 1    e ( )   ( ) 注意：（）中的变量、函数必须相同且为无穷大量。 4 2x 例12：求 lim(1  ) x  x 6 2 x2  x  例13：求 lim  1   x 0 3   x2 x 例14：求 lim( ) x  x  2 28 综合练习 f ( x) 1 tan 3 x 1、设 lim  ，求 lim . x 0 x 0 f (2 x ) x 2 tx 2、求 lim x   t  t  x   t 3、求 lim (sin x  1  sin x ) x  29 4、求 lim 2x  4 x  x  2 x3 x  5、问当 x  3 时，下列函数极限是否存在？ f ( x)  3 e 1 x3 1  3e sin( x  3)  2 x3 x3 30