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§2 二重积分的计算 重积分计算的基本思想: 化为累次积分,通过逐次计算定积分,求得其值。 二重积分计算: 化为二次定积分进行计算,具体如下： 1 一、直角坐标系下二重积分的计算 1、如果积分区域 D：x — 型区域 ( x, y) a  x  b,  ( x)  y   ( x) 1 2 y  2 ( x ) y  2 ( x ) D D y  1 ( x ) y  1 ( x ) a b a b φ1(x), φ2(x) 为区间 [a, b] 上的连续函数， 2  f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，曲面 z = f (x, y) D 为高的曲顶柱体的体积， 用平行于Oyz 的平面截曲顶柱体，应用“已知平行 截面面积，求空间区域体积”的方法求。 z  f ( x , y) 截面 A (x) : 是一个曲边梯形 A( x )   2 ( x ) 1 ( x ) f ( x, y)dy V   f ( x , y)d D b   A( x )dx a z y A( x ) y  2 ( x) y  1 ( x ) a x b 2 ( x ) b 2 ( x )     f ( x, y)dy dx   dx  f ( x , y)dy a   ( x )  a 1 ( x )  1  b x 3 2、如果积分区域 D：y — 型区域 ( x, y) c  y  d , 1 ( y)  x  2 ( y) d d x  1 ( y) c x  1 ( y) D D x  2 ( y) c x  2 ( y) ϕ1(x), ϕ2(x) 为区间 [c, d] 上的连续函数， d 2 ( y ) c 1 ( y)  f ( x, y)d   dy D f ( x , y)dx 说明 直角坐标系下：d  dxdy 面积元素 4 2 x 例1、计算  2 d ，D 由 y = x , xy = 1 , y = 2 围成。 y D 解：10 x — 型区域 （先对 y 积分后对 x 积分） 2 2 1 2 x 2 2 x x2 D y2 d  12 dx  1x y2 dy   1 dx  x y2 dy 2 2 2  x  x    1    dx      dx 1 y 1 2   y x 1 2 2 x 2 2 y x 1 2 x x 3 ( , 2)  1 (  x )dx   (   x )dx (2, 2) 2 1 2 2 y2 2 D 27 D1  (1,1) D2 64 xy  1 1 5 20 y — 型区域 （先对 x 积分后对 y 积分） 2 2 2 y x x D y2 d   1 dy 1y y2 dx  3 y 2 x   dy  1  3 y2 1    y   2 y 1 27   (  5 )dy  1 3 3y 64 y x 1 ( , 2) 2 (2, 2) D (1,1) y2 xy  1 说明 1) 积分次序选择得好，能化繁为简， 化难为易。 2) 积分区域具有可加性。 6 3、如果积分区域 D： 矩形域 ( x, y) a  x  b, c  y  d  f ( x, y)d   dx  f ( x, y)dy   dy  f ( x , y )dx D b d a d c b c a 表明：此时二重积分与积分的先后次序无关。 若 f ( x, y)  f1 ( x ) f2 ( y) 时， b d a c  f ( x ) dx f ( y ) dy f ( x , y ) d  1 2    D 7 二重积分计算步骤: 1) 画草图 2) 确定积分限 3) 确定一种积分次序 4) 计算 8 例2、计算  y  x d , D  { 1  x  1, 0  y  1} . 2 y x D 2 D3 D1 1 x2 3 D2 1 ( 3 x ) 2 例3、改变 0 dx 0 f ( x, y)dy   1 dx 0 f ( x , y)dy 的 次序。 y  x2 (1,1) 2012/6/4 D1 D2 1 y  (3  x ) 2 9 9 e2 2 ln x ln x 例4、计算积分 I  0 dy  1 x dx   e dy ln y x dx . e e ln x 解：  x dx 无法用初等函数表示， y e y  ex ∴ 积分时须考虑积分次序， e2 e 2 D1 : 0  y  e 1  x  2 D2 : e  y  e 2 ln y  x  2 e x e ln x 2 dy I   dx  x 0 1 e 0 2 ln x 2 ex   y 0 dx   ln xdx x 1 e 1 2 2 1  x ln x 1   x  dx  2ln 2  1 1 x D2 D1 x 1 2 10 说明 1) 二重积分的计算与积分次序的选择有关， 应依据 积分区域 D 的形状， 被积函数 f (x, y) 的特点； 2) 如果按照某种给定的或选取的顺序是不容易 的、或无法用初等函数表示出来时，需改变 积分次序； 3) 改变积分次序的步骤。 11 4、求空间区域的体积 例5、求由马鞍面 z = xy 和平面 z = x + y , x + y = 1 , x = 0 , y = 0 所围成的空间区域的体积。 z z x y x0 0 y D y0 z  xy x y1 x 12 2 2 I  ( x  y ) d  , D : x  y  4 x 例6、求 其中 及y=1  D 所围成的区域。 31 解：  ( x  y)d  2 dy  y ( x  y)dx  0 40 2 D 1 y 错!!  ( x  y)d   ( x  y)dxdy   ( x  y )dxdy y 2  y   dy[  1 0 2  5 D2 D1 D  ( x  y )dx   y ( x  y )dx ] 正确!!! y 2 y  4 x2 D1 D2 y  x2 13 5、利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性， 可以简化二重积分的计算。 1）若区域 D关于 x 轴对称  2 f ( x , y )dxdy   则 f ( x , y )dxdy   D1  0 D  f ( x,  y)  f ( x, y) f ( x,  y )   f ( x, y ) 其中 D1 为 D 位于 x 轴一侧的部分； 2）若区域 D关于 y 轴对称  2 f ( x , y )dxdy f ( x, y )  f ( x, y )   则 f ( x , y )dxdy   D1  0 D f ( x, y )   f ( x, y )  其中 D1 为 D 位于 y 轴一侧的部分； 14 2 2 I  ( x  y ) d  , D : x  y  4 x 例6、求 其中 及y=1  D 所围成的区域。 解：I   ( x  y )d   xdxdy   ydxdy  I1  I 2 D D D I1 : ∵D 关于y 轴对称，  I1  0 且被积函数关于 x 是奇函数, I 2 : ∵D 关于y 轴对称，且被积函数关于x是偶函数 1 y 2  I 2  2 ydxdy  2 dy  y ydx  0 5 D2 2 2 2 y  4 x I  5 2 D1 D2 y x 15 3）若区域 D 关于 y = x 对称， 且 f (x, y) 关于x , y 也对称, 即 f ( x, y)  f ( y, x ) , 则  f ( x, y)dxdy  2  f ( x, y) dxdy D D1 其中 D1 为 D 位于 y = x 的一侧部分。 说明 在利用对称性时，必须同时兼顾被积函数的 奇偶性和积分区域关于轴和点的对称性两个 因素。 16 2 4 x [ y  tan y cos( x  y )]dxdy , 例7、计算  D D : y  sin x , y   sin x , 在 0 ≤ x ≤ π 的部分所围。 二、二重积分的变量代换法 二重积分的换元 是从原变量 (x, y) 到新变量 (u, v) 的一个 变换映射。 17 定理 设 f 是 Oxy 平面中闭区域 D 上的连续函数，  x  x ( u, v ) Ouv 平面上的闭区域 D’ 变换 φ :   y  y( u, v ) 一对一地映射为区域 D , 且 1）x(u, v) , y(u, v) 在 D’上具有连续的一阶偏 导数， 2）在 D’上 φ 的 Jacobi 行列式 x x D ( x , y ) u v  0 D( u, v ) y y u v 则有 D( x , y ) D f ( x, y)dxdy  f [ x( u, v ), y( u, v )] D( u, v ) dudv D 18 2 2 y  px , y  qx , q  p  0, b  a  0, 例8、设 求由 xy  a , xy  b 所围成的平面区域 D 的面积。 y 解：区域 D 的面积为 A   d y 2  qx xy  b D 作变量代换 2  y puq u  D :  x 矩形域  v  xy a  v  b D( x , y )  A   d   dudv D( u, v ) D D 1  D( u, v )     dudv  D( x , y )  D  y 2  px D xy  a 0 v x b D a 0 p q u 19 u x D( u, v )  D ( x , y ) v x  D( u, v )   D( x , y )    1 u y 2 y  2  x v y y 2y 2 3y  3u x  x x 1  3u 1 b q 1  D( u, v )  du  A    dudv  a dv  p  3u D( x , y )  D  ba q  ln 3 p 说明 变量代换后积分区域简便，被积函数易求。 20 例9、计算  e y x y x dxdy, D : x  0, y  0, x  y  2 围成。 D 三、极坐标系下二重积分的计算 直角坐标和极坐标的关系 x y r 2 2 P( x, y) 2  x  r cos  相当于一个变量代换   y  r sin  r 0    D : ( r ,  )      r1 ( )  r  r2 ( ) D( x , y ) drd   f ( x , y)d   f ( r cos  , r sin  ) D( r ,  ) D D 21 x D( x , y ) r  D( r ,  ) y r 又 x   cos  sin  y   d  r dr d  r sin  r cos  r 说明 1）当区域如图时， r  r1 ( ) r  r (  ) 2 r  r ( ) 1 D DD  o     o  r  r2 ( )  r2 ( )  f ( x, y)d   d   f ( r cos , r sin ) rdr D r1 ( ) 22 r  r ( ) 2）当区域如图时，     0  r  r ( )  f ( r cos , r sin ) rdrd D  o  r ( )   d  f ( r cos  , r sin  )rdr D    0 3）当区域如图时， 0    2 0  r  r ( )  f ( r cos , r sin ) rdrd D 2 r ( ) 0 0   d  r  r ( ) D o  f ( r cos  , r sin  ) rdr 23  e 例10、计算 I   ( x 2  y2 ) dxdy . x 2  y2  a2 例11、计算 I   x 2  y 2  2 dxdy , D : x 2  y 2  3 . D y D1 0 D2 3x 2 24 说明 1）当区域 D : x  y  2ax 2 2 y  x  r cos  设  y  r sin  0  r  2a cos    D :      2    2 2）当区域 D : x  y  2by  x  r cos  设  y  r sin  0  r  2b sin   D :  0   2 r  a 0 2a y 2 2b b r  0 x 25 x 例12、计算 I   x 2  y 2 d , D : x 2  y 2  b 2 , y b D x 2  y2  by 所围成的区域。 解：∵ 被积函数 x  y 在 D 中有 定义且连续， 2 2 b D2 2 0 D   x  y d 2 x 2 1 D   x  y d   x  y d 2 2 2 D1 2 D2  b b sin   2  2  2    d  r  rdr   d  r  rdr  0 0 0   2  2b 3 2  (  ) 3 3 26 说明 1）在区域相减时，定要考虑被积函数在减去的区 域中是否有定义、连续，否则不能用相减的方 法，只能分区域。 2）被积函数中有根式相减时，应尽量利用对称性。 3）极坐标的适用范围 积分区域： 圆形、环形、扇形、弧线等； y 2 2 被积函数： f ( x  y ) , f ( ) . x 27 y 2 2 arctan d  , D ： 1  x  y 9 , 例13、计算  x D y  x , y  0 所围成的第一象限区域。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x  y )  2 a ( x  y ) x  y  a 例14、求曲线 和 所围成图形的面积。 D1 28 例15、计算 dxdy 2 2 2 2 2 , D ： {( x , y ) ( x  y )  x  y , x  0} . D (1  x 2  y2 )2 例16、证明 b x a a  dx  ( x  y) n 2 1 b n1 f ( y)dy  ( b  y ) f ( y)dy  n1 a 29