第二十四讲.pdf
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第 24 次课 相位_振动合成_阻尼振动_2007.11.30 d 2x 2 上次简谐振动 微分方程： 2 + ω x = 0 dt 解 ： x = xm cos (ωt + ϕ ) ⎛ xm ⎞ ⎜ ⎟ 由初始条件决定， ω 由系统参数决定 ⎝ϕ ⎠ xm 振幅， ωt + ϕ 相角或相位， ϕ 初相角, 初相位 “相位”：是描述振动和波动最重要物理量，不同的位相表明振动处于不同的振动状态。 若两个振动处于相同的相位，表明两个振动在任意时刻都处于相同的状态， 比如它们同时到达极大或极小。 x xm1 x1 = xm1 cos ωt xm 2 x2 = xm 2 cos ωt x1 与 x2 同相振动 x1 与 x3 反相振动 t − xm3 x3 = − xm3 cos ωt = xm3 cos (ωt + π ) x1 = xm cos (ωt + 0 ) π π⎞ ⎛ x2 = xm cos ⎜ ωt + ⎟ 4⎠ ⎝ 2 x2 相位超前 x1 对于两个同频率，但初相角不同的振动 x1 = xm1 cos (ωt + ϕ1 ) x2 = xm 2 cos (ωt + ϕ 2 ) π 4 0< ϕ1 < 2π ϕ2 x1 , x2 振动分别在时间 t1 和 t2 达到相同的振动状态，则 ωt1 + ϕ1 = ωt2 + ϕ2 Δt = t2 − t1 = − Δϕ ω Δϕ = ϕ 2 − ϕ1 若 Δϕ > 0 ，即 ϕ 2 > ϕ1 ，则 x2 领先 x1 Δϕ 相位 因为 Δϕ > 0 , Δt = t2 − t1 < 0 → t2 < t1 , 说明 x1 比 x2 落后了 Δt 时间到达这一状态 更为直观的方法——矢量法：可以直观地领会简谐振动中 xm , ω , ϕ 的意义，为振动叠加 提供简便方法。 对 x = xm cos (ωt + ϕ ) 和 x′ = xm′ cos (ωt + ϕ ′ ) K 设想一个大小为 xm 的矢量 xm 绕其原点 O 以 ω 的角速率逆时针转动，如图所示： K xm′ xm′ t = 0 时刻，矢量与极轴夹角为 ϕ ， t 时刻 ωt + ϕ ϕ′ ωt + ϕ ′ K xm′′ ω K K 两个矢量 xm 和 xm′ 在 x 轴投影表示 K xm′ x = xm cos (ωt + ϕ ) ϕ′ 两个简谐振动 O x = xm′ cos (ωt + ϕ ′ ) K xm ϕ x 从图中看出， ϕ ′ > ϕ ，同时 x′ 振动在前， x 振动在后 x + x′ = x′′ = xm′′ cos (ωt + ϕ ′′ ) = xm cos (ωt + ϕ ) + xm′ cos (ωt + ϕ ′ ) 振动的合成与叠加 x = x1 + x2 = xm1 cos (ωt + ϕ1 ) + xm 2 cos (ωt + ϕ2 ) 与相位差 Δϕ = ϕ 2 − ϕ1 有关, Δϕ < π 1. 同频率、同方向简谐振动的合成 ⇒ 还是一个同频率、同振动方向的简谐振动，振幅 发生变化，初相位可能发生变化。 1) 同相： Δϕ = 0 或 2nπ x = ( xm1 + xm 2 ) cos (ωt + ϕ ) 2) 反相： Δϕ = π 或 ( 2n + 1) π x = ( xm1 − xm 2 ) cos (ωt + ϕ ) 3) x2 领先： Δϕ > 0 落后： Δϕ < 0 x2 位相比 x1 位相大，先于 x1 达到某一状态 2. 同频率的振动方向相互垂直的简谐振动合成 x = xm cos (ωt + ϕ1 ) y = ym cos (ωt + ϕ 2 ) 1) 同相： Δϕ = 0 合成一个新的方向固定的简谐振动 2) 反相： Δϕ = π 合成一个新的方向固定的简谐振动 0 < Δϕ < π , 合成的简谐振动方向不固定，振动轨迹是一个椭圆 3) 3. 不同频率、相同振动方向的简谐振动的合成 x = xm cos (ω1t + ϕ ) + xm cos (ω2t + ϕ ) = 2 xm cos Δω ⎛ ω + ω2 ⎞ t cos ⎜ 1 t +ϕ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 拍频 4. 不同频率、振动方向相互垂直的简谐振动合成： “李萨如曲线” 相位不同——合成的振动完全不同！ 简谐振动的能量： x = xm cos (ωt + ϕ ) x 与 ax 同相：同时最大，同时最小 vx = −ω xm sin (ωt + ϕ ) x 与 vx 相位相差 ax = −ω 2 xm cos (ωt + ϕ ) 势能 弹簧—物块： 动能 1 2 kx 2 1 K = mvx2 2 U= π 2 ：一个最大，另一个为零 机械能 ⇒ E = K +U = 1 2 kxm 2 （最大势能） 变化 + 变化 = 常量 相差 π 2 动—势 转化 能量 E − xm U ( x) K ( x) x xm 任何时刻机械能为常量，机械能守恒 以上讨论的简谐振动是完全理想的情况：没有能量耗散 能量守恒 振幅不变 对于实际的振动系统，由于存在能量的耗散，同时没有外界能量补充时，系统的能量或 振幅将随时间逐渐衰减，这就是我们将要讨论的阻尼简谐振动。 考虑一个在空气或其他流体中的振动，由于流体粘滞阻力可表示为 −bvx（详见第四章） 如图, 系统中质量为 m 的物体在偏离平衡位置所受到的力 f x f x = − kx − bvx m x d 2x = − kx − bvx dt 2 m 轻杆 = ax 阻尼片 2 d x k b + x + vx = 0 2 dt m m d 2x dx + 2δ + ω02 x = 0 2 dt dt ω0 = k m δ= b 2m 该方程的解： x ( t ) = xm e 当t = x xm 阻尼振动方程 1 −δ t ⎛ xm ⎞ ⎜ ⎟ 初始条件决定 ⎝ϕ ⎠ cos (ω ′t + ϕ ) 时，振幅衰减到初始值的 δ = τ 寿命 ω′ = ω02 − δ 2 当δ → 0 1 e ω ′ → ω0 阻尼为零 → 简谐振动 欠阻尼： ω0 > δ → 反复振动趋于平衡位置 过阻尼： ω0 < δ → 无振动缓慢趋向平衡位置 临界阻尼： ω0 = δ → 无振动快速趋向平衡位置