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管毅平 陈启欢 / 效用空间与局部非饱和性；一个证明性简述 / 2005.6.10 1 效用空间与局部非饱和性：一个证明性简述 管毅平∗ 陈启欢† （上海交通大学 管理学院 经济与金融系，200052） 提要：高级微观经济学教材关于局部非饱和性的定义是基于某单点展开的。本文将局部 非饱和性的定义，由单点推广至更复杂的多点等效用空间。我们通过分析发现，异质点集 AH 的稠密性是多点等效用空间是否具备局部非饱和性的关键。我们利用二维测度知识，进一步 得到了多点空间局部非饱和性的判断公式，并使用上述判断规则，对一例高级微观经济学习 题进行了可能富有新意的解析。 关键词：局部非饱和性；多点等效用空间；异质点集 Utility Space and Local Nonsatiation: A Verifiably Brief Statement Chen Qihuan† Guan Yiping* Abstract: In the textbook of advanced microeconomics, the definition of local nonsatiation is based on certain single point. This paper extends the definition of local nonsatiatio from a single point to more complicated iso-utility space with multiple points. It has found that the density of a set of peculiar points AH is the key on which wether or not has the property of local nonsatiation through analysing of the iso-utility space, and then has further gained a equation of judgment of local nonsatiation on iso-utility space by means of two-measure. Using the equation of judgment, our analysis of an exercise of advanced microeconomics may have some new meaning. Keywords: local nonsatiation；iso-utility space with multiple points；set of peculiar points 一、问题的缘起：局部非饱和性及其理解的困难 在《高级微观经济学》课程的教学中，经典效用论关于经济学理性偏好的几个公理性假 设，相当抽象，较难以实例说明，是教与学的难点。其中， “局部非饱和性”假设，比起完 备性、传递性、连续性、单调性和凸性等几个假设，似乎更难于解说清楚。 在国内外较为通行的高级微观经济学教科书中，例如 Varian（1992，p.96），较为简洁 的局部非饱和性假设的陈述是这样的： LOCAL NONSATIATION 局部非饱和性（LOCAL NONSATIATION）。 给定 x∈X 以及任意的ε> 0，则存在某 消费束 y∈X，满足 |x－y| <ε，使得 y≻x。 管毅平，上海交通大学 管理学院 经济与金融系 教授，经济学博士。联系方式：电话：021－52301175； Email: ypguan@sjtu.edu.cn；邮编 200052，上海法华镇路 535 号 上海交通大学管理学院。 † 陈启欢，上海交通大学 管理学院 经济与金融系 博士生。 ∗ 1 管毅平 陈启欢 / 效用空间与局部非饱和性；一个证明性简述 / 2005.6.10 2 与之相关的局部非饱和性偏好的检验如图 1。对于任意消费束 x∈X＝ R +K ，在一个任 意小的距 x 的距离ε> 0 内，均存在优于 x 的另一个消费束 y∈ R +K （y 中的所有商品可能比 x 中的少，如图）。 图 1 局部非饱和性偏好的检验 对于上述假设及其检验，教科书的相应直观释义是：即使一个人被局限于消费束中做很 小的变动，他（她）也总能做出稍微更好一些的选择。 为了便于理解，有的教科书常常以涵义更强也更显壑的“单调性”的释义来辅助说明： 如果商品是“好东西”而不是“坏东西”，则更大数量的商品优于更小数量的商品，即“多 多益善”。而且，即便某种商品是“坏东西”，我们仍然能够以另外一种方式来重新定义消费 活动，满足单调性偏好。例如，如果有一种商品是垃圾，我们就可以把个人消费定义在“垃 圾的消除”上。由于单调性是比局部非饱和性更强的假设，因此满足单调性必定满足局部非 饱和性。在正的实数集合中，单调性一般性地排除了商品是“坏东西”的情形，局部非饱和 性当然也就排除了所有商品是“坏东西”的极端情形（参看 Mas-Colell, Whinston and Green, 1995，p.42－43）。 以上都还能够解说得大致清楚，接下来的内容就有些难度了。如图 2 所 示 ， （ a）幅说明 ， 局部非饱和性排除了“厚的”无差异集（等效用集）的情况，因为如果（a）的情况满足局 部非饱和性，则以 x 为中心的圆中就会有至少一个优于 x 的点，而这与“无差异”的假设相 悖 。（ b）幅则说明，其中的实线表示的包含点 x 的无差异集，是所有与 x 无差异的消费束的 集合，即{y∈X: y ~ x}。而分别处于此无差异集左下的下等值集{y∈X: x≿y}和右上的上等 值集{y∈X: y≿x}，则与局部非饱和性的偏好相容。 （a）厚的无差异集与局部非饱和性不相容 （b）与局部非饱和性相容的偏好 图 2 局部非饱和性的不相容与相容 这里的问题是：如果（a）幅中的厚的无差异集收缩为薄的无差异集，性质会否改变？ 2 管毅平 陈启欢 / 效用空间与局部非饱和性；一个证明性简述 / 2005.6.10 3 如果（b）幅中的无差异集移动，其本身满足局部饱和性，与满足局部非饱和性的下等值集 和上等值集的关系又将如何？在课堂上，博士生同学不止一次地这样问任课教师。困难在于 对于局部非饱和性理论的数学展开和深入理解，以及在此基础上的教学分析和解说。 带着这些问题，笔者请教了一些教过《高级微观经济学》课程的教师和数学系出身的博 士、硕士生，都没有获得比教科书稍微深入一步的答复，难于令人满意。我们推想，这个问 题也许有一定的代表性，不同程度地困惑了不少同学和教师。这是我们写作本文的初始动机 。 另外，我们没有检索到与本文内容相近的国内外文献，也许这个问题不是与现实关联的经济 问题，同行未必会感兴趣。但是，对于中国时下不断推广的高级经济学教学来说，这个问题 显然是绕不过去的，很可能会被越来越多的学人提出。因此，我们在初步学习和研究之后， 从集合论和测度论的角度，不揣谫陋地给出一个对于局部非饱和性的尝试性分析。这对于深 入理解这部分理论，或许有益，至少是提供一个可以继续讨论和批评的文本。 本文第二节和第三节的分析，涉及效用空间的分析，以及非饱和效用空间的判断，仅仅 是针对有关局部非饱和性假设的证明性简述，而不是严格的数学证明。第四节，是从应用角 度，运用上述分析及其推论，以不同于传统的视角分析一例习题中的问题。第五节是全文的 结论。 二、效用空间性质的分析 我们认为，传统的局部非饱和性定义是基于某单点展开的，只要该单点在任意小空间内 不是最优选择，则该点满足局部非饱和性。这也是一些高级微观经济学教材中局部非饱和性 一般定义的数学特征。下面，我们结合图示，分析效用空间与局部非饱和性相关的性质。 图 3 中，横坐标为物品 1，纵坐标为物品 2， d1 和 d2 线所夹的空间是二维的等效用面 ， 即厚的无差异集。显然，只要 d1 和 d2 线不重合，此无差异集就不符合局部非饱和性质。但 问题是，当此两线夹逼于如图示的 d 线时，d 如何满足局部非饱和性质。 让我们先分析 d1 和 d2 线所夹的空间的性质，以及该空间以外空间的性质。 2 d a hj d1 d2 1 图3 首先假设，d1 和 d2 线所夹的空间，是一般的效用空间，不一定是等效用空间。我们的 问题是：在什么条件下，这一空间具有局部非饱和性质？不妨在该效用空间内任取一点 a， 并取一包括 a 的半径 r。设与点 a 效用相等的点的集合为 E，其内的点 ei ∈ E ；大于点 a 效 用的点的集合为 H，其内的点 h j ∈ H 。则根据 a 和 E、H 的关系，存在如下四种情况： （1）如果 r ⊂ E ，则 a 具有局部饱和性； （2）如果在 r 的半径区域内含有 H 的点且数量有限，记之为 h j , j = 1,2,L 。选取离 点 a 最近的 hi ，二者距离为 ε ，任取区域 r (a, x ) < ε ，易得 a 点是局部饱和的； 3 管毅平 陈启欢 / 效用空间与局部非饱和性；一个证明性简述 / 2005.6.10 4 （3）当 h j 数量无限多，但不收敛于 a 时，如上可证点 a 具有局部饱和性； （4）当 h j 数量无限多，且收敛于 a 时，则任取 ε > 0 ，在 r (a, x ) < ε 的区域内存在无 数个 h j ，则点 a 具有局部非饱和性。 至此我们已经讨论了 d1－d2 线所夹空间的性质，得出的结论是：在等效用空间，不存 在收敛于其内一点的异质点 h j （仅指效用高于该点效用的异质点） 。这意味着，一个二维空 间内的点 h j 是疏朗的（夏道行等，1987，p.58－59）。我们权且称具备这种疏朗性质的空间 为 AE。于是，高级微观经济学教材中，有关偏好的公理性假设之一的“局部非饱和性”的 说明中，所谓“厚”的无差异集（等效用集），就具有 AE 空间的疏朗性质，也即不满足局 部非饱和性（参看本文前节内容及其参考文献）。相对地，如果某空间内 h j 稠密，则称该空 间为 AH，AH 空间内的任意点都是非饱和的。 AE 2 d AH d1 d2 图4 1 如图 4，AE 和 AH 的性质界定了 d1 和 d2 线的位置和性质：由 d1 和 d2 线所夹的空间 的等效用假设可知：所夹的空间是 AE 性质的空间，而 d1 和 d2 以外的空间是 AH 性质的空 间。d1 和 d2 线位于 AE 与 AH 的交界，它们一边面向 AE，一边面向 AH，因此 d1 和 d2 是 具有非饱和性的等效用线，而且 AE 必是闭的。 三、非饱和效用空间的判断 上文将局部非饱和性的定义由单点推广至更复杂的多点等效用空间。多点等效用空间的 一般形态极其复杂，在不考虑空间连续性、单调性等假设时，把单点局部非饱和性拓展至多 点空间局部非饱和性，需要新的判断规则，也即在考虑连续性和单调性之前，就定义多点空 间局部非饱和性需要新的判断标准。换个说法，在讨论了上面的等效用空间的性质后，我们 要进一步讨论的问题是：某一效用空间，在什么条件下具备非饱和性？在什么条件下具备饱 和性？ 设 (β 2 , L, m ) 是 Lesbesgue 的二 维 测 度 空 间 ， X 是 AH 的全 点 集 ， 有 X ∈ β 2 。于 是 m( X ) ≥ 0 （于寅，1999，p.249）。 当 m( X ) = 0 时，d 线上的任一点 a，总能找到一区域 r (a, x ) > 0 ，使得 a 点具有饱和性 （徐森林，2002，p.138－139）。 当 m( X ) > 0 时 （ 例 如 d1 和 d2 夹 逼 至 d 处 ）， 不 再 具 有 上 述 性 质 。 因 为 任 意 r (a, x ) > 0 都包含有无限个 h j ，故 d 具有非饱和性。即如果任意等效用集 X 的 AH 空间的 m 测度大于零，其等效用集 X 就具有非饱和性（而与 X 的形状、连续与否无关）。 对于上述分析，一个直观一点的解释是：对于 AE 空间，如果等效用空间被异效用点（例 如这里的大于 d 的效用点）破坏，产生了许多孔，但这些孔是疏朗的，不至于影响该空间的 4 管毅平 陈启欢 / 效用空间与局部非饱和性；一个证明性简述 / 2005.6.10 5 性质。 而 AH 空间则相反：等效用集 X 处于 AH 空间内，处处都是稠密的异质孔，因而必然 具有非饱和性。 对于 d 线饱和性的突变，不应该只从 d 线静止不动的角度来看，而应该从 d1、d2 线的 运动来看。因为 d1、d2 线是边界，是非饱和的，它们运动到哪里，就把非饱和边界推展到 哪里。当它们重合于 d 线处，必然就把非饱和性带到了 d 线。当然，还应存在另外一类异质 点 k i ，它们的效用低于 d 的效用，上文并没有讨论，但只要 d 不是全域最高效用集，增加 了 k i 并不影响上述结论。我们要区分的应该仅仅是，d1 和 d2 线，何者面临稠密的 h j ，何 者面临稠密的 k i 。 我们在上面只就二维物品的等效用集进行了讨论，至于多维的情况，稍微复杂，但道理 是一样的，这里不赘。 四、运用上述分析及其推论，分析有关习题中的问题 运用上述分析及其推论，可以从不同的视角，分析《高级微观经济学》某些相关习题中 的问题，得出不同于一般解的有意思结论。让我们以 Varian（1992，p.114）中的习题 7.1 为 例。原题是： 7.1 如果 x1 + x 2 < y1 + y2 ，考虑由（ x1 + x 2 ）≻（ y1 + y2 ）定义在非负正交分划体（非 负象限的 n 维模拟）上的偏好。这些偏好展示了局部非饱和性么？如果这些偏好只涉及两种 消费品，而且消费者面临正的价格，消费者会花费他的所有收入么？请解释。 解法 1 依据教科书理论的传统解法。依题意，在 x1 + x 2 < y1 + y2 且（ x1 + x 2 ） ≻（ y1 + y2 ）时，消费集中只包括两种物品 1、2，则物品 1、2 的数量组合越少，则越受消 费者偏好，即其效用越大。于是在非负消费子集中，（0，0）的数量组合最小，故其效用最 大。根据定义，该点为局部饱和点。除（0，0）外，其余偏好集均满足局部非饱和性。因此 ， 追求自身效用最大化的理性的消费者，在这一消费集中面对正的价格，将选择这一点（0，0） “消费”，实为不消费物品 1、2，所以他不花费任何收入。这里的物品 1、2，可以被消费者 看作是厌恶品，诸如污染物、噪声等“坏东西”。对于坏东西，不消费是最优的选择。 注意，解法 1 只是直接根据教材关于局部非饱和性的定义做出的判断性回答。这回答是 对的，却不深入，没有把“所以然”说清楚。至于为什么说不清楚，至少现有的一般教材提 供的理论无力进一步回答。下面就运用本文前面的分析和推论，来尝试给出解法 2，以求进 一步在理论上明了局部非饱和性的“所以然”。 2 a (a1, a2) AH 0 1 图5 5 管毅平 陈启欢 / 效用空间与局部非饱和性；一个证明性简述 / 2005.6.10 解法 2 6 以文本第二、三节的分析结果求解。首先分析二维效用空间的零点。如图 5， 对于任何非负的消费集（ x1 , x2 ），都 有 x1 + x 2 > 0。根据题意，大于零点的效用点集（设为 AH0）在图中不存在，是个空集，对该点集求测度有： m( AH 0 ) = 0 。根据非饱和效用空间 的判断规则，可得结论：效用空间的零点是饱和点。 其 次 分 析 零 点 以 外 的 任 何 一 非 负 消 费 点 a （ a1, a2 ）。 按 题 设 ， 低 于 线 段 x1 + x 2 = a1 + a 2 （ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ）的非负消费点构成了 AH 集。由于该 AH 集的点是稠密 的，对该点集求测度有： m( AH ) > 0 。根据非饱和效用空间的判断规则，可得结论：点 a 是 非饱和点。由于点 a 是任意取的，所以除零点以外的所有非负消费集都具有非饱和性。 五、结论 传统的局部非饱和性定义是基于某单点展开的，只要该单点在任意小空间内不是最优选 择，则该点满足局部非饱和性。这也是一些高级微观经济学教材中局部非饱和性一般定义的 数学特征。本文将局部非饱和性的定义由单点推广至更复杂的多点等效用空间。多点等效用 空间的一般形态极其复杂，在不考虑空间连续性、单调性等假设时，把单点局部非饱和性拓 展至多点空间局部非饱和性，需要新的判断规则，也即在考虑连续性和单调性之前，就定义 多点空间局部非饱和性需要新的判断标准。通过对等效用空间更优的异质点集 AH 的 分 析 ， 发现异质点集 AH 的稠密性是多点等效用空间是否具备局部非饱和性的关键：如果 AH 集稠 密，则该空间就具备局部非饱和性；反之，如果 AH 集疏朗，则该空间就不具备局部非饱和 性。利用 Lesbesgue 二维测度，可以进一步得到多点空间局部非饱和性的判断公式。本文还 进一步使用了上述判断规则，对一例高级微观经济学习题进行了可能富有新意的解析。 我们这里的探讨是尝试性的，必定存在着差误，我们期待着专家的批评。 参考文献： Mas-Colell, A., Whinston, M.D., and Green, J.R., 1995, Microeconomic Theory, New York: Oxford University Press. Varian H. R., Microeconomic Analysis, 3rd ed., New York: Norton, 1992. 马斯－科莱尔、温斯顿和格林：《微观经济学》，中译本，北京：中国社会科学出版社，2001。 瓦里安：《微观经济学（高级教程）》，中译本，北京：经济科学出版社，1997。 夏道行等：《实变函数论与泛函分析》，北京：高等教育出版社，1987，第二版。 徐森林：《实变函数论》，合肥：中国科技大学出版社，2002。 于寅：《近代数学基础》，武汉：华中理工大学出版社，1999。 6