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§3 随机变量 一、随机变量的概念 直观意义： 用数值来描述随机试验的结果，即每一个试验 结果对应一个数，依随机试验的结果而取值的变量为 随机变量。用大写的 X、Y … 或小写的 、 等表示。 定义： 设 E 是随机试验，  是它的样本空间，如果对于 每一个样本    ，都有唯一的实数值 X ( ) 与之 对应，则称实值变量 X ( ) 为一随机变量，简记为X （一般用大写 X 、Y … 或小写 、 ）. 1 注意： 1）随机变量是定义在样本空间上的实值集函数，与微积分 中讨论的实函数有本质的区别。 2）随机变量是随机事件的数量化。即每个事件都可以用 一个随机变量来描述。 3）引入随机变量的重要意义。 例如：抛硬币试验：规定正面向上事件以 1 表示，反面向上 事件以 0 表示。在 E 中，  0, 1 ，定义在  上的 随机变量  ，它只能取值 1 或 0 ，则 1 P (  0)  2 1 P (  1)  2 2 二、随机变量的分布函数 定义： 设  是一个随机变量，x 是任意实数，则称函数 F ( x )  P   x 为  的分布函数。 注意： 定义中的   x 表示事件“随机变量取值不大于 x ” 随机变量的分布函数 F (x) 是以事件   x 的概率 定义的函数，它是自变量 x 的取值在 ( ,  ) 内的 一个普通函数，其值域为 [ 0 , 1 ] . 3 分布函数 F (x) 具有如下性质： 1) 0  F ( x )  1 且 lim F ( x )  0 x  lim F ( x )  1 x  2 ) F ( x ) 单调不减，即若 x1  x2 ，则有 F ( x1 )  F ( x2 ) 3 ) F ( x ) 右连续， lim F ( x )  F ( x0 ) x  x0 4 ) P  x1    x2   P   x2   P   x1   F ( x2 )  F ( x1 ) 4 三、随机变量的概率分布 设  是随机变量，则它的取值规律（即可能取哪些值， 取这些值的概率分别是多少？）称为  的概率分布（简称 分布），通常用分布律或分布密度来描述分布。随机变量 的概率分布，完全描述了随机变量的统计规律和各种特征。 随机变量的分类  离散型随机变量  连续型随机变量  随机变量   混合型随机变量  奇异型随机变量 5 四、离散型随机变量及其概率分布 1、定义：若随机变量  的取值是有限的或可数的， 则称  为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的概率分布（函数）或分布律 设离散型随机变量  的所有可能取值 xk (k  1, 2, 事件   xk  的概率为 P   xk   pk (k  1, 2, 这里 0  pk  1 ， 且  )， ) ，  p 1 k 1 k 则称 P   xk   pk (k  1, 2, ) 为随机变量  的 概率分布（函数）或分布律。 通常用表格形式表示：  pk x1 x2 … xk … p1 p2 … pk … 6  注意： 定义中的 pk 一定满足 0  pk  1 ，且  pk  1 ， k 1 是离散型随机变量的概率函数必须具备的性质。 即凡满足这两个条件的函数 P   xk   pk (k  1, 2, ) 一定是某个离散型随机变量的分布律。 3、离散型随机变量的分布函数 分布式为 P{  k }  pk (k  1, 2, ) 的离散型随机变量 x  x1   0  的分布函数为：  p  x  x  x 1 1 2    p1  p2  x  x  x 2 3    F ( x )  P   x   P (  xk )   k  xk  x   p x  x  x i k k 1    i 1 其中求和是对所有满足不等式    xk  x 的 k 求和。   1 x  x n  7 例1、将三个小球随机地投入四个盒子，以  表示盒子球的 最大数目，求  的分布律及 P   2 . 例 2、设10 件产品中恰好有2 件次品，现接连进行非还原抽样， 直到取到正品为止。 求：1）抽样次数  的分布；2）  的分布函数； 3） P   3.5 ， P   2 ， P 1    3 . 8 4、常见的离散型随机变量分布有： 1）0-1 分布（二点分布） 设随机试验中事件 A 发生的概率为 p ， 1 令   0 若A 发生 若A 不发生 则  服从两点分布，分布律为： P   1  p P   0   1  p  q 0  p, q  1 应用： 凡试验只有两个结果，常用 0-1 分布。 如： 9 2）二项分布 B( n, p) 二项分布产生于 n 重 Bernoulli 试验，即在 n 重Bernoulli 试验中，事件A 每次发生的概率为 p ，不发生（ A 发生）的 概率为 1-p ，则 n 次实验中 A 发生的次数  服从二项分布， 记为  B(n, p) ，其分布律（即概率分布）： P   k  Cnk pk (1  p)n k k  0, 1, 2, ,n 其中 0  p  1 ，且 n n k 0 k 0 k k n k P (   k )  C p (1  p ) 1   n 一般适用于 10 例3、独立射击 5000 次，命中率为 0.001， 求：命中次数不少于一次的概率。 启示： 小概率事件虽不易发生，但重复次数多了， 就成大概率事件。 思考：最可能命中次数及相应的概率？ 11 3）Poisson 分布 P ( ) 其分布律（概率分布）： P   k  即  k k! e k  0, 1, 2, 0 P ( ) （  服从参数为  的 Poisson 分布），   k k 0 k 0 k!  p  k   e  1 应用1： 某个时段内： 12 Poisson 分布可近似代替 B( n,. p) 在 B(n, p) 中，当 n 足够大， p 很小时： 设 np   lim P   k  lim Cnk pk (1  p)n k  n n k k! e 即用Poisson 分布近似代替 B( n,. p) 利用Poisson 分布再求例 3 . 13 应用2 ： Poisson 分布常用来描述大量试验中稀有事件出现次数的 概率分布的数学模型。 例4、已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从 参数为 2 的泊松分布。而进入仪器舱的粒子随机落到仪器 重要部位的概率为 0.1，求落到仪器重要部位的粒子数的 概率分布。 14 例5、设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 ,已知 X , X P ( ) , 且每个虫卵发育成幼虫的概率为 p ， 设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立。 求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布。 15 4）几何 分布 在Bernoulli 试验中，每次试验事件 A 发生的概率为 p ， 记  为 A 首次发生时的实验次数，则  几何 分布，分布律： P   k  p(1  p)k 1 k  1, 2, 0 p1 16 5）超几何 分布 设有一批同类产品共 N 件，其中次品 M 件( M < N ) ① 现从中抽取 n 件，试求取出的n 件中所含的次品数 的分布律。 解： 设  ：所含的次品数， C Mk  C NnkM P (  k )  n CN  超几何分布 k  0, 1, 2, ,l l  min  M , n M 可证明：当 N   时，  p （n， k 不变）， N k n k CM  CN M k k n k 则有 lim  C p (1  p ) n n N  CN 超几何 分布的极限是二项分布 17 ② 如果 n 件是有放回取出的。试求取出的n 件中所含 的次品数的分布律。 M 解： 这相当于一个Bernoulli 试验，次品数的概率为 p  N 事件 {  k } 的概率 k M M  P (  k )  C  1    N N  k n  n k k  0, 1, 2, ,l l  min  M , n B(n, p) 18 例6：如果在时间 t 分钟内，通过某交叉路的汽车数量服从 参数与 t 成正比的 Poisson 分布。已知，一分钟内没有汽车 通过的概率为 0.2 ，求在 2 分钟内多于一辆汽车通过的概率。 例7：若一年中某类保险者里面每个意外死亡的概率为 0.005 ， 现有1000个这类人参加人寿保险，试求在未来一年中， 在这些保险者里面： 1）有10人死亡的概率 ，2）死亡人数不超过15个概率 。 19 五、连续型随机变量及其概率分布 定义： 设 F (x) 随机变量  的分布函数，若对任意的 x ，存在  ( x )  0 ，使得 F ( x )    ( t )dt  x 则称  为连续型随机变量， ( x ) 为  的概率（分布）密度 或密度函数。 注意： 分布函数与密度函数的几何意义 20 概率密度（分布密度）的性质： 1)  ( x )  0 2)    ( x )dx  1  3 ) 对任意的 a < b ， P a    b    ( x )dx b a 4 ) 分布函数 F (x) 在 ( ,  ) 上连续； 5 ) 若  ( x ) 在 x 处连续，则 F ( x )   ( x ) 6 ) 对于任意的实数 c ， P   c  0 注意： 1）性质6）表明：对连续型随机变量  ，总有 P   x  P   x 21 2）性质6）、3）的含义：随机变量  落在区间 [a, b]内的概率 等于区间 [a, b] 上曲线 y   ( x ) 下的曲边梯形的面积，如图 所示。且由此，性质3）可改为： y  ( x) P a    b  P a    b  P a    b x a 0 b  P a    b    ( x )dx b a  F ( b)  F ( a) 22 例8、设随机变量  的密度函数为  Ax  1  ( x)    0 0 x2 其他 求：1）A 值； 2）  的分布函数 F (x) ； 3）P 1.5    2.5 23 常见的连续型随机变量分布有： 1）均匀分布 若随机变量  在[a, b]上的密度函数为  1   ( x)   b  a   0 a xb 其他 则  ~ U [a, b] （区间为[a, b]上的均匀分布），  0 xa  P (  x )  F ( x )   ba  1 其分布函数为： xa a xb xb xa 可见 ξ 落在[a, x] 的概率为 b  a ，体现了等可能性。 24  ( c , d )  ( a , b) , X ~ U[a, b] d 1 d c dx  则 P c  X  d    c ba ba 应用： 例9、设随机变量  在 [2, 5] 上服从均匀分布，现对  进行 三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3 的概率。 25 2）指数分布 E ( ) 若随机变量  密度函数为 （a > 0, b 均为常数）  ae  a ( x  b )  ( x)    0 则 xb xb b0   a  e x   0 x0 x0 E ( ) （  为参数的指数分布） 其分布函数为： 1  e  a ( x  b ) F ( x )    ( t )dt     0 b 0 1  e   x x0    a x0  0 x xb xb 应用： 26 例10、某种型号的灯泡使用时间（小时）为一随机变量  ， 1  x  1 其概率密度为 5000 e   ( x )   5000  0  x0 x0 求 3 个这种型号的灯泡使用了 1000 小时后至少有 2 个 仍可继续使用的概率。 27 3）正态分布（又称Gauss分布） N (  ,  2 ) 若随机变量  密度函数为  ( x)  1  e ( x   )2 x  (,  ) 2 2 2 其中  、 为常数，且   0 ， 则称这种分布为正态分布 N (  ,  2 ) ，  N ( ,  ) 2 其分布函数为：  ( x )    ( t )dt  x  1 e  2 x   ( t   )2 2 2 dt x  (,  ) 注意： 28 当   0 、  1 时的正态分布称为标准正态分布 N (0, 1) 1 其对应的密度函数  0 ( x )  2 其对应的分布函数 0 ( x )    0 ( t )dt  x  1 e x2  2 e  2 x  t2  2 x  (,  ) dt 正态分布 N (  ,  2 ) 具有如下性质： 1)  ( x )  0 2)    ( x )dx  1  3 )  ( x ) 在 ( ,  ] ，在 [ ,  ) ，在 x   时达到 1 极（最）大值  ( x )  . 说明  的取值密集在  2 的附近。即  表示  取值的集中位置（均值），  表示集中程度（方差）。 29 4 )  ( x ) 的图形关于 x   对称，说明  落在 x     与 x     的相应等长区间上的概率相等。   2 5 ) 设  N (  ,  ) ，作变换   ， 则  ~ N (0, 1)    2 表明，任何一个 N (  ,  ) 通过变换   均可使服  从标准正态分布 N (0, 1) . N (  ,  2 ) ，则  的分布函数  ( x ) 与 N (0, 1)  x 的分布函数 0 ( x ) 有如下关系：  ( x )   0      6) 若 由此，对任意 a < b ，有 P a    b  a  ( x )dx    ( x )dx    ( x )dx b b a b  a    ( b)   ( a )   0   0          30 N (0, 1) 具有如下性质： 1)  0 ( x ) 的关于y 轴对称，即 0 ( x )  0 ( x ) 2 )  0 ( x ) 在 x  0 时达到极（最）大值  (0)  1 . x2 2   1 2 3)   ( x)dx  1 即  2 e dx  1 2 2    e  x 2 dx  2 称 4 ) P    x  P   x   e   x 2 dx 为概率积分。 0 (  x )  1  0 ( x ) 5 ) N (0, 1) 表 注意： 附表中仅列出 x  0 时的函数 0 ( x ) 的数值，而对于 x  0 时的数值，利用对称性 0 ( x )  1  0 ( x ) 即可求得。 31 例11、设随机变量  ~ N (108, 9) 求：1） P 101.1    117.6 2）求常数 a ，使得 P   a  0.90   3）求常数 a ，使得 P   a  a  0.01 2  N (  ,  ) ，其中   300 小时， 例12、某种电池的寿命   35 小时，1) 求电池寿命在 250 小时以上的概率； 2）求使寿命在   x与   x 之间概率不小于 0.9 的 x . 32 例13、某单位招聘 2500 人，按考试成绩从高分到低分依次录 用，共有10000 人报名，假设报名者的成绩  N ( ,  2 ) 已知 90 分以上有359 人，60分以下有1151 人，问被录用 者中最低分是多少？ 例14、设测量的误差 X N (7.5, 100) （单位：m），问要进行 多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过 10 m 的概率大于 0.9 ？ 33 六、随机变量函数的分布 问题 已知随机变量 X 的分布律或概率密度函数 φX (x) ， 求随机变量 Y = f (X) 的分布律或概率密度函数 φY (y) . 方法 将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件。 1、离散型随机变量函数的分布 设 r.v. X 的分布律为 P ( X  xk )  pk , k  1, 2, r.v. Y = f (X) ，则 Y 的概率分布为： P (Y  yi )   k: f ( xk )  yi pk , i  1, 2, 34 例15、设随机变量 X 的概率分布为：     0  X 2 2 pk 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 求 Y1 = X + π 和 Y2 = sinX 的分布律。 解：   3 2 2 0.3 0.1 Y1 0 pk 0.2 0.1 0.3 Y2 1 0 1 pk 0.1 0.6 0.3 2 35 2、连续型随机变量函数的分布 设 r.v. X 的概率密度函数 φX (x) 或分布函数， r.v. Y = f (X) ，求 Y 的概率概率密度函数 方法： 1）从分布函数出发 2）用公式直接求 例16、设连续型 r.v. X 的概率密度为 φX (x) ， r.v. Y = aX + b ，a , b 为常数，且 a ≠ 0 , 求 φY (y) . 解： 由分布函数定义， FY ( y)  P (Y  y)  P (aX  b  y) 1    F  1 ( y  b)  当 a > 0 时，FY ( y)  P  X  ( y  b )  X   a a    1 1  两边求导得： Y ( y)   X  ( y  b )  a a  36 当 a < 0 时， 1   FY ( y)  P  X  ( y  b )  a   1   1  FX  ( y  b )  a  两边求导得： 1 1  Y ( y )    X  ( y  b )  a a  1 1  Y ( y )   X  ( y  b)  |a| a  37