复旦大学第二章 复变函数积分.pdf

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU Chapter 2 复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions. 一、 复变函数积分(Integrals of complex variable functions) 1．定义：设 l 是复平面 C 上的一条可求长的有向曲线，函数 f (z) 在 l 上有定 义，沿 l 取分点 z 0  a, z1 , z 2 ,, z n1 , z n  b ，从 z k 1  z k 的一小段上 n n k 1 k 1 任取一点  k ，作和数  f  k z k  z k 1    f  k z k ，如果当弧段 zk 1 zk （ k  1,2,, n ）的最大长度   0 时，此和数的极限存在，且 与 z k 和  k 的选取无关，那么这个极限值称为 f (z) 沿曲线 l 的积分， 记作  f ( z )dz  l n lim max z k 0  f  z . k k 1 k *) 一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合  f ( z )dz   (u  iv )d( x  iy )   (udx  vdy)  i  (vdx  udy) . l l l l 因此，根据实变函数线积分的知识，可以知道，如果 l 是分段光滑的， f (z) 在 l 上连续，复变函数积分一定存在。 **) 可以把 f (z) 沿曲线 l 的积分化为关于参数 t 的积分  [参数方程： z   (t ) ]，即  f ( z )dz   f [ (t )] '(t )dt , l  其中 ( ,  ) 由曲线端点 ( a, b) 的参数值确定。 2．性质： n (1) 若 l  l1  l 2    l n ，则  f ( z )dz    f ( z )dz . l (2) k 1 lk  f ( z )dz    f ( z )dz ，其中 l 表示 l 的逆向。  l l 1 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU (3)  c f ( z )  c f ( z )dz  c  f ( z )dz  c  f ( z )dz . (4)  f ( z )dz   f ( z ) dz   f ( z ) dl  ML ，其中 M 是 f (z) 的上界， l 1 1 2 l 2 1 l l 1 2 l 2 l L 是曲线 l 的长。 例 1．求  Re zdz ，l 为：(i)沿实轴由 0  1 ，再平行于虚轴 1  1  2i ；(ii) 沿 l 虚轴由 0  2i ，再平行于实轴 2i  1  2i ；(iii)沿直线由 0  1  2i . 解：令 z  x  iy ，则 Re z  x  u( x, y) ， v( x, y)  0 ， dz  dx  idy . 对于(i)， 对于(ii)， 1  2i . l l1 l2 0 0 2 2 1 1 . Re z d z  i x d y  x d x  i 0  d y  x  d x  l l3 l4 0 0 2 1 2  Re zdz   xdx  i  xdy   xdx  i  1  dy  对于(iii)， y  2x , 1 y 1  dy   i . 0 2 2  Re zdz   xdx  i  xdy   xdx  i  l l5 l5 0 2 虽然积分的起末点相同，但三种结果不同，这是由于 f ( z)  x 不是解析函数。 例 2．  z dz ，其中 l 以 z0  1 为起点， z1  1 为终点，路径为：(i)直线段； l (ii)上半单位圆周；(iii)下半单位圆周。（练习） 解：(i) l 的参数方程为： z  x ， x   1,1 ，所以 dz  dx ，则 1 1 1 0  z dz   x dx  2 xdx  1 . l (ii) l 的参数方程为： z  ei ，   0, ，所以 dz  iei d ，则 0 0  z dz   e ie d   ie d  e   2 . i i i i 0 l (iii) l 的参数方程为： z  ei ，     ,0，所以 dz  iei d ，则 0 0 0    i i i i  z dz   e ie d   ie d  e l  2. 2 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU z 例 3．计算积分 I   dz ，其中 l 为实圆环 1  z  2 的上半部分的边界， l z 方向为环形区域的正方向(靠右行)。 解：   z z I   dz         dz l z l1 c1 l2 c2 z i i 1 x 0 e 2x  2e   dx   i iei d   dx   i 2iei d 2 x  e 1 x 0 2e 1 2  1  1  ei 3   1   ei 3  1 3 3 4  . 3 咋看起来 f ( z )  z  ei 2 在 D 内解析，应该有 z  f ( z )dz  0 . C 其实不然， f  cos 2  i sin 2 ，仅仅依赖于  而非依赖于  ： 0  u  1  v  2  cos 2 ， 0  v   例 4．计算积分 I n   1 C  z  a n 1  u  2  sin 2  非解析。 dz ， （ n  1,2,) ，其中 C 是以点 a 为圆心， r 为半径的圆，积分方向为逆时针方向。 解：曲线 C 的参数方程为： z  a  re i (0    2 ) . In   1 C  z  a dz   n 2 0  i ( n 1) 2  ie 2 i 1 i ire d   d   n in n  1  0 r e r 0 n 1 n  2,3 , 这个积分与半径 r 及常点 a 的位置无关，并且必须在复平面上，其实 I1   c dz  ln( z  a) |c  2 i 是个纯虚数。 za 二、 科希定理（Cauchy Theorem） 上节讲述的是一般复变函数积分（主要是例子） 。一般来说，它们的值 不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关，还与该曲线段的具体形状有关。 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的 f (z) 能使积分  f ( z )dz l 与曲线段 l 的具体形状无关——这正是解析函数。Cauchy 定理正是研究这类 3 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 函数的有力工具（是基础，非目标） 。 单连通区域：对于区域 D，如果 D 内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中， 曲线上的所有点都在 D 内，则称 D 为单通区域。 复连通区域：在单通区域内挖去所有奇点（可以是几个 点、几条线、几个区域）而组成的区域。 境界线走向：沿境界线行走，区域总在左边的走向规定 （定义）为正向。 1. 单连通区域的 Cauchy 定理：如果 f (z) 在闭单连通域 D 中解析，则沿 D 中任何一个分段光滑的闭曲线 l，有  f ( z )dz  0 . l 证明：为简单起见，下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是 f (z) 在 D 中连续（其实，后面会看到，只要 f (z) 在 D 中解析， 即 f (z) 存在，则 f (z) 也存在，因而 f (z) 连续），即四个偏导 数 u u v v , , , 连续。在此条件下可以应用 Green 公式（*） x y x y  Q P    P ( x , y ) d x  Q ( x , y ) d y  l S   dxdy 于复变函数积分，有  x y   f ( z )dz   (u  iv)d(x  iy )   (udx  vdy )  i  (vdx  udy ) l l l l  v u   u v        dxdy  i     dxdy. S x S x y  y    根据 Cauchy-Riemann 条件，马上得到  f ( z )dz  0 . l 注意（*） ： b y2 ( x ) a y1 ( x ) b   Pdxdy   dx   Pdy  [ P( x, y ( x)  P( x, y ( x))]dx y S y b a a b 2 1 a    P( x, y 1 ( x)dx   P ( x, y 2 ( x)dx    P ( x, y )dx. l 由于 Green 公式的要求，这里所说的单连通区域只能是一个有界 域，即，不能是包含  点在内的（无界）域。以后我们会看到， 4 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 即使 f (z) 在  点解析，它绕  点一周的积分也可以并不为 0。 推论一：如果 f (z) 在闭单连通域 D 中解析，则复变积分  f ( z )dz 与路径 l 无关。或者说，只要保持两端点固定，积分曲线可以在区域内连 续变形而积分值不变。 2. 复连通区域的 Cauchy 定理：如果 f (z) 是闭复连通域 D 中的单值解析函数 n （需要做手脚！），则有   f ( z )dz  0 ，其中 lk (k  1,2, , n) 是 k 1 lk D 的全部境界线（正方向） 。 证明： （略） 推论二：对于闭复连通域上的单值解析函数，沿外境界线逆时针方向的 积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。 n  f ( z)dz    f ( z)dz. l k 1 lk 推论三：设 f (z) 是闭区域（单连通或复连通） D 上的解析函数，对于 D 内的一条闭曲线 l ，当它在 D 内连续变形时积分值  f ( z )dz 始 l 终保持不变（但是奇点区不能穿过，也只能绕过一次！ ）。 一个常用结果： 2 i n I n    z  a  dz   C 0 n  1 otherwise ，其中， a 在曲线 C 内。 当 n  0,1,2, ，( z  a) n 在全平面解析，由 Cauchy Theorem，I n  0 ， 对于 n  1,2,，( z  a) n 在 z  a 点不解析，由推论三，我们总可 以把围绕 a 的任一闭曲线 C 变为以 a 为圆 心的圆周，然后利用前面例题的结果。 5 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 例1． 如 果 函 数 f (z) 在 0  z  a  R 环 域 内 解 析 ， 且 lim ( z  a) f ( z )  A (这个数值类似于、但不是留数,Residue)，则 z a  f z dz  2iA ，曲线 C 为 D 内绕 a 点的闭曲线。 C 1 dz  2i . C za 证明：   f  z dz  2 iA   C   z a r f  z dz   A dz C za ( z  a) f ( z )  A dz z a r za ( z  a) f ( z )  A  za z a r  2 ( z  a) f ( z )  A 0 r  2 0 dz rd ( z  a ) f ( z )  A d .  lim ( z  a) f ( z )  A ，即，任给   0 ，存在   0 ，使得 z  a   时， z a 有 ( z  a) f ( z)  A   . （解析函数一致性定理！ ）所以  C f  z dz  2 iA   2 0 ( z  a) f ( z )  A d  2  0 . 因此，  f  z dz  2iA . 只要 lim f ( z )  A / ( z  a). C z a 例 2（X） ．设 C 为不经过  与   的正向简单闭路， 为不等于零的任 dz . C z2   2 何复数，试就 C 与  ，   的位置关系，计算 I   解： 1 1  1 1     . 2 z  2  z   z    2 因为 C 不经过  与   ，故 C 与  ，   的位置关系有四种可能： （1）  与   同时位于 C 的外部， I  0 ； （2）  位于 C 的内部，   位于 C 的外部， dz 1  dz dz  1 i     2i  0  ;   2  C z  2  C z   C z    2  I  2 （3）   位于 C 的内部，  位于 C 的外部， 6 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU dz 1  dz dz  1 i     0  2i    ;   2  C z  2  C z   C z    2  I  2 （4）  与   同时位于 C 的内部，由推论二，有 dz dz dz i i  2     0. 2 2 2 2 C z  C z   C z     I  2 三、 （X）解析函数不定积分 (Indefine integrals) 定理：设 f (z) 是单连通域 D 内的解析函数， z 0 是 D 内的一个定点，在 D z 内定义函数， F ( z )   f ( )d ，则 F (z ) 也是 D 内的解析函数，且 z0 F ( z)  f ( z) ， 同 时 ， 对 D 内 的 任 意 两 点 z1 和 z 2 ， 有 z2  f ( )d  F ( z )  F ( z ) . 2 z1 1 证明：为了证明 F (z ) 是解析的，只需要直接 求出它的导数就可以了。设 z 是 D 内 一点, z  z 是它的邻点，则 z F ( z )   f ( )d ， z0 F ( z  z )   z  z z0 f ( )d ，因为积分与 路径无关，所以， F F ( z  z )  F ( z ) 1 z  z   f ( )d ，由此可得， z z z z F 1 z z  f ( z)  f ( )d  f ( z ) z z z  1 z z 1 z z f (  )  f ( z ) d   f ( )  f ( z )  d .   z z z z 由于 f (z) 是解析的，它一定连续，即，对于任给   0 ，存在   0 ， 使得当   z   时， f ( )  f ( z)   ，[只要 z   ，同时  点落在 以 z 点为中心， z 为半径的圆内，就有 f ( )  f ( z )   ] 所以 F 1 F  f ( z)     z   ，即得 F ( z )  lim  f ( z) . z 0 z z z 这就证明了 F (z ) 在 D 内处处可导，是 D 内的解析函数，并且 7 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU F ( z)  f ( z) . 根据原函数的定义：如果 ( z)  f ( z) ，则 (z ) 称为 f (z) 的 原函数。可见 F (z ) 是 f (z) 的一个原函数。对于给定的一个函数 f (z) 来讲，原函数不是唯一的。任意两个原函数之间只相差一个常数。 这是因为，如果 1 ( z ) 与  2 ( z) 都是 f (z) 的原函数，则 1 ( z)  f ( z) ， 2 ( z )  f ( z ) . 所以 1 ( z )   2 ( z )  1 ( z )  2 ( z )  f ( z )  f ( z )  0 ，即 1 ( z)   2 ( z)  C . z2 现在证明  f ( )d  F ( z 2 )  F ( z1 ) . 设 (z ) 也是 f (z) 的一个 z1 z 原函数，那么， ( z )  F ( z )  C   f ( )d  C ，显然 ( z 0 )  C ， z0 于是上式又可写为： z  f ( )d  ( z)  ( z )  F ( z)  F ( z ) . 因而， 0 z0 0 z2  f ( )d  F ( z )  F ( z ) . 2 z1 1 z f (z) 的原函数的集合称为 f (z) 的不定积分，记为  f ( )d . 四、科希积分公式 (Cauchy integral formula) Cauchy 定理最直接、最重要的结果是 Cauchy 公式。对于区域 D 上的解 析函数，这一公式建立了边界和区域内各点的关系，即，它在边界上的值决 定了它在 D 内任意一点的值。 1．有界区域的 Cauchy 积分公式：设 f (z) 是闭单连通区域 D 上的解析函数， l 为区域境界线，则对区域内任一点 z ，有 f ( z )  1 f ( ) d ，其中 2i l   z 积分路线沿 l 的正方向。 证明：因为 f ( z )  f ( z )  1 1 1 f ( z) d  d ，所以只要证明   l l 2i   z 2i   z 8 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 1 f ( ) 1 f ( )  f ( z ) d  f ( z )  d  0 即可。  l 2i   z 2i l z 在 D 内做圆   z   ，根据 Cauchy 定理推论三(回 路变形)， 1 f ( )  f ( z ) 1 f ( )  f ( z ) d   d . 2i l z 2i   z    z 因为 f ( )  f ( z ) f ( )  f ( z ) d     z    z    z     z  d 又因  2 0 f ( )  f ( z )  d , 为 f ( ) 在 z 点连续，即任给   0 ，存在   0 ，使得当   z   时， f ( )  f ( z)   . 因此，只要上面的    ，就有  f ( )  f ( z ) 1 f ( ) d . d  2  0 . 所以有 f ( z )  z  2i l   z z 注意：* 此证明亦说明，在   z   内（ z   ），虽然 函数）是多值函数，或者 是 1 的原函数（对数  z 1 做回路积分时，转一圈位相变化 2 （明显地，   z  z f ( )  f ( z ) 1 的 奇 点 ）， 但 是 是 解 析 函 数 ; 只 不 过 是 当 z  时 ，  z  z f ( z)  f ( ) . 这样就解析延拓了: z 从  离开一点点  ， f ( z) 可由 f ( ) 完全决 定，再离开一点点，仍然如此,…——解析函数的一致性定理。 ** f ( )  f ( z) : ⅰ） u 和 v 由 C-R 条件以微分形式相互联系，而非独立； ⅱ）解析函数是一种平面标量场，而平面场的边界条件决定了区域内部的场。这种物理 意义是以复变函数的积分形式关联。 *** 对于复连通区域上的单值解析函数 f (z) ，只要将积分路线 l 理 解为该区域的全部境界线（都取正方向），则 Cauchy 公式仍然有效。 9 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU [引理 1 (大圆弧引理)]（*动机：定积分计算）：如果 f (z) 在区域 D： R  z  a   ，1  arg( z  a)   2 上连续，且当 z( z  D)   时，( z  a) f ( z) 一 致地趋于一个复常数 K ，则 lim  f ( z )dz  iK  2  1  ，其中 C R 是以 a 为圆心、 R CR R 为半径、夹角为  2  1 的圆弧， z  a  R, 1  arg( z  a)   2 .（各向同性） 证明： lim f ( z )  K / ( z  a). z  dz  i 2  1  ，所以 CR z  a K   CR f ( z )dz  iK 2  1   CR  f ( z)  z  a  dz 因为   ( z  a) f ( z )  K  C   R   ( z  a) f ( z )  K CR dz za dz za . 由于当 1  arg( z  a)   2 ， z   时， ( z  a) f ( z) 一致地趋于复常数 K，这意 味着任给   0 ，存在[与 arg( z  a) 无关的] M ( )  0 ，使当 z  R  M 时， ( z  a) f ( z)  K   ，所以  f ( z )dz  iK            0, 即 CR 2 1 2 1 lim  f ( z )dz  iK  2  1  . R CR 2．[无界区域的 Cauchy 积分公式]：设 f (z) 在闭曲线 C 及其外部的无界区域 上是解析的，且 lim f ( z )  0 ，则有 f ( z )  z  1 f ( ) d ，其中积分路  2i C   z 线沿 C 的正方向（注意：现在正方向为顺时针方向）。 证明： 在 C 外作一个以原点为圆心，R 为半径的 大圆 C R ，这样，对于 C 和 C R 所围的复连 通区域，根据有界域 Cauchy 积分公式， f ( z)  1 f ( ) 1 f ( ) d   d . 2i CR   z 2i C   z 10 Methods of Mathematical Physics (2016.09) 因为 K  lim (  z )   Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU f ( )  lim f ( )  0 ，所以，由引理 1，马上得到   z   1 f ( ) d  0 . 因此，  C R   2i R   z lim f ( z)  1 f ( ) d , 并延拓至  了。  C 2i   z 3．[解析函数的高阶导数]：如果 f (z) 在 D 中解析，则在 D 内 f (z) 的任何阶 导数 f ( n ) ( z ) 均存在，并且， f ( n) ( z )  n! f ( ) d ，其中积分路线  2i l   z n1 沿 l 的正方向 (  在 l 上， z 在 l 内)。 证明：首先求 f (z) . 因为 f ( z  z )  f ( z ) 1 1  f ( ) f ( )    d   d   l l z z z 2 i     z  z    1 f ( ) d , 2 i  l   z  z   z  取极限 z  0 ，左边为 f (z) . 因此只需证明 1 f ( ) 1 f ( ) d  d . 因为   z 0 2i l   z  z   z  2i l   z 2 lim 1 f ( ) 1 f ( ) d  d   z 0 2 i l    z  z    z  2 i l   z 2 lim  1 f ( ) f ( ) lim  d   d 2 l 2 z 0 l   z  z   z    z    1 z  f ( ) lim  d 2 z 0 l   z  z   z 2    z  f ( ) 1 , lim    d  2 z 0  l   z  z    z 2   由于 f ( ) 在 l 上连续，因此是有界的，故在 l 上有 f ( )  M . 设 z 到 l 的最短 距离 min z    c  0 . 设境界线的全长为 s ，所以 11 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU Ms  z 1 f ( ) 1 f ( ) d   d   lim 0. z 0 2i l   z  z   z  z 0 2c 2 c  z  2i l   z 2 lim 因此， f ( z )  1 f ( ) d .  l 2i   z 2 用类似的方法，同样可以证明 n  2,3,4 的情况。[归纳法：若 f (z) 为真， 假定 f ( n 1) ( z ) 正确，证明 f ( n ) ( z ) 成立，则立论成立。] 4．[无界区域的 Cauchy 导数公式]：设 f (z) 在闭曲线 C 及其外部的无界区域 上是解析的，且 lim f ( z )  0 ，则有 f ( n) ( z )  z  n! f ( ) d ，其中积  2i C   z n1 分路线沿 C 的正方向（注意：现在正方向为顺时针方向）。 例：计算积分 I  1 dz ，其中闭曲线 C 为圆 z  2 ，逆时针方向。  4 C 2i z  1 z  32 解：令 f ( )    1 ， z  3 ，因为 lim f ( z )  0 并且 z   4 1 函 数 在 外 部 解 析 ， 根 据 无 界 域 Cauchy 导 数 公 式  1 f ( ) 1   d  f ( z )   4  2i C    z 2  z 1 I  z 3 27 . 1600 1 f ( ) 1 f ( ) 27 . d    d    2 2 2i C   z  2i C   z  1600 5．(X) Cauchy 公式的几个重要推论： （1）莫勒纳（Molera）定理（Cauchy 定理的逆定理） ：如果 f (z) 在单连 域 D 内连续，且在 D 内任意围道积分为 0 ，则 f (z) 在 D 内解析。 证明：因为，在 D 内任意围道积分为 0，故 z F ( z )   f ( )d 与积分路径无关，再考虑到 f (z) 的连续性，可得， z0 12 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU F ( z  z )  F ( z ) 1 z z  f ( z)    f ( )  f ( z ) d z z z z z 1   f ( )  f ( z ) d    0. z z 所以，F ( z )  d z f ( )d  f ( z ) . 因此，F (z) 解析，其导数为 f (z) . dz z 0 根据高阶导数的存在性可知， f (z) 在 D 内也必解析。 （2）Cauchy 不等式：设 f (z) 在闭区域 D 内解析，则 f (z) 在边界 l 上 连续， f (z) 在 l 上必有上界、而且达到上界 M . 因此， f (n) ( z)  f ( ) n! f ( ) n! n! Ms d  d  ，其中 n  1 n  1   2i l   z  2 l   z 2 d n 1 l 是边界 l 的长度， d 是 z 到边界的最小距离。 特别是，当边界是以 z 为圆心， R 为半径的圆时，有 f (n) ( z)  n!M ，这就是 Cauchy 不等式。 Rn （3）最大模定理：若 f (z) 在闭区域 D 内解析，则模 f (z) 的最大值 在 D 的边界上。 证明：设 M 为 f (z) 在边界上的上界，则由上面的推论，对于解 析函数  f ( z ) （m 为正整数），有 m 1 M ms  s  m f ( z)  ，即， f ( z )  M   ， 2d  2d  m 此式对任何 m 均成立，故取极限 m   ，得， f ( z)  M . （4）刘维（Liouville）定理：如 f (z) 在全平面解析，而且当 z   时， f (z) 有界，则 f (z) 为常数。 证明：以任一有限点 z 为圆心，R 为半径做圆 C R ，则根据 Cauchy 不等式，有 f ( z )  MR ，其中 M R 是 f (z) 在圆周 C R 上的上界。 R 13 Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 因为当 z   时， f (z) 有界，故 R   时， M R 有界。因此 MR  0 . 所以 f ( z)  0 ，即 f ( z)  0 ，由此可知， f ( z)  C . R  R lim 注意，这里事先对函数在无穷远点是否解析，并未作任何限定。 Liouville 定理告诉我们，在满足定理条件下，函数在无穷远点也 一定解析。 （5）均值定理：解析函数 f (z) 在解析区域 D 内任意一点 a 的函数值 f (a) ，等于以 a 为圆心，完全位于 D 内的任一圆周上的函数值 的平均，即 f (a)  1 2 f (a  R eiθ )d .  0 2 证明：由 Cauchy 积分公式，有 f (a)  1 f ( z) dz . 2i l z  a 取积分闭曲线 l 为以 a 为圆心， R 为半径的圆（但要求完全 在 D 内），故在 l 上，有 z  a  R ei ，所以 f (a )  1 2 f (a  R eiθ )d .  0 2 Home work: 2.1 (2), (3); 2.3. 14